Medidas de dispersão

Prévia do material em texto

Estatística Básica 
 
 
1 
 
Medidas de Dispersão 
 
Até aqui, vimos que média,mediana e moda são valores que podem servir de 
comparação, mas, fundamentalmente, fornecem a posição de qualquer elemento do 
conjunto. Mas para interpretar dados estatísticos, mesmo aqueles já 
convenientemente simplificados, é preciso conhecer a evolução desses dados. 
Um exemplo clássico para a compreensão da importância das medidas de 
dispersão é o da comparação de temperaturas entre cidades: saber que a 
temperatura média de duas cidades é de 24ºC não me diz muita coisa a respeito da 
variação dessas temperaturas. Em uma cidade, o dia pode ter iniciado muito frio e 
terminado muito quente; aqui, ocorreu uma grande variação da temperatura. 
Na outra cidade, o dia pode ter iniciado e terminado como 24º C; nesse caso, não 
haveria variação alguma de temperatura. 
 
Viu? Embora as médias sejam importantes, elas não são suficientes para as 
inferências estatísticas, por isso, precisamos de outras medidas. Vamos reforçar a 
importância das medidas de dispersão, por meio de um exercício. Consideraremos os 
três conjuntos abaixo, com seus respectivos valores: 
 
X: 70, 70, 70, 70, 70. 
Y: 68, 69, 70, 71, 72. 
Z: 5, 15, 50, 120, 160. 
 
Vamos calcular a média das idades dos três conjuntos: 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
Como podemos observar, os três conjuntos possuem a mesma média aritmética: 70. 
Mas também, podemos notar que o conjunto X é mais homogêneo do que os 
conjuntos Y e Z; o conjunto Y, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto Z; 
por fim, o conjunto Z é o mais todos. Viu? Mesmo possuindo a mesma média, os 
Estatística Básica 
 
 
2 
 
conjuntos apresentam comportamentos muito diferentes. A isso chamamos de 
dispersão. 
 
A estatística recorre às medidas de dispersão (ou de variabilidade) quando deseja 
qualificar os valores de uma variável, ressaltando a maior ou menor dispersão entre 
esses valores e a sua medida de posição. Dessas medidas de dispersão, estudaremos 
apenas o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
 
 
 
1º Caso- Variância e desvio Padrão – Dados Não agrupados 
 
A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios: 
 
( ) ( )
n
xx
f
xx
s
2
i
i
2
i2 

 −
=
−
= 
 A variância é um número em unidade quadrada em relação a média, por isso, 
definiu-se o desvio padrão como a raiz quadrada da variância. 
 
O desvio padrão é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios. 
 
 Para evitar o acúmulo de erro por arredondamento, simplifica-se o cálculo do 
desvio padrão com a seguinte: 
( )
( )
n
x
xxx
i
ii
2
22  −=− 
que resulta em: 
2
i
2
i
n
x
n
x
s








−=

 
 
Obs: Quando calcula-se a variância ou o desvio padrão de uma população através de uma 
amostra dessa, deve-se substituir o denominador n por n-1. 
 
Exemplo 1: Determine: a média, a variância e o desvio padrão dos conjuntos de dados: 
 
X: 70, 70, 70, 70, 70. 
Y: 68, 69, 70, 71, 72. 
Z: 5, 15, 50, 120, 160. 
 
Estatística Básica 
 
 
3 
 
 
Exemplo 2: Os dados abaixo representa a idade dos jovens matriculados em 
um curso profissionalizante. Determine o desvio padrão. 
 
15 16 17 18 19 20 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Caso – Variável Discreta – Dados Agrupados 
 
 
 E desvio padrão e variância dados por: 
2
ii
2
ii
n
)xf(
n
)xf(
s







 
−

=

 
 
 
Exemplo1: Determine a média, o desvio padrão e variância: 
 
i Qtde de filhos que se 
deseja ter (xi) 
fi fi. xi fi. xi
2 
1 0 2 
2 1 6 
3 2 12 
4 3 7 
5 4 3 
Total 30 
 
 
Exemplo 2: Um grupo de adolescentes foi entrevistado sobre o número de vezes que 
utilizaram droga injetável. Os resultados foram: 
 
Determine: a média, moda, mediana e desvio padrão. 
 
 
Estatística Básica 
 
 
4 
 
 
3º Caso -Variável Contínua 
 
 Se os dados estão apresentados na forma de variável contínua, utilizaremos a 
média aritmética ponderada, considerando as freqüências simples das classes como sendo 
as ponderações dos pontos médios destas classes. 
 O ponto médio, de cada classe é definido por: 
 
X = Ls + Li→ de cada classe 
2 
 
A fórmula de cálculo x é dada por: 
 
x = ∑ Xi .fi 
 ∑ fi 
 
 Edesvio padrão e variância dados por: 
2
ii
2
ii
n
)xf(
n
)xf(
s







 
−

=

 
 
Exemplo1:Determine a média, o desvio padrão e variância: 
 
i Total de Pontos xi fi fixi fixi
2 
1 150 |- 154 152 4 
2 154 |- 158 156 9 
3 158 |- 162 160 11 
4 162 |- 166 164 8 
5 166 |- 170 168 5 
6 170 |- 174 172 3 
 Total 40 
 
Exemplo2 : Determine a média, o desvio padrão e variância: 
 
 
 
Estatística Básica 
 
 
5 
 
 
 
Coeficiente de variação (CV) 
 
É uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau 
de concentração em torno da média de séries distintas. 
 
 
O coeficiente de variação é expresso em porcentagem. 
 
 
 
Exemplo 1 : Uma dona de casa pesou 10 potes de manteiga e verificou que a média dos 
pesos dos potes era de 500 g, com variação entre cada pesagem, indicando um desvio 
padrão de 25 g. Ela repetiu a experiência com pacotes de arroz e verificou que a média 
dos pesos dos pacotes de arroz era 5000 g com variação de peso entre os pacotes 
representados pelo desvio padrão de 100 g. 
Manteiga Arroz 
média = 500 média = 5000 
desvio padrão = 25 desvio padrão = 100 
Qual dos produtos apresentou maior variação em seus pesos? Justifique a sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Básica 
 
 
6 
 
Exemplo 2 : Numa empresa o salário médio dos homens é de R$ 4.000,00 com um desvio 
padrão de R$1.500,00, e o das mulheres é na média de R$ 3.000,00 com desvio padrão 
de R$1.200,00. Qual dos sexos apresenta maior dispersão. (Analise pelo C.V.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
1- Um professor está interessado em comparar o desempenho de suas diferentes turmas. 
• Turma A:30 45 45 50 50 
• Turma B:10 20 40 75 75 
Então, calcule: 
a) A média das notas de cada turma; 
b) A variância e o desvio padrão das notas de cada turma; 
c) Para ajudar professor, diga qual das turmas apresenta maior variabilidade 
de desempenho. 
 
2 – Um hospital realiza coletas de sangue diárias. O número de doadores por semana 
dos sete registros foi respectivamente: 73; 98; 66; 84; 71; 92; 89. Calcule média, a 
variância e o desvio padrão. 
 
3-Um farmacêutico comprou um material específico de dois diferentes fornecedores. Para 
comparar o nível de impurezas presentes nas compras feitas aos dois fornecedores, o 
farmacêutico mediu a porcentagem de impurezas presentes em cada um dos grupos, 
obtendo o que segue: 
 
Fornecedor A: 1,82,5 1,5 1,2 1,0 
Fornecedor B: 1,62,5 1,2 2,3 1,5 
 
Qual das compras apresenta maior uniformidade nas impurezas? Justifique 
adequadamente.
Estatística Básica 
 
 
7 
 
 
4- A tabela seguinte informa a participação percentual dos Estados da regiõa 
Nordeste no produto interno bruto (PIB) nacional. 
 
Alagoas 0,9% 
Bahia 4,4% 
Ceará 1,8% 
Maranhão 1,0% 
Paraíba 0,7% 
Pernambuco 2,3% 
Piauí 0,5% 
Rio Grande do Norte 0,9% 
Sergipe 0,5% 
 
Pede – se: 
a) Calcule a média, a variância e o desvio padrão dos percentuais acima. 
b) Quantos estados têm participação pertencente ao intervalo { média – 
0.5*desvio ; média + 0.5*desvio}? 
 
5- Em uma semana, a empresa X recebeu as seguintes quantidades de email: 
 
Diante disso, determine a amplitude total e o desvio padrão. 
 
6- Determine a variância e o desvio padrão. 
 
i Qtde de cursos de extensão 
realizados por ano (xi) pelos 
alunos do 3oMat 
fi fi. xi fi. xi
2 
1 1 2 
2 2 5 
3 3 8 
4 4 6 
5 5 3 
6 6 1 
 Total 25Estatística Básica 
 
 
8 
 
7- Um levantamento dos preços à vista de gasolina e de álcool, em alguns postos da 
cidade, está mostrado na tabela abaixo (em R$). 
 
Gasolina 2,61 2,64 2,56 2,61 2,60 2,58 
Álcool 1,90 1,79 1,88 1,81 1,88 1,84 
 
a) Qual é a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação dos preços de cada 
combustível? 
b) Qual é o combustível que tem seus preços mais homogêneos? 
 
8- Calcule a variância e o desvio padrão das distribuições abaixo: 
 
a) 
i 
Salário Mensal dos 
alunos do 3oMat [R$] 
xi fi fixi fixi
2 
1 450 |- 550 8 
2 550 |- 650 10 
3 650 |- 750 11 
4 750 |- 850 16 
5 850 |- 950 13 
6 950 |- 1050 5 
7 1050 |- 1150 1 
 Total 64 
 
 
b) 
i Peso kg xi fi fixi fixi
2 
1 30 |- 50 2 
2 50 |- 70 8 
3 70 |- 90 12 
4 90 |- 110 10 
5 110 |- 130 5 
 Total 37 
 
 
9- Abaixo são mostrados os saldos médios de 48 contas de clientes do BB Novo S.A. 
(dados brutos em US$ 1,00). 
450 500 150 100 250 275 550 500 225 475 150 450 950 300 800 275 
600 750 375 650 150 500 100 700 475 900 800 275 600 750 375 650 
150 500 225 250 150 120 250 360 230 500 350 375 470 600 130 270 
 
(a) Agrupe os dados numa distribuição de frequências com intervalo de classe. 
(b) Determine as frequências relativas simples. 
(c) Calcule média, variância e desvio padrão. 
Estatística Básica 
 
 
9 
 
 
 
10- Três grupos distintos de estudantes (identificados por I, II e III) realizaram uma 
mesma prova da disciplina Probabilidade Avançada. As provas foram corrigidas 
seguindo um mesmo critério e as notas poderiam variar de 0 a 10. As principais 
estatísticas obtidas para as provas desses três grupos estão apresentadas na tabela 
a seguir: 
 
Qual dos três grupos apresentou desempenho mais homogêneo nessa prova? Justifique a 
sua resposta com cálculos e/ou com palavras. 
 
 
 
11- Suponha que as notas finais de uma disciplina de programação foram: 
 3, 7, 4, 5, 1, 8, 4, 6, 5, 6, 2, 4, 6, 9, 8, 4, 5, 5, 6 
 
Separe os dados em dois grupos: “aprovados”, com nota maior ou igual que 5; 
“reprovados”, com nota menor que cinco. Quais são os valores aproximados de 
seus respectivos coeficientes de variação? 
 
 a) Aprovados = 27,17%; Reprovados = 35,67%. 
b) Aprovados = 17,18%; Reprovados = 11,2%. 
c) Aprovados = 63,3%; Reprovados = 31,4%. 
d) Aprovados = 22,35%; Reprovados = 28,18%. 
e) Aprovados = 8,1%; Reprovados = 15,31%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Básica 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Manteiga Arroz