4ª Lista Máximos e Mínimos

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4ª Lista – Máximos e Mínimos 
1. Funções definidas em um domínio aberto – Extremos Locais e Ponto de sela. 
1.1 Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 − 𝑦3 + 6𝑥𝑦 
Ache os pontos críticos e decida, se possível, a natureza desses pontos. 
1.2 A única mercearia em uma pequena comunidade rural vende duas marcas de 
suco de laranja congelado, que já vem em embalagens individuais. Uma marca é local e 
o comerciante a obtém ao custo unitário de 30 centavos. A outra marca é nacional e o 
comerciante a obtém ao custo unitário de 40 centavos. O comerciante estima que, se 
cada unidade do suco embalado da marca local for vendida a x centavos e cada unidade 
do suco embalado da marca nacional for vendida a y centavos, serão vendidas, 
diariamente, (70 − 5𝑥 + 4𝑦) unidades do suco da marca local e (80 + 6𝑥 − 7𝑦) 
unidades do suco da marca nacional. A que preço o comerciante deve vender a unidade 
de suco embalado de cada marca, de modo a maximizar o lucro diário das vendas de 
suco de laranja? 
Resposta: 
Função Lucro diário: 
𝑥 – preço de cada unidade de suco embalado da marca local 
𝑦 - preço de cada unidade de suco embalado da marca nacional 
𝐿(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 30)(70 − 5𝑥 + 4𝑦) + (𝑦 − 40)(80 + 6𝑥 − 7𝑦) 
O ponto (53,55) é ponto de máximo relativo. Nesse caso, (53,55) é o único ponto 
crítico da função lucro diário e como é um ponto de máximo relativo, então (53,55) 
será também o ponto onde a função lucro diário atinge o seu valor de máximo absoluto. 
Cada unidade do suco embalado de marca local deverá ser vendida a 53 centavos e cada 
unidade do suco embalado da marca nacional deverá ser vendida a 55 centavos. 
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2. Problemas de Máximos e Mínimos de funções sujeitas a vínculos (ou restrições) 
– máximos e mínimos condicionados. 
Vamos considerar funções 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) , onde as variáveis 𝑥, 𝑦 estão sujeitas a alguma 
restrição. 
2.1 Determine os pontos (𝑥0, 𝑦0) onde ocorre o valor de máximo absoluto e o valor 
de mínimo absoluto da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥 quando restrita à região plana 
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1. 
Resposta: O valor de mínimo absoluto é -1/4 e ocorre no ponto (
 1
2
, 0). O valor de 
máximo absoluto é 2
1
4
 e ocorre nos pontos (−
1
2
, ±√
3
2
). 
2.2 Encontre os valores da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 sujeita à restrição 
 𝑥2 + 𝑦2 = 8. 
Resposta: Valor de máximo absoluto é 4 e ocorre em (2,2) e (-2, -2). 
O valor de mínimo absoluto é -4 e ocorre em (2,-2) e (-2, 2). 
2.3 Um departamento de estradas está planejando construir uma área de descanso 
para motoristas ao longo de uma estrada. Essa área de descanso deve ser retangular, 
com uma área de 5.000 m2. O terreno da área de descanso será cercado nos fundos e 
nas laterais. Qual a quantidade mínima de cerca que será necessária para realizar o 
trabalho? 
Resposta - Meta: 
Minimizar a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 sujeita à restrição 𝑥𝑦 = 5.000. 
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Resposta: 𝑥 = 100 𝑚, 𝑦 = 50 𝑚 . Então devemos ter 200 m de cerca. 
2.4 Verifique se a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥 − 𝑦 + 1 sujeita ao vínculo 𝑦 = 𝑥 admite 
extremos relativos (máximos ou mínimos relativos). 
Observação 1: Funções contínuas definidas em um conjunto limitado e fechado 
(compacto) do plano. 
Exemplos de conjuntos compactos do plano: 
1. O disco fechado com centro no ponto (𝒙𝟎, 𝒚𝟎) e raio 𝒓, 𝒓 > 𝟎. 
𝐷((𝑥0, 𝑦0), 𝑟) = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 (𝑥 − 𝑥0)
2 + (𝑦 − 𝑦0)
2 ≤ 𝑟} 
Uma região desse tipo é o vínculo do problema 2.1. 
2. Uma curva fechada, como: 
𝛾 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥2 + 𝑦2 = 1} 
Que escrevemos, simplesmente, 𝑥2 + 𝑦2 = 1. Essa curva (circunferência de centro na 
origem e raio r=1) é a fronteira do disco fechado do problema 2.1. 
No problema 2.2, o vínculo é a circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 8, de centro na origem e raio 
r=√8. 
Teorema de Weierstrass 
O Teorema de Weierstrass, garante que toda função contínua, 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), definida 
em uma região compacta do plano, atinge um valor de máximo absoluto e um valor de 
mínimo absoluto. 
Assim uma função contínua, 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), cujas variáveis estão sujeitas a um vínculo que 
é uma curva como uma circunferência, que é curva fechada no plano, assumirá um 
valor de máximo e um valor de mínimo absoluto, quando restrita a essa curva. 
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Observação 2: O vínculo do problema 2.3 é a curva 𝑥𝑦 = 5.000, 𝑥 > 0 𝑒 𝑦 > 0. Essa 
curva, no modelo matemático adotado, não é um conjunto compacto, pois não é 
limitada. Mesmo assim, foi possível minimizar a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 sujeita à 
restrição dessa curva. Isso porque só foi detectado um único extremo relativo da função 
condicionado à restrição dada e, pelo fato do extremo relativo ser um mínimo relativo, 
condicionado à restrição imposta, temos que o ponto encontrado será mínimo absoluto. 
No entanto, quando o vínculo é uma curva que não é limitada, nada podemos afirmar 
sobre a existência de máximos e mínimos relativos ou absolutos, condicionados a esse 
vínculo. Veja exemplo 2.4. 
Observação 3. Vamos chamar de extremo absoluto (máximo ou mínimo absoluto) da 
função a um ponto (𝑥0, 𝑦0 ) do domínio onde a função atinge um valor de máximo 
absoluto ou de mínimo absoluto. Vamos chamar de extremo relativo ou extremo local 
(máximo ou mínimo relativo ou local) da função a um ponto (𝑥0, 𝑦0 ) do domínio onde 
a função atinge um valor de máximo relativo ou de mínimo relativo da função. 
Todo ponto onde a função atinge um valor de máximo ou mínimo absoluto é um ponto 
onde a função atinge um valor de máximo ou mínimo relativo. Isto é, todo ponto que é 
um extremo absoluto da função, é um ponto de extremo relativo da função. Mas a 
recíproca não é verdadeira - uma função pode ter pontos de extremos relativos que não 
sejam extremos absolutos.