Medidas de Dispersão em Estatística

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - GST1079 
5 - MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
Calcule a média das séries: 
X = 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10 
Y = 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13 
W = 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13 
 
5.1 - VARIÂNCIA 
 
Muitas vezes o cálculo da média para um conjunto de valores não é suficiente para ca-
racterizar uma distribuição ou conjunto de valores. 
As medidas de dispersão proporcionam um conhecimento mais completo do fenômeno a 
ser analisado, permitindo estabelecer comparações entre fenômenos de mesma natureza 
e mostrando até que ponto os valores se distribuem acima ou abaixo da tendência cen-
tral. 
 
5.1.1 - Definição 
É a média dos quadrados dos desvios dos valores observados a partir da média. 
 
5.1.2 - Determinação 
 Dados não tabulados: 
n
XX i 

2
2 )(  para dados populacionais 
1
)(
2
2




n
XX
S
i  para dados amostrais 
 Dados tabulados: 
n
fiXX i 

2
2 )(  para dados populacionais 
1
)(
2
2




n
fiXX
S
i  para dados amostrais 
 
 
 
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5.1.3 - Propriedades 
1ª - Somando ou subtraindo, um valor constante e arbitrário, a cada elemento de um con-
junto de números, a variância não se altera. 
2ª - Multiplicando ou dividindo, por um valor constante e arbitrário, cada elemento de um 
conjunto de números, a variância fica multiplicada ou dividida pelo quadrado da constan-
te. 
 
5.2 - Desvio Padrão 
 
5.2.1 - Definição 
É a raiz quadrada da variância. 
 
5.2.2 - Determinação 
2 
  para dados populacionais 
 
2
SS 
  para dados amostrais 
 
5.2.3 - Propriedades 
1ª - Somando ou subtraindo, um valor constante e arbitrário, a cada elemento de um con-
junto de números, o desvio padrão não se altera. 
2ª - Multiplicando ou dividindo, por um valor constante e arbitrário, cada elemento de um 
conjunto de números, o desvio padrão fica multiplicada ou dividida pela constante. 
 
5.3 - Coeficiente de Variação 
 
5.3.1 - Definição 
É a comparação, em percentual, entre o desvio padrão e a média. 
 
5.3.2 - Determinação 
100.
X
CV


 para dados populacionais 
 
100.
X
S
CV 
  para dados amostrais 
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Exemplos: 
Analise a variabilidade das amostras: 
X = 2, 8, 10, 15, 20, 22, 30 
Y = 10, 9, 15, 40, 22, 34, 8 
 
Determinar a variância para os dados populacionais abaixo: 
Xi fi 
12 11 
13 26 
15 20 
17 33 
 
Determinar a variância para os dados amostrais abaixo: 
 Xi fi 
22 |— 24 5 
24 |— 26 25 
26 |— 28 20 
28 |— 30 17 
30 |— 32 12 
 
A realização de um certo trabalho gasta um número de horas que foram anotados abaixo. 
Construir a tabela de frequências adequada. Determinar as medidas de posição e de dis-
persão. Anali9se a variabilidade. 
 
 
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6 6 7 8 8 9 10 11 12 12 
6 6 7 8 8 9 10 11 12 12 
6 6 8 8 9 9 10 11 12 12 
6 6 8 8 9 10 10 11 12 12 
6 6 8 8 9 10 10 11 12 12 
6 7 8 8 9 10 10 11 12 12 
6 7 8 8 9 10 10 11 12 12 
6 7 8 8 9 10 10 11 12 12 
6 7 8 8 9 10 11 11 12 12 
6 7 8 8 9 10 11 11 12 12 
 
Observadas as estaturas de 150 estudantes, construir a distribuição de frequências ade-
quada. Determinar as medidas de posição e de dispersão. Anali9se a variabilidade. 
 
145 148 153 158 160 164 166 171 174 177 
145 150 154 158 160 164 166 171 174 178 
145 150 154 158 161 164 167 171 174 178 
145 150 154 158 161 164 167 171 174 178 
145 150 155 158 161 165 167 171 174 178 
146 150 155 158 161 165 167 172 174 179 
146 150 156 158 161 165 167 172 175 179 
146 150 156 158 162 165 167 172 175 179 
146 151 157 159 162 165 168 173 175 179 
146 151 157 159 162 165 168 173 175 179 
146 151 157 159 162 166 169 173 175 179 
148 152 157 159 163 166 169 173 176 179 
148 152 157 159 164 166 170 173 176 180 
148 152 158 159 164 166 170 173 177 180 
148 153 158 159 164 166 171 174 177 180 
 
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EXERCÍCIOS 
1) Dois estudantes obtiveram os seguintes resultados em 5 provas, realizadas ao lon-
go do ano letivo: 
A = 40 - 50 - 60 -70 - 80 
B = 20 - 40 - 60 - 80 - 100 
Analisar a performance dos 2 alunos. 
 
2) Um teste foi aplicado a dois grupos de 50 alunos e apresentou os seguintes resulta-
dos: 
Grupo Média das No-
tas 
Desvio Padrão das 
Notas 
A 6 2 
B 6,2 1,5 
Baseado no coeficiente de variação analise os resultados. 
 
3) Uma empresa fabricante de pneumáticos desenvolveu um novo produto com um 
cordel que proporciona maior resistência às flexões repetidas e maior resistência à 
tração do que o original. Tendo submetido esse componente à prova, chegou-se à 
conclusão de que a resistência às flexões repetidas, testada em um aparelho de 
dobrar cordéis, foi em média de 139 minutos com desvio padrão de 15 minutos con-
tra a média de 88 minutos e desvio padrão de 14 minutos do cordel comum. Analise 
esses resultados. 
 
4) Considere a amostra de valores abaixo e calcule a variância e o desvio padrão. 
a) 10, 20, 12, 17, 16 
b) 27, 25, 20, 15, 30, 34, 28, 25 
 
5) Realizou-se uma prova para duas turmas, cujos resultados foram os seguintes: 
Turma A: 
AX
= 5 e SA = 2,5 
Turma B: 
BX
= 4 e SB = 2 
Esses resultados permitem afirmar que: 
a) a turma B apresenta maior dispersão absoluta; 
b) a dispersão absoluta é igual para ambas as turmas; 
c) a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta; 
d) a dispersão relativa e a absoluta para a turma B são iguais; 
e) a dispersão relativa da turma A é igual à turma B. 
 
 
6) A tabela abaixo representa a vida útil de postes telefônicos de madeira: 
ANOS No. DE POSTES SUBSTITUÍDOS 
 0,5 |— 2,5 11 
 2,5 |— 4,5 47 
 4,5 |— 6,5 87 
 6,5 |— 8,5 134 
 8,5 |— 10,5 200 
10,5 |— 12,5 198 
12,5 |— 14,5 164 
14,5 |— 16,5 102 
16,5 |— 18,5 48 
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18,5 |— 20,5 6 
20,5 |— 22,5 3 
Calcular: 
a) O desvio padrão. 
b) O coeficiente de variação. 
 
7) O Los Angeles Times regularmente publica o índice da qualidade do ar para várias 
áreas da Califórnia do Sul. Uma amostra de valores do índice da qualidade do ar 
para Pomona forneceu os seguintes dados: 28, 42, 58, 48, 45, 55, 60, 49 e 50. 
a) Calcule a variância e o desvio padrão; 
b) Uma amostra de leituras do índice da qualidade do ar para Anaheim forneceu 
uma média de amostra de 48,5 , uma variância de 136 e um desvio padrão de 
11,66. Que comparações você pode fazer entre a qualidade do ar em Pomona e em 
Anaheim com base nessas estatísticas? 
 
8) Dada a distribuição de salários, determinar: 
a) A variância; b) O desvio padrão; c) O coeficiente de variação. 
SALÁRIOS fi 
 20 |— 25 10 
 25 |— 30 15 
 30 |— 35 20 
 35 |— 40 18 
 40 |— 45 5 
 
9) A Davis Manufacturing Company acabou de completar cinco semanas de trabalho 
usando um novo processo que se supõe aumenta a produtividade. O número de 
peças produzidas em cada semana foram 410, 420, 390, 400 e 380. Calcule a vari-
ância e o desvio padrão da amostra. 
 
10) A tabela abaixo representa a porcentagem de bactérias encontradas por cm em 100 
amostras de determinado produto. Calcular: 
a) A variância; 
b) O desvio padrão; 
c) O coeficiente de variação. 
% fi 
 0 |— 0,1 2 
 0,1 |— 0,2 5 
 0,2 |— 0,3 10 
 0,3 |— 0,4 15 
 0,4 |— 0,5 18 
 0,5 |— 0,6 18 
 0,6 |— 0,7 150,7 |— 0,8 10 
 0,8 |— 0,9 5 
 0,9 |— 1,0 2 
 
11) As contagens de ponto de um jogador de boliche em seis jogos foram 182, 168, 184, 
190, 170 e 174. Usando esses dados como uma amostra, calcule as seguintes es-
tatísticas: 
a) Variância; 
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b) Desvio padrão; 
c) Coeficiente de variação. 
 
12) Determinar o coeficiente de variação dos dados da tabela seguinte: 
Xi fi 
 2 |— 4 2 
 4 |— 6 8 
 6 |— 8 10 
 8 |— 10 8 
 10 |— 12 2 
 
13) A distribuição de freqüências seguinte representa o número de peças defeituosas 
produzidas por uma máquina em 31 dias de observação. Calcular o desvio padrão 
do número de peças defeituosas. 
No. de Peças Defeituosas 0 1 2 3 4 
No. de Dias 3 5 15 5 3 
 
14) A distribuição de freqüências dos pesos de cem operários de uma fábrica é a se-
guinte: 
Pesos No. de Operários 
 50 |— 58 10 
 58 |— 66 15 
 66 |— 74 25 
 74 |— 82 24 
 82 |— 90 16 
 90 |— 98 10 
Calcular o desvio padrão dos pesos dos cem operários. 
 
15) A distribuição da renda semanal proveniente do aluguel de duzentas casas perten-
centes a uma empresa imobiliária encontra-se na tabela abaixo: 
Renda Mensal No. de Casas 
 75 |— 125 12 
 125 |— 175 26 
 175 |— 225 45 
 225 |— 275 60 
 275 |— 325 37 
 325 |— 375 13 
 375 |— 425 7 
Calcular o desvio padrão da renda mensal. 
 
16) Seja a seguinte tabela de freqüências: 
Xi Fi 
 100 |— 200 2 
 200 |— 300 22 
 300 |— 400 52 
 400 |— 500 22 
 500 |— 600 2 
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Calcular o coeficiente de variação da distribuição. 
 
17) Uma empresa tem duas filiais praticamente idênticas quanto às suas características 
funcionais. Um levantamento sobre os salários dos empregados dessas filiais resul-
tou nos seguintes valores: 
Filial A: 
AX
= 400 e SA = 20 
Filial B: 
BX
= 500 e SB = 25 
Podemos afirmar, com base nesses resultados, que: 
a) em termos relativos, os salários das duas filiais não diferem quanto ao grau de 
dispersão; 
b) as dispersões dos salários, tanto a absoluta como a relativa, são iguais; 
c) a dispersão absoluta é igual à dispersão relativa em ambos os casos; 
d) a filial A apresentou menor dispersão relativa e absoluta; 
 
18) Os preços para a população dos 15 modelos básicos de máquinas de café são 
apresentados a seguir (Consumer Report 1995 Buying Guide). 
MODELO PREÇO ($) MODELO PREÇO ($) MODELO PREÇO 
Mr. Coffe 
PR12A 
27 Mr. Coffe PR16 25 Braun B 60 
Krups 50 Mr. Coffe 
BL110 
22 Proctor 42401 35 
Proctor 42301 20 Braun 35 Krups B 40 
B&D 901 22 Bunn 40 Melitta 30 
B&D 900 20 West Bend 35 Betty Crocker 19 
Calcule a variância e o desvio padrão para essa população.