Regimes de Capitalização

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Cálculo Aplicado 
à Administração
Prof. Nelson Pereira Castanheira
Aula 5  Regimes de Capitalização 
e Taxas
Introdução
O Que é Capitalização?
 Capitalizar é somar juros ao 
capital que o produziu
 A capitalização pode ser:
• simples
• composta
Tipos de Capitalização
 A capitalização é simples 
quando for utilizada a taxa de 
juros simples
 A capitalização é composta 
quando for utilizada a taxa de 
juros compostos
Taxas de Juros
 Mas, afinal, o que são as taxas 
de juros?
 Como se calculam juros?
 Capitalização Simples
Tema 1
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 Juro simples: é aquele 
calculado aplicando uma taxa 
sempre sobre o capital inicial
Capitalização Simples
J = C . i . n
Em que:
J = juro
C = capital
i = taxa de juro
n = período, tempo ou prazo
 Taxa de Juro Simples (i)
 Taxas Equivalentes
• Exemplos:
i = 3% a. m. = 36% a. a.
i = 12% a. t. = 4% a. m.
i = 5% a. b. = 15% a. s.
i = 6% a. m. = 0,2% a. d.
Montante (M)
M = C + J
Então:
M = C + C . i . n
M = C (1 + i . n)
 Capitalização Composta
Tema 2  Juro composto: o juro 
produzido num período será 
acrescido ao valor do capital 
que o produziu, passando os 
dois, capital e juro, a render 
juro no período seguinte
Capitalização Composta
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M = C + J
M = C . (1 + i)n
Para o cálculo dos juros, vamos 
igualar:
C + J = C . (1 + i)n
Então:
J = C . (1 + i)n  C
J = C . [(1 + i)n  1]
Crescimento de Uma Dívida
Juro composto
Juro simples
t
$
Taxas Equivalentes
 Para determinar a taxa 
equivalente, em capitalização 
composta, utiliza-se a fórmula:
( ) 1i1i q/ttq -+=
Exemplo
 Calcule a taxa anual 
equivalente, pelo critério de 
juro composto, a 1,2% ao mês.
• Dados do problema:
it = 1,2% = 0,012 a. m.
t = 1 mês 
q = 1 ano = 12 meses
iq = (1 + it)q/t – 1
iq = (1 + 0,012)12/1 – 1 
iq = 1,01212 – 1 
iq = 0,153895 a. a.
Ou seja: 
iq = 15,3895% ao ano
 Período Fracionário
Tema 3
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Período Fracionário
 O Período Fracionário 
corresponde a uma 
capitalização descontínua. Há 
um período inteiro e um 
período fracionário, sobre os 
quais devemos calcular juros
• Como exemplo, suponha que 
temos uma conta vencida há 
3 meses e 22 dias, e que o 
juro de mora é de 2% ao 
mês. Temos como período 3 
meses inteiros e mais 22 
dias, o que representa uma 
fração do mês
Convenção linear:
aplicamos juro simples na 
parte fracionária do tempo
Convenção exponencial:
aplicamos juro composto na 
parte fracionária do tempo 
também
Convenção Linear
 O cálculo deve ser feito em duas 
etapas: 1) para a parte inteira 
do tempo (n), calcula-se o 
montante a juro composto; 2)
para a fração não inteira de 
tempo (n) admite-se a formação 
linear de juros, ou seja, calcula-
-se o montante a juro simples
M = C . (1 + i)n . (1 + i . n1)
juro composto
juro simples
Convenção Exponencial
 O cálculo do juro num período 
fracionário, adotando a 
convenção exponencial, tem em 
conta o juro composto o tempo 
todo, ou seja, tanto na parte 
inteira do tempo (n) quanto na 
parte não inteira (n1)
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M = C . (1 + i)n+n1
juro composto o tempo inteiro  Taxas (nominal, efetiva, real, aparente)
Tema 4
taxa conhecida
período da taxa
i2 = i1 . n2 que se quer
n1
período da taxa
conhecida
taxa que se quer
Taxa Nominal
 O prazo de formação do juro e 
sua incorporação ao capital 
que o produziu costumam ser 
de periodicidade menor. Por 
exemplo, é informada uma 
taxa anual, porém, a 
periodicidade de cálculo do 
juro é mensal
 Temos uma taxa efetiva quando 
o prazo a que se refere uma 
taxa que nos foi informada 
coincide com aquele de formação 
e incorporação do juro ao capital 
que o produziu. Por exemplo, foi 
informada uma taxa mensal e o 
prazo de formação do juro é 
mensal
Taxa Efetiva
Taxa Aparente x Taxa Real
 A relação existente entre as 
taxas aparente e real é dada 
através de:
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 A Taxa Aparente é aquela 
que não leva em conta a 
inflação do período a que a 
taxa corresponde
 A Taxa Real considera a 
inflação do período
 Logo, a Taxa Real é sempre 
menor do que a Taxa 
Aparente
 Exemplo 1
• Um trabalhador teve um 
aumento salarial de 10% 
relativo a um período em que 
a inflação foi de 6%. Qual o 
aumento real de salário desse 
trabalhador?
I = 6% no período 
ia = 10%
i = ?
i = 1 + 0,10 - 1 
1 + 0,06
i = 3,7736%
 Exemplo 2
• Uma pessoa emprestou R$ 
3.000,00 e pagou, ao final do 
período, R$ 3.300,00. Essa 
pessoa pagou, no ato do 
empréstimo, despesas no valor 
de R$ 30,00. Determine as 
taxas nominal, efetiva e real 
dessa operação, sabendo que a 
inflação no período foi de 2%.
Cálculo da Taxa Nominal
M = C . ( 1 + i )n
3300 = 3000 . (1 + i )1
i = 300 = 0,10 no período
3000
Ou seja: i = 10% no 
período
Cálculo da Taxa Efetiva
M = C . ( 1 + i )n
3300 = (3000 – 30) . (1 + i )n
3300 – 2970 = 2970 . i
i = 330 = 0,1111 no período
2970
Ou seja: i = 11,11% no período
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Cálculo da Taxa Real
O capital menos as despesas, 
corrigido pela inflação, é:
(3000 – 30) . 1,02 = 3029,40
M = C . ( 1 + i )n
3300 = 3029,40 . (1 + i )n
i = 270,60 = 0,0893 
3029,40
i = 8,98% no período
Síntese
Capitalização
 Capitalizar é somar juros ao 
capital que o produziu
 A capitalização pode ser:
• simples
• composta
Período Fracionário
 Convenção linear: 
aplicamos juro simples na 
parte fracionária do tempo
 Convenção exponencial:
aplicamos juro composto na 
parte fracionária do tempo 
também
 Juro simples: é aquele 
calculado aplicando uma taxa 
sempre sobre o capital inicial
 Juro composto: o juro 
produzido num período será 
acrescido ao valor do capital 
que o produziu, passando os 
dois, capital e juro, a render 
juro no período seguinte
 O prazo de formação do juro e 
sua incorporação ao capital que 
o produziu costumam ser de 
periodicidade menor. Por 
exemplo, é informada uma taxa 
anual, porém, a periodicidade 
de cálculo do juro é mensal
Taxa Nominal
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 Temos uma taxa efetiva quando 
o prazo a que se refere uma 
taxa que nos foi informada 
coincide com aquele de 
formação e incorporação do juro 
ao capital que o produziu. Por 
exemplo, foi informada uma 
taxa mensal e o prazo de 
formação do juro é mensal
Taxa Efetiva  A Taxa Aparente é aquela 
que não leva em conta a 
inflação do período a que a 
taxa corresponde
 A Taxa Real considera a 
inflação do período
 Logo, a Taxa Real é sempre 
menor do que a Taxa 
Aparente
Referências de Apoio
 CASTANHEIRA, Nelson Pereira; 
MACEDO, Luiz Roberto Dias de. 
Matemática Financeira 
Aplicada. 5. ed. Curitiba: 
Intersaberes, 2010.
 CASTANHEIRA, Nelson Pereira. 
Matemática Aplicada e 
Análise Financeira para 
Todos os Níveis. 2. ed. 
Curitiba: Juruá, 2014.