Estudos Disciplinares - Fundamentos da Engenharia Economica - Mód. 1

Prévia do material em texto

09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 1/6
 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1. Definições e nomenclatura 
2. Conceito de capitalização simples 
3. Fórmulas 
4. Exercícios resolvidos 
1. Definições e nomenclatura
A Matemática Financeira tem como ponto fundamental o cálculo de valores monetários em diversas datas transportados pela taxa de juros. Os juros são o aluguel ou a remuneração pelo capital emprestado ou aplicado.
Basicamente existem dois tipos de capitalização (capitalização é a soma dos juros ao principal, ampliando­se o mesmo e formando o montante):  Capitalização Simples e Capitalização Composta.
A Capitalização Simples (ou Juros Simples) consiste no cálculo de juros de maneira que seu crescimento, ao longo do tempo, ocorre linearmente. 
Os juros são sempre calculados sobre o Capital Inicial.
Período de Capitalização é o período no qual os juros são capitalizados ou incorporados ao principal. Exemplo: se o período de capitalização é mensal significa que os juros calculados serão incorporados ao capital
mensalmente.  
A taxa de juros é o índice que permite calcular os juros. Ela é geralmente expressa em percentual e deve, obrigatoriamente, referenciar o período de capitalização. Exemplos 2,4% ao mês; 4,5% ao bimestre; 9% ao semestre;
13% ao ano.
Nomeclatura:
A tabela a seguir mostra a nomenclatura utilizada nesta disciplina e a nomenclatura utilizada pelas calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas:
Nomeclatura
Básica
Nomeclatura
em
Português
Nomeclatura
em Inglês
Definição
C VP PV Capital  ­  Valor  Presente  ­
Present Value
M VF FV Montante  ­  Valor  Futuro  ­
Future Value
J J INT Juro (ou Juros) – Interest
i i i Taxa de Juros
n n n Tempo, Período,  Número  de
Prestações
P PGTO PMT Prestação  –  Pagamento  ­
Payment
VPL VPL NPV Valor Presente Líquido  ­ Net
Present Value
TIR TIR IRR Taxa  Interna  de  Retorno  ­
Internal Rate of Return
  
2. Conceito de Capitalização Simples
 No regime de juros simples, ou capitalização simples, o juro é sempre calculado sobre o valor principal (ou capital inicial). Os juros acumulados crescem, ao longo do tempo, de maneira linear (ou conforme uma progressão
aritmética). 
Observe o seguinte diagrama, onde o capital inicial aplicado é C=1.000, a taxa de juros simples é i=1% por período (O período poderá estar em qualquer unidade de tempo: dia, semana, mês, semestre, ano, etc.).
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 2/6
 
 Em qualquer período (n=1 ou n=2 ou n=3 ou n=4) o juro é sempre calculado sobre o capital inicial (valor presente), 1% de 1.000, Jj=10.
3. Fórmulas
São utilizadas as seguintes fórmulas para capitalização simples:
No exemplo acima temos, para cada período:
Período Juros Juros
Acumulados
Capital
0     1.000
1 10 10 1.010
2 10 20 1.020
3 10 30 1.030
4 10 40 1.040
Note que o capital cresce segundo uma progressão aritmética cuja razão é o Juro.
 
Exemplo: Quais os juros e o montante correspondentes a uma aplicação de um capital de R$ 150.000 durante 55 dias a uma taxa de 15% ao ano?
Pela fórmula:
Observações: ­ foi considerado ano comercial (de 360 dias) e note que no uso da fórmula, ‘n’ e ‘i’ tem a mesma periodicidade (n em mês e i em % ao mês, se n fosse anual, então i seria % ao ano).
No caso de ano exato (de 365 dias):
 
*Observação: Caso esteja omisso, adota­se o ano comercial (360 dias), bem como adota­se o mês comercial (30 dias)..
Resumindo, temos as seguintes fórmulas para o regime de capitalização simples:
  
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 3/6
 
 
 
4. Exercícios resolvidos
 Exercício 1: Um capital de $720.000 foi aplicado durante 16 meses, à uma taxa de juros simples de 2,4% ao bimestre. Calcular o Montante após este período.
 
 Exercício 2: Quanto tempo deve ficar aplicado um capital de $28.000 para formar um montante de $38.500 se aplicado à uma taxa de juros simples de 15% ao ano?
   
 
Bibliografia
 
Básica
ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002.
 
Complementar
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009.
 
Exercício 1:
Qual é o capital que, aplicado a uma taxa de juros simples de 4,2% ao trimestre, durante 14 meses, forma um montante de R$ 6.697,60?
A ­ R$ 2.423,00. 
B ­ R$ 4.218,00. 
C ­ R$ 5.600,00. 
D ­ R$ 8.010,00. 
E ­ R$ 10.636,00. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C ­ C=M/(1+i*(n/3) C=6697,60/(1+0,042*(14/3) C=5600,00 
Exercício 2:
Qual é a taxa de juros simples que, aplicada sobre um capital de R$ 8.000.000,00 por bimestre, durante 28 bimestres, gera um montante de R$ 15.840.000?
A ­ 1,77%. 
B ­ 2,00%. 
C ­ 3,00%. 
D ­ 3,50%. 
E ­ 7,10%. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D ­ M=C*(1+i*n) 15840000=8000000*(1+i*28) i=3,5% 
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 4/6
Exercício 3:
Um capital de $ 65.000,00 foi aplicado durante 10 meses a uma taxa de juros simples de 0,95% ao mês. Após este período, o montante foi aplicado por mais 14 meses a uma taxa de 1,24% ao mês.
Após este período, o montante será de
A ­ R$ 72.411,00. 
B ­ R$ 82.459,00. 
C ­ R$ 83.531,00. 
D ­ R$ 148.754,00. 
E ­ R$ 194.735,00. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C ­ M1=C1*(1+i1*n1) M1=65000*(1+0,0095*10) M1=71175 M2=M1*(1+i2*n2) M2=71175*(1+0,0124*14) M2=83531,00 
Exercício 4:
Certo capital foi emprestado durante dois anos. Após este período o montante a ser pago representava o triplo do capital emprestado.
A taxa de juros simples utilizada no cálculo foi de
A ­ 50% ao semestre. 
B ­ 100% ao semestre. 
C ­ 150% ao semestre. 
D ­ 150% ao ano. 
E ­ 200% ao ano. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A ­ M=3C n=4semestres M=C*(1+i*n) 3C=C*(1+i*4) 3=1+4i 2=4i i=50% 
Exercício 5:
Um capital de R$ 14.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 0,04% ao dia. Na mesma data, outro capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 0,03% ao dia.
Os montantes das duas aplicações se igualarão após
A ­ 1 ano, 10 meses e 22 dias. 
B ­ 2 anos. 
C ­ 2 anos e 5 meses. 
D ­ 2 anos, 6 meses e 9 dias. 
E ­ 3 anos. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D ­ 14000*(1+0,0004*n)=15000*(1+0,0003*n) 14000+5,6n=15000+4,5n n=909 dias ~ 2anos, 6meses e 9 dias 
Exercício 6:
Um capital de R$ 14.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 0,04% ao dia. Na mesma data, outro capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 0,03% ao dia.
Os juros totais das duas aplicações 
A ­ se igualarão após 1 ano, 10 meses e 22 dias. 
B ­ se igualarão após 2 anos. 
C ­ se igualarão após 2 anos e 5 meses. 
D ­ se igualarão após 2 anos, 6 meses e 9 dias. 
E ­ nunca se igualarão. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E ­ J=C*n*i 14000*0,0004n=15000*0,0003n 5,6n=4,5n 
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 5/6
Exercício7:
Qual é o capital que, aplicado a uma taxa de juros simples de 3,0% ao mês, durante 3 anos e 5 meses, gera um total de juros de R$ 47.650,20?
A ­ R$ 38.740,00. 
B ­ R$ 47.880,00. 
C ­ R$ 54.300,00. 
D ­ R$ 62.470,00. 
E ­ R$ 69.200,00. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A ­ J=C*n*i 47650,20=C*41*0,03 C=38740,00 
Exercício 8:
Qual é a taxa de juros simples que, aplicada sobre um capital de R$ 54.000,00 durante 10 trimestres, gera um montante de R$ 83.700,00?
A ­ 3,50% ao trimestre. 
B ­ 4,00% ao trimestre. 
C ­ 4,50% ao trimestre. 
D ­ 5,00% ao trimestre. 
E ­ 5,50% ao trimestre. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E ­ M=C*(1+i*n) 83700,00=54000,00*(1+i*10) i=5,50% a.t. 
Exercício 9:
Certo capital foi aplicado durante 7 meses a uma taxa de juros simples de 1,00% ao mês. Após este período o montante foi aplicado por mais 12 meses a uma taxa de 1,20% ao mês, gerando um montante de R$ 35.865,54.
O valor do capital inicialmente aplicado foi
A ­ R$ 26.500,00. 
B ­ R$ 29.300,00. 
C ­ R$ 32.000,00. 
D ­ R$ 32.300,00. 
E ­ R$ 33.000,00. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B ­ 35865,54=C2*(1+0,012*12) C2=31351,00 31351,00=C1*(1+0,01*7) C1=29300,00 
Exercício 10:
Certo capital foi emprestado a uma taxa de juros de simples de 2% ao bimestre. Após quanto tempo o montante representava o dobro deste capital?
A ­ 2 anos e 2 meses. 
B ­ 2 anos e 7 meses. 
C ­ 3 anos. 
D ­ 3 anos e 10 meses. 
E ­ 4 anos e 2 meses. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E ­ 2C=C*(1+0,02*n) 1=0,02n n=50 
Exercício 11:
Um capital de R$ 23.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 0,05% ao dia. Na mesma data, um segundo capital foi aplicado a uma taxa de juros simples de 0,04% ao dia. Qual o valor deste segundo capital, sabendo­
se que os montantes das duas aplicações se igualaram após 7 meses e 28 dias?
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 6/6
A ­ R$ 21.000,00. 
B ­ R$ 22.400,00. 
C ­ R$ 23.500,00. 
D ­ R$ 24.700,00. 
E ­ R$ 26.700,00. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C ­ M1=23000*(1+0,0005*238) M1=25737 M1=M2 25737=C2*(1+0,0004*238) C2=23500,00