Lista 4 de Geometria Básica

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GGM 00161 - Geometria Ba´sica - UFF Lista 4 Profa. Lhaylla Crissaff
1. Encontre a a´rea de um losango qualquer em func¸a˜o de suas diagonais.
2. Se dois triaˆngulos ABC e DEF sa˜o semelhantes com raza˜o de semelhanc¸a k, mostre que
AABC
ADEF
= k2.
3. Na figura 1, ABCD e EFGH sa˜o quadrados, AMFNR = 1 e AQRPH = 4. Determine ALIJK .
Figura 1: Questa˜o 3.
4. Determine a a´rea do losango, sabendo que o lado mede 5cm e uma das diagonais mede 8cm.
5. Na figura 2, ABCD e´ um quadrado, m(BC) = m(QC), m(RD) = 3cm, APQR = 75cm2 e a altura de PAB relativa
ao lado AB e´ igual a` 4cm. Determine a medida do lado do quadrado.
Figura 2: Questa˜o 5.
6. A base de um retaˆngulo de a´rea A e´ aumentada em 20% e sua altura e´ diminuı´da em 20%. Calcule a a´rea do novo
retaˆngulo em func¸a˜o de A.
7. Considere o trape´zio da figura 3. Se a altura do trape´zio e´ 4, calcule o mo´dulo da diferenc¸a entre as a´reas dos triaˆngulos
pintados com a cor cinza.
Figura 3: Questa˜o 7.
A´rea 1
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8. Considere os triaˆngulos retaˆngulos iso´sceles ABC e BDC, como na figura 4. Determine a raza˜o
AABC
ABDC
.
Figura 4: Questa˜o 8.
9. Demonstre que a a´rea de um triaˆngulo de lados a, b e c e´ dada pela fo´rmula
A =
»
p(p− a)(p− b)(p− c),
onde p =
a+ b+ c
2
.
10. Determine a a´rea dos retaˆngulos da figura 5, sendo centı´metro a unidade de medida.
(a) 10a (b) 10b (c) 10c
Figura 5: Questa˜o 10
11. Determine a a´rea dos paralelogramos da figura 6, sendo centı´metro a unidade de medida.
(a) 11a (b) 11b (c) 11c
Figura 6: Questa˜o 11
12. Determine a a´rea dos triaˆngulos da figura 7, sendo centı´metro a unidade de medida.
(a) 12a (b) 12b (c) 12c
Figura 7: Questa˜o 12
A´rea 2
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13. Determine a a´rea dos losangos da figura 8, sendo metro a unidade de medida.
(a) 13a (b) 13b (c) 13c
Figura 8: Questa˜o 13
14. Determine a a´rea dos trape´zios da figura 9, sendo metro a unidade de medida.
(a) 14a (b) 14b (c) 14c (d) 14d
Figura 9: Questa˜o 14
15. A a´rea de um retaˆngulo e´ 40cm2 e sua base excede em 6cm sua altura. Determine a altura do retaˆngulo.
16. Um retaˆngulo tem 24cm2 de a´rea e 20cm de perı´metro. Determine suas dimenso˜es.
17. As bases de um trape´zio iso´sceles medem 4cm e 12cm. Determine a a´rea desse trape´zio, sabendo que o semiperı´metro
do trape´zio e´ igual a 13cm.
18. Uma das bases de um trape´zio excede a outra em 4cm. Determine as medidas dessas bases, sendo 40cm2 a a´rea do
trape´zio e 5cm a altura.
19. O perı´metro de um losango e´ 60cm. Calcule a medida de sua a´rea, sabendo que a sua diagonal maior vale o triplo da
menor.
20. Determine a a´rea de um losango, sendo 120cm o seu perı´metro e 36cm a medida de sua diagonal menor.
21. Determine o lado de um quadrado, sabendo que se aumentarmos seu lado em 2cm, sua a´rea aumenta em 36cm2.
22. Determine a a´rea de um quadrado cujo perı´metro e´ igual ao perı´metro de um retaˆngulo cuja base excede em 3cm a altura,
sendo 66cm a soma do dobro da base com o triplo da altura.
23. Determine a a´rea de um retaˆngulo em func¸a˜o de sua diagonal d, sabendo que a diagonal e´ o triplo de sua altura.
24. As bases de um trape´zio retaˆngulo medem 3m e 18m, e o perı´metro 46m. Determine a a´rea.
25. De um losango, sabemos que uma diagonal excede a outro em 4m e que esta, por sua vez, excede o lado em 2m.
Determine a a´rea desse losango.
A´rea 3
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26. Na figura, ABCD e´ um paralelogramo de a´rea S e M e´ o ponto me´dio de CD. Determine a a´rea da regia˜o sombreada,
como na figura 10, em func¸a˜o de S.
Figura 10: Questa˜o 26.
27. Mostre que a a´rea do triaˆngulo e´ a metade do produto de dois lados pelo seno do aˆngulo entre eles.
28. Utilizando a fo´rmula obtida no exercı´cio anterior, calcule a a´rea do triaˆngulo nos casos da figura 11, sendo metro a
unidade de medida.
(a) 29a (b) 29b (c) 29c
Figura 11: Questa˜o 31
29. Mostre que a a´rea do paralelogramo e´ o produto de dois lados consecutivos pelo seno do aˆngulo entre eles.
30. Determine a a´rea do paralelogramo dos casos da figura 12, sendo o metro a unidade de medida.
(a) 30a (b) 30b (c) 30c (d) 30d-m(AC) = 16 e
m(BD) = 24
Figura 12: Questa˜o 30
A´rea 4
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Respostas:
1. Demonstrac¸a˜o
2. Demonstrac¸a˜o
3. ALIJK = 5
4. 24cm2
5. 6cm
6. 0, 96A
7. 6
8. 2
9. Demonstrac¸a˜o
10. (a) 120cm2
(b) 48
√
3cm2
(c) 81
√
3cm2
11. (a) 28cm2
(b) 90
√
3cm2
(c) 24cm2
12. (a) 60cm2
(b) 48cm2
(c) 16
√
3cm2
13. (a) 120m2
(b) 72
√
2m2
(c) 96
√
3m2
14. (a) 210m2
(b) 180m2
(c) 32
√
3m2
(d) 21
√
3m2
15. 4cm
16. 6cm e 4cm
17. 24cm2
18. 6cm e 10cm
19. 135cm2
20. 864cm2
21. 8cm
22. 7294 cm
2
23. 2
√
2d2
9
24. 96m2
25.
S
12
26. Demonstrac¸a˜o
27. (a) 30m2
(b) 12
√
2m2
(c) 9
√
3m2
28. Demonstrac¸a˜o
29. (a) 90m2
(b) 36
√
3m2
(c) 40m2
(d) 96
√
3m2
30. (a) A = 25pi e C = 10pi
(b) A = 36pi e C = 12pi
(c) A = pid
2
4 e C = pid
(d) A = 52pi e C = 4
√
13pi
(e) A = 36pi e C = 12pi
A´rea 5