Aula 04 - Exercícios Estado Plano de Tensões

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Mecânica dos Sólidos 3
Professor Maurício P. Ferreira
Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
• Exemplo 2: As tensões agindo no elemento A de um trilho de uma ferrovia
foram determinadas como de tração na direção horizontal, com intensidade de 42
MPa, e de compressão na direção vertical, com intensidade de 140 MPa. As tensões de
cisalhamento apresentam intensidade de 60 MPa, conforme indicado. Determinar as
tensões agindo em um elemento inclinado de 48º no sentido anti-horário em relação à
horizontal. Indicar os resultados em um desenho do elemento inclinado.
Vista 
Lateral
Seção
Transversal
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• Exemplo 2: 42 MPa ; 140 MPa ; 60 MPa ; 48x y xyσ σ τ θ= = − = − = �
'
'
'
.cos 2 . 2
2 2
42 140 42 140
.cos(2 48) 60. (2 48)
2 2
118,2 MPa
x y x y
x xy
x
x
sen
sen
σ σ σ σ
σ θ τ θ
σ
σ
+ −
= + +
− +
= + ⋅ − ⋅
= −
' '
' '
' '
. 2 .cos 2
2
42 140
. (2 48) 60.cos(2 48)
2
84,2 MPa
x y
x y xy
x y
x y
sen
sen
σ σ
τ θ τ θ
τ
τ
−
= − +
+
= − ⋅ − ⋅
= −
' '
' '
'
'
42 140 118,2
20,2 MPa
x y x y
y x y x
y
y
σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ
σ
+ = +
= + −
= − +
=
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
• Exemplo 3: O elemento indicado abaixo está submetido a tensões de
compressão de intensidade igual a 25,5 MPa na direção horizontal e tensões de tração
com intensidade de 6,5 MPa na direção vertical. Ele também está sujeito a tensões
cisalhantes de 12 MPa. Determinar as tensões agindo em um plano inclinado de um
ângulo de 40º tomado no sentido horário.
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• Exemplo 3:
'
'
'
.cos 2 . 2
2 2
25,5 6,5 25,5 6,5
.cos(2 40) 12. (2 40)
2 2
0,5 MPa
x y x y
x xy
x
x
sen
sen
σ σ σ σ
σ θ τ θ
σ
σ
+ −
= + +
− + − −
= + ⋅− − ⋅−
= −
' '
' '
' '
. 2 .cos 2
2
25,5 6,5
. (2 40) 12.cos(2 40)
2
17,8 MPa
x y
x y xy
x y
x y
sen
sen
σ σ
τ θ τ θ
τ
τ
−
= − +
− −
= − ⋅− − ⋅−
= −
' '
' '
'
'
25,5 6,5 0,5
18,5 MPa
x y x y
y x y x
y
y
σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ
σ
+ = +
= + −
= − + +
= −
25,5 MPa ; 6,5 MPa ; 12 MPa ; 40
x y xy
σ σ τ θ= − = = − = − �
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• Exemplo 4: As tensões agindo no elemento B na alma do perfil de uma viga “I”
foram determinadas como sendo de 11.000 psi de compressão na direção horizontal e
3.000 psi de compressão na direção vertical. As tensões de cisalhamento tem
intensidade de 4.200 psi, conforme indicado na figura abaixo. Determinar as tensões
agindo em um plano inclinado de 41º (sentido anti-horário) em relação à horizontal.
Faça um esboço para indicar os resultados.
Vista 
Lateral
Seção 
Transversal
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• Exemplo 4: 11000 Psi ; 3000 Psi ; 4200 Psi ; 41x y xyσ σ τ θ= − = − = − = �
'
'
'
.cos 2 . 2
2 2
11000 3000 11000 3000
.cos(2 41) 4200. (2 41)
2 2
11716 psi
x y x y
x xy
x
x
sen
sen
σ σ σ σ
σ θ τ θ
σ
σ
+ −
= + +
− − − +
= + ⋅ − ⋅
= −
' '
' '
'
'
11000 3000 11716
2284 psi
x y x y
y x y x
y
y
σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ
σ
+ = +
= + −
= − − +
= −
' '
' '
' '
. 2 .cos 2
2
11000 3000
. (2 41) 4200.cos(2 41)
2
3377 psi
x y
x y xy
x y
x y
sen
sen
σ σ
τ θ τ θ
τ
τ
−
= − +
− +
= − ⋅ − ⋅
=
11.716 psi
2.284 psi
3.377 psi
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• Exemplo 5: O revestimento de Polietileno de um reservatório de recalque
está submetido ao estado de tensões indicado. Determinar as tensões agindo em
uma costura orientada à 30º em relação ao eixo vertical do elemento.
Costura
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• Exemplo 5: 350 psi ; 112 psi ; 120 psi ; 30x y xyσ σ τ θ= = = − = �
'
'
'
.cos 2 . 2
2 2
350 112 350 112
.cos(2 30) 120. (2 30)
2 2
187 psi
x y x y
x xy
x
x
sen
sen
σ σ σ σ
σ θ τ θ
σ
σ
+ −
= + +
+ −
= + ⋅ − ⋅
=
' '
' '
'
'
350 112 187
275 psi
x y x y
y x y x
y
y
σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ
σ
+ = +
= + −
= + −
=
' '
' '
' '
. 2 .cos 2
2
350 112
. (2 30) 120.cos(2 30)
2
163 psi
x y
x y xy
x y
x y
sen
sen
σ σ
τ θ τ θ
τ
τ
−
= − +
+
= − ⋅ − ⋅
= −
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• Exemplo 6: Uma placa com dimensões de (3,0 x 5,0) in. foi formada ao
soldar duas chapas triangulares, e está submetida ao estado de tensões indicado.
Determine a tensão normal agindo perpendicularmente a linha de solda e a tensão
cisalhante, agindo paralelamente à solda. Assumir que a tensão normal é positiva
se tracionar a solda e que a tensão cisalhante é positiva quando age no sentido
anti-horário contra a solda).
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• Exemplo 6: 3500 psi ; 350 psi ; 0 ; arctan 30,96
5
x y xy
σ σ τ θ
 
= = − = = = 
 
�
'
'
'
.cos 2 . 2
2 2
500 350 500 350
.cos(2 30,96)
2 2
275 psi
x y x y
x xy
x
x
sen
σ σ σ σ
σ θ τ θ
σ
σ
+ −
= + +
− +
= + ⋅
=
' '
' '
'
'
500 350 275
125 psi
x y x y
y x y x
y
y
σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ
σ
+ = +
= + −
= − −
= −
' '
' '
' '
. 2 .cos2
2
500 350
. (2 30,96)
2
375 psi
x y
x y xy
x y
x y
sen
sen
σ σ
τ θ τ θ
τ
τ
−
= − +
+
= − ⋅
= −
Tensões na Solda