Introdução ao projeto estrutural de fundações

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UNIVERSIDADEFEDERAL DE GOIÁS 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
CAMPUS CATALÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO AO DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE ELEMENTOS DE 
FUNDAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CATALÃO – GO, 2013. 
 
 ii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 iii 
INTRODUÇÃO AO DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE ELEMENTOS DE 
FUNDAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aulas para a disciplina de Estrutura 
de Concreto Armado III. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Rodrigo Gustavo Delalibera 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CATALÃO – GO, 2013 
 
 iv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 v
ÍNDICE 
CAPÍTULO 1 1 
INTRODUÇÃO 1 
1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS 1 
CAPÍTULO 2 2 
ESCOLHA DO TIPO DE FUNDAÇÃO 2 
2.1. PROCEDIMENTOS 2 
2.1. FUNDAÇÕES A SEREM PESQUISADAS 2 
2.1.1. FUNDAÇÃO RASA 3 
2.1.2. FUNDAÇÃO EM ESTACAS 3 
2.1.3. FUNDAÇÃO EM TUBULÕES 5 
CAPÍTULO 3 6 
FUNDAÇÕES RASAS 6 
3.1. COMENTÁRIOS INICIAIS 6 
3.2. TIPOS DE FUNDAÇÕES RASAS 6 
3.2.1. SAPATAS ISOLADAS 6 
3.2.2. SAPATAS CORRIDA 7 
3.2.3. SAPATAS ASSOCIADAS 7 
3.2.4. GRELHA 9 
3.2.5. BLOCOS DE FUNDAÇÃO 9 
3.2.6. RADIER 10 
3.3. DIMENSIONAMENTO DE RADIERS 11 
3.3.1. CÁLCULO POR MÉTODOS ESTÁTICOS 11 
3.3.2. CÁLCULO POR MÉTODOS NUMÉRICOS 14 
3.3.3. EXEMPLO DE DIMENSIONAMENTO DE RADIER – ESFORÇOS SOLICITANTES. 19 
 
 
 vi 
CAPÍTULO 4 25 
BLOCOS SOBRE ESTACAS 25 
4.1. COMENTÁRIOS INICIAIS 25 
4.2. CRITÉRIOS DE PROJETOS DE BLOCOS SOBRE ESTACAS 27 
4.2.1. PROCEDIMENTOS GERAIS DO PROJETO 27 
4.2.2. DISTÂNCIA ENTRE EIXOS DE ESTACAS 28 
4.2.3. MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS PARA BLOCOS SOLICITADOS POR FORÇA 
VERTICAL E MOMENTO 29 
4.2.4. CLASSIFICAÇÃO DOS BLOCOS SOBRE ESTACAS 30 
4.2.5. DISTÂNCIA DO EIXO DA ESTACA ATÉ A FACE DO BLOCO 30 
4.2.6. LIGAÇÃO ESTACA-BLOCO 31 
4.2.7. RECOMENDAÇÕES SOBRE EXCENTRICIDADES ACIDENTAIS 31 
4.2.8. ANCORAGEM DA ARMADURA PRINCIPAL DE TRAÇÃO – TIRANTE 32 
4.2.9. DETALHAMENTOS DAS ARMADURAS SECUNDÁRIAS 35 
4.3. MÉTODO DE DIMENSIONAMENTO 37 
4.4. DIMENSIONAMENTO DE BLOCOS SOBRE N ESTACAS 38 
4.5. COMENTÁRIOS FINAIS 41 
BIBLIOGRAFIA 43 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
INTRODUÇÃO 
 
 
1.1. Considerações iniciais 
 
Este texto trata de assuntos relativos ao projeto e dimensionamento de 
elementos especiais de fundações que não são empregados usualmente em 
estruturas correntes, como: radiers e blocos sobre n estacas. 
A finalidade deste texto é orientar é dar subsídios aos alunos de graduação 
para o projeto de estruturas de fundações. 
A escolha do tipo de fundação para uma determinada construção é feita após 
estudo que considere as condições técnicas e econômicas da obra. Por meio do 
conhecimento dos parâmetros do solo, da intensidade das ações, dos edifícios 
limítrofes e dos tipos de fundações disponíveis no mercado, o engenheiro pode 
escolher qual a melhor a alternativa para satisfazer tecnicamente e economicamente o 
caso em questão. 
O projeto e execução de fundações requerem conhecimentos de geotecnia e 
cálculo estrutural. Por exemplo, imaginado-se o caso de um edifício de concreto 
armado, construído num terreno sem vizinhos, em geral, a estrutura é calculada por 
um engenheiro de estruturas que supõe os apoios indeslocáveis, daí resultando um 
conjunto de ações externas (forças verticais, horizontais e momentos) que é passado 
ao projetista de fundações. 
Com auxílios de informações técnicas sobre geotecnia, o engenheiro de 
fundações projeta e dimensiona os elementos de fundações. Acontece que estas 
fundações, quaisquer que sejam, quando em serviço, solicitarão o terreno, que se 
deforma, e estas deformações resultam deslocamentos verticais (recalques), 
horizontais e rotações. Com isto, a hipótese usual de apoios indeslocáveis fica 
prejudicada, e nas estruturas hiperestáticas, que são a grande maioria, os esforços 
solicitantes inicialmente calculados são modificados. Chega-se assim, ao conhecido 
problema de interação solo-estrutura. 
Portanto, o projeto de estrutura deve estar integrado ao projeto de fundações. 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
ESCOLHA DO TIPO DE FUNDAÇÃO 
 
 
2.1. Procedimentos 
 
A escolha de uma fundação para uma determinada construção só deve ser 
feita após constatar que a mesma satisfaz às condições técnicas e econômicas da 
obra em questão. Para tanto devem ser conhecidos os seguintes elementos: 
– Proximidade dos edifícios limítrofes bem como seu tipo de fundação e estada da 
mesma; 
– Natureza e características do subsolo no local da obra; 
– Intensidades das ações a serem transmitidas para a infra-estrutura; 
– Tipos de fundações existentes no mercado. 
 
O problema é resolvido por exclusão, escolhendo-se entre os tipos de 
fundações existentes, aquelas que satisfaçam tecnicamente ao caso em análise. A 
posteriore é feito um estudo comparativo de custos dos diversos tipos selecionados 
visando com isso escolher o mais viável economicamente. 
Quando não se dispõe dos esforços solicitantes oriundos do cálculo estrutural é 
possível estimar as ações atuantes nas fundações por meio de valores médios. Por 
exemplo, em se tratando de edifícios correntes de concreto armado (destinados a 
moradia ou escritório) pode-se adotar uma ação uniformemente distribuída entre 
10 kN/m2 e 12 kN/m2 (por pavimento). 
 
2.1. Fundações a serem pesquisadas 
 
No mínimo as seguintes fundações necessitam serem pesquisadas. 
 
 
 3 
2.1.1. Fundação rasa 
É o primeiro tipo de fundação a ser pesquisada. A ordem de grandeza da taxa 
admissível é obtida por: 
 
(MPa)
50
SPT
σ
médio
s = , para solos com SPT ≥ 20 (2.1) 
sendo: 
– σs a pressão de pré-adensamento de solos predominantemente argilosos, 
expressa em Pa. 
 
Em princípio este tipo de fundação só é vantajoso quando a área ocupada pela 
fundação abranger, no máximo, de 50 % a 70 % da área disponível. 
De uma maneira geral, este tipo de fundação não deve ser usado nos 
seguintes casos: 
– Aterro compactado; 
– Argila mole; 
– Areia fofa e muito fofa; 
– Existência de água onde o rebaixamento do lençol freático não se justifica 
economicamente. 
 
2.1.2. Fundação em estacas 
Dentre as fundações em estacas existem: 
– Brocas; 
– Strauss; 
– Pré-moldadas de concreto; 
– Franki; 
– Metálicas; 
– Tipo mega; 
– Escavadas; 
 
As Brocas são aplicadas para ações de pequenas intensidades (de 50 kN a 
100 kN), acima do nível da água. Possuem diâmetro variável, entre 15 cm e 25 cm e 
comprimento do fuste em torno de 3 m. 
As estacas tipo Strauss abrangem a faixa de força compreendida entre 200 kN 
e 800 kN. Apresentam a vantagem de não provocar vibrações, evitando desse modo 
danos às construções vizinhas, mesmo nos casos em que estas se encontrem em 
 
 4 
situação relativamente precária. Quando executadas uma ao lado da outra (estacas 
justapostas), podem servir de cortina de contenção para execução de subsolos (desde 
de que devidamente armadas). 
Não é recomendável sua utilização abaixo do nível da água, principalmente se 
o solo for arenoso, visto que se pode tornar inviável drenar a água do subsolo dentro 
do tubo e, portanto, impedir a concretagem (que deve ser feita a seco). Também no 
caso de argilas moles saturadas, pois poderá ocorrer estrangulamento do fuste 
durante a concretagem. 
As Pré-moldadas de concreto abrangem as forças de 200 kN a 2400 kN. Não 
se deve utilizar este tipo de estacas nos casos descritos abaixo: 
– Terrenos com presençade matacões ou camadas de pedregulhos; 
– Terrenos em que a previsão da conta de ponta da estaca seja muito variável, de 
modo que não seja possível selecionar regiões de comprimento constantes; 
– Situações em que as construções vizinhas se encontrem em estado “precário”, 
quando as vibrações causadas pela cravação dessas estacas possam criar danos. 
As estacas do tipo Franki abrangem a faixa de força de 200 kN a 1500 kN e 
seu processo executivo (cravação de um tubo com a ponta fechada e execução de 
base alargada) causa muita vibração. Não é recomendada sua utilização nos 
seguintes casos: 
– Terrenos com matacões; 
– Construções vizinhas em estado precário; 
– Terrenos com camadas de argila mole saturada (estrangulamento do fuste análogo 
ao caso da estaca Strauss). 
As estacas Metálicas, geralmente constituídas por perfis simples ou 
compostos, tubos ou tribos, abrangem a faixa de força entre 400 kN a 3000 kN. 
Embora, atualmente seja o tipo de estaca mais cara, por unidade de carga, a mesma 
pode ser uma solução vantajosa nos casos descritos: 
– Quando não se deseja vibração durante a cravação (principalmente se forem perfis 
simples); 
– Quando servem de apoio a pilares de divisa, pois eliminam o uso de vigas de 
equilíbrio e ajudam no escoramento, caso de subsolos (perfis com pranchões de 
madeira). 
As do tipo Mega, geralmente construídas em concreto, são cravadas com 
auxílio de um macaco hidráulico reagindo contra a estrutura. Normalmente são 
utilizadas em reforços de fundações. 
Estacas Escavadas, geralmente construídas com lama bentonítica e utilizadas 
em situações de forças elevadas (acima de 1500 kN), competindo em custo com 
 
 5 
tubulões a ar comprimido. Não provocam vibrações, porém necessitam de área 
relativamente grande para a instalação dos equipamentos necessário para a sua 
execução. 
Estacas com hélice contínua, se equivalem com as estacas escavadas. 
 
2.1.3. Fundação em tubulões 
Existem dois tipos de tubulões, a céu aberto e a ar comprimido (com camisa de 
aço ou concreto). 
Os tubulões a céu aberto são utilizados acima no nível da água e, os tubulões 
a ar comprimido são construídos em situações em que a cota de arrasamento da base 
do tubulão esta abaixo do nível da água, quando não é possível esgotar a mesma. 
Os tubulões a céu aberto são utilizados praticamente para qualquer faixa de 
força. Não produzem vibrações durante sua execução e seu limite de carga é 
condicionado à área de sua base. O diâmetro da base deve ser limitado a 4 m e o 
fuste deve ter diâmetro maior ou igual a 70 cm. 
A tensão admissível do solo da camada de apoio da base é obtida por meio da 
Expressão 2.2. 
 
(MPa)
30
SPT
σ
médio
s = , para solos com SPT ≥ 20 (2.2) 
sendo: 
– σs a pressão de pré-adensamento de solos predominantemente argilosos. 
 
Os tubulões a ar comprimido são usualmente empregados para forças com 
grande intensidade (acima de 3000 kN). O diâmetro da base e a tensão admissível 
obedecem às mesmas diretrizes dos tubulões a céu aberto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 
FUNDAÇÕES RASAS 
 
3.1. Comentários iniciais 
 
As fundações rasas são as que se apóiam logo abaixo da infra-estrutura e se 
caracterizam pela transmissão das ações ao solo por meio das pressões distribuídas 
sobre sua base. Neste grupo incluem-se os blocos de fundação, sapatas isoladas, 
sapatas corrida, sapatas associadas, grelhas e radier. 
 
3.2. Tipos de fundações rasas 
 
3.2.1. Sapatas isoladas 
Transmitem ações de um único pilar. É o tipo de sapata mais utilizada. Estas 
podem receber ações centradas ou excêntricas. Podem ser quadradas, retangulares 
ou circulares. E podem ainda ter a altura constante ou variável (chanfrada). A Figura 
3.1 apresenta este tipo de sapata. 
 
 
Figura 3.1 – Sapatas isoladas. 
 
 7 
3.2.2. Sapatas corrida 
Sapata sujeita a ação distribuída. Geralmente utilizada com fundações de 
muros de arrimo, muros de divisa e fundações de pequenas construções. A Figura 3.2 
apresenta a fundação em questão. 
Também podem ser utilizadas para fundações de pilares. Em situações em que 
os pilares são posicionados um ao lado do outro com espaçamentos relativamente 
curtos, de maneira que, se fossem utilizadas sapatas isoladas, estas se aproximariam 
ou mesmo se sobreporiam a uma base adjacente, uma sapata corrida contínua é 
então desenvolvida na linha dos pilares (Figura 3.3). 
 
 
Figura 3.2. – Sapatas corrida contínua. 
 
VIGA DE RIGIDEZ PILAR
 
Figura 3.3. – Sapatas corrida para pilares. 
 
3.2.3. Sapatas associadas 
Transmitem ações de dois ou mais pilares adjacentes. São utilizadas quando a 
distância entre as sapatas é relativamente pequena. 
Com condições de carregamento similares, podem ser assentes em uma 
sapata corrida simples (Figura 3.4), mas quando ocorrem variações consideráveis de 
carregamento, um plano de base trapezoidal satisfaz adequadamente à imposição de 
coincidir o centro geométrico da sapata com o centro das ações. 
 
 8 
Podem ser adotadas também no caso de pilares de divisa, quando há um pilar 
interno próximo não sendo necessário à utilização de vigas de equilíbrio (Figura 3.5). 
Caso necessário, a viga de rigidez também poderá funcionar como viga de equilíbrio 
(ou viga-alavanca). 
 
VIGA DE RIGIDEZ PILAR
 
Figura 3.4. – Sapata associada retangular. 
 
VIGA DE RIGIDEZ PILAR
 
Figura 3.5. – Sapata associada em divisa. 
 
No caso de pilares posicionados junto a divisa do terreno (Figura 3.6), o 
momento produzido pelo não alinhamento da ação com a reação deve ser absorvido 
por uma viga, viga de equilíbrio, apoiada nas sapatas junto a divisa e em uma sapata 
construída para pilar interno. A NBR 6122:1996 indica que, quando ocorrer redução 
das ações, caso do projeto da sapata interna, esta deve ser dimensionada 
considerando-se apenas 50% de redução da força; e quando da soma dos alívios 
totais puder resultar tração na fundação do pilar interno, o projeto deve ser reavaliado. 
 
 9 
D
IV
IS
A
VIGA−ALAVANCA
 
Figura 3.6. – Sapata com viga de equilíbrio. 
 
3.2.4. Grelha 
Elemento de fundação constituído por um conjunto de vigas que se cruzam nos 
pilares. 
 
3.2.5. Blocos de fundação 
São elementos de grande rigidez, executados com concreto simples ou 
ciclópico, dimensionados de modo que as tensões de tração existentes possam ser 
resistidas pelo concreto. Podem ter suas faces verticais, inclinadas ou escalonadas e 
apresentar em planta seção quadrada ou retangular (figura 3.7). 
 
 
Figura 3.7 – Sapata com viga de equilíbrio. 
 
 
 
 10 
3.2.6. Radier 
 
Quando as áreas das bases das sapatas totalizam mais de 70% da área do 
terreno recomenda-se a utilização de radier. Trata-se de uma sapata associada, 
formando uma laje espessa que abrange todos os pilares da obra ou ações 
distribuídas. O radier pode ser executado com e sem vigas. A Figura 3.8 apresenta 
este tipo de fundação. 
Atualmente o radier tem sido largamente utilizado em construções de casas 
populares, em função da facilidade de execução. 
É preciso tomar alguns cuidados quando se projetar uma fundação em radier: o 
S.P.T. deverá ser superior ou no máximo igual a 20; não é aconselhável a utilização 
de radier em aterros e em solos que apresentam perfil geológico decrescente (ou seja, 
o valor do S.P.T. diminui com o aumento da profundidade das camadas). 
 
 
VIGA
LAJE
PILAR
LAJE
VIGA
 
Figura 3.8 – Sapata com viga de equilíbrio. 
 
 
Quanto à forma estrutural os radiers são projetados segundo quatro tipos 
principais: radiers lisos; radiers com pedestais ou cogumelos; radiers nervurados; 
radiers em caixão. Os tipos descritos foram classificados em ordem crescente da 
rigidez relativa.11 
3.3. Dimensionamento de radiers 
 
Existem alguns métodos para o dimensionamento estrutural de radiers, entre 
eles estão: método estático; sistema de vigas sobre base elástica; método da placa 
sobre solo de Winkler; método das diferenças finitas; métodos dos elementos finitos. 
Trataremos neste texto sobre os métodos estático e dos elementos finitos. 
Quanto ao dimensionamento geotécnico, valem às mesmas considerações 
utilizadas do dimensionamento das sapatas. 
 
3.3.1. Cálculo por métodos estáticos 
Como no caso das vigas de fundação, os esforços internos em radiers podem 
ser calculados pelos chamados métodos estáticos, que são métodos que se baseiam 
em hipóteses sobre a distribuição das pressões de contato, como: 
– Pressões variando linearmente sob o radier; 
– Pressões são uniformes nas áreas de influência dos pilares. 
 
Estas duas hipóteses podem ser vistas na Figura 3.9. A primeira hipótese se 
aplica aos radiers classificados como rígidos, enquanto que a segunda hipótese 
aplica-se aos radiers flexíveis. Assim, o cálculo seguindo a primeira hipótese será 
chamado de cálculo com variação linear de pressões, e o cálculo que segue a 
segunda hipótese será chamado de cálculo pela área de influência dos pilares. 
 
 
Figura 3.9 – Pressões de contato em radier: a) variação linear ao longo do radier; b) 
pressões constantes na faixa de influência dos pilares. 
 
Nos métodos estáticos nenhuma consideração é feita quanto à compatibilidade 
de deformações do solo e da estrutura com as reações do solo. Leva-se em conta, 
apenas o equilíbrio estático das ações atuantes e da reação do terreno. Esses 
métodos são indicados, apenas, para o cálculo dos esforços internos na fundação 
 
 12 
para seu dimensionamento estrutural e não para avaliação da distribuição dos 
recalques. 
 
3.3.1.1. Cálculo como radier rígido ou com variação linear de pressões 
Um cálculo por método estático em que se admite variação linear de pressões 
de contacto coincide com aquele em que o radier é suposto rígido sobre o solo de 
Winkler. Num cálculo deste tipo, as pressões de contacto são determinadas a partir, 
apenas, da resultante do carregamento (ver Figura 3.10). 
 
R
Radier
q .b1
q .b2
b
Faixa
Modelo de
cálculo
 
Figura 3.10 – Pressões de contato em radier: a) variação linear ao longo do radier; b) 
pressões constantes na faixa de influência dos pilares. 
 
As equações das pressões de contacto sob sapatas rígidas sobre solo de 
Winkler podem ser utilizadas. 
Este método é normalmente utilizado para radiers de grande rigidez relativa, 
como no caso de radiers nervurados e em caixão. Para efeito de análise, o radier é 
dividido em dois conjuntos de faixas ortogonais. Segundo o ACI (1994), um radier 
pode ser considerado rígido se o espaçamento entre colunas ℓ atender a expressão 
3.1. 
 
4
4
75,1
IE
bk
c
v
⋅⋅
⋅
≤l 
(3.1) 
Sendo: 
 
 13 
– b, a largura da faixa de influência da linha de colunas; 
– kv, o coeficiente de reação vertical (corrigido para a forma e dimensão do radier); 
– Ec.I, é o módulo de rigidez da faixa. 
 
E se a variação nas forças e espaçamentos das colunas não forem maiores 
que 20%. 
Para dimensionamento estrutural, as faixas são calculadas como vigas de 
fundação independentes. As pressões de contacto atuantes em cada faixa são 
projetadas para o eixo das vigas para um cálculo como elemento unidimensional 
(Figura 3.10). O problema a resolver recai, então, naquele em que as vigas têm suas 
pressões de contacto supostas variando linearmente (Figura 3.9). 
 
3.3.1.2. Cálculo pela área de influência dos pilares 
O cálculo pela área de influência dos pilares é geralmente aplicado em radiers 
de rigidez relativa média. O procedimento a seguir é explicado por meio da Figura 
3.11, basicamente, deve-se fazer: 
– Determinar a área de influência de capa pilar, Ai; 
– Calcular a pressão média nesta área: 
i
i
i A
Fq = (3.2) 
– Determinar uma pressão média atuando nos painéis (média ponderada dos qi 
naquele painel); 
– Calcular, como num pavimento de superestrutura, os esforços nas lajes e vigas e 
as reações nos apoios (pilares); 
 
Se as reações nos apoios forem muito diferentes das forças nos pilares, deve-
se redefinir as pressões médias nos painéis. 
Este método é análogo àquele em que as vigas têm suas pressões de contacto 
supostas uniformes nas áreas de influência dos pilares (Figura 3.11b). Por outro lado, 
considera-se a força dos pilares sem majoração, a despeito da aproximação que é 
feita na definição das pressões de contato. 
 
 
 
 
 
 14 
Fi
iA
 
Figura 3.11 – Esquema de cálculo de um radier pela área de influência dos pilares. 
 
3.3.2. Cálculo por métodos numéricos 
Os cálculos por métodos estáticos são trabalhosos além de não apresentarem 
bons resultados, em função disto, as soluções numéricas ganham força. Neste texto 
são apresentados dois métodos para o dimensionamento estrutural de radiers: 
Analogia de Grelha e o Método dos Elementos Finitos. 
Para que os resultados sejam mais representativos faz-se necessário a 
modelagem do solo, para isto, podê-se adotar as hipóteses de Winkler (para os casos 
de Analogia de grelhas e Métodos dos Elementos Finitos) ou considerar o solo como 
meio contínuo (apenas no caso do Método dos Elementos Finitos). 
 
3.3.2.1. Modelos discretos de representação do solo 
A representação do solo em análise numérica pode ser feita de duas maneiras: 
por meio de molas (modelos discretos com comportamento linear ou não – Hipótese 
de Winkler); e, representado com um meio contínuo (elástico e linear ou não). 
Quem primeiro representou o solo como um sistema de molas com resposta 
linear foi Winkler (1867) apud Velloso & Lopes (1996). Este tipo de representação é 
denominado Modelo de Winkler ou Hipótese de Winkler. Segundo o modelo, as 
pressões de contato são proporcionais aos deslocamentos. Este modelo pode ser 
utilizado tanto para carregamentos verticais, como por exemplo, radiers, sapatas e 
vigas de fundação, quanto para ações horizontais, como é o caso de estacas sob 
forças horizontais e estruturas de escoramento de escavações. 
 
 15 
A Equação 3.3 e Figura 3.12, exprimem a hipótese de Winkler. 
 
wKF v ⋅= (3.3) 
 
w
w
F = K .w
v
K
v
 
Figura 3.12 – Esquema de cálculo de um radier pela área de influência dos pilares. 
 
A constante de proporcionalidade Kv é usualmente chamada de coeficiente de 
reação vertical, porém, também é chamada por alguns autores de módulo de reação 
ou coeficiente de mola. 
Este modelo também é conhecido como modelo de fluido denso, uma vez que 
seu comportamento é análogo ao de uma membrana assente sobre fluido denso e, 
também porque as unidades do coeficiente de reação são as mesmas do peso 
específico (dimensão F.L-3). 
O coeficiente de reação vertical, definido pela Equação 3.3 pode ser obtido por 
meio de: ensaio de placa; cálculo do recalque da fundação real e uso de tabelas de 
valores típicos. 
Aos valores do coeficiente de reação obtido por meio do ensaio de placa cabe 
fazer correções de dimensão e forma. Essas correções são necessárias, pois, o 
coeficiente obtido por meio do ensaio não é uma propriedade do solo, mas, uma 
resposta a uma força aplicada por uma dada estrutura. Desta maneira, define-se o 
coeficiente de mola por meio da Equação 3.4. 
 
s
solo
I
E
B
1
1
1K 2v ⋅
−
⋅=
ν
 (3.4) 
 
 
sendo: 
– Kv, o coeficiente de mola; 
– B, a menor dimensão da fundação (sapata, viga ou radier); 
 
 16 
– νsolo, o coeficiente de Poisson do solo; 
– Esolo, o módulo de elasticidade do solo, e; 
– Is, o fator de forma da fundação. 
 
Por meio da Equação 3.4 observa-se que quanto maior a fundação (maior olado B), menor o coeficiente Kv e, quanto mais a forma da fundação se distancia da 
quadrada ou circular, tendendo para uma forma retangular mais alongada, também 
menor do valor de Kv. 
O módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do solo podem ser obtidos 
por meio de valores tabelados fornecidos por Bowles (1982). A Tabela 3.1 traz valores 
de módulos de elasticidade de alguns solos em função do S.P.T. e da resistência de 
ponta de um tubulão ou estaca. A Tabela 3.2 coeficientes de Poisson para alguns tipos 
de solo. 
 
Tabela 3.1 – Módulo de deformação do solo em função do SPT e Rp, Bowles (1982). 
Tipo de solo 
Módulo de deformação do solo (Esolo) 
Es = f(SPT) 
(KPa) 
Es = f(Rp) 
(KPa e kN) 
Areia Es = 500(SPT +15) Es = 2 a 4 Rp 
Areia argilosa Es = 320(SPT + 15) Es = 3 a 6 Rp 
Areia siltosa Es = 300(SPT + 6) Es = 1 a 2 Rp 
Areia/pedregulho Es = 1200(SPT + 6) - 
Argila mole - Es = 6 a 8 Rp 
 
Tabela 3.2 – Coeficiente de Poisson para diferentes tipos de solos, Bowles (1982). 
Tipo de solo Coeficiente de Poisson - 
νννν 
Argila 
Saturada 0,4 -0,5 
Não saturada 0,1 – 0,3 
Arenosa 0,2 – 0,3 
siltosa 0,3 – 0,35 
Areia 
Densa 0,2 – 0,4 
Fofa* e grossa 0,15 
Fofa* e fina 0,25 
Rocha Variação em função do tipo de rocha 0,1 – 0,4 
Nota: (*) índice de vazios compreendido entre 0,4 e 0,7. 
 
Os fatores de forma da fundação também podem ser obtidos por meio de 
valores tabelados, utilizando as recomendações de Perloff (1960) apud Velloso & 
Lopes (1996). A Tabela 3.3 apresenta os coeficientes de forma para sapatas, os quais, 
poderão ser utilizados para os radiers. 
 
 17 
 
Tabela 3.3 – Coeficiente de forma, Perloff (1960) apud Velloso & Lopes (1996). 
Forma Largura(B)
Compr.(L)
 
Sapata flexível Sapata 
rígida centro canto Média 
Circular - 1 0,64 0,85 0,79 
quadrada - 1,12 0,56 0,95 0,99 
 1,5 1,36 0,67 1,15 1,06* 
 2 1,52 0,76 1,30 1,20* 
 3 1,78 0,88 1,52 - 
 5 2,10 1,05 1,83 1,70* 
 10 2,53 1,26 2,25 2,10* 
 100 4,00 2,00 3,70 3,40* 
 100 5,47 2,75 5,15 - 
Nota: (*) de acordo com Bowles (1982). 
 
A outra maneira de representar o solo é considerá-lo na análise como meio 
contínuo. O meio contínuo pode ter comportamento elástico e elasto-plástico. O 
segundo caso só possível ser solucionado por meio dos Métodos dos Elementos 
Finitos. 
A Figura 3.13 mostra a representação solo em radiers utilizando a hipótese de 
Winkler e meio contínuo. 
 
Molas
RadierRadier
Meio
Contínuo
 
Figura 3.13 – Representação do solo por meio de molas e meio contínuo. 
 
 
 
3.3.2.2. Processo de analogia de grelha 
O processo baseia-se na substituição de um pavimento (laje e vigas) por uma 
grelha equivalente, em que as barras da grelha representam os elementos estruturais 
do pavimento (lajes e vigas, no caso de radier, somente a placa). Este processo 
permite reproduzir o comportamento estrutural de pavimentos com praticamente 
 
 18 
qualquer geometria, seja ele composto de lajes de concreto armado maciças, com ou 
sem vigas, ou de lajes nervuradas. Dessa maneira, deve-se dividir as lajes em um 
número adequado de faixas, as quais terão largura dependentes da geometria e das 
dimensões do pavimento (discretização, aconselha-se adotar distância entre nós em 
torno de cinqüenta centímetros). Essas faixas são substituídas por elementos de 
barra, obtendo-se um grelha (equivalente) que representa o pavimento. 
As propriedades geométricas das barras da grelha equivalente são de dois 
tipos: as do elemento placa (laje ou radier) e as do elemento viga-placa (viga-laje ou 
viga-radier). 
O cálculo da inércia à flexão dos elementos de placa (If) é feito considerando-
se uma faixa de largura b, a qual é dada pela soma da metade dos espaços entre os 
elementos vizinhos (distância entre nós) e, altura h (espessura da placa). A Expressão 
3.5 fornece essa inércia. A rigidez à torção (It), no estádio I, segundo Hambly (1976) 
apud Carvalho & Figueiredo Filho (2005), é o dobro da rigidez a flexão (Expressão 
3.6). 
 
12
hbI
3
f
⋅
= (3.5) 
6
hbI2I
3
ft
⋅
=⋅= (3.6) 
 
Para o elemento de viga-placa, na flexão, pode-se considerar uma parta da 
placa trabalhando como mesa da viga, configurando-se então, dependendo da 
posição, uma viga de seção T ou meio T. Uma vez determinada a largura colaborante, 
a inércia à flexão da seção resultante pode ser calculada supondo que o elemento 
esteja trabalhando tanto no estádio I como no II. 
Como indicado em Carvalho (1994), pode-se considerar o valor da inércia à 
torção do elemento viga, no estádio II, igual a 10% daquele dado pela resistência dos 
materiais. 
A Expressão 3.7 mostra a inércia à torção a ser considerada em elementos 
viga. 
30
hbI
3
t
⋅
= (3.7) 
 
Os valores do módulo de deformação longitudinal à compressão do concreto 
(Ec), do módulo de deformação transversal do concreto (Gc) e do coeficiente de 
 
 19 
Poisson (ν) relativo às deformações elásticas podem ser determinados a partir das 
recomendações da NBR 6118:2003. 
Maiores detalhes da modelagem de pavimentos podem ser obtidas em 
Delalibera (2005). 
 
3.3.3. Exemplo de dimensionamento de radier – esforços solicitantes. 
Neste item é apresentado um exemplo para a determinação dos esforços 
solicitantes em radiers. 
Trata-se um uma edificação hipotética, apresentada por meio da Figura 3.14. 
Constituída por alvenaria estrutural de blocos cerâmicos (19 x 19 x 9), laje maciça e 
radier. Demais informações podem ser vistas na Figura 3.14. 
Considerou-se para o solo sob o radier uma areia com SPT igual a 30 para 
uma espessura de 5m. Após esta profundidade, admitiu-se SPT impenetrável. O 
módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do concreto foram obtidos por meio 
das Tabelas 3.1 e 3.2. Já o módulo de deformação longitudinal e o coeficiente de 
Poisson do concreto foram determinados por meio das recomendações da NBR 
6118:2003. 
O solo foi modelo como meio contínuo (Figura 3.13), e o radier como placa. 
Para isto utilizou-se programa de computador baseado no Método dos Elementos 
Finitos. O solo foi modelado por meio de um elemento tridimensional com oito nós 
sendo que cada nó tinha três graus de liberdade por nó (translações nas direções x, y 
e z), enquanto que o radier foi modelado com um elemento de placa com três nós e 
seis graus de liberdade por nó (translações e rotações nas direções x, y e z). 
A seguir são apresentadas as propriedades mecânicas dos materiais utilizados 
na análise. 
– Esolo = 22,5 MPa (módulo de deformação longitudinal do solo); 
– νsolo = 0,3 (coeficiente de Poisson do solo); 
– Ecs = 23800 MPa (módulo de deformação longitudinal do concreto); 
– ν = 0,2 (coeficiente de Poisson do concreto). 
 
 
 20 
 
Figura 3.14 – Exemplo de aplicação, estrutura hipotética. 
 
A Figura 3.15 apresenta a discretização utilizada para o caso em questão. 
Aconselha-se que o solo seja representado com as dimensões sugeridas na Figura 
3.15. 
 
 
Figura 3.15 – Discretização da estrutura hipotética. 
 
Todo o carregamento da estrutura foi aplicado nos nós. 
O peso próprio da estrutura é considerado automaticamente pelo programa de 
computador. 
As forças oriundas das paredes posicionadas sobre a laje também foram 
aplicadas nos nós da placa, para isso, utilizou-se a Equação 3.6. 
 
 
 21 
l⋅=
n
F
F parnós,par (3.6) 
onde: 
– Fpar é a carga da parede por unidade de comprimento; 
– ℓ é o comprimento da parede; 
– n é número de nós existentes no comprimento da parede. 
 
As forças utilizadas para a análise estrutural do radier foram obtidas com o 
auxílio da NBR 6120:1980. A seguir são descritas algumas propriedades do edifício 
hipotético necessárias para a determinação dessas forças. 
– Altura das paredes: 2,80 m; 
– Forroe contra-piso – espessura de 30 mm; 
– Impermeabilização: 1,0 kN/m2; 
– Paredes internas e externas: tijolos furados – 13 kN/m3. 
 
A sobrecarga de utilização também foi determinada por meio da NBR 
6120:1980. Considerou-se ação acidental na laje igual 0,5 kN/m2. 
A Tabela 3.4 mostra o resumo das cargas utilizadas para a análise do 
pavimento tipo do edifício. 
 
Tabela 3.4 – forças atuantes no pavimento. 
Tabela de forças 
Descrição Forças 
Paredes internas 6,16 kN/m 
Piso, contra-piso 1,0 kN/m2 
Impermeabilização 1,0 kN/m2 
Ação acidental no radier 1,5 kN/m2 
Ação acidental e revestimento na laje de forro (argamassa de 
cimento, cal e areia, espessura de 15 mm). 0,77 kN/m
2
 
 
A classificação das ações segundo a NBR 8681:1984 são descritas a seguir: 
– Ações permanentes: peso próprio da estrutura, paredes de fechamento e internas, 
piso, contra-piso, regularização e impermeabilização; 
– Ações variáveis: sobrecarga de utilização. 
 
Os Estados Limites de Serviço de deformação excessiva (ELS-DEF) e de 
abertura das fissuras (ELS-W) também devem ser verificados com as combinações de 
ações sugeridas pela NBR 6118:2003: quase permanente para o caso de ELS-DEF e 
 
 22 
freqüente para o caso de ELS-W. Neste exemplo apenas serão apresentados os 
esforços solicitantes referente ao Estado Limite Último. 
A Figura 3.16 mostra o radier deformado sobre o solo. Observa-se que a área 
de influência do radier é praticamente à mesma utilizada na modelagem. 
A Figura 3.17 apresenta dos deslocamentos ocorridos somente no radier. 
 
 
Deslocamentos em metros. 
Figura 3.16 – Radier e solo deformados. 
 
 
Deslocamentos em metros. 
Figura 3.17 – Radier deformado. 
Por meio dos diagramas de isomomentos apresentados nas Figuras 3.18, 3.19 
e 3.20 procede-se o dimensionamento estrutural do radier quanto às tensões normais. 
 
 23 
 
 
Momentos em kNm (mx, paralelo ao maior lado) 
Figura 3.18 – Momento fletor na direção X, mx. 
 
 
Momentos em kNm (my, paralelo ao menor lado) 
Figura 3.19 – Momento fletor na direção Y, my. 
 
 
 
 24 
 
Momentos em kNm (mxy é o momento volvente) 
Figura 3.20 – Momento fletor na direção X0Y, mxy. 
 
É válido lembrar que verificações das tensões de cisalhamento devem ser 
verificadas. Estas verificações são análogas aos procedimentos aplicados às lajes 
maciças. Caso existam no radier pilares, a verificação da punção também deve ser 
feita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 
BLOCOS SOBRE ESTACAS 
 
 
4.1. Comentários iniciais 
 
As fundações em estacas são adotadas quando o solo em suas camadas 
superficiais não é capaz de suportar ações oriundas da superestrutura, sendo 
necessário, portanto, buscar resistência em camadas profundas. Quando for 
necessária a utilização de fundação em estacas, faz-se necessário a construção de 
outro elemento estrutural, o bloco de coroamento, também denominado bloco sobre 
estacas. Nos casos de fundações em tubulões também há necessidade de blocos de 
coroamento para transferência das ações. 
Blocos sobre estacas são importantes elementos estruturais cuja função é 
transferir as ações da superestrutura para um grupo de estacas. Esses elementos 
estruturais, apesar de serem fundamentais para a segurança da superestrutura, 
geralmente não permitem a inspeção visual quando em serviço, sendo assim, é 
importante o conhecimento de seu real comportamento nos Estados Limites de 
Serviço e Último. A Figura 4.1 ilustra esse elemento estrutural. 
 
 
Figura 4.1 – Bloco sobre estacas. 
 
 26 
Grande parte das pesquisas desenvolvidas em relação ao tema nos últimos 
anos, concentra-se em dois tipos de análise: análise teórica elástica e linear 
compreendendo a analogia das bielas e tirantes e a teoria de viga e análise de 
resultados experimentais. Normalmente emprega-se a teoria de viga nos blocos ditos 
flexíveis e a analogia das bielas e tirantes nos blocos chamados de rígidos. Fica 
evidenciado que para o dimensionamento e verificação desses elementos estruturais, 
é necessário o prévio conhecimento de suas dimensões. 
O comportamento estrutural de blocos sobre estacas pode ser definido 
utilizando-se a analogia de bielas e tirantes, por ser tratarem de regiões descontínuas, 
onde não são válidas as hipóteses de Bernoulli. No modelo de bielas e tirantes as 
verificações de compressão nas bielas são as mesmas que as do Modelo de Blévot & 
Frémy (1967), porém as tensões nas regiões nodais (entende-se por regiões nodais as 
ligações estaca-bloco e pilar-bloco) têm valores diferentes das tensões limites 
sugeridas por Blévot. O Código Modelo do CEB-FIP (1990) sugere geometrias para os 
nós das regiões nodais, sendo possível realizar as verificações de tensões nessas 
regiões. 
O modelo de bielas e tirantes pode ser adotado considerando o fluxo de 
tensões na estrutura, utilizando o processo do caminho das mínimas forças, sugerido 
por Schlaich et al. (1987). Estas tensões podem ser obtidas por meio de uma análise 
elástica e linear ou não, utilizando métodos numéricos, como por exemplo, o método 
dos elementos finitos. 
Segundo a NBR 6118:2003, “blocos são estruturas de volume usadas para 
transmitir às estacas as cargas de fundação”, ou seja, todas as dimensões externas 
têm a mesma ordem de grandeza. São tratados como elementos estruturais especiais, 
que não respeitam a hipótese das seções planas permanecerem planas após a 
deformação, por não serem suficientemente longos para que se dissipem as 
perturbações localizadas. A NBR 6118:2003 classifica o comportamento estrutural dos 
blocos em rígidos ou flexíveis. No caso de blocos rígidos o modelo estrutural adotado 
para o dimensionamento pode ser tridimensional, linear ou não, e modelos de biela-
tirante tridimensionais, sendo esse último o preferido por definir melhor a distribuição 
de forças nas bielas e tirantes. A NBR 6118:2003 não traz em seu texto 
recomendações para verificação e dimensionamento deste elemento, apenas sugere 
quais os critérios a utilizar. 
Neste texto serão tratados os critérios de dimensionamento de blocos sobre n 
estacas. 
 
 
 27 
4.2. Critérios de projetos de blocos sobre estacas 
 
4.2.1. Procedimentos gerais do projeto 
O primeiro passo no projeto de blocos sobre estacas é a definição do tipo de 
estaca a ser usada. 
Conhecendo-se as ações atuantes no pilar (força normal, momentos fletores e 
forças cortantes) e definido o tipo de estaca e sua carga admissível determina-se o 
número de estacas por pilar. Outras considerações devem ser feitas nesta fase do 
projeto como, a consideração do efeito de grupo de estacas e estacas com forças 
horizontais. Fundações submetidas a forças horizontais moderadas podem ser 
dimensionadas com estacas verticais, distribuindo-se a força horizontal entre as 
estacas, desde que se respeite capacidade horizontal; se as estacas estiverem 
submetidas a forças horizontais elevadas, as camadas superiores do solo deverão 
resistir a estas forças sem que ocorra movimento lateral excessivo, se isto não for 
possível adotam-se estacas inclinadas. Os procedimentos para cálculo de forças 
horizontais em estacas verticais são baseados em hipóteses simplificadas, uma 
solução mais realista seria a consideração da interação estaca-solo. 
Determinado o número de estacas, faz-se a distribuição em planta em relação 
ao pilar. É recomendável, sempre que possível que o centro geométrico do 
estaqueamento coincida com o centro geométrico do pilar. A disposição das estacas 
deve ser feita sempre que possível de modo a obter blocos de menor volume. 
Os projetistas, de maneira geral, usam distribuições de estacas associando-os 
com modelos padronizados de blocos, mostrados na Figura 3.2, respeitandoos 
valores mínimos para os espaçamentos entre eixos de estacas e distâncias das faces 
do bloco aos eixos das estacas mais próximas. Obedecendo a essas recomendações, 
as dimensões dos blocos são minimizadas e, desde que a altura seja compatível 
obtém-se blocos rígidos, entretanto, o espaçamento entre estacas pode ser 
aumentado e se a altura não for compatível resultará em blocos flexíveis, ou seja, 
distâncias maiores entre estacas e alturas pequenas resultam blocos flexíveis, que 
têm comportamento semelhante às vigas de concreto armado. 
Dependo da configuração adotada para disposição das estacas haverá 
deslocabilidade em relação aos eixos ortogonais dos blocos como. No caso de bloco 
sobre uma ou duas estacas deve ser empregado um elemento estrutural, por exemplo, 
viga baldrame, para conferir indeslocabilidade horizontal. No caso de pilares de divisa 
deve-se recorrer ao uso de viga de equilíbrio. 
 
 28 
l√3/6
l√3/3
l
2 estacas
3 estacas
4 estacas 5 estacas
l√2/2 l√2/2
l√2/2
l√2/2
l/2 l/2
l
l/2 l/2
l/2
l/2
l
l/2 l/2
 
Figura 4.2 – Bloco sobre estacas. 
 
4.2.2. Distância entre eixos de estacas 
A consideração de valores mínimos de espaçamento entre estacas é 
necessária em virtude do efeito de grupo de estacas. O inchamento da superfície do 
solo causado pela cravação de estacas pouco espaçadas em material compacto ou 
incompressível deve ser minimizado e, portanto, é necessário que haja um 
espaçamento mínimo entre estacas. 
A NBR 6118:2003 sugere que o valor de espaçamento entre eixos de estacas 
deva estar compreendido entre 2,5 vezes a 3 vezes o diâmetro destas. 
Alguns autores adotam o espaçamento mínimo entre as estacas da ordem de 
2,5 vezes o diâmetro no caso de estacas pré-moldadas e 3,0 vezes para estacas 
moldadas “in loco”. Para ambos os casos esse valor não deve ser inferior a 60 cm. 
Calavera (1991) sugere valores de separação mínima entre estacas de 2 vezes 
a 3 vezes o seu diâmetro. 
Montoya (2000) indica que deve ser adotado para espaçamento entre estacas 
o menor valor entre: 2 vezes o diâmetro da estaca, 75 cm ou 1,75 vez a diagonal (no 
caso de blocos quadrados). 
 
 
 29 
4.2.3. Método da superposição dos efeitos para blocos solicitados por força 
vertical e momento 
O método da superposição consiste em calcular a reação em cada estaca 
somando-se separadamente os efeitos da ação vertical e dos momentos. Para ser 
válido o procedimento, os eixos x e y devem ser os eixos principais de inércia e as 
estacas devem ser verticais, do mesmo tipo, comprimento e diâmetro. A força 
resultante (Ri) em uma estaca genérica i com coordenadas (xi, yi) é dada pela 
Expressão 4.1. 
 
2
i
iy
2
i
ix
e
d
i
x
xM
y
yM
n
NR
∑
±
∑
±= (4.1) 
 
Em que, Nd é a força normal, Mx é o momento em torno do eixo X e My é o 
momento em torno do eixo Y. Os momentos são considerados positivos conforme a 
indicação da figura 4.3. 
 
My
C.G. x
i
x i
y i
Nd
M y
x
N
d
M
My
 
Figura 4.3 – Determinação das reações nas estacas, Alonso (1983). 
 
Na verdade o que este método faz nada mais é do que aplicar a fórmula de 
flexão composta da Resistência dos Materiais, uma vez que as hipóteses coincidam, 
 
 30 
ou seja, consideração de bloco infinitamente rígido e reações das estacas 
proporcionais aos respectivos deslocamentos (na direção do eixo da estaca), 
supondo-se ainda que todas as estacas tenham mesmo comprimento e desprezando-
se as pressões de apoio do bloco no terreno. 
 
4.2.4. Classificação dos blocos sobre estacas 
Os blocos sobre estacas podem ser classificados como rígidos ou flexíveis. 
Essa classificação se dá com relação ao comportamento estrutural do bloco. A maioria 
dos autores faz esta classificação com relação entre a altura do bloco e a distância do 
centro da estaca mais afastada até a face do pilar. A classificação dos blocos em 
rígidos e flexíveis vai definir o comportamento estrutural do modelo. 
A NBR 6118:2003, sugere para blocos rígidos espaçamento mínimo entre 
estacas de 2,5 vezes a 3 vezes o diâmetro destas e os considera rígidos se a 
inequação apresentada na Expressão 4.2 for satisfeita. 
 
( )
3
aa
h p
−
≥ (4.2) 
onde: 
– h é a altura do bloco; 
– a é a dimensão do bloco em uma determinada direção; 
– ap é a dimensão do pilar na mesma direção. 
 
Segundo a NBR 6118:2003 os blocos rígidos têm comportamento estrutural 
caracterizado por trabalho à flexão nas duas direções com trações nas linhas sobre as 
estacas; as forças são transmitidas por meio de bielas de compressão com formas e 
dimensões complexas; o trabalho ao cisalhamento também se dá nas duas direções, 
não apresentando ruptura por tração diagonal e sim por compressão das bielas. No 
caso de blocos flexíveis deve ser feita uma análise mais completa. 
 
4.2.5. Distância do eixo da estaca até a face do bloco 
Projetistas e alguns autores como Andrade (1989) e Alonso (1983) sugerem 
que a distância mínima entre o eixo da estaca e a face do bloco deve ser igual a 15 cm 
somado a meio diâmetro da estaca. 
Calavera (1991) e Montoya (2000) sugerem que a distância entre qualquer 
ponto do perímetro da estaca até a borda do bloco não deva ser inferior ao raio da 
estaca nem a 25 cm. 
 
 31 
 
4.2.6. Ligação estaca-bloco 
Calavera (1991) e Montoya (2000) considerando recomendações práticas 
sugerem que a ponta superior da estaca deve ser embutida no bloco não menos que 
10 cm e não mais que 15 cm. 
A união entre a estaca e o bloco pode variar dependendo do tipo de estaca e 
do processo de construção. 
 
dh
c
φ est
φ
2
est
≥ 25 cm
10 cm
 lastro de concreto
10 cm a 15 cm
 
Figura 4.4 – União de bloco e estaca, Calavera (1991). 
 
4.2.7. Recomendações sobre excentricidades acidentais 
A tendência do uso de estacas de grande diâmetro, por razões econômicas, 
conduz muitas vezes a blocos sobre um número menor de estacas, como é o caso de 
blocos sobre uma ou duas estacas. Calavera (1991) faz uma importante consideração 
para o caso de compressão centrada em blocos sobre uma ou duas estacas. Em 
virtude das incertezas na execução desses elementos sugere que se adote uma 
excentricidade acidental mínima, que é levada em consideração no projeto do bloco. 
Para os valores da excentricidade acidental pode-se adotar: 
– e = 5 cm, em obras com alto controle de execução; 
– e = 10 cm, em obras com controle de execução normal; e 
– e = 15 cm, em obras com baixo controle de execução. 
 
 32 
e e
 
Figura 4.5 – Excentricidade acidental em blocos sobre uma e duas estacas, 
Calavera (1991). 
 
4.2.8. Ancoragem da armadura principal de tração – tirante 
A NBR 6118:2003 indica que as barras de armadura dispostas nas faixas 
definidas pelas estacas devem se estender de face a face do bloco e terminar em 
gancho nas duas extremidades. A ancoragem das armaduras de cada uma dessas 
faixas deve ser garantida e medida a partir da face interna das estacas. Pode ser 
considerado o efeito favorável da compressão transversal às barras, decorrente da 
compressão das bielas. Destaca-se que esse procedimento já é adotado pelo meio 
técnico. 
Andrade (1989) também admite que a armadura principal que deve ser mantida 
constante em toda a extensão do vão entre as estacas e convenientemente ancorada 
nas extremidades do bloco. Admite ainda que a armadura adicional longitudinal, 
quando constituída de barras pouco espaçadas entre si, tem o efeito de cintamento 
(confinamento) das bielas, aumentando então a capacidade resistente do bloco. Tal 
efeito ainda não foi estudado a fundo. Essas afirmações são baseadas em outras 
análises, feitas principalmente por Burke (1978). 
Considerando dados experimentais fornecidos por Minor & Jirsa (1975)e 
Marques & Jirsa (1975), Burke (1978) determinou a capacidade resistente das 
ancoragens (ganchos) de extremidade das barras para blocos de estacas alinhadas 
adotando uma condição favorável e admitindo que a região que envolve os ganchos 
esteja confinada transversalmente por barras finas (estribos). Para blocos com estacas 
não alinhadas admite-se uma condição muito favorável, pois o confinamento é feito 
com barras com grande diâmetro. Definidas estas condições e o diâmetro das barras 
determina-se a força resistente de cálculo dos ganchos, esta força é subtraída da força 
 
 33 
a ancorar. Além disso, pode-se considerar um aumento no valor da tensão de 
aderência com o aumento das pressões transversais na barra ancorada. 
Calavera (1991) sugere que o comprimento de ancoragem das barras da 
armadura principal de tração deve ser contado a partir do eixo da estaca. Considera 
ainda que o comprimento de ancoragem possa ser diminuído em 20%, redução esta 
admitida pela boa condição de aderência produzida pela compressão transversal das 
barras por conta da reação nas estacas e da força da biela. Sugere ainda que, se o 
comprimento de ancoragem reta não for suficiente pode-se adotar gancho sempre 
que: 
 
b
1 8,0
7,0
l
l
≥ (4.3) 
 
Pode-se adotar também prolongamentos verticais (ℓ2) tal que: 
 
7,0
8,08,0
7,0
1
b2b
1
2
l
lll
l
l −=→=+ (4.4) 
 
Os comprimentos ℓ1 e ℓ2 estão definidos na figura 4.6, e ℓb é o comprimento de 
ancoragem básico de uma barra. 
 
l1
l2
 
Figura 4.6 – Comprimento de ancoragem em blocos sobre estacas, Calavera (1991). 
 
Calavera (1991) admite que o valor do comprimento ℓb possa ser reduzido 
multiplicando-o pela relação da armadura necessária dividida pela armadura efetiva, 
mas deve se garantir que esta armadura seja prolongada até a face do bloco 
 
 34 
(descontando apenas o cobrimento). O comprimento ℓ1 não deve ser menor que um 
terço de ℓb, 10 vezes o diâmetro das barras e 15 cm. 
Montoya (2000), diferentemente de Calavera (1991) não sugere redução da 
seção da área de armadura, indicando que a armadura principal seja colocada em 
todo o comprimento do bloco. A ancoragem das barras deve ser feita com ângulo reto 
ou com barras transversais soldadas, medida a partir do plano vertical do eixo da 
estaca até a face do bloco (desconsiderando o cobrimento). Considerando o efeito 
benéfico da força resultante das tensões nas bielas de compressão permite reduzir a 
força a ser ancorada em 20%. 
Delalibera (2006) apresenta duas hipóteses para a determinação do 
comprimento de ancoragem. A primeira hipótese sugere que o comprimento de 
ancoragem se inicie a partir da face mais afastada da estaca estendendo-se até a face 
do bloco (descontado o cobrimento), utilizando-se integralmente a força a ancorar. A 
segunda sugere que o comprimento de ancoragem se inicie no eixo da estaca e se 
estenda até a face do bloco (descontado o cobrimento), reduzindo-se 49% da força a 
ancorar. A Figura 4.7 exemplifica estes métodos. 
Delalibera (2006) sugere ancoragem reta, pois, por meio de ensaios 
experimentais verificou que os ganchos não têm influência relevante. 
 
F F
b,disp
R
st,anc = Rst,d b,disp Rst,anc = 0,51 R st,d
Hipótese I Hipótese II
.
 
Figura 4.7 – Método para determinação do comprimento de ancoragem, Delalibera (2006). 
 
 
 
 
 35 
4.2.9. Detalhamentos das armaduras secundárias 
Armaduras secundárias na forma de estribos na direção transversal e 
longitudinal são indicadas pelo CEB-FIP (1970). A princípio, elas são exigidas apenas 
no caso dos blocos sobre duas estacas em face de momentos provenientes de 
excentricidades construtivas das estacas. 
O CEB-FIP (1970) não contempla casos de blocos sobre uma estaca. 
Em blocos sobre duas estacas uma armadura longitudinal é posicionada na 
parte superior, estendida sobre todo o comprimento do bloco, cuja seção transversal 
não deve ser inferior a 10% da área das barras de aço da armadura principal de 
tração. Deve apresentar nas faces laterais, uma armadura em malha constituída por 
estribos transversais que devem envolver as barras longitudinais superiores e 
inferiores e, estribos na direção longitudinal envolvendo os estribos transversais. 
A adoção desses critérios pode ser explicada, segundo Mautoni (1972) a ruína 
de blocos sobre duas estacas se dá quando a resistência à tração horizontal no eixo 
central for superada. 
 
estribo
direção transversal
estribo
direção longitudinal
 
Figura 4.8 – Armaduras secundárias, CEB-FIP (1970). 
 
Considerando a face do bloco, mostrada na Figura 3.8, a seção de uma barra 
da malha, formada por estribos nas duas direções, em cm2 é dada por: 
 
As, w = 0,0020.b.sh (4.5) 
 
Na expressão, b designa a largura do bloco em cm e sh o espaçamento das 
barras da malha também em cm. Se a largura b exceder a metade da altura total h do 
bloco, deve-se substituí-la por h/2. 
 
 36 
A norma brasileira NBR 6118:2003 traz recomendações para armadura de 
distribuição e suspensão. 
A armadura de distribuição deve ser prevista para controlar a fissuração e deve 
ser colocada na forma de uma malha adicional uniformemente distribuída nas duas 
direções para complementar a armadura principal que é distribuída em faixas sobre as 
estacas. Para o cálculo das áreas das barras das armaduras deve ser considerado no 
máximo 20% da força adotada para o dimensionamento da armadura principal de 
tração. A resistência de cálculo da armadura deve ser igual a 80% de fyd. 
Em alguns casos, a NBR 6118:2003 sugere o uso de armadura de suspensão, 
nos casos em que a armadura de distribuição for prevista para mais de 25% da força 
adotada para o cálculo da armadura principal ou se o espaçamento entre estacas for 
maior que três vezes seu diâmetro. 
Segundo Leonhardt & Monning (1978) é muito importante que armadura 
principal de tração nos modelos de blocos sobre estacas seja o mais possível 
concentrada sobre as estacas e não distribuídas pela largura do bloco, pois as bielas 
de compressão se concentram na direção dos apoios rígidos constituídos pelas 
estacas e lá devem compor com esforços dos tirantes. 
Para os casos em que essa armadura for disposta também entre as estacas, 
deve-se adotar uma armadura de suspensão. Leonhardt & Monning (1978) indicam, 
segundo mostraram seus que, quando a armadura for disposta também entre as 
estacas, uma parte dos esforços das bielas de compressão atua nessa região e 
pressiona o tirante para baixo, porque falta apoio nesse local (Figura 4.9). Surgem 
então fissuras na parte inferior do bloco que podem conduzir a uma ruína prematura, 
pois a zona comprimida para baixo e para fora arranca a malha de armadura mesmo 
nas proximidades das estacas. 
 
 
Corte passando pelas estacas. 
 
Corte passando pelo pilar. 
Figura 4.9 – Esquema para colocação de armadura de suspensão em casos de armadura 
disposta entre as estacas, Leonhardt & Monning (1978). 
 
 37 
No caso de distância entre as estacas maiores que três vezes o diâmetro 
desta, não se deixa o trecho entre as estacas sem armadura, portanto haverá a 
necessidade de se adotar armadura de suspensão. Essa armadura deve ser 
dimensionada para uma força aproximadamente igual a F/(1,5.n), sendo F a força 
aplicada no bloco e n o número de estacas (n ≥ 3). 
 
4.3. Método de dimensionamento 
 
O Método das Bielas é o método mais difundido para o dimensionamento de 
blocos rígidos sobre estacas. É baseado nos trabalhos experimentais realizados por 
Blévot e Frémy (1967). 
O método das bielas consiste em admitir no interior do bloco uma treliça 
espacial composta por barras tracionadas e barras comprimidas. 
As barras tracionadas da treliça ficam situadas no plano médio das armaduras, 
que é horizontal e se localizalogo acima do plano de arrasamento das estacas. 
As barras comprimidas, chamadas de bielas, são inclinadas e definidas a partir 
da intersecção do eixo das estacas com o plano médio das armaduras com um ponto 
definido na região nodal do pilar (que é considerado de seção quadrada). 
As forças de compressão nas bielas são resistidas pelo concreto, as de tração 
que atuam nas barras horizontais da treliça, pela armadura. 
O método consiste no cálculo da força de tração, que defini a área necessária 
de armadura, e na verificação das tensões de compressão nas bielas, calculadas nas 
seções situadas junto ao pilar e à estaca. 
As tensões limites foram determinadas experimentalmente por Blévot & Fremy 
(1967) em ensaios e assumidas iguais junto ao pilar e estaca. É importante observar 
que a rigor não são iguais, junto ao pilar há o efeito favorável de confinamento do 
concreto. Portanto, a tensão limite junto à estaca deveria ser considerada inferior; 
Blévot & Frémy (1967) só fizeram essas considerações para blocos com mais de 
quatro estacas. 
O método das bielas é recomendado para ações centradas e todas as estacas 
devem estar igualmente afastadas do centro do pilar. Pode ser empregado no caso de 
ações que não são centradas, desde que se admita que todas as estacas estão 
submetidas à maior força transferida. 
Os critérios utilizados são para pilares de seção quadrada, sendo recomendado 
por alguns autores que no caso de pilares retangulares se use seção quadrada 
equivalente. 
 
 38 
O roteiro de dimensionamento, adaptado do Método de Blévot, que geralmente 
é usado pelos projetistas de concreto armado pode ser visto em Munhoz (2005) e 
Silva & Giongo (2000). 
Não é objetivo deste texto apresentar o modelo de bielas e tirantes, nem os 
critérios de dimensionamento de blocos sobre uma, duas, três, quatro e cinco estacas. 
Caso o leitor se interessar, poderão encontrar mais informações a respeito disto nos 
trabalhos citados anteriormente. 
Basicamente ao se projetar blocos sobre estacas, o projetista deve fazer: 
– Determinar o número de estacas; 
– Dimensionar geometricamente o bloco; 
– Verificar as tensões nas bielas; 
– Verificar as tensões de tração perpendicular às bielas (fendilhamento); 
– Dimensionar as armaduras principais de tração; 
– Dimensionar as armaduras secundárias; 
– Detalhar o elemento estrutural. 
 
No caso de blocos flexíveis, além das verificações anteriores, deve-se verificar 
o efeito de punção junto ao pilar e junto às estacas. 
 
4.4. Dimensionamento de blocos sobre n estacas 
 
Nos blocos com mais de seis estacas a disposição das armadura sobre as 
estacas (ver Figura 4.10) é a mais adequada. 
Para o cálculo, fica evidente que o modo de calcular segundo duas direções 
(no caso de simetria nas direções dos respectivos eixos) é o que se aplica com mais 
facilidade e clareza. 
É o que se chama de Método Geral que consiste em: 
– Definir duas direções ortogonais entre si (em geral eixos de simetria ou direções 
paralelas às faces laterais dos blocos); 
– Calcular para cada direção, sucessivamente em várias seções, o somatório das 
forças de tração correspondentes às estacas que estiverem do mesmo lado (à 
esquerda ou à direita da seção); 
– Adotar armaduras em função das tensões de tração existente em cada direção; 
– Verificar as tensões nas bielas junto às estacas. A estaca mais crítica será aquela 
que corresponder a maior inclinação da biela (βmáx). 
 
 
 39 
Obs. Quase sempre os pilares terão seções com grandes dimensões. Deve-se 
então adotar da maneira que se julgar mais adequada as posições (na seção do pilar) 
das bielas correspondentes a cada estaca. 
– Verificar as tensões nas bielas junto ao pilar. Nesse caso cada biela terá inclinação 
βi e será necessário adotar um valor médio βm. 
 
 
Figura 4.10 – Distribuição das barras da armadura principal de tração segundo recomendações da 
NBR 6118:2003. 
 
Parece ser mais adequado adotar um valor que corresponda a médias das 
tangentes, isto é: 
 
∑β⋅=β
n
1
im n
1
 (4.6) 
 
Por meio da Figura 4.11 desenvolve-se o dimensionamento estrutural dos 
blocos sobre n estacas. 
Determina-se a força nos tirantes (Txi e Tyi) e por méis desta forças determina-
se a quantidade necessária de barras de aço para absorver a força de tração e 
verificam-se as ancoragens. 
 
 40 
Observa-se por meio da Figura que existem dois ângulos, um dos ângulos (β) 
se desenvolve ao longo da altura do bloco o outro, denominado de α é associado ao 
plano horizontal do bloco. Por meio deste ângulo é que são determinadas às forças de 
tração nos tirantes. 
A favor da segurança aconselha-se que o dimensionamento dos tirantes dos 
blocos e as verificações das tensões nas regiões nodais inferior e superior (junto ao 
pilar e junto à estaca) sejam feitos com a reação da estaca mais solicitada à 
compressão. 
 
i
Txi
yiT
Ti
Ti
iT
xiT
X
Y
Y
X
i
i
i
Txi
xiT
iR i+1R R i+2
F
M y
Estaca
bF
 
Figura 4.11 – Método de dimensionamento de blocos sobre n estacas. 
 
A força na biela (Fb) é calcula por meio da Expressão 4.7 e é função da reação 
da estaca mais comprimida (R+). 
 
( )ib sen
RF β=
+
 (4.7) 
 
 
 41 
Por meio da força na biela determina-se a força nos tirantes nas direções X e 
Y. 
( )ibi cosFT β⋅= (4.8) 
( )iixi senTT α⋅= (4.9) 
( )iiyi cosTT α⋅= (4.10) 
 
Em função das forças Txi e Tyi calcula-se as áreas das barras de aço da 
armadura principal de tração nas direções X e Y, sendo fyd a resistência de cálculo ao 
escoamento das barras de aço. 
 
yd
fxi
i,sx f
TA γ⋅= (4.11) 
yd
fyi
i,sy f
T
A
γ⋅
= (4.12) 
 
As verificações das tensões nas regiões nodais inferior e superior são feitas por 
meio das Expressões 4.13 e 4.14. 
 
( ) cdmp
b f85,0
senA
nF
⋅≤β⋅
⋅
 (4.13) 
( ) cdmáxe
b f
senA
F
⋅≤
⋅
6,0β (4.14) 
 
Nas expressões 4.13 e 4.14, Ap e Ae representam a área da seção transversal 
do pilar e a área da seção transversal da estaca e claro, fcd a resistência de cálculo a 
compressão do concreto. 
Faz-se necessário ainda verificar a ancoragem das barras das armaduras 
principais de tração (Tirantes nas direções X e Y), para isto, utiliza-se as 
recomendações do item 4.2.8. 
 
4.5. Comentários finais 
 
O método de dimensionamento apresentada no item 4.4 deve ser utilizado com 
bom senso respeitando todas as indicações da NBR 6118:2003. 
 
 42 
Existem outros métodos para dimensionamento de blocos sobre n estacas. O 
método apresentado pelo Boletim nº 73 do CEB (1970) é um dos mais utilizados pelos 
projetistas. Mais informações sobre este método pode ser encontrada em Munhoz 
(2004) e Delalibera (2006). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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