Geometria Analitica UERJ FEN prova2 modelo

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Geometria Anal´ıtica - Prova 2
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Crite´rio de avaliac¸a˜o: pontos sera˜o descontados, sem possibilidade de reavaliac¸a˜o futura, devido a (1)
palavras e/ou frases estranhas a` Matema´tica, (2) desenvolvimento de explicac¸a˜o e/ou ca´lculo nume´rico feitos
’na vertical’, escreva como esta´ nos livros, e (3) qualquer rasura. Utilize, no ma´ximo, duas folhas para escrever
suas respostas.
Questa˜o 1. 1.1 (1 ponto) Determine os comprimentos dos eixos maior e menor de uma elipse
de excentricidade 0,6 e F1 = (−
6
5
, 0). 1.2 (1 ponto) Calcule o comprimento da corda que
conte´m F2 e e´ perpendicular ao eixo maior.
O
.
(4,5)
.
Questa˜o 2. (2 pontos) As treˆs coˆnicas passam por (4, 5). Calcule
suas equac¸o˜es reduzidas.
OxF
1
.
F2
.
Oy
Questa˜o 3. (2 pontos) Encontre um
ponto A sobre a elipse, de tal modo que
F̂1AF2 = 90
o.
Questa˜o 4. (2 pontos) Determine a reta que e´ tangente a
x2
21
+
y2
7
= 1 e e´ paralela a
x + 2y + 1 = 0.
Questa˜o 5. (2 pontos) Em uma hipe´rbole que passa por (4, 1), tem-se
p
q
= −2. Elabore sua
equac¸a˜o reduzida e determine o ponto onde o vetor normal e´ paralelo ao vetor (−2, 2).
1
R E S P O S T A S
Questa˜o 1. 1.1 (1 ponto)
b
a
=
√
1− e2 = √1− 0, 36 = 0, 8 e b = 0, 8.a. Mas, c = 0, 6.a = 6
5
implica a = 2 e b = 1, 6. Portanto, o eixo maior mede 4 e o menor mede 3,2.
1.2 (1 ponto) A equac¸a˜o reduzida
x2
4
+
y2
2, 56
= 1 leva a y = ±4
5
√
4− x2. Para x = 6
5
,
tem-se y = ±32
25
= ±1, 28. A corda mede 64
25
= 2, 56.
Outro modo: e´ a intersec¸a˜o da reta X = F2 + k(0, 1) = (
6
5
, k) com a elipse, e um ca´lculo
direto indica k = ±1, 28, de modo que os pontos extremos da corda sa˜o (6
5
; 1, 28) e (
6
5
;−1, 28).
A corda mede
64
25
= 2, 56.
Questa˜o 2. (2 pontos) Sejam E :
x2
a2
+
y2
b2
= 1, H :
x2
a2
− y
2
b2
= 1 e P : y2 = 4px.
A para´bola primeiro, por ser mais fa´cil: x = 4, y = 5⇒ p = 25
16
⇒ y2 = 25
4
x.
Agora a elipse: 16b2 + 25a2 = a2b2 ⇒ a2 = 16b
2
b2 − 25. Escolhendo b
2 = 26, a elipse tem
equac¸a˜o
x2
416
+
y2
26
= 1.
Por fim a hipe´rbole: 16b2 − 25a2 = a2b2 ⇒ a2 = 16b
2
b2 + 25
. Escolhendo b2 = 375, a hipe´rbole
tem equac¸a˜o
x2
15
− y
2
375
= 1.
Questa˜o 3. (2 pontos) Evidente que a = 4, c = 3, b =
√
7. A condic¸a˜o angular se reflete
em 0 = (−3 − x,−y).(3 − x,−y) = x2 + y2 − 9, ou seja, A pertence a` intersec¸a˜o da elipse
x2
16
+
y2
7
= 1 com a c´ırculo x2 + y2 = 9. As respostas sa˜o (
4
√
2
3
,
7
3
), (
4
√
2
3
,−7
3
), (−4
√
2
3
,
7
3
) e
(−4
√
2
3
,−7
3
).
Questa˜o 4. (2 pontos) Um vetor tangente a` elipse em A e´ da forma (21yA,−7xA), e a reta
tangente tem equac¸o˜es X = (xA, yA) + m(21yA,−7xA) e 7xAx + 21yAy − 147 = 0. Devido a`
condic¸a˜o de paralelismo, tem-se 7xA =
21yA
2
. Vetorialmente falando, (21yA,−7xA) = k(2,−1).
Assim, yA =
2xA
3
e
x2
A
21
+
1
7
(
2xA
3
)2 = 1, de sorte que xA = ±3 e yA = ±2. Veˆ-se que (−3,−2)
e (3, 2) sa˜o pontos de contato segundo os quais a reta tangente sera´ paralela a` reta dada. As
retas tangentes sa˜o x + 2y + 7 = 0 e x + 2y − 7 = 0.
Questa˜o 5. (2 pontos) Tem-se
16
p
+
1
q
= 1, 16q +p = pq, 16q−2q = −2q2 e q = −7. Enta˜o,
p = 14 e
x2
14
− y
2
7
= 1. Quanto ao vetor normal, (−7x, 14y) = k(−2, 2) indica que para o ponto
em estudo tem-se y =
x
2
> 0. Por substituic¸a˜o, calcula-se x =
√
28 e y =
√
28
2
.
2