AP2 Cálculo 2 2017 2 Gabarito

Prévia do material em texto

Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
AP2- CÁLCULO II-2017/2 GABARITO 
_______________________________________________________________________________________ 
1a Questão (3,0 pontos) Seja 
R
 a região do plano compreendida entre os gráficos das funções 
( )f x x
 e 
( )g x x
 e as retas 0x  e 2x  . Calcule o volume do sólido S obtido pela 
rotação da região R em torno do eixo 
Oy
. 
 
Solução 
 
Figura 1 Figura 2 
 
Observe na Figura 1 que a região
R
dada é a união de duas regiões
1R
e
2R
. Assim o sólido S gerado pela 
rotação de 
R
em torno do eixo 
Oy
 é formado pela união dos sólidos 
1S
e 
2S
 gerados pela rotação 
de 
1R
e 
2R
 (resp.) em torno do eixo 
Oy
. Assim 
V
(S )= 
V
(
1S
) + 
V
(
2S
 ). 
 
Para obter o volume de 
1S
, usaremos o método das cascas cilíndricas. Temos então a fórmula 
1 1 1
1
0
( ) ( )( ) 2 r x h x dxV S  
 
Na Figura 2, vemos que a função
1 ( )r x x
e 
 1( ) ( ) ( ) x xh x g x f x     
para 
[0,1]x
, note 
que
1
( ) 0r x 
, e 
1( ) 0h x 
 para 
[0,1]x
. Assim, o volume neste caso é 
1 1
3/2 2
1
0 0
( ) 2 2x x x dx x x dxV S           
1
5/2 3
0
2
2 ( )
5 3
x x

 
  
 
2 1 2
2 ( )
5 3 15
  
unidades 
de volume. 
 Para obter o volume de 
2S
, usaremos o método das cascas cilíndricas. Temos então a fórmula 
2 2 2
2
1
( ) ( )( ) 2 r x h x dxV S  
 
Cálculo II Gabarito da AP2 2017/2 
 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a2
 
Na Figura 2 vemos que a função
2 ( )r x x 
e 
 2( ) ( ) ( ) x xh x f x g x      
para 
[1,2]x
, note 
que
2
( ) 0r x 
, e 
2( ) 0h x 
 para 
[1,2]x
. Assim, o volume neste caso é 
2 2
2 3/2
2
1 1
( ) 2 2x x x dx x x dxV S           
2
3 5/2
1
2
2
3 5
x x

 
  
  
 
 
5/23 2 22 1 2 2 2
2 2 40 24 2 5 6 41 24 2
3 5 3 5 15 15
                            
unidades de 
volume. 
 
Assim 
V
 (S )= 
1( )V S
+ 
2( )V S
4
24 2) 4 2)
15 5
2
(42 (7

  
unidades de volume. 
_______________________________________________________________________________________ 
2a Questão (1,5 ponto) Usando o método de frações parciais calcule
2( 1)( 1)
dx
x x 
. 
Solução 
 
Observe que o integrando é uma função racional própria. No denominador
( 1)x
é um fator linear e
2( 1)x 
 é o fator quadrático irredutível, então a decomposição em frações parciais é 
2 2
1
( 1)( 1) ( 1) 1
A Bx C
x x x x

 
   
 (*) 
Para determinar os valores de 
,A B
e
C
, multiplicamos ambos os lados da expressão (*) pelo 
denominador 
2( 1)( 1)x x 
 obtendo 
21 ( 1) ( )( 1)A x Bx C x    
 
2 21 Ax A Bx Bx Cx C     
 
21 ( ) ( ) ( )A B x B C x A C      
 Igualando os coeficientes, temos
0 (1)
0 (2)
1 (3)
A B
B C
A C
 
  

 

 
Subtraindo (3) de (2) obtemos de 
1B A  
 e somando esta última equação com (1) obtemos 
1 2A 
 
e 
1 2B  
 substituindo este último valor em (2) obtemos 
1 2C  . 
Substituindo em (*) os valores de
,A B
 e 
C
 achados, dá: 
2 2
1 1 1
( 1)( 1) 2( 1) 2( 1)
x
x x x x
 
 
   
, logo
2 2
( 1)
( 1)( 1) 2( 1) 2( 1)
dx dx x
dx
x x x x
 
 
      
 
2 2
1 1 2 1
2 ( 1) 4 ( 1) 2 ( 1)
dx x dx
dx
x x x
  
    
21 1 1ln 1 ln 1 arctg
2 4 2
x x x C     
. 
Cálculo II Gabarito da AP2 2017/2 
 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a3
 
1 2
1 4
2
1 1
ln arctg ,
21
x
x C
x
 
   
  
 
 
onde neste caso 
C
 é a constante de integração . 
3a Questão (1,5 ponto) Analise a convergência ou divergência da integral imprópria 
2( )
1
2 x dx


 
utilizando algum dos critérios apresentados na aula. 
 
Solução 
 
Observe-se que 
2( )
1
2 x dx


 é uma integral imprópria sobre o intervalo não limitado 
[1, ).
 
Lembre que 
21x x x   . Note-se que neste caso podemos afirmar que 2
2
( )
( )
1 1
2 2 0
22
x x
xx
   
para
[1, ).
Isto é 
0 ( ) ( )f x g x 
,
[1, )x 
onde 
2( )
1
( )
2 x
f x 
e
1
( )
2x
g x 
 . 
Por cálculo direto sabemos que: 
 
11 1
2 1 1 1
lim lim lim
ln 2 2 ln 2 2ln 2 2ln 2
1
2
2
t
x
x
x tt t t
t
dx dx


  
    
            
 
, pois 
1
lim 0
2 ln 2tt
 
 
  
Ou 
seja, 
1 1
1
( )
2x
g x dx dx
 
 
 converge. 
Do critério de comparação, com 
( )f x
e
( )g x
 acima definidas, segue portanto 
2( )
1 1
( ) 2 xf x dx dx
 
 
 também converge. 
____________________________________________________________________________________ 
 
4ª Questão (2,0 pontos) No problema de valor inicial
2 2( 1) 1,
dy
x x
dx
  
 
(0) 1y 
 . Determine 
y
 em função de 
x
. 
 
Solução 
Da equação diferencial dada temos que 2
2
1
,
( 1)
dy x
dx x



(0) 1y 
, então 
2
1
,
1
dy
dx x

 
 
2
C,
1
dx
y
x
 

 
Usaremos o método de substituição trigonométrica para calcular esta última integral 
Cálculo II Gabarito da AP2 2017/2 
 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a4
 
 
Figura 3 
 
Do triângulo retângulo mostrado na Figura 3, temos que: 
2
2
tg sec ,
sec 1
x dx d
x
  

  
 
 
2
2
2
sec
, sec ln sec tg ln 1
sec1
dx
d d C x x C
x
                
Logo 
 
2ln 1 .y x x C   
 
Para achar a solução do problema inicial dado, já que 
(0) 1y 
 então 
2
0
1 (0) ln 1 1 ln 1 1.y C C y x x         
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
5 ª Questão (2,0 pontos) Ache a solução particular da equação diferencial 
2 ln ,x y y x x  
 tal 
que 
( ) 2 .y e e
 
 
Solução 
Note que 
 
0x  
1
2ln (*)y y x
x
  
 
Esta última equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão, onde 
1
( )p x
x
  
e 
( ) 2lnq x x
 sendo 
p
e 
q
funções contínuas para 
0x 
. Podemos utilizar a fórmula para a 
solução geral ou podemos trabalhar por etapas, onde não é necessário decorar a fórmula. Note que, como 
0x 
 então 
 11( ) ln | | ln lnp x dx dx x x x
x
       
 . Assim, o fator integrante é 
1( ) ln( ) 1( )
p x dx xe xx e     . Logo multiplicando a equação diferencial padrão (*), pelo fator ( )x , 
resulta: 
2
1
1 1 ln
2
d
y
dx x
x
y y
x x x
 
 
 
  
1 2ln 1 1
2 ln ( )
u
du
d x
y y x dx C
dx x x x x
 
     
  
 
Cálculo II Gabarito da AP2 2017/2 
 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a5
 
21 (ln )
2
2
x
y C
x
  
2(ln )y x x Cx  
, com
0x 
, é a solução geral da equação diferencial 
linear dada, onde 
C
 é uma constante arbitrária. Para achar a solução particular tal que 
( ) 2y e e
 temos 
que 
2
1
2 ( ) (ln ) 1e y e e e Ce Ce e C      
 
Logo 
2 2(ln) (ln ) 1y x x x x x     
 é a solução pedida.