Introdução à Met Dinâmica - Holton (cap. 3)

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1 
CAPÍTULO III 
 
APLICAÇÕES ELEME�TARES DAS EQUAÇÕES BÁSICAS 
 Na análise de sistemas de tempo é mais conveniente usarmos um sistema de 
coordenadas em que a pressão é a coordenada vertical. Então, antes de introduzirmos as 
aplicações elementares vamos apresentar as nossas já conhecidas equações dinâmicas 
em coordenadas isobáricas. 
 As equações do movimento horizontal podem ser escritas como: 
p
1
Vkˆf
Dt
VD
∇
ρ
−=×+
r
r
 
(3.1) 
Sendo vjˆuiˆV +=
r
 o vetor velocidade horizontal e 
z
w
y
v
x
u
tDt
D
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= . 
Em um sistema de coordenadas isobárico o gradiente horizontal de pressão é medido 
pelo gradiente do Geopotencial a pressão constante. Então usando as relações: 
pxpx
z
g
zx
p1






∂
Φ∂
−=





∂
∂
−=





∂
∂
ρ
− e 
pyzy
p1






∂
Φ∂
−=





∂
∂
ρ
− 
A equação (3.1) pode ser escrita em coordenadas isobáricas: 
Φ−∇=×+ pVkˆfDt
VD r
r
 
(3.2) 
Sendo: 
 
pDt
Dp
yDt
Dy
xDt
Dx
tDt
D
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
≡ 
py
v
x
u
tDt
D
∂
∂
ω+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
 
(3.3) 
Sendo 
Dt
Dp
≡ω (chamado movimento vertical omega) é a mudança de pressão seguindo 
o movimento, que apresenta a mesma relação no sistema de coordenadas isobáricas que 
Dt
Dz
w ≡ representa no sistema de coordenadas em altura. 
Da equação (3.2) nós podemos escrever o vento geostrófico nas coordenadas isobáricas: 
Φ∇×= pkˆgVf
r
 (3.4) 
Uma vantagem do sistema de coordenadas isobáricas é que o vento geostrófico não 
depende da densidade, deste modo, para um dado gradiente de geopotencial este 
corresponde a um único valor de vento geostrófico. Uma outra vantagem desta 
 2 
coordenada é que se f é mantido constante 0gVp =•∇
r
. Isto é, o vento geostrófico para 
f constante é não divergente. 
 A equação da continuidade também pode ser obtida nas coordenadas isobáricas x, 
y e p. Vamos considerar um volume de controle lagrangeano δV = δx δy δz e 
aplicarmos a equação hidrostática δp = - ρ g δz (note que δp < 0) se expressarmos o 
volume como δV = - δx δy δz/(ρ g). A massa deste fluido, que é conservada seguindo o 
movimento, é então δ M = ρ δV = - δx δy δz/g: 
( ) 0
g
pyx
Dt
D
pyx
g
M
Dt
D
M
1
=




 δδδ
δδδ
=δ
δ
 
Após diferenciarmos, usando a regra da cadeia, e mudando a ordem dos operadores 
diferenciais e considerando g como constante, obtemos: 
0
Dt
Dp
p
1
Dt
Dy
y
1
Dt
Dx
x
1
=




δ
δ
+




δ
δ
+




δ
δ
 
Ou: 
.0
py
v
x
u
=
δ
δω
+
δ
δ
+
δ
δ
 
Levando ao limite δx, δy, δp → 0 e observando que δx e δy são avaliados a pressão 
constante, nós obtemos a equação da continuidade no sistema de coordenadas isobárica: 
.0
py
v
x
u
=
∂
ω∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 
(3.5) 
Esta forma da equação da continuidade não leva em conta o campo de densidade e não 
envolve derivadas temporais. A simplicidade de (3.5) é uma das grandes vantagens do 
sistema de coordenadas isobárica. 
 A primeira Lei da Termodinâmica (2.36) também pode ser expressa no sistema de 
coordenadas isobáricas, se levarmos em conta que
Dt
Dp
≡ω e expandindo 
Dt
DT
 usando 
(3.3): 
J
p
T
y
T
v
x
T
u
t
T
pc =αω−





∂
∂
ω+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
Que pode ser reescrita como: 
pc
J
pSy
T
v
x
T
u
t
T
=ω−





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 
(3.6) 
Sendo, que com o auxílio da Equação de Poisson, temos: 
 3 
p
T
p
T
ppc
RT
pS ∂
θ∂
θ
−=
∂
∂
−≡ 
(3.7) 
Que é o parâmetro de estabilidade estática para um sistema isobárico. Usando (2.43) e a 
equação hidrostática, (3.7) pode ser reescrita como: 
g
d
pS ρ
Γ−Γ
= 
Deste modo Sp é positivo quando a taxa de resfriamento é menor que a taxa de 
resfriamento adiabática seca. Todavia, como a densidade decresce exponencialmente 
com a altura, Sp aumenta rapidamente com a altura. Esta forte dependência com a altura 
da medida da estabilidade Sp é uma desvantagem do sistema de coordenadas isobáricas. 
 
ESCOAME�TOS BALA�CEADOS EM EQUILIBRIO. 
 Embora as equações governantes sejam complexas, os movimentos da escala 
sinótica são relacionados por balanços aproximados e simples de forças que atuam na 
atmosfera. Ainda mais, longe de fenômenos localizados da intensa atividade convectiva, 
os movimentos são muito aproximadamente horizontais. O tratamento destes balanços 
pode ser simplificado ainda com uso das coordenadas naturais em duas dimensões. 
Neste sistema o eixo x é orientado na direção do fluxo e substituído por tˆ o eixo y é 
orientado perpendicular e na direção do fluxo, de modo que a orientação positiva fique a 
esquerda do fluxo (figura 3.1) e substituído por nˆ . A direção para cima permanece a z 
dada pelo versor kˆ . 
 
Figura 3.1: Representação esquemática do sistema de coordenadas naturais 
Neste sistema a velocidade horizontal do vento pode ser escrita como tˆvV =
r
, sendo 
V
r
, a velocidade horizontal, um escalar não negativo definido como: 
Dt
Ds
V ≡
r
, sendo s 
(x, y, t) a curva seguindo o movimento da parcela no plano horizontal. A aceleração 
seguindo o movimento é deste modo: 
 4 
Dt
tˆD
V
Dt
DV
tˆ
Dt
VD r
r
+= 
A taxa de mudança de tˆ seguindo o movimento pode ser obtida da figura 3.2. 
 
Figura 3.2: A taxa de mudança de tˆ seguindo o movimento. 
Tem-se através da figura que: 
tˆ
tˆ
tˆ
R
s
δ=
δ
=
δ
=δψ 
Sendo R o raio de curvatura seguindo o movimento da parcela e usando o fato que 
tˆ =1. Por convenção R é positivo quando o centro de curvatura é na direção positiva de 
n. Para R > 0 a parcela vira para a esquerda e para R < 0 a parcela vira para a direita. No 
limite quando δs → 0, tˆδ é está paralelo a nˆ , e a relação acima dá: 
R
nˆ
Ds
tˆD
= e deste 
modo: 
V
R
nˆ
Dt
Ds
Ds
tˆD
Dt
tˆD
== 
e 
R
V
nˆ
Dt
VD
tˆ
Dt
VD 2
+=
rr
 
(3.8) 
 Isto é, a aceleração seguindo o movimento é a soma da taxa de variação de 
velocidade na direção do movimento e a força centrípeta devido a curvatura. No 
Hemisfério Sul (HS) a força de Coriolis atua para a esquerda do movimento, portanto 
em coordenadas naturais: 
nˆfVVkˆf −=×−
r
 
E a força de gradiente de pressão pode ser expressa: 
 5 






∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
−=Φ∇−
n
nˆ
s
tˆp 
 Assim, as equações de movimento horizontal em coordenadas naturais do 
escoamento horizontal são dadas por: 
sDt
DV
∂
Φ∂
−= 
(3.9) 
n
fV
R
V 2
∂
Φ∂
−=+ 
(3.10) 
 As duas equações expressam os balanços (ou equilíbrios) de forças na direção 
paralela e na direção perpendicular ao movimento, respectivamente. Se o movimento 
(fluxo) é paralelo aos contornos geopotenciais 0
s
=
∂
Φ∂
 a velocidade é constante 
seguindo o movimento. Se, o tetancons
n
=
∂
Φ∂
 isto implica que o raio de curvatura da 
trajetória também é constante. E neste caso o fluxo pode ser classificado em diversas 
categorias, dependendo da contribuição relativa dos três termos em (3.10). 
 
FLUXO GEOSTRÓFICO 
 Fluxo em uma linha reta (isto é, R →± ∞) paralelo aos contornos de altura é 
referido como vento geostrófico. Nesse caso designamos V = Vg,e o vento geostrófico 
pode ser escrito como: 
n
fVg ∂
Φ∂
−= 
(3.11) 
Este vento estáem exato movimento geostrófico se os contornos de altura são paralelos 
aos círculos de latitude. Como discutido no capítulo anterior, o vento geostrófico em 
geral é uma boa aproximação para o vento real em distúrbios extratropicais em escala 
sinótica. Todavia, em alguns casos especiais, que serão tratados a seguir isto não é 
verdadeiro. 
 
FLUXO I�ERCIAL 
 Se o campo geopotencial é uniforme, ou , 0
n
,
s
=
∂
Φ∂
∂
Φ∂
, a equação (3.10) reduz-se 
ao balanço entre a Força de Coriolis e a Força Centrifuga: 
0fV
R
V 2
=+ 
(3.12) 
 6 
Ou seja: 
f
V
R −= 
 No caso do Hemisfério Sul, f < 0 e, portanto, R > 0. O que corresponde a uma 
circulação anticiclônica (anti-horária no HS). O mesmo ocorre para o Hemisfério Norte, 
pois, quando f > 0, R < 0. O período P desta oscilação é: 
ϕ
=
ϕΩ
π
=
π
=
π
=
sen
dia
sen2
12
f
2
V
R2
P 2
1
 
(3.13) 
 Este período funciona como uma escala de tempo intrínseca, denominada meio 
dia pendular (por coincidir com o período de rotação de um Pêndulo de Foucant) e pode 
ser usada para determinar se um dado fenômeno de escala temporal típica T é ou não 
influenciado pela rotação da Terra. A razão entre as duas escalas de tempo (T e P) é na 
realidade, a razão entre a aceleração local e a aceleração de Coriolis e pode ser 
considerada como um segundo número de Rossby. Quanto mais lento (maior T) for o 
fenômeno estudado, mais importante torna-se a Força de Coriolis, que deve ser 
necessariamente incluída na equação do movimento. O meio dia pendular varia de 12h 
nos pólos até o infinito no Equador (ou seja, no Equador o plano de oscilação de um 
pêndulo de foucalt simplesmente não gira). 
 O balanço inercial tende a ser mais facilmente notado nos oceanos, através, por 
exemplo do movimento à deriva das massas de gelo (icebergs). 
 
FLUXO CICLOSTRÓFICO 
 Se a escala horizontal de um distúrbio é bastante pequena, a Força de Coriolis 
pode ser desprezada em comparação a força de gradiente de pressão e a força centrífuga 
na equação (3.10). O balanço das forças normais à direção do escoamento é então: 
nR
2V
∂
Φ∂
−= 
Resolvendo esta equação para V: 
2
1
n
RV 





∂
Φ∂
−= 
(3.14) 
Este movimento pode ser tanto ciclônico quanto anticiclônico. No entanto, em ambos os 
casos a força de gradiente de pressão é dirigida para o centro e a força centrípeta para 
fora da trajetória circular da parcela. 
 7 
 Este movimento é possível se a força centrífuga é muito maior que a de Coriolis. 
A razão entre as duas forças é V/f R, e é equivalente ao número de Rossby. Este tipo de 
movimento é observado, por exemplo, nos redemoinhos que freqüentemente ocorrem 
no verão. 
 
Figura 3.3: Movimento ciclostrófico em torno do centro de baixa pressão e equilíbrio de forças. 
 
APROXIMAÇÃO DO VE�TO GRADIE�TE 
 Na ausência de atrito, o escoamento horizontal, paralelo às isóbaras e sem 
aceleração 




 = 0
Dt
DV
 é chamado “escoamento gradiente”. Uma vez que o vento 
gradiente leva em consideração também a força centrífuga, ele é uma aproximação 
melhor que o vento geostrófico para representar o vento real. Vento gradiente é obtido 
se resolvermos (3.10) para V: 
2
1
n
R
4
2R2f
2
fR
V








∂
Φ∂
−±−= 
(3.15) 
 Dependendo dos sinais de
n∂
Φ∂
 R (em um dado hemisfério) tem-se várias soluções 
matemáticas. Algumas delas não representam situações fisicamente possíveis. A Figura 
3.4 abaixo esquematiza os quatro tipos de balanço de forças possíveis e os sentidos dos 
movimentos gradiente associados para o Hemisfério Sul. 
 Deve-se lembrar que: 
f < 0 no HS e f > 0 no HN. 
 A equação (3.15) mostra que em centros de alta pressão 0
n
>
∂
Φ∂
, e no HS R > 0, 
portanto 0
n
R >
∂
Φ∂
→
n∂
Φ∂
é limitado tal que: 
 8 
0
n
R
4
2R2f
>








∂
Φ∂
− 
(3.16) 
→
n∂
Φ∂
< 0
n4
R2f
→
∂
Φ∂
⇒ para R→0. 
É por esta razão que o campo de pressão próximo ao centro da alta pressão é sempre 
achatado. 
 Em todos os casos, exceto no centro de baixa pressão anômalo, as forças de 
gradiente de pressão e de Coriolis são opostas. Este escoamento é chamado “bárico”. O 
movimento anômalo em torno de baixa pressão é antibárico. 
 
Figura 3.4: Equilíbrio de forças em quatro tipos de escoamento gradiente no HS, (a) baixa 
regular, (b) alta regular, (c) baixa anômala, (d) alta anômala. 
 
 Nota-se que Rf > 0 significa escoamento ciclônico em ambos os hemisféricos. 
Podemos escrever a equação do vento gradiente da seguinte forma: 
0gfVfVR
2V
=−+ 
Dividindo por fV mostramos que a razão entre o vento geostrófico e o vento gradiente 
é: 
fR
V
1
V
gV
+= 
(3.17) 
 9 
Para o escoamento ciclônico normal (fR > 0) Vg > V. Ou seja, o vento gradiente é mais 
fraco que o vento geostrófico. Mas para um anticiclone, Vg < V. Por esta razão, o vento 
geostrófico é uma superestimativa do vento real na região de baixa pressão e é 
subestimativa na região de alta pressão. A diferença, geralmente, entre V e Vg é da 
ordem de 10 – 20%. (Note que a magnitude de 
fR
V
é exatamente o número de Rossby). 
Para distúrbios tropicais, o número de Rossby é entre 1 e 10, e a fórmula do vento 
gradiente preferivelmente ao vento geostrófico. A equação (3.17) mostra também que 
para escoamento anômalo antibárico (em torno de baixa pressão) em que Vg < 0, pode 
existir somente quando 
fR
V
< -1. Deste modo, o escoamento antibárico está associado 
com vórtices intensos de pequena escala tais como tornados. 
 
TRAJETÓRIA E LI�HA DE CORRE�TE 
Trajetória: é o caminho percorrido por uma parcela durante um período finito de 
tempo. Se s(x, y,t) é a trajetória, )t,y,x(v
Dt
Ds
= é a velocidade da parcela. 
Linha de Corrente: a linha ou curva que está paralela ao vento em todos os seus pontos 
num dado instante. Uma vez que o vento é tangencial á linha de corrente, ela é 
determinada por integração da equação: 
)t,y,x(u
)t,y,x(v
dx
dy
0
0= 
Sendo u, v as componentes do vento nas direções x e y. No estado permanente, i.e., sem 
mudanças temporais na velocidade do vento, as trajetórias coincidem com as linhas de 
corrente. Em geral sistemas sinóticos não são estacionários e deslocam-se com 
velocidades da ordem de magnitude do vento. Uma relação entre o raio de curvatura das 
trajetórias ( Rt) e das linhas de corrente( Rs) é dada por 




 γ−=
V
cosC
1RR ts onde C é 
a velocidade “constante” de “padrão” do campo de pressão, γ é o ângulo entre as linhas 
de corrente e a direção do movimento do sistema e V é vento. 
LISTA: Determine a relação entre Rs e Rt. Entregar dia 26/11. 
 
 
 
 10 
VE�TO TÉRMICO 
 O conceito de vento térmico é fundamental no estudo dos fluídos geofísicos, pois 
ele existe somente na presença de rotação. O vento térmico (na realidade, não é um 
vento real) pode ser definido como a taxa vertical (ou cisalhamento vertical) do vento 
geostrófico. Seu nome vem do fato que a diferença entre os ventos geostróficos em dois 
níveis verticais envolve a espessura da camada, e, por conseguinte a temperatura (ou 
melhor, a variação horizontal da temperatura). 
 Quando a temperatura varia na horizontal, o vento geostrófico varia na vertical 
(cisalhamento vertical), devido ao equilíbrio hidrostático. Para se ter uma idéia de como 
seria essa variação horizontal dos campos de temperatura, consideremos um campo de 
pressão decrescendo uniformemente de uma região quente, próxima ao Equador para 
uma região fria próxima ao Pólo Sul. 
 Da equaçãohidrostática temos: 
 
RT
g
z
p
p
1
g
z
p1
−=
∂
∂
→−=
∂
∂
ρ
 
(3.25) 
 
 As equações para a taxa de mudança das componentes do vento geostrófico com a 
altura são derivadas usando o sistema de coordenadas isobárico. Em coordenadas 
isobáricas o vento geostrófico tem componentes dadas por: 
xf
1
vg ∂
Φ∂
= e 
yf
1
ug ∂
Φ∂
−= 
(3.26) 
 Com a ajuda da Lei dos gases ideais podemos reescrever a equação hidrostática 
como: 
p
RT
p
−=α−=
∂
Φ∂
 
(3.27) 
 Diferenciando (3.26) com respeito a pressão e aplicando (3.27) obtemos: 
p
gg
x
T
f
R
pln
v
p
v
p 





∂
∂
−=
∂
∂
≡
∂
∂
 
(3.28) 
 
p
gg
y
T
f
R
pln
u
p
u
p 





∂
∂
−=
∂
∂
≡
∂
∂
 
(3.29) 
Ou em forma vetorial: 
 11 
Tkˆ
f
R
pln
V
p
g ∇×−=
∂
∂
r
 
(3.30) 
 A equação (3.30) é sempre referida com equação do Vento Térmico. Na verdade 
ela é uma relação para o cisalhamento vertical do vento (que é a taxa de mudança do 
vento geostrófico com respeito ao lnp). 
 
ADVECÇÃO TÉRMICA 
 Estritamente falando o termo vento térmico refere-se a diferença vetorial entre o 
vento geostrófico em dois níveis. Vamos designar o vetor vento térmico por TV
r
e 
integrar (3.30) entre os níveis de pressão p0 ate p1 (p1<p0): 
( )∫ ∇×−=−≡
1
0
p
p
p0g1gT plndYkˆ
f
R
)p(V)p(VV
rrr
 
(3.31) 
 Se T é designada a temperatura média da camada entre p0 e p1, as componentes 
x e y do vento térmico são dadas por: 














∂
∂
−=
1
0
p
T
p
p
ln
y
T
f
R
u e 













∂
∂
−=
1
0
p
T
p
p
ln
x
T
f
R
v 
(3.32) 
 Alternativamente, nós podemos expressar o vento térmico para uma dada camada 
em termos do gradiente horizontal da diferença geopotencial entre o topo e o limite 
inferior da camada: 
( )01T
yf
1
u Φ−Φ
∂
∂
−= e ( )01T
xf
1
v Φ−Φ
∂
∂
−= 
(3.33) 
 
 Sendo Φ1 e Φ0 alturas geopotencial das isóbaras p1 e p0, respectivamente. 
Lembrando – se que: 






=Φ−Φ≡Φδ
1
0
01
p
p
lnTR 
(3.34) 
 é a espessura da camada entre isóbaras p1 e p0, e é uma função da temperatura média 
desta camada, podemos escrever, ainda: 
( )01T kˆ
f
1
V Φ−Φ∇×=
r
 
 
 12 
 Ou seja, como sabemos que isolinhas de espessura e isotermas são sinônimos, 
podemos dizer que vento térmico “sopra” paralela às isotermas, mantendo temperaturas 
quentes para sua esquerda no HS e a direita no HN. 
 Na Figura 3.6 0gV
r
 e 1gV
r
 são ventos geostróficos nos níveis p0 e p1, 
respectivamente. Pode-se verificar que giro ciclônico (horário HS) do vento geostrófico 
com altura significa advecção de ar quente nos ambos hemisférios. Giro anticiclônico 
(anti-horário HS) do vento geostrófico com altura significa advecção de ar frio. Nas 
figuras acima o vento geostrófico médio da camada está direcionada das regiões frias 
para regiões quentes. Nesta situação a advecção é quente. Enquanto na figura de baixo a 
advecção é fria. 
 
 
Figura 3.6: Vento térmico e sua relação com a advecção térmica. 
 
ATMOSFERA BAROTRÓPICA E BAROCLI�ICA 
 Atmosfera Barotrópica é aquela na qual a densidade depende somente de pressão. 
Isto é, ( )pρ=ρ , Isto significa que numa superfície p = constante, T = constante e ρ = 
constante. Ou, superfícies isobáricas numa atmosfera barotrópica são isopícnicas e 
isotérmicas também. Portanto: 
0Tp =∇ 
Em uma atmosfera barotrópica, e a equação do vento térmico (3.30) torna-se: 
 13 
0
pln
Vg =
∂
∂
r
 
 
 Isto é, vento térmico é nulo, ou variações dos movimentos horizontais (ventos) na 
vertical são nulas. Portanto, em uma atmosfera barotrópica, centro ciclônicos e 
anticiclônicos mantém a mesma estrutura em toda sua profundidade, ou seja, a estrutura 
escoamento atmosférico é função de apenas (x, y, t). Esta é uma restrição forte sobre 
movimentos atmosféricos da escala sinótica. Todavia, existem situações em que a 
atmosfera se comporta aproximadamente desta maneira. 
 Uma atmosfera em que a densidade depende de ambos a temperatura e pressão, 
( )T,pρ=ρ , é chamada Atmosfera Baroclínica. Em uma atmosfera baroclínica o vento 
geostrófico tem um cisalhamento vertical, e este cisalhamento é relacionado com o 
gradiente de temperatura horizontal pela equação do vento térmico (3.30). Obviamente, 
a atmosfera baroclínica é de fundamental importância em dinâmica meteorológica.