APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 1: Matrizes

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ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 1 
ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
CAPÍTULO 1: 
MATRIZES 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
 
A Álgebra Linear é a área da Matemática que estuda os espaços vetoriais. Para iniciar esse estudo, 
examinar-se-ão as matrizes, os determinantes, diversos métodos diretos para resolver sistemas de equações 
lineares, os conceitos básicos de espaços vetoriais, o cálculo de autovalores e a diagonalização. 
 
1.2 MATRIZES 
 
Definição 1.1: Uma matriz numérica A de ordem nm × é um arranjo retangular de números dispostos em 
m linhas e n colunas, como mostra o seguinte esquema 












=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
A . 
De maneira compacta, uma matriz pode ser representada como 
[ ]
nmija ×=A 
onde os índices i e j denotam, respectivamente, o número da linha e coluna, e o índice nm × estabelece a 
ordem da matriz. 
 
Nomenclatura 1.1: 
Considere uma matriz [ ]
nmija ×=A . 
1. Se nm = , a matriz A denomina-se uma matriz quadrada. Em outro caso, a matriz A denomina-se 
uma matriz retangular. 
2. Se 1=n , a matriz A denomina-se um vetor-coluna de ordem n e é comum denotar um vetor-
coluna por u , v , w , etc., como foi visto no capítulo anterior. Por exemplo, 












=
nu
u
u
M
2
1
u . 
3. Se 1=m , a matriz A denomina-se um vetor-linha de ordem m e é comum denotar um vetor-linha 
por tu , tv , tw , etc., como foi visto no capítulo anterior. Por exemplo [ ]nt uuu L21=u . 
4. Se 1== nm , a matriz A é identificada com o único elemento numérico que possui: ][a=A 
5. As m linhas da matriz [ ]
nmija ×=A são denotadas por 
t
1l , 
t
2l , K , 
t
ml , (a letra l deve-se à palavra 
linha), de maneira que ][ 21 inii aaa L=til (ou 














=
ni
i
i
a
a
a
M
2
1
il ) e 














=
t
m
t
2
t
1
l
l
l
A
M
. Quando houver mais de 
uma matriz envolvida, é costume distinguir as linhas da matriz [ ]
nmija ×=A por 
t
A1,l , 
t
2.Al , K , 
t
Am,l . 
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Capítulo 1: Matrizes 
 2 
6. As n colunas da matriz [ ]
nmija ×=A são denotadas por 1c , 2c , K , nc , (a letra c deve-se à palavra 
coluna), de maneira que 














=
jn
j
j
a
a
a
M
2
1
jc e [ ]n21 cccA L= . Quando houver mais de uma matriz 
envolvida, é costume distinguir as colunas da matriz [ ]
nmija ×=A por A1c , , A2c , , K , Anc , . 
7. Em uma matriz quadrada [ ]
nnija ×=A , os elementos 
da forma iia , ni ,,2,1 K= , da matriz formam a 
diagonal principal e os elementos 11,21 ,,, nnn aaa K− 
formam a diagonal secundária como mostra a 
figura ao lado(1): 
 
(1) tomado de https://pt.slideshare.net/AulasApoio/matriz-exercicios-resolvidos 
Exemplo 1.1: Considere a matriz 










−
−
=
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
A . Logo, [ ]4321 ccccA = onde as 4 colunas da 
matriz estão dadas por 









−
=
0
2
1
1c , 










=
2
3
0
2c , 










=
7
0
2
3c e 










=
0
1
0
4c . Também, 










=
t
3
t
2
t
1
l
l
l
A onde as 3 linhas da 
matriz estão dadas por [ ]0201−=t1l , [ ]1032=t2l e [ ]0720 −=t3l . A ordem desta matriz é 
43× . Assim, ela é uma matriz retangular. 
 
Exemplo 1.2: Considere a matriz 









 −−
=
5
4
3
4
1
2
2
0
1
A . Logo, [ ]321 cccA = onde as 3 colunas da matriz 
estão dadas por 









−
=
2
0
1
1c , 










=
4
1
2
2c e 









−
=
5
4
3
3c . Também, 










=
t
3
t
2
t
1
l
l
l
A onde as 3 linhas da matriz estão dadas 
por [ ]321−=t1l , [ ]410=t2l e [ ]542=t3l . A ordem desta matriz é 33× . Assim, ela é uma matriz 
quadrada. 
 
 
 
 
 
1.3 ÁLGEBRA MATRICIAL 
Definição 1.2: Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, são da mesma ordem e todos seus 
correspondentes elementos são iguais. Em símbolos, dadas as matrizes [ ]
nmija ×=A e [ ] qpijb ×=B , diz-se que 
njmibaqnpm ijij ,,2,1;,,2,1,e, KK ==∀===⇔= BA . 
 
Definição 1.3: Dadas as matrizes da mesma ordem, nm × , [ ]
nmija ×=A e [ ] nmijb ×=B , 
1. define-se a soma de A e B como a matriz de ordem nm × 
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Capítulo 1: Matrizes 
 3 
[ ]
nmijij ba ×+=+ BA ; 
ou seja, a matriz cujos elementos são iguais às somas dos correspondentes elementos de ambas 
matrizes; 
2. define-se a diferença de A e B como a matriz de ordem nm × 
[ ]
nmijij ba ×−=− BA ; 
ou seja, a matriz cujos elementos são iguais às diferenças dos correspondentes elementos de ambas 
matrizes; 
3. define-se o produto elemento a elemento A e B como a matriz de ordem nm × 
[ ]
nmijij ba ×=⊗ BA 
ou seja, a matriz cujos elementos são iguais aos produtos dos correspondentes elementos de ambas 
matrizes; esta operação não é o produto usual de matrizes; 
4. define-se o produto de A pelo escalar R∈r como a matriz de ordem nm × 
[ ]
nmijarr ×=A 
ou seja, a matriz cujos elementos são iguais aos produtos do número r pelos correspondentes 
elementos de matriz A . 
 
Exemplo 1.3: Considere as matrizes 










−
−
=
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
A e 










−−
−
=
1
1
1
2
3
4
1
0
1
3
0
2
B . Logo, 










−−
−
=










−+
+
+
+
+
+
−+−
+
−+
+
+
+−
=+
1
2
1
9
3
6
3
3
1
3
2
1
)1(0
11
10
27
30
42
)1(2
03
)1(0
30
02
21
BA , 









 −
−
−
−−
−
=










−−
−
−
−
−
−
−−−
−
−−
−
−
−−
=−
1
0
1
5
3
2
1
3
1
3
2
3
)1(0
11
10
27
30
42
)1(2
03
)1(0
30
02
21
BA , 









−
=










−⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−⋅−
⋅
−⋅
⋅
⋅
⋅−
=⊗
0
1
0
14
0
8
2
0
0
0
0
2
)1(0
11
10
27
30
42
)1()2(
03
)1(0
30
02
21
BA , 










−
−
−
−
−
−
−
=










−⋅−
⋅−
⋅−
⋅−
⋅−
⋅−
−⋅−
⋅−
−⋅−
⋅−
⋅−
⋅−
=−=−
2
2
2
4
6
8
2
0
2
6
0
4
)1()2(
1)2(
1)2(
2)2(
3)2(
4)2(
)1()2(
0)2(
)1()2(
3)2(
0)2(
2)2(
2)2( BB . 
Definição 1.4: Dadas as matrizes [ ]














== ×
t
Am,
t
A2,
t
A1,
l
l
l
A
M
nmika e [ ] [ ]Bp,B2,B1, cccB L== × pnkjb , define-se o 
produto de A e B , denotado por BA , como a matriz de ordem pm× 
[ ]
pm
pm
×
×














⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=⋅=
Bp,Am,B2,Am,B1,Am,
Bp,A2,B2,A2,B1,A2,
Bp,A1,B2,A1,B1,A1,
Bj,Ai,
clclcl
clclcl
clclcl
clBA
L
MOMM
L
L
, 
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Capítulo 1: Matrizes 
 4 
onde Bj,Ai, cl⋅ denota o produto escalar dos vetores 














=
ni
i
i
a
a
a
M
2
1
,Ail e 














=
jn
j
j
b
b
b
M
2
1
Bj,c , ou seja, 

=
=+++=⋅
n
k
jkkijnnijiji babababa
1
2211 LBj,Ai, cl . 
Nomenclatura: Se [ ]
nnika ×=A é uma matriz quadrada de ordem nn× , então podemos definir 
2AAA = , 
32 AAA = , e assim por diante, 1+= nn AAA . Neste caso, mA denomina-se a n-ésima potência da matriz A . 
Exemplo 1.4: Considere as matrizes 










−
−
=
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
A e 












−
=
1
0
1
3
3
2
1
2
B . Logo, 










=
t
A3
t
A2
t
A1
l
l
l
A
,
,
,
 e 
[ ]BB1 ccB ,2,= , onde 











−
=
0
2
0
1
,A1l , 












=
1
0
3
2
,A2l , 












−
=
0
7
2
0
,3 Al , 












−
=
3
2
1
2
,B1c , 












=
1
0
1
3
,B2c . 
Tem-se que: 
;23022)1(02)1(
3
2
1
2
0
2
0
1
,,
=⋅+⋅+−⋅+⋅−=












−
⋅











−
=⋅ B1A1 cl
 
;31002103)1(
1
0
1
3
0
2
0
1
,,
−=⋅+⋅+⋅+⋅−=












⋅











−
=⋅ B2A1 cl
 
;43120)1(322
3
2
1
2
1
0
3
2
,,
=⋅+⋅+−⋅+⋅=












−
⋅












=⋅ B1A2 cl
 
;1011001332
1
0
1
3
1
0
3
2
,,
=⋅+⋅+⋅+⋅=












⋅












=⋅ B2A2 cl
 
;163027)1()2(20
3
2
1
2
0
7
2
0
,,
=⋅+⋅+−⋅−+⋅=












−
⋅












−
=⋅ B1A3 cl
 
.210071)2(30
1
0
1
3
0
7
2
0
,,
−=⋅+⋅+⋅−+⋅=












⋅












−
=⋅ B2A3 cl
 
Logo, 










−
−
=










⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=⋅
×
2
10
3
16
4
2
23,2,3
,2,2
,2,
,,3
,,2
,,
BA
BA
BA1
B1A
B1A
B1A1
cl
cl
cl
cl
cl
cl
BA . 
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Capítulo 1: Matrizes 
 5 
Exemplo 1.5: Considere a matriz 










−
−
=
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
A e o vetor 












−
−
=
3
1
1
2
u . Escrevendo 










=
t
A3
t
A2
t
A1
l
l
l
A
,
,
,
 , o 
produto uA pode ser expresso como 










⋅
⋅
⋅
=










=
ul
ul
ul
u
l
l
l
uA
A3
A2
A1
t
A3
t
A2
t
A1
,
,
,
,
,
,
 , sendo, como no exemplo anterior, 











−
=
0
2
0
1
,A1l , 












=
1
0
3
2
,A2l , 












−
=
0
7
2
0
,3 Al . Mas, 
430)1(2)1(02)1(
3
1
1
2
0
2
0
1
,
−=⋅+−⋅+−⋅+⋅−=












−
−
⋅











−
=⋅ul A1 , 
431)1(0)1(322
3
1
1
2
1
0
3
2
,2 =⋅+−⋅+−⋅+⋅=












−
−
⋅












=⋅ul A , 
530)1(7)1()2(20
3
1
1
2
0
7
2
0
,3 −=⋅+−⋅+−⋅−+⋅=












−
−
⋅












−
=⋅ ul A . 
Enfim, 










−
−
=










⋅
⋅
⋅
=
5
4
4
,
,
,
ul
ul
ul
uA
A3
A2
A1
. 
 
Observação 1.1: A seguir, é apresentada uma forma alternativa para obter o produto BA . Aqui, a idéia 
básica desta outra forma está em construir as colunas desse produto como certas combinações lineares das 
colunas da matriz A . 
A j -ésima coluna do produto [ ]
pm
pm
×
×














⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=⋅=
Bp,Am,B2,Am,B1,Am,
Bp,A2,B2,A2,B1,A2,
Bp,A1,B2,A1,B1,A1,
Bj,Ai,
clclcl
clclcl
clclcl
clBA
L
MOMM
L
L
 é 
( )
( )
( )
( ) ( )



===
=
=
=
==




























=




















=














⋅
⋅
⋅
n
k
jk
n
k
jk
n
k
jk
km
k
k
n
k
jkkm
n
k
jkk
n
k
jkk
bbb
a
a
a
ba
ba
ba
1
,
1
,
1
2
1
1
1
2
1
1
AkAk
Bj,Am,
Bj,A2,
Bj,A1,
cc
cl
cl
cl
M
M
M
 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 6 
Assim, construindo o produto BA por colunas, baseado na última igualdade, consegue-se 
( ) ( ) ( )





=














⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
= 
===
×
n
k
pk
n
k
k
n
k
k
pm
bbb
1
,
1
,2
1
,1 AkAkAk
Bp,Am,B2,Am,B1,Am,
Bp,A2,B2,A2,B1,A2,
Bp,A1,B2,A1,B1,A1,
ccc
clclcl
clclcl
clclcl
BA L
L
MOMM
L
L
, 
que dá como resultado 
[ ]AnA2A1AnA2A1AnA2A1 cccccccccBA ,,2,1,2,22,12,1,21,11 pnppnn bbbbbbbbb +++++++++= LLLL ; 
ou seja, a j-ésima coluna de BA é a combinação linear AnA2A1 ccc ,,2,1 jnjj bbb +++ L das colunas da matriz 
A , sendo os coeficientes da combinação linear os valores Bjc ,
2
1
=














nj
j
j
b
b
b
M
, que formam a j-ésima coluna de B . 
Em particular, o produto uA , onde [ ]
nmika ×=A e 
1
2
1
×












=
nn
u
u
u
M
u é igual à combinação linear das colunas de 
[ ]AnA2A1 cccA ,,, K= : 
AnA2A1 cccuA ,,2,1 nuuu +++= L . 
Exemplo 1.6: Como no exemplo 1.5, considere a matriz 










−
−
=
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
A e o vetor 












−
−
=
3
1
1
2
u . De 
acordo com a observação anterior, considere as colunas da matriz A , [ ]A4A3A2A1 ccccA ,,,,= , e as 
componentes do vetor 












=
4
3
2
1
u
u
u
u
u , que produzem o resultado 
[ ]
.
5
4
4
0
3
0
7
0
2
2
3
0
0
4
2
0
1
0
3
7
0
2
)1(
2
3
0
)1(
0
2
1
2
,4,3,2,1
4
3
2
1
,,,,










−
−
=










+










−
−
+










−+









−
=










+










−+










−
−+









−
=
+++=











= A4A3A2A1A4A3A2A1 ccccccccuA uuuu
u
u
u
u
 
 
Observação 1.2: Além da definição e da forma alternativa dada na observação 1.1, existem outras formas de 
conseguir o produto BA . Por exemplo, podemos construir as linhas do produto BA mediante certas 
combinações lineares das linhas da matriz B . Isto é mostrado a seguir. 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 7 
A i -ésima linha do produto [ ]
pm
pm
×
×














⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=⋅=
Bp,Am,B2,Am,B1,Am,
Bp,A2,B2,A2,B1,A2,
Bp,A1,B2,A1,B1,A1,
Bj,Ai,
clclcl
clclcl
clclcl
clBA
L
MOMM
L
L
 é 
[ ] ( ) ( ) ( )
[ ]( )
( )


=
=
===
=
=






⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
n
k
ik
n
k
kpkkik
n
k
kpik
n
k
kik
n
k
kik
a
bbba
bababa
1
1
21
11
2
1
1
t
Bk,
Bp,Ai,B2,Ai,B1,Ai,
l
clclcl
L
LK
 
Assim, outra forma de realizar o produto das matrizes A e B é 
( )
( )
( )




















⋅
⋅
⋅
=














⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=



=
=
=
×
n
k
mk
n
k
k
n
k
k
pm a
a
a
1
1
2
1
1
t
Bk,
t
Bk,
t
Bk,
Bp,Am,B2,Am,B1,Am,
Bp,A2,B2,A2,B1,A2,
Bp,A1,B2,A1,B1,A1,
l
l
l
clclcl
clclcl
clclcl
BA
M
L
MOMM
L
L
, 
que dá como resultado 














⋅++⋅+⋅
⋅++⋅+⋅
⋅++⋅+⋅
=
t
Bn,
t
B2,
t
B1,
t
Bn,
t
B2,
t
B1,
t
Bn,
t
B2,
t
B1,
lll
lll
lll
BA
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
M
L
L
21
22221
11211
; 
ou seja, a i-ésima linha de BA é a combinação linear t Bn,t B2,t B1, lll ⋅++⋅+⋅ niii aaa L21 , sendo os coeficientes 
da combinação formados pelos valores [ ] t Bil ,21 =niii aaa L , que formam a i-ésima linha de A . 
Observação 1.3: Na observação anterior, viu-se que, 














⋅++⋅+⋅
⋅++⋅+⋅
⋅++⋅+⋅
=
t
Bn,
t
B2,
t
B1,
t
Bn,
t
B2,
t
B1,
t
Bn,
t
B2,
t
B1,
lll
lll
lll
BA
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
M
L
L
21
22221
11211
, mas esta 
igualdade ainda pode ser expressa como 
( )
( )
( )
( )



==
=
=
=
=












=




















⋅
⋅
⋅
=














⋅++⋅+⋅
⋅++⋅+⋅
⋅++⋅+⋅
=
n
k
n
k
mk
k
k
n
k
mk
n
k
k
n
k
k
mnmm
n
n
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
1
,
1
2
1
1
1
2
1
1
21
22221
11211
t
Bk,Ak
t
Bk,
t
Bk,
t
Bk,
t
Bk,
t
Bn,
t
B2,
t
B1,
t
Bn,
t
B2,
t
B1,
t
Bn,
t
B2,
t
B1,
lcl
l
l
l
lll
lll
lll
BA
M
M
L
M
L
L
. 
Agora, cada termo do último somatório t Bk,Ak lc , é uma matriz nm × . Com efeito, 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 8 
[ ]














=














=
nkkmkkmkkm
nkkkkkk
nkkkkkk
nkkk
km
k
k
bababa
bababa
bababa
bbb
a
a
a
L
MOMM
L
L
L
M
21
22212
12111
21
2
1
,
t
Bk,Ak lc ; 
esta última expressão, que é uma matriz, é chamada, com freqüência, de produto externo dos vetores Akc , e 
Bk,l . 
Exemplo 1.6: (Muito importante) 
Considere as matrizes 










−
−
=
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
A e 












−
=
1
0
1
3
3
2
1
2
B . 
Vamos realizar o produto AB de quatro maneiras diferentes: 
1. Por definição (processo também chamado forma linha-coluna): 










=










−
−
=
t
A3
t
A2
t
A1
l
l
l
A
,
,
,
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
, sendo 
[ ]
[ ]
[ ]



−=
=
−=
,0720
,1032
,0201
,
,
,
t
A3
t
A2
t
A1
l
l
l
 ou, 
,
0
2
0
1
,











−
=A1l ,
1
0
3
2
,












=A1l 












−
=
0
7
2
0
,A1l . 
Também, [ ]B2B1 ccB ,,
1
0
1
3
3
2
1
2
=












−
= , sendo ,
3
2
1
2
,












−
=B1c 












=
1
0
1
3
,B2c . 
Já foi visto no exemplo 1.4 que 
;2
,,
=⋅ B1A1 cl ;3,, −=⋅ B2A1 cl 
;4
,,
=⋅ B1A2 cl ;10,, =⋅ B2A2 cl 
;16
,,
=⋅ B1A3 cl .2,, −=⋅ B2A3 cl 
Logo, 










−
−
=










⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
×
2
10
3
16
4
2
23,,
,,
,,
,,
,,
,,
B2A3
B2A2
B2A1
B1A3
B1A2
B1A1
cl
cl
cl
cl
cl
cl
BA . 
2. Combinações das linhas de B : 
Como foi detalhado na observação 1.2, outra maneira de multiplicar as matrizes A e B é formando 
as linhas do produto BA mediante combinações lineares das linhas da matriz B : 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 9 
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
.
2
10
3
16
4
2
000142200
13003364
00040032
13002711)2(320
131020113322
13002211032)1(
07)2(0
1032
020)1(
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
,,,,
,,,,
,,,,
,
,
,
,










−
−
=










++−+
++−+
+++−−
=










++−−+
++−+
++−+−
=










++−+
+++
+++−
=
























−
−
=
t
B4
t
B3
t
B2
t
B1
t
B4
t
B3
t
B2
t
B1
t
B4
t
B3
t
B2
t
B1
t
B4
t
B3
t
B2
t
B1
llll
llll
llll
l
l
l
l
BA
 
3. Combinações das colunas de A : 
Como foi detalhado na observação 1.3, ainda outra maneira de multiplicar as matrizes A e B é 
formando as colunas do produto BA mediante combinações lineares das colunas da matriz A : 
[ ]
[ ]










−
−
=




















+










+










−
+









−










+










+










−+









−
=




















+










+










−
+









−










+










+










−
−+









−
=
+++++−+=












−
⋅=2
10
3
16
4
2
0
1
0
0
0
0
2
3
0
0
6
3
0
3
0
14
0
4
2
3
0
0
4
2
0
1
0
1
7
0
2
0
2
3
0
1
0
2
1
3
0
1
0
3
7
0
2
2
2
3
0
)1(
0
2
1
2
101332)1(2
1
0
1
3
3
2
1
2
,,,,,,,,
,,,,
A4A3A2A1A4A3A2A1
A4A3A2A1
cccccccc
ccccBA
. 
4. Soma de produtos externos: 
O produto BA pode ser calculado multiplicando as colunas de A e as linhas de B respectivamente, 
formando uma soma de produtos externos, como segue: 
[ ] [ ] [ ] [ ]
.
2
10
3
16
4
2
0
1
0
0
3
0
0
0
0
14
0
4
2
3
0
2
3
0
0
6
3
0
4
2
13
0
1
0
02
7
0
2
11
2
3
0
32
0
2
1
,,,,,,,,










−
−
=










+










+










−
−+









 −−
=
⋅










+⋅










+−⋅










−
+⋅









−
=
+++=⋅ t B4A4
t
B3A3
t
B2A2
t
B1A1 lclclclcBA
 
Propriedades 1.1: Dadas as matrizes [ ]
nmija ×=A , [ ] nmijb ×=B e [ ] nmijb ×=C , tem-se que 
1. ( ) ( )CBACBA ++=++ ; (propriedade associativa da adição) 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 10 
2. ABBA +=+ ; (propriedade comutativa da adição) 
3. AAOOA =+=+ , (elemento neutro da adição) onde O é a matriz nula nm × ; 
4. OAAAA =+−=−+ )()( ; (elemento inverso da adição) onde O é a matriz nula nm × ; 
5. AA )()( srsr = , para quaisquer R∈sr, ; 
6. BABA rrr +=+ )( , para qualquer R∈r ; 
7. AAA srsr +=+ )( , para quaisquer R∈sr, ; 
8. AA =1 . 
Observação 1.4: As oito propriedades enunciadas anteriormente, junto com o fato que BA + e Ar são 
matrizes de ordem nm × , fazem do conjunto de matrizes de ordem nm × , junto com as operações de adição 
e multiplicação por um escalar (real), um espaço vetorial (real). 
Observação 1.5: A multiplicação de matrizes não é comutativa. Em geral, se [ ]
nmija ×=A e [ ] pnijb ×=B , 
então existe o produto BA mas o produto AB pode não existir (quando pm ≠ ). Mas mesmo no caso de 
matrizes quadradas da mesma ordem, ou seja, quando [ ]
nnija ×=A e [ ] nnijb ×=B , pode acontecer que 
ABBA ≠ , como no caso de 





=
43
21
A e 





=
12
34
B , em que 





=
1320
58
BA e 





=
85
2013
AB . 
Propriedades 1.2: 
1. Dadas as matrizes [ ]
nmija ×=A , [ ] nmijb ×=B e [ ] pnijb ×=C , tem-se que ( ) CBCACBA ⋅+⋅=⋅+ ; 
(propriedade distributiva) 
2. Dadas as matrizes [ ]
nmija ×=A , [ ] pnijb ×=B e [ ] pnijb ×=C , tem-se que ( ) CABACBA ⋅+⋅=+⋅ ; 
(propriedade distributiva). 
3. Dadas as matrizes [ ]
nmija ×=A , [ ] pnijb ×=B e [ ] qpijb ×=C , tem-se que ( ) ( )CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ ; 
(propriedade associativa da multiplicação). 
 
Definição 1.5: Dada a matriz [ ]
nmija ×=A , define-se a matriz transposta de A como a matriz de ordem 
mn × [ ]
mnjia ×=
tA . 
A matriz transposta da matriz A resulta de trocar as linhas pelas colunas de A , ou seja, se 
[ ]AnA2A1
t
Am
t
A2
t
A1
ccc
l
l
l
A
,,,
,
,
,
21
22221
11211
L
M
L
MOMM
L
L
=














=












=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
, 
 então 
[ ]














==












=
t
An
t
A2
t
A1
AmA2A1
t
c
c
c
lllA
,
,
,
,,,
21
22212
12111
M
L
L
MOMM
L
L
mnnn
m
m
aaa
aaa
aaa
. 
Exemplo 1.7: Seja 










−
−
=
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
A . Então 












−
−
=
0
7
2
0
1
0
3
2
0
2
0
1
tA . 
 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 11 
Tipos especiais de matrizes considerando a transposição: 
1. Matriz Simétrica: é uma matriz A que coincide com a sua matriz transposta tA , ou seja, tAA = . 
Isto significa que uma matriz [ ]
nmija ×=A é simétrica se, e somente se, nm = e jiij aa = , para todos 
os ji, . 
2. Matriz Anti-Simétrica: é uma matriz A que coincide com o oposto de sua matriz transposta tA , ou 
seja, tAA −= . Isto significa que uma matriz [ ]
nmija ×=A é anti-simétrica se, e somente se, nm = e 
jiij aa −= , para todos os ji, . Em particular, se a matriz A é anti-simétrica, os elementos da diagonal 
principal da matriz são todos iguais a zero, ou seja, 0=iia , para todo i . 
Propriedades 1.3: 
1. Dada a matriz [ ]
nmija ×=A , então ( ) AA tt = 
2. Dadas as matrizes [ ]
nmija ×=A e [ ] nmijb ×=B , então ttt BAB)(A +=+ . 
3. Dadas as matrizes [ ]
nmika ×=A e [ ] pnkjb ×=B , então ttt ABB)(A = . 
4. Se A uma matriz de ordem nm × , então AAt ⋅ e tAA ⋅ são matrizes simétricas de ordens nn× 
e mm× , respectivamente. 
5. Toda matriz quadrada A pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica e uma 
matriz anti-simétrica: 
( ) ( )tt AAAAA −++=
2
1
2
1
. 
Prova de 3.: 
Observe que se 












=
r
u
u
u
M
2
1
u e 












=
r
v
v
v
M
2
1
v são vetores coluna de ordem r , então 
[ ] [ ] uvuvvuvu tt ⋅==












⋅=⋅++⋅+⋅=












==⋅
r
rrr
r
r
u
u
u
vvvvuvuvu
v
v
v
uuu
M
LL
M
L
2
1
212211
2
1
21 . 
Dadas as matrizes 
[ ] [ ]AnA2A1
t
Am
t
A2
t
A1
ccc
l
l
l
A
,,,
,
,
,
L
M
=














== ×nmika e [ ] [ ]BpB2B1
t
Bn
t
B2
t
B1
ccc
l
l
l
B
,,,
,
,
,
L
M
=














==
× pnkjb 
tem-se que [ ]














==
t
An
t
A2
t
A1
AmA2A1
t
c
c
c
lllA
,
,
,
,,,
M
L , [ ]














==
t
Bn
t
B2
t
B1
BnB2B1
t
c
c
c
lllB
,
,
,
,,,
M
L e 
pm×













⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
Bp,Am,B2,Am,B1,Am,
Bp,A2,B2,A2,B1,A2,
Bp,A1,B2,A1,B1,A1,
clclcl
clclcl
clclcl
BA
L
MOMM
L
L
, 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 12 
e logo, ( )
mp×













⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
Bp,Am,Bp,A2,Bp,A1,
B2,Am,B2,A2,B2,A1,
B1,Am,B1,A2,B1,A1,
t
clclcl
clclcl
clclcl
BA
L
MOMM
L
L
. 
Por outro lado, [ ]
mp×













⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=














=
AmBpA2BpA1Bp
AmB2A2B2A1B2
AmB1A2B1A1B1
AmA2A1
t
Bn
t
B2
t
B1
tt
lclclc
lclclc
lclclc
lll
c
c
c
AB
,,,,,,
,,,,,,
,,,,,,
,,,
,
,
,
L
MOMM
L
L
L
M
, que verifica a 
igualdade ttt ABB)(A ⋅=⋅ . 
Exemplo 1.8: Seja 












=
4863
8341
6420
3101
A . Então 












=
4863
8341
6420
3101
tA . Como tAA = , a matriz A é simétrica. 
Exemplo 1.9: Seja 











−
−
−−
−
=
0860
8041
6402
0120
A . Então 
AAt −=












−
−
−−
−
−=












−
−−
−
−
=
0860
8041
6402
0120
0860
8041
6402
0120
. 
Assim, tAA −= , e conclui-se que a matriz A é anti-simétrica. 
Exemplo 1.10: Considere as matrizes 










−
−
=
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
A e 












−
=
1
0
1
3
3
2
1
2
B do exemplo 1.6. No referido 
exemplo, foi calculado que 










−
−
=
2
10
3
16
4
2
BA . Facilmente, pode-se ver que ( ) 





−−
=
2
16
10
4
3
2tBA . 
Agora, 












−
−
=
0
7
2
0
1
0
3
2
0
2
0
1
tA e 




 −
=
1
3
0
2
1
1
3
2tB . Logo, calcula-se o produto tt AB , por exemplo, pela 
forma linha-coluna: 
.
2
16
10
4
3
2
0020
01420
1036
3034
0003
0402
0170)2(103
0372)2()1(02
11003123
13023)1(22
012001)1(3
03220)1()1(2






−−
=





++−
+++
+++
++−
+++−
+++−
=






⋅+⋅+−⋅+⋅
⋅+⋅+−⋅−+⋅
⋅+⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅−+⋅
⋅+⋅+⋅+−⋅
⋅+⋅+⋅−+−⋅
=
tt AB
 
Facilmente, deduz-se que ( )ttt BAAB = , como previsto pela propriedade 3. 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 13 
Exemplo 1.11: Dada a matriz 










−
−
=
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
A , tem-se que 












−
−
−−
=










−
−












−
−
=
1
0
3
2
0
53
14
2
3
14
13
6
2
2
6
5
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
0
7
2
0
1
0
3
2
0
2
0
1
AAt e 










−
−
−
−=












−
−










−
−
=
53
6
14
6
14
2
14
2
5
0
7
2
0
1
0
3
2
0
2
0
1
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
tAA . 
Observe que ambas matrizes são simétricas, como previsto pela propriedade 4. 
Exemplo 1.12: Aqui, vai ser ilustrada a propriedade 5. Dada a matriz 










=
9
6
3
8
5
2
7
4
1
A , observe que tal 
matriz não é simétrica nem anti-simétrica. Porém, tem-se que 
( )










=




















+










=+
9
7
5
7
5
3
5
3
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
6
3
8
5
2
7
4
1
2
1
2
1 tAA e 
( )










−
−−
=




















−










=−
0
1
2
1
0
1
2
1
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
6
3
8
5
2
7
4
1
2
1
2
1 tAA . 
Assim, 










−
−−
+










=










=
0
1
2
1
0
1
2
1
0
9
7
5
7
5
3
5
3
1
9
6
3
8
5
2
7
4
1
A , sendo que a primeira parcela é uma matriz simétrica e 
a segunda, uma matriz anti-simétrica. 
 
Outros tipos especiais de matrizes: 
1. Matriz nula: é uma matriz de ordem arbitrária, nm × , cujos elementos são todos iguais a zero e é 
denotada por O ou nm×O . 
2. Matriz identidade: é uma matriz quadrada de ordem nn× da forma 












=
100
010
001
L
MOMM
L
L
nI , 
ou seja, uma matriz cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os outros são todos 
iguais a 0 . 
3. Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada de ordem nn× da forma 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 14 












=
nnd
d
d
L
MOMM
L
L
00
00
00
22
11
D
. 
4. Matriz Triangular Superior: é uma matriz quadrada [ ]
nniju ×=U tal que 0=iju , quando ji > , ou 
seja, da forma: 












=
nn
n
n
u
uu
uuu
L
MOMM
L
L
00
0 222
11211
U . 
5. Matriz Triangular Inferior: é uma matriz quadrada [ ]
nnijl ×=L tal que 0=ijl , quando ji < , ou seja, 
da forma: 












=
nnnn lll
ll
l
L
MOMM
L
L
21
2221
11
0
00
L . 
6. Matriz Tri-Diagonal: é uma matriz [ ]
nnija ×=A tal que 0=ija , para todo ji, com 1|| >− ji . Por 
exemplo, uma matriz tri-diagonal de ordem 2020× tem o seguinte padrão de esparsidade 
 
onde as posições sem pontos denotam elementos iguais a zero. 
7. Matriz Bloco: é uma matriz cujos elementos são, por sua vez, matrizes de ordens adequadas. Estas 
matrizes aparecem freqüentemente quando são resolvidos problemas através de métodos numéricos. 
 
Propriedades 1.4: 
1. Se [ ]
nmija ×=A , então AAI =×mm e AIA =×nn ; (elemento neutro da multiplicação). 
2. A soma e o produto de duas matrizes diagonais de ordens compatíveis é uma matriz diagonal. 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 15 
3. A soma e o produto de duas matrizes triangulares superiores de ordens compatíveis é uma matriz 
triangular superior. 
4. A soma e o produto de duas matrizes triangulares inferiores de ordens compatíveis é uma matriz 
triangular inferior. 
Exemplo 1.13: Considere duas matrizes diagonais da mesma ordem, 












=
nu
u
u
L
MOMM
L
L
00
00
00
2
1
1D e 












=
nv
v
v
L
MOMM
L
L
00
00
00
2
1
2D . Então facilmente pode-se ver que 












+
+
+
=+
nn vu
vu
vu
L
MOMM
L
L
00
00
00
22
11
21 DD e 












=
nn vu
vu
vu
L
MOMM
L
L
00
00
00
22
11
21 DD , que são, por sua vez, duas matrizes diagonais da mesma ordem, como foi 
previsto pela propriedade 1.4.2. 
Exemplo 1.14: Dadas as matrizes 










−
−=
3
0
0
1
2
0
2
1
1
1L e 










−
=
2
0
0
1
1
0
2
1
1
2L , tem-se que 










−
=










−
⋅










−
−=⋅
6
0
0
2
2
0
5
1
1
2
0
0
1
1
0
2
1
1
3
0
0
1
2
0
2
1
1
21 LL . 
Observe que as matrizes 1L , 2L e 21 LL ⋅ são ambas matrizes triangulares inferiores. 
Exemplo 1.15: Considere uma matriz [ ]














==
×
nmmm
n
n
nmij
aaa
aaa
aaa
a
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
A e a matriz diagonal de ordem 
mm× , 












=
mu
u
u
L
MOMM
L
L
00
00
00
2
1
1D . Então 
;
00
00
00
,
,2
,1
21
22222212
11121111
21
22221
11211
2
1














=














=

























=
t
Am
t
A2
t
A1
1
l
l
l
AD
mnmmmmmm
n
n
nmmm
n
n
m u
u
u
auauau
auauau
auauau
aaa
aaa
aaa
u
u
u
M
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
 
ou seja, se uma matriz diagonal de ordem compatível multiplica uma matriz retangular, as linhas do produto 
resultante são os múltiplos (considerando o respectivo elemento diagonal) das linhas da matriz retangular. 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 16 
Por exemplo, o produto 










−
−










−
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
500
030
002
 dá como resultado uma matriz cujas linhas são os 
múltiplos respectivos das linhas de 










−
−
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
, ou seja, 










−
−
−−
−
=










⋅
⋅−
⋅
⋅
⋅−
⋅
−⋅
⋅−
⋅
⋅
⋅−
−⋅
=










−
−










−
0
3
0
35
0
4
10
9
0
0
6
2
05
1)3(
02
75
0)3(
22
)2(5
3)3(
02
05
2)3(
)1(2
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
500
030
002
. 
Exemplo 1.16: Considere uma matriz [ ]














==
×
nmmm
n
n
nmij
aaa
aaa
aaa
a
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
A e a matriz diagonal de ordem 
nn× , 












=
nv
v
v
L
MOMM
L
L
00
00
00
2
1
2D . Então 
[ ];
00
00
00
,,2,1
2211
2222211
1122111
2
1
21
22221
11211
AnA2A12 cccDA n
nmnmm
nn
nn
nnmmm
n
n
vvv
avavav
avavav
avavav
v
v
v
aaa
aaa
aaa
L
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
=














=


























=
ou seja, se uma matriz retangular multiplica uma matriz diagonal de ordem compatível, as colunas do 
produto resultante são os múltiplos (considerando o respectivo elemento diagonal) das colunas da matriz 
retangular. Por exemplo, o produto 






















−
−
4000
0500
0030
0002
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
 dá como resultado uma matriz cujas 
colunas são os múltiplos respectivos das colunas de 










−
−
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
, ou seja, 










−
−
=










⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−⋅
=






















−
−
0
4
0
35
0
10
6
9
0
0
4
2
04
14
04
75
05
25
)2(3
33
03
02
22
)1(2
4000
0500
0030
0002
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
. 
1.4 EXERCÍCIOS 
1 Em cada caso, encontre uma matriz 66× cujos elementos são 
a. 




≤−−
>−
=
;1 se ,1
,1 se ,1
ji
ji
a ji b. ;)1( jijia +−= c. |,| jia ji −= d. 0=ija se ji > . 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 17 
2 Sejam 





−
=
51
03
A , 




 −
=
3
1
2
2
0
4
B , 










=
6
4
2
5
3
1
C , 





−
−
=
12
30
D , [ ]24=E e 




−
=
2
1
F . Calcule as 
matrizes seguintes (se possível): 
a. DA 2+ ; b. AD 23 − ; c. CB − ; d. tCB − ; e. BA ; 
f. DB ; g. CBD + ; h. BBt ; i. )( FAE ; j. ( )2DA − . 
3 Dadas as matrizes 












−
−
−
=
0
1
2
2
1
1
0
1
2
1
1
1
A e 









 −
−=
1
0
2
0
2
3
B , encontre o produto BA de quatro maneiras 
diferentes, como ilustra o exemplo 1.6. 
4 Determine x , y , z e u de maneira que 





+
+
+





−
=





3
4
21
6
3
uz
yx
u
x
uz
yx
. 
5 Sejam 









 −
−
=
4
0
1
3
1
2
A e 




 −−
=
0
5
4
2
3
1
B . Calcule os produtos BA e AB . 
6 Se [ ]21 ccA = e [ ]2121 ccccBA 32 +−= , determine a matriz B . 
7 Sejam 





−
−
=
3
0
0
1
1
2
A e 










−
−
−
−
=
0
1
1
2
3
1
0
1
4
4
2
1
B . 
a. Sem calcular o produto BA , calcule o valor do elemento (2,4) desse produto mediante o produto 
escalar de dois vetores. 
b. Sem calcular o produto BA , escreva a terceira coluna de BA como uma combinação linear das 
colunas de A . 
c. Sem calcular o produto BA , escreva a primeira linha de BA como uma combinação linear das 
linhas de B . 
8 Sejam 





−
−
=
21
63
A , 




−
=
43
11
B e 




 −−
=
12
53
C . Verifique que CABA = mas CB ≠ . 
9 Seja 





−
=
34
31
A . Encontre, se existir, pelo menos um vetor 





=
y
x
u não nulo tal que 
a. uuA 3= ; 
b. uuA 5−= ; 
c. uuA 2= . 
10 Diz-se que duas matrizes A e B comutam se ABBA = . Encontre todas as matrizes 





=
wz
yx
B que 
comutam com 





=
10
11
A . 
11 Encontre, se houver, todos os valores de a tal que 
a. [ ] 0
1
1
320
201
011
11 =




















−
a
a ; 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 18 
b. [ ] 0
1
1
0
1
0
1
3
11
2
=





⋅









 −
−⋅
a
a . 
12 Seja 












−−
−−
−
=
4102
3317
0323
0351
A . Expresse a matriz A como uma soma de uma matriz simétrica e uma 
matriz anti-simétrica. 
13 Sejam 










=
3
2
1
u e 










=
c
b
a
v . Calcule vut , uvt , tvu e tuv . Encontre as relações entre estas matrizes. 
14 Se CBA += onde 










+=
22
10
43
x
zx
y
B é simétrica e 










−
+−
=
vv
w
wu
12
10
24
C é anti-simétrica, 
determine os valores de x , y , z , u , v , w e A . 
15 Seja 





−
=
11
10
A . 
a. Calcule 2A , 3A , 4A , 5A , 6A e 7A . 
b. Diga qual o valor de 2017A e justifique. 
16 Verdadeiro ou falso? Se 2A é diagonal, então A é diagonal. Justifique. 
17 Verdadeiro ou falso? Se A e B são matrizes de ordem nn× , então ( )( ) 22 BABABA −=−+ . 
Justifique. 
18 Encontrar uma matriz triangular superior A de ordem 22× , tal que 




 −
=
270
5783A . 
19 Uma companhia com várias lojas que vende diversos produtos (P1, P2, P3 e P4) mantém o registro do 
seu estoque nas lojas mediante a matriz 
S=












140180170140
80160190175
110210180200
15090110120
4
3
2
1
P4P3P2P1Loja
. 
a. Suponha que foram feitas entregas E às lojas da companhia. Calcule o novo estoque das lojas. 











=
50104060
7040015
60103025
10502040
E . 
b. Após a entrega na parte a. ser feita, utilizando a multiplicação matricial, calcule o valor total do 
estoque em reais em cada loja, sabendo que cada os valores de cada produto são R$ 200,00; R$ 50,00; 
R$ 100,00 e R$ 150,00, respectivamente. 
c. Utilizando apenas a multiplicação matricial, formule um produto de ordem 41× em que cada 
elemento represente o valor em reais de cada produto em estoque (após a entrega ser feita). 
20 Uma empresa fabrica três produtos (x, y e z) e os transporta para dois depósitos para armazená-los. O 
número de unidades de cada produto transportadas para cada depósito está dado pela matriz 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 19 
2 Dep1 Dep
125
100
75
100
150
200
↑↑
←
←
←










=
z
y
x
A
. 
O custo de transporte de cada produto por caminhão é R$1,50 para x, R$1,00 para y e R$2,00 para z. Os 
custos correspondentes por trem são R$1,75, R$1,50 e R$1,00. Organize estes custos numa matriz B e 
depois utilize a multiplicação matricial para mostrar como a empresa pode comparar o custo de 
transporte dos seus produtos a cada um dos depósitos por caminhão e por trem. 
 
 
1.4 INVERSA DE UMA MATRIZ 
Observe que, dadas as matrizes 





=
5
3
0
0
A e 





=
0
4
0
2
B , tem-se que OBA =⋅ . Isto significa que o 
produto de duas matrizes não nulas pode dar como resultado uma matriz nula. Porém, o produto de dois 
números reais não nulos sempre dá um número não nulo. Também, pode-se notar, como já foi dito antes, que 
o produto não é comutativo. Esta diferença ocasiona um problema fundamental para definir a divisão de 
matrizes, pois observe que se a é um número real não nulo, então o inverso multiplicativo de a é 
simplesmente 
a
a
11
=
−
, mas este processo não pode ser imitado para matrizes não nulas. Este fato implica 
que a matriz inversa exista só em alguns casos. 
 
Definição 1.6: Seja A uma matriz quadrada. Uma matriz quadrada B da mesma ordem que A é dita uma 
matriz inversa da matriz A se IABBA == . Quando é possível encontrar uma matriz B que seja uma 
inversa de A , a matriz A é dita uma matriz invertível (ou inversível). 
 
Exemplo 1.17: Sejam as matrizes 












=
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
2
1
0
2
A e 












−
−−
−
−
=
1
0
1
0
0
2
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
B . Então 
ABIBA ==












⋅=












−
−−
−
−
⋅












=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
2
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
2
1
0
2
. 
Assim, B é uma matriz inversa de A . Portanto, A é uma matriz invertível. 
 
Exemplo 1.18: Se 










=
1
0
0
0
1
0
3
0
1
E e 










−
=
1
0
0
0
1
0
3
0
1
F , verifica-se que IEFFE == . Logo, F é uma matriz 
inversa de E . Assim, E e F são matrizes invertíveis. 
 
Propriedade 1.5: Seja A uma matriz quadrada. Se existir uma matriz inversa de A , então ela é única. 
Prova: Sejam as matrizes B e C duas matrizes inversas de A . Então IABBA =⋅=⋅ e IACCA =⋅=⋅ . 
Logo, ( ) ( ) CCICABCABIBB =⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= . Portanto, a inversa da matriz A , se existir, é única. 
Logo, pode-se falar de: “a matriz inversa de A ”, e esta será denotada por 1A− . 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 20 
 
Propriedade 1.6: Sejam A e B matrizes quadradas (da mesma ordem) invertíveis. Logo 
( ) 111 ABBA −−− ⋅=⋅ . 
 
Por enquanto, com o material desenvolvido até o momento, não tem como saber se existe a matriz inversa de 
uma matriz quadrada. Mais ainda, sabendo que a matriz inversa existe, resta o problema de calcular tal 
matriz inversa. 
 
Os problemas da existência e do cálculo da matriz inversa são vistos na seção 1.8. 
 
1.5 MATRIZES E OPERAÇÕES ELEMENTARES POR LINHAS 
As operações elementares realizadas em matrizes podem ser dos seguintes tipos: 
1. Primeiro tipo: Multiplicação da i -ésima linha de uma matriz por um escalar r . Esta operação é 
esquematizada pela notação:  → iLr 
Exemplo 1.19: Seja a matriz 










=










−
−
=
t
A3
t
A2
t
A1
l
l
l
A
,
,
,
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
. Se, por exemplo, a segunda linha da 
matriz é multiplicada por 2, então ter-se-á o esquema 










 →










t
A3
t
A2
t
A1
2
t
A3
t
A2
t
A1
l
l
l
L
l
l
l
,
,
,
,
,
,
22 , ou seja, 










−
−
=










⋅⋅
−
⋅⋅
−
 →










−
−
0
2
0
7
0
2
2
6
0
0
4
1
0
12
0
7
02
2
2
32
0
0
22
1
2
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
2L
. 
Pelos termos do exemplo 1.15, observe que se definimos a matriz diagonal 










=
1
0
0
0
2
0
0
0
1
E , então 










−
−
=










=










⋅










=










−
−










=
0
2
0
7
0
2
2
6
0
0
4
1
2
1
0
0
0
2
0
0
0
1
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
1
0
0
0
2
0
0
0
1
,
,
,
,
,
,
t
A3
t
A2
t
A1
t
A3
t
A2
t
A1
l
l
l
l
l
l
AE
 
que é a matriz obtida anteriormente. 
 
No caso desta primeira operação elementar, a matriz elementar E associada é igual à matriz que 
resulta de multiplicar por r a i -ésima linha da matriz identidade, ou seja, ELI i →r . Em termos 
matriciais 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 21 
linha. ésima-
100
0
00
00
00
00
10
01
ir ←


















=
MOM
L
L
MM
L
MM
L
L
OMM
L
L
E 
e como a operação elementar inversa de  → iLr (isto é, a operação elementar que anula o efeito de 
E ) é  →
iL
r
1
, então linha. ésima-
100
0/1
00
00
00
00
10
01
ir ←


















=
−
MOM
L
L
MM
L
MM
L
L
OMM
L
L
1E 
2. Segundo tipo: Permutação da i -ésima e a j -ésima linhas. Esta operação é esquematizada pela 
notação  →
↔ ji LL
. 
Exemplo 1.20: Seja a matriz 














=












=
t
A4
t
A3
t
A2
t
A1
l
l
l
l
A
,
,
,
,
16151413
1211109
8765
4321
. Se são permutadas a segunda e terceira 
linhas da matriz, então ter-se-á o esquema 














 →
↔














t
A4
t
A2
t
A3
t
A1
32
t
A4
t
A3
t
A2
t
A1
l
l
l
l
LL
l
l
l
l
,
,
,
,
,
,
,
,
, ou seja, 












 →
↔











16151413
8765
1211109
4321
16151413
1211109
8765
4321
32 LL
. 
Observe que se são permutadas a segunda e terceira linhas da matriz identidade, é obtida a matriz 












=
1000
0010
0100
0001
32P . Também, 












=














=


























=
























=
16151413
8765
1211109
4321
1000
0010
0100
0001
16151413
1211109
8765
4321
1000
0010
0100
0001
,
,
,
,
,
,
,
,
t
A4
t
A2
t
A3
t
A1
t
A4
t
A3
t
A2
t
A1
32
l
l
l
l
l
l
l
l
AP , 
ou seja, a operação elementar  → ↔ 32 LL é equivalente à multiplicação matricial AP 32 . 
 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 22 
Em geral, a matriz elementar associada à operação  →
↔ ji LL
 é chamada uma matriz de 
permutação, denotada por jiP , sendo igual à matriz que resulta de permutar a i -ésima e a j -ésima 
linhas da matriz identidade, ou seja, jiji P
LL
I  →
↔
. Em termos matriciais, 
linha. esima-
linha; ésima-
10
00
000
100
01
00
00
000
010
001
j
i
←
←
























==
−
LL
MOM
LL
MMO
L
MMM
L
MMM
LL
MM
LL
LL
L
MOMM
L
L
1
jiji PP 
Aqui, afirma-se que 1jiji PP −= , pois a operação elementar inversa de  →
↔ ji LL
 é ela mesma. 
3. Terceiro tipo: Soma da i -ésima linha com r vezes a j -ésima linha da matriz. Esta operação é 
esquematizada pela notação  →
+→ jii LLL r
, ou mais abreviadamente,  →
+ ji LL r
 e consiste em 
substituir a i-ésima linha da matriz pela soma da i-ésima linha com r vezes a j-ésima linha da mesma 
matriz. Neste caso, a matriz elementar associada é a matriz que resulta trocar por α o elemento ij da 
matriz identidade. 
Exemplo 1.21: Seja a matriz 










=










−
−
=
t
A3
t
A2
t
A1
l
l
l
A
,
,
,
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
. 
Se nessa matriz substitui-se a terceira linha pela soma dessa linha mais 3 vezes a primeira linha, ter-
se-á 










+
 →
+










t
A1
t
A3
t
A2
t
A1
13
t
A3
t
A2
t
A1
ll
l
l
LL
l
l
l
,,
,
,
,
,
,
3
3
, ou seja 
 










−−
−
=










⋅+⋅+⋅+−−⋅+
−
 →
+










−
−
0
1
0
13
0
2
2
3
0
3
2
1
030
1
0
237
0
2
032
3
0
)1(30
2
1
3
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
13 LL
. 
Agora, observe que 










 →
+










1
0
0
0
1
0
3
0
1
3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
13 LL
. Com isto, define-se a matriz elementar 










=
1
0
0
0
1
0
3
0
1
E , resultando, então, que 
.
0
1
0
13
0
2
2
3
0
3
2
1
31
0
0
0
1
0
3
0
1
0
1
0
7
0
2
2
3
0
0
2
1
1
0
0
0
1
0
3
0
1
,,
,
,
,
,
,










−−
−
=










+
=




















=










−
−










=
t
A1
t
A3
t
A2
t
A1
t
A3
t
A2
t
A1
ll
l
l
l
l
l
AE 
 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 23 
Em geral, a matriz elementar associada à operação  →
+ ji LL r
 é a matriz E , obtida pela operação 
E
LL
I ji  →
+r
. Em termos matriciais, 
linha. esima-
linha; ésima-
10
01
000
00
00
00
00
100
010
001
j
i
r ←
←
























=
LL
MOM
LL
MMO
L
MMM
L
MMM
LL
MM
LL
LL
L
MOMM
L
L
E 
 Mas, observando que a operação elementar  →
+ ji LL r
 é inversa da operação elementar 
 →
− ji LL r
 (ou seja, uma anula o efeito da outra sobre a linha aplicada), ou seja, para conseguir o 
resultado inverso de uma operação elementar de terceiro tipo, basta trocar o sinal do escalar r pode-
se obter a inversa da matriz E como 
linha. esima-
linha; ésima-
10
01
000
00
00
00
00
100
010
001
j
i
r ←
←
























−
=
−
LL
MOM
LL
MMO
L
MMM
L
MMM
LL
MM
LL
LL
L
MOMM
L
L
1E 
 
1.6 FORMAS ESCALONADAS DE MATRIZES 
 
Na verdade, existem vários tipos de matrizes na forma escalonada a partir de uma matriz de ordem arbitrária, 
[ ]
nmija ×=A . 
Primeiro, tem-se as matrizes na forma escalonada por linhas com pivô genérico: 
Definição 1.7: Uma matriz na forma escalonada por linhas com pivô genérico é uma matriz tal que: 
i. as linhas nulas são as últimas; 
ii. se jir é o primeiro elemento não nulo da i -ésima linha (tal elemento denominar-se-á pivô), então 
0=klr , para todo ik > e todo jl ≤ . 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 24 
Exemplo 1.22: As matrizes 












000
000
130
802
, 










3
0
0
0
1
0
0
0
1
, 










0
1
0
0
3
0
0
0
4
, 










0
5
0
0
0
2
0
0
3
 estão na forma escalonada por 
linhas com pivô genérico. Enquanto que as matrizes 












000
000
131
211
, 










1
1
1
0
0
0
1
0
1
, 










1
1
1
0
0
2
0
0
1
, 










0
4
1
0
0
2
1
0
0
, 










1
4
0
0
1
0
0
0
0
 não estão na forma escalonada por linhas. 
 
Dada uma matriz [ ]
nmija ×=A , ela tem associada várias matrizes na forma escalonada por linhas com pivô 
genérico. Esta última forma escalonada é muito útil para a resolução de sistemas de equações lineares, como 
vai ser visto no próximo capítulo, num processo denominado eliminação de Gauss. 
 
Mas, como será visto depois nesta seção, uma matriz [ ]
nmija ×=A pode originar várias (infinitas) matrizes na 
forma escalonada por linhas com pivô genérico. Para fins de unicidade da forma escalonada por linhas 
associada à matriz A , pode ser definida uma forma escalonada mais específica com pivô unitário. 
Definição 1.8: Uma matriz na forma escalonada por linhas com pivô unitário (ou simplesmente, matriz na 
forma escalonada por linhas) é uma matriz tal que: 
i. as linhas nulas são as últimas; 
ii. se jir é o primeiro elemento não nulo da i -ésima linha (tal elemento denominar-se-á pivô), então 
1=jir e 0=klr , para todo ik > e todo jl ≤ . 
O processo de conseguir uma matriz na forma escalonada por linhas é denominado escalonamento da 
matriz por linhas. 
O diagrama abaixo mostra umaforma prática de reconhecer uma matriz na forma escalonada por linhas: 
1=ijr é o primeiro elemento não nulo da i -ésima linha e todos os elementos 0=klr com ik > e jl ≤ 
 
Definição 1.9: Uma matriz na forma escalonada reduzida por linhas (também conhecida como forma 
escalonada de Gauss-Jordan) é uma matriz tal que satisfazem as condições i e ii da definição anterior e 
também 
iii. os elementos acima da mesma coluna de cada pivô são nulos. 
1 
só 
zeros 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 25 
Exemplo 1.23: As matrizes 












000
000
110
211
, 










1
1
1
0
1
0
0
0
1
, 










0
1
1
0
1
2
0
0
1
, 










0
1
1
0
0
2
0
0
1
 estão apenas na forma 
escalonada por linhas. As matrizes 












000
000
110
001
, 










1
0
0
0
1
0
0
0
1
, 










0
1
0
0
1
0
0
0
1
, 










0
1
0
0
0
2
0
0
1
 estão na forma 
escalonada reduzida por linhas. 
 
A obtenção da forma escalonada ou da forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz pode ser 
realizada pela aplicação de uma seqüência de operações elementares. 
Exemplo 1.24: Vai se obter a forma escalonada por linhas (com pivô unitário) da matriz 














=












−
−
−
=
t
A4
t
A3
t
A2
t
A1
l
l
l
l
A
,
,
,
,
0
1
2
2
1
1
0
1
2
1
1
1
. 
• Escolhe-se o elemento 0111 ≠=a como pivô. Então são zerados os elementos das posições (2,1), 
(3,1) e (4,1) mediante as operações elementares indicadas abaixo 












−
−
−
=












⋅−
+
−
−⋅−
−+−
−−
−
⋅−
+−
−
 →
−
+
−












−
−
−
4
3
0
2
3
2
1
1
0
0
0
1
220
21
22
2
)1(21
)1(1
)1(0
1
122
11
11
1
0
1
2
2
1
1
0
1
2
1
1
1
14
13
12
2LL
LL
LL
 
• A seguir, o elemento (2,2) da última matriz é escolhido como pivô, e com ele são zerados os 
elementos (2,3) e (2,4): 












−
−
=












⋅−−
⋅+
⋅−
⋅+−
−
 →
−
+












−
−
−
4
3
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
034
023
0
2
133
122
1
1
0
0
0
1
4
3
0
2
3
2
1
1
0
0
0
1
24
23
3LL
2LL
; 
• Enfim, o elemento (3,3) da última matriz é escolhido como pivô, e com ele é zerado o elemento 
(3,4): 











 −
 →











 −
=












⋅+−
−
 →
+












−
−
0
1
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
0
3
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
34
3
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
4
3
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
3
4
33
1
33
4
4 LLL
. 
Observe que a matriz na forma escalonada tem três linhas não nulas e uma linha nula. O número de linhas 
não nulas na forma escalonada de uma matriz recebe o nome de posto da matriz, e o número de linhas nulas 
chama-se a nulidade de uma matriz. Estes conceitos são importantes na resolução de sistemas de equações 
lineares que será visto em um capítulo posterior. 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 26 
Exemplo 1.25: Vai se obter a forma escalonada reduzida por linhas da matriz 












−
−
−
=
0
1
2
2
1
1
0
1
2
1
1
1
A . É aplicada 
uma seqüência de operações elementares na matriz: 
• Como no exemplo anterior, 0111 ≠=a é o pivô da primeira linha. Então são zerados os elementos 
das posições (2,1), (3,1) e (4,1) mediante as operações elementares indicadas abaixo 












−
−
−
 →
−
+
−












−
−
−
4
3
0
2
3
2
1
1
0
0
0
1
0
1
2
2
1
1
0
1
2
1
1
1
14
13
12
2LL
LL
LL
, 
• como o pivô da segunda linha é 1, não precisa multiplicar a segunda linha por algum escalar, e agora, 
com esse pivô, zeram-se os elementos (1,2), (3,2) e(4,2) (acima e embaixo do pivô): 












−
 →
−
+
+












−
−
−
4
3
0
2
0
0
1
0
0
0
0
1
3
2
4
3
0
2
3
2
1
1
0
0
0
1
2
2
21
LL
LL
LL
4
3
, 
• faz-se o pivô da terceira linha igual a 1: 












−
 →












− 4
1
0
2
0
0
1
0
0
0
0
1
4
3
0
2
0
0
1
0
0
0
0
1
33
1 L
, 
• sendo o pivô da terceira linha igual a 1, agora, zeram-se os elementos (1,3) e (4,3) ((2,3) já e zero): 












 →
−
−












− 0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
4
2
4
1
0
2
0
0
1
0
0
0
0
1
3
31
LL
LL
4
. 
Definição 1.10: Seja 












=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
A uma matriz quadrada. O traço da matriz A , denotado por 
)(Atr , é definido como a soma dos elementos da diagonal principal da matriz, ou seja, 
nnaaatr +++= L2211)(A . 
 
 
1.7 TRIANGULARIZAÇÃO DE UMA MATRIZ QUADRADA 
 
A aplicação das operações elementares sobre as linhas de uma matriz quadrada para zerar os elementos 
de uma coluna a partir do elemento ii, , pode levar, em certos casos, a conseguir uma matriz triangular 
superior a partir de uma matriz quadrada. Este processo é denominado triangularização, e conduz a 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 27 
fatorações especiais de uma matriz quadrada, conhecidas como fatoração LU. Ilustrar-se-á este processo 
com exemplos práticos. 
 
Exemplo 1.26: Aqui será mostrado o processo de triangularização sem pivoteamento, ou seja, sem 
permutação de linhas. Seja a matriz 














=












=
t
A4
t
A3
t
A2
t
A1
l
l
l
l
A
,
,
,
,
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
2
1
0
2
. 
• O elemento não nulo 211 =a é o pivô da primeira linha, e baseado nesse elemento, vamos zerar os 
elementos da mesma coluna “abaixo” dele, ou seja, os elementos 1ia com 1>i . Para isto, são feitas 
as operações elementares mostradas abaixo 
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
14
12
1
3
ALL
LL
A =












−
−
−
=












−
⋅−
−
⋅−
−
⋅−
−
⋅−
 →
−
−












=
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
2
11
10
1
1
11
11
0
1
10
10
1
1
22
21
0
2
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
2
1
0
2
2
1
. 
A matriz (produto de duas matrizes elementares) associada às duas operações elementares realizadas 
é 1E onde 
1
14
12
1
3
ELL
LL
=











−
−
 →
−
−












1001
010
0010
0001
1000
0100
0010
0001
2
1
, sendo que 11 AAE = . 
• Considerando a matriz 1A , o elemento 2,2 é 1 (não nulo) e baseado nesse novo pivô, vamos zerar os 
elementos da mesma coluna “abaixo” dele, ou seja, os elementos 2,i com 2>i . Para isto, são feitas 
as operações elementares mostradas abaixo 
.
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
2
10
1
1
1
00
0
0
1
11
1
1
1
00
00
0
2
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
24
22
1
3
2
1
2
1
2
11 A
LL
LL
A =












=












+
⋅+−
+
⋅−
+−
⋅+−
+
⋅+
 →
+
+












−
−
−
=
 A matriz (produto de duas matrizes elementares) associada às duas operações elementares realizadas 
é 2E onde 
2
24
22
1
3
ELL
LL
=












 →
+
+












1010
010
0010
0001
1000
0100
0010
0001
2
1
, sendo que 212 AAE = . 
• Considerando a matriz 2A , o novo pivô é o elemento 3,3 que é 1/2 (não nulo), mas observe que não 
precisa zerar o elemento 4,3 que já é nulo. 
Como a matriz 2A é triangular superior, será chamada de U (do inglês upper: superior). 
Assim, tem-se que AEEAEAU 12122 === . 
Logo, ( ) AEAEEEUE 1121212 == −− , e daí, ( ) AAEEUEE 1111211 == −−− , ou seja, UEEA 1211 −−= . Mas, 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 28 












=












−
−
=
−
1001
010
0010
0001
1001
010
0010
0001
2
1
2
1
1
11 EE e 












−
−
=












=
−
1010
010
0010
0001
1010
010
0010
0001
2
1
2
1
1
22 EE 
Estas inversas podem ser deduzidas observando que a operação elementar  →
+ ji LL r
 é inversa da 
operação elementar  →
− ji LL r
 (ou seja, uma anula o efeito da outra sobre a linha aplicada). Assim, como 
já foi explicado anteriormente, para conseguir o resultado inverso de uma operação elementar de terceiro 
tipo, basta trocar o sinal do escalar r . 
Também, observe que 












−
−
=












−
−












=
−−
1011
01
0010
0001
1010
010
0010
0001
1001
010
0010
0001
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1 EE . Como a matriz 
1
2
1
1 EE
−−
 é 
triangular inferior, será chamada de L (do inglês lower: inferior). Enfim, tem-se que ULA = , ou, por 
extenso, 
 ULA
2
1
2
1
2
1 =












⋅












−
−
=












=
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
2
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
2
1
0
2
. 
Esta fatoração da matriz A recebe o nome de fatoração LU sem pivoteamento, pois não foi feita 
permutação de linhas alguma. 
Exemplo 1.27: Aqui será mostrado o processo de triangularização com pivoteamento, ou seja, com 
permutação de linhas. Seja a matriz 










=










−
−=
t
A3
t
A2
t
A1
l
l
l
A
,
,
,
110
111
210
. 
• O elemento 011 =a e ele não pode constituir um pivô. Mas, pode ser feita, então, uma permutação de 
linhas, primeira e segunda: 
1
21 ALLA =










−
−
 →
↔










−
−=
110
210
111
110
111
210
. 
A matriz elementar associada às duas operações elementares realizadas é 12121 PP −=










=
100
001
010
. 
sendo que 121 AAP = . 
• O elemento não nulo 1,2 igual a 1 agora é o pivô, mas, neste caso, não precisa zerar os elementos da 
mesma coluna “abaixo” dele, pois eles já são nulos. 
• Considerando a matriz 1A , o elemento 2,2 é 1 (não nulo) e com este novo pivô, vamos zerar os 
elementos da mesma coluna “abaixo” dele, ou seja, os elementos 2,i com 2>i . Para isto, são feitas 
as operações elementares mostradas abaixo 
.
300
210
111
211100
210
111
110
210
111
2
23
1 A
LLA =










−
−
=










−−−−
−
 →
−










−
−
= 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: Matrizes 
 29 
A matriz elementar associada à operação elementar realizada é 2E onde 
2
23 ELL =










−
 →
−










110
010
001
100
010
001
, sendo que 212 AAE = . 
Como a matriz 2A é triangular superior, denomina-se U . 
Assim, tem-se que APEAEAU 212122 === . 
Logo, ( ) APAPEEUE 212121212 == −− , e daí, ( ) AAPPUEP 2112112121 == −−− , ou seja, UEPA 12121 −−= . Mas, 










=
−
100
001
010
1
21P e 










=










−
=
−
110
010
001
110
010
001
1
22 EE 
Agora, observe que 




















=
−−
110
010
001
100
001
010
1
2
1
21 EP . Como a matriz 12E
−
 é triangular inferior denomina-se 
L e tem-se que ULPA = , ou, por extenso, 
ULPA =






























=










−
−=
110
010
001
110
010
001
100
001
010
110
111
210
. 
onde P é uma matriz de permutação, L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular 
superior. Esta fatoração de A é conhecida como a fatoração LU com pivoteamento parcial (por linhas), 
pois foi preciso encontrar um pivô mediante a permutação de linhas. 
 
1.8 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA 
Nesta seção, é apresentado um algoritmo para o cálculo da matriz inversa mediante operações elementares. 
Para começar, tem-se uma propriedade: 
 
Propriedade 1.8: Seja A uma matriz quadrada. Então as três afirmações seguintes são equivalentes: 
1. uma forma escalonada por linhas de A é a matriz identidade I ; 
2. a matriz A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares; 
3. a matriz A é invertível. 
A prova desta propriedade está fora do alcance deste capítulo e será provado no capítulo posterior. 
 
Algoritmo de Cálculo da Matriz Inversa: 
 
Dada a matriz quadrada A invertível, existe uma seqüência de matrizes elementares que conduzem à matriz 
identidade AEEEI 12k ⋅⋅⋅⋅= K . Nessas condições, basta expressar 12k
1 EEEA ⋅⋅⋅=− K . 
 
Uma maneira prática de fazer isto é criar uma matriz da forma [ ]IA M e, mediante operações elementares 
chegar, se possível, à forma escalonada reduzida por linhas [ ]BI M . Ter-se-á que 1AB −= . Caso a forma 
escalonada reduzida por linhas não seja da forma [ ]BI M pode-se afirmar que a inversa de A não existe. 
Exemplo 1.28: Seja a matriz 





=
43
21
A . Então leva-se [ ]IA M à sua forma escalonada reduzida por 
linhas: 
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 1: