Aula de Retas Geometria analitica

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Retas
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Equação Vetorial 
Sejam um ponto A=(x1,y1,z1) e um vetor não nulo v=(a,b,c)
Teorema: Existe somente uma reta r que passa por A e tem direção de v. Um ponto P=(x,y,z) є r se, e somente se, o vetor AP = (x-x1,y-y1,z-z1) é paralelo a v, isto é AP = tv, para todo t є R
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Equação Vetorial
Daí, P-A= tv ou P = A + tv
Ou em coordenadas
(x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) que é chamada de equação vetorial da reta r
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Exemplo
Encontre a equação vetorial da reta que passa por A=(1,-1,4) e tem a direção de v=(2,3,2). Verifique também se o ponto P=(5,5,8) pertence a esta reta
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Equações Paramétricas
Sabemos que a equação vetorial da reta que passa por A=(x1,y1,z1) e tem direção de v=(a,b,c) é:
(x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) ou ainda
(x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc)
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Equações Paramétricas
Usando a igualdade de dois vetores na expressão (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc) temos as seguintes equações paramétricas
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Exemplo 2
Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v=(1,-2,3) pede-se:
A) escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v
B) Encontrar dois pontos B e C de r de parâmetros t=1 e t=4 respectivamente
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Exemplo 2
C) determinar o ponto de r cuja abscissa é 4
D) verificar se os pontos D=(4,-1,2) e E=(5,-4,3) pertencem a r
E) Determinar para que valores de m e n o ponto F=(m,5,n) pertence a r
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Exemplo 2
F) escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r
G) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G=(5,2,-4) e é paralela a r
H) Escrever equações paramétricas da reta u que passa por A e é paralela ao eixo y
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Reta Definida por 2 Pontos
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem direção do vetor v=AB
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Exemplo 3
Escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A=(3,-1,2) e B(1,2,4)
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Equação Paramétrica de um Segmento de Reta
Considere um segmento de reta cujos pontos extremos sejam A=(x1,x2,x3) e B = (y1,y2,y3). Assim as equações paramétricas do segmento de reta tendo por direção o vetor AB, são
Para t є [0,1]
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Nota
Quando t=0 nas equações anteriores (x,y,z)=A 
Quando t=1 (x,y,z)=B 
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Equações Simétricas
Das equações paramétricas tem-se
Supondo que a ≠0, b ≠0 e c ≠ 0 tem-se
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Equações Simétricas
Como, para cada ponto da reta corresponde um só valor de t obtemos igualdades
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Notas
As equações do slide anterior são chamadas de equações simétricas da reta que passa por A=(x1,y1,z1) e é paralela ao vetor (a,b,c)
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Exemplo
Encontre as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A=(3,0,-5) e tem a direção do vetor v=(2,2,-1)
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Equações Reduzidas
Seja a reta r definida pelo ponto A=(x1,y1,z1) e pelo vetor diretor v=(a,b,c) as equações simétricas da reta são:
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Equações Reduzidas
A partir destas equações, pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. Vamos isolar as variáveis y e z e expressá-las em função de x
Estas duas últimas equações são chamadas equações reduzidas da reta
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Exemplo
Dadas as equações reduzidas da reta y=mx+n, z=px+q, encontre um vetor diretor
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Retas paralelas aos planos coordenados
Uma reta é paralela a um dos planos x0y ou y0z se seus vetores diretores forem paralelos ao plano correspondente. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula
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Exemplo
Seja a reta r que passa pelo ponto A=(-1,2,4) e tem o vetor diretor v=(2,3,0)
Note que a terceira componente de v é nula e a reta é paralela a x0y
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Analogamente, uma reta r1 com vetor diretor do tipo v=(a,0,b) é paralela a x0z e uma reta r2 com vetor diretor do tipo v=(0,a,b) é paralela a y0z
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Retas paralelas aos eixos coordenados
Uma reta é paralela a um dos eixos coordenados 0x,0y ou 0z se seus vetores diretores forem paralelos a i=(1,0,0), j=(0,1,0) ou k=(0,0,1)
Neste caso, duas das componentes do vetor são nulas
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Exemplo
Desenhe a reta que passa por A=(2,3,4) e tem a direção do vetor v=(0,0,3)
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Ângulo de duas retas
Sejam as retas r1 e r2 com as direções v1 e v2, respectivamente
Chama-se ângulo de duas retas o menor ângulo formado pelos vetores diretores
Logo, sendo teta este ângulo tem-se:
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cosθ = |(u . v)| /( | u | | v |)
Com 0<= θ<= pi/2
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Exemplo
Calcule o ângulo entre as retas
r1=: x=3+t,y=t,z=-1-2t
r2: (x+2)/-2=(y-3)/1=z/1
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Exemplo
Verifique se as retas são ortogonais
r1: y=-2x+1,z=4x
r2: x=3-2t,y=4+t,z=t
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Reta ortogonal a duas retas
Sejam r1 e r2 duas retas não paralelas com vetores diretores v1 e v2 respectivamente
Seja r uma reta com vetor diretor v de tal forma que r é ortogonal a r1 e r é ortogonal a r2
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Assim, sabemos que v.v1 =0 e v.v2=0
Um vetor v que satisfaz o sistema anterior é dado por v=v1 x v2
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Definido, então, o vetor diretor v, a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos
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Exemplo
Determinar a equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-1) e é ortogonal às retas 
r1:(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,-4)
r2: x=5, y=t, z=1-t
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Retas coplanares
Duas retas r1 :a1(x1,y1,z1),v1=(a1,b1,c1) e r2:a2(x2,y2,z2),v2=(a2,b2,z2) são coplanares se os vetores v1, v2 e a1a2 forem coplanares, isto é, se [v1,v2,a1a2]=0
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Exemplo
Determine o valor de m para que as retas sejam coplanares
R1:y=mx+2,z=3x-1
R2:x=t,y=1+2t,z=-2t
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Posição Relativa de duas Retas
Duas retas r1 e r2 no espaço podem ser:
Paralelas: v1//v2 interseção r1 e r2 é vazia
Concorrentes: a interseção de r1 e r2 é {I} onde I é o ponto de interseção. Neste caso as retas tem que ser coplanares
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Posição Relativa de duas Retas
Reversas: não coplanares. Neste caso a interseção de r1 e r2 é vazia
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Exemplo
Estudar a posição relativa das retas
Primeiro caso
R1:y=2x-3,z=-x
R2:x=1-3t,y=4-6t,z=3t
Segundo caso
R1:x/2=(y-1)/-1=z
R2:x=2-4t,y=2t,z=-2t+1
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Terceiro caso
R1:(x-2)/2=y/3=(z-5)/4
R2:x=5+t,y=2-t,z=7-2t
Quarto caso
R1:y=3,z=2x
R2:x=y=z
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Interseção de duas retas
Se duas retas se interceptam, elas são coplanares, isto é, estão situadas no mesmo plano. Neste caso, são ditas concorrentes
Se duas retas não são coplanares, elas são ditas reversas. Supõe-se que as retas não são paralelas
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Exemplo
Verifica se as retas r1 e r2 são concorrentes e, em caso afirmativo, determinar o ponto de interseção
Primeiro caso
 r1:y=-3x+2,z=3x-1
r2:x=-t,y=1+2t,z=-2t