MAT1260 171 G2 (1)

Prévia do material em texto

MAT1260 – A´lgebra Linear 1
G2 – 18 de maio de 2017
(Versa˜o I)
Nome Leg´ıvel :
Assinatura :
Matr´ıcula : Turma :
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 2, 5
2a 4, 0
3a 3, 5
Total 10, 0
Instruc¸o˜es Gerais:
• A durac¸a˜o da prova e´ de 1h50min.
• A toleraˆncia de entrada e´ de 30min apo´s o in´ıcio da prova. Se um aluno terminar a prova
em menos de 30min, devera´ aguardar em sala antes de entregar a prova e sair de sala.
• A prova deve ser resolvida apenas nas folhas recebidas e nos espac¸os reservados para
soluc¸o˜es. Na˜o e´ permitido destacar folhas da prova.
• A prova e´ sem consulta a professores, fiscais ou a qualquer tipo de material. A interpretac¸a˜o
dos enunciados faz parte da prova.
• O aluno so´ podera´ realizar a prova e assinar a lista de presenc¸a na sua turma/sala.
• O aluno so´ podera´ manter junto a si: la´pis, borracha e caneta. Caso necessa´rio, o fiscal
podera´ solicitar ajuda a outro aluno e apenas o fiscal repassara´ o material emprestado.
• O celular devera´ ser desligado e guardado.
Instruc¸o˜es Espec´ıficas:
• Todas as questo˜es devem ser justificadas de forma clara e rigorosa. Respostas sem justifi-
cativas na˜o sera˜o consideradas.
• A prova pode ser resolvida a la´pis, mas as respostas devem ser escritas a caneta de tinta
azul ou preta. Na˜o e´ permitido o uso de caneta de tinta vermelha ou verde.
• Na˜o e´ permitido o uso de calculadora ou qualquer dispositivo eletroˆnico.
• Esta prova possui 3 questo˜es. Confira.
• Caso o aluno tenha perguntas ou observac¸o˜es a serem feitas ao professor, devera´ descreveˆ-
las na capa da prova.
Questa˜o 1
Seja W subespac¸o vetorial de Rn. Considere o conjunto
W⊥ = {v ∈ Rn |v ·w = 0 para todo w ∈W}
dito complemento ortogonal de W em Rn.
(a) Mostre que W⊥ e´ um subespac¸o vetorial de Rn.
(b) Mostre que W⊥ ∩W = {0}.
(c) Assuma que W =ger{(1, 2,−3), (3, 1,−1)}. Sabendo que v = (a, b, 1) ∈ W⊥, deter-
mine os valores de a e b.
Questa˜o 2
Seja P : R3 → R3 a transformac¸a˜o linear que e´ a projec¸a˜o ortogonal sobre o plano Π de
equac¸a˜o x+ 2y = 0.
E seja F : R3 → R3 a transformac¸a˜o afim que e´ a projec¸a˜o ortogonal sobre o plano Π′ de
equac¸a˜o x+ 2y = 15.
(a) Mostre que a transformac¸a˜o P e´ definida pela matriz
[P ] =
1
5
 4 −2 0−2 1 0
0 0 5
 .
(b) Determine a projec¸a˜o ortogonal de (1, 1, 0) no plano Π.
(c) Determine o posto e a nulidade de [P ] do item (a).
(d) Encontre treˆs vetores v1,v2 e v3 satisfazendo simultaneamente:
• v1,v2 e v3 sa˜o treˆs autovetores distintos de P ;
• v1 ⊥ v2, v2 ⊥ v3 e v3 ⊥ v1.
(e) Determine a projec¸a˜o ortogonal de (0, 0, 0) no plano Π′.
(f) Determine a expressa˜o para F , ou seja, determine F (x, y, z).
(Pode responder usando matrizes, se preferir.)
Questa˜o 3
Decida se cada afirmac¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa. Se a afirmac¸a˜o for verdadeira, apre-
sente uma demonstrac¸a˜o. Se a afirmac¸a˜o for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
(a) Se p(x) ∈ ger{1 + x2, 1 + x+ x2} e´ um polinoˆmio na˜o nulo, enta˜o p(x) tem grau 2.
(b) Se S = {1 + x2, 1 + x+ x2} e S′ = {x, x2}, enta˜o gerS = gerS′.
(c) Se A =
 1 0 00 k 5
2k −1 k
, enta˜o A e´ invert´ıvel seja qual for k ∈ R.
(d) Se B =
 1 0 0 1 pi0 k 5 2 √3
2k −1 k 3 −5
, enta˜o B tem nulidade 2 seja qual for k ∈ R.
(e) Se F : R2 → R2 e´ transformac¸a˜o afim dada por F (x, y) = (x − y, y) + (1, 2), enta˜o
F (u+ v) = F (u) + F (v) para todos os vetores u e v de R2.
MAT1260 – A´lgebra Linear 1
G2 – 18 de maio de 2017
(Versa˜o II)
Nome Leg´ıvel :
Assinatura :
Matr´ıcula : Turma :
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 2, 5
2a 4, 0
3a 3, 5
Total 10, 0
Instruc¸o˜es Gerais:
• A durac¸a˜o da prova e´ de 1h50min.
• A toleraˆncia de entrada e´ de 30min apo´s o in´ıcio da prova. Se um aluno terminar a prova
em menos de 30min, devera´ aguardar em sala antes de entregar a prova e sair de sala.
• A prova deve ser resolvida apenas nas folhas recebidas e nos espac¸os reservados para
soluc¸o˜es. Na˜o e´ permitido destacar folhas da prova.
• A prova e´ sem consulta a professores, fiscais ou a qualquer tipo de material. A interpretac¸a˜o
dos enunciados faz parte da prova.
• O aluno so´ podera´ realizar a prova e assinar a lista de presenc¸a na sua turma/sala.
• O aluno so´ podera´ manter junto a si: la´pis, borracha e caneta. Caso necessa´rio, o fiscal
podera´ solicitar ajuda a outro aluno e apenas o fiscal repassara´ o material emprestado.
• O celular devera´ ser desligado e guardado.
Instruc¸o˜es Espec´ıficas:
• Todas as questo˜es devem ser justificadas de forma clara e rigorosa. Respostas sem justifi-
cativas na˜o sera˜o consideradas.
• A prova pode ser resolvida a la´pis, mas as respostas devem ser escritas a caneta de tinta
azul ou preta. Na˜o e´ permitido o uso de caneta de tinta vermelha ou verde.
• Na˜o e´ permitido o uso de calculadora ou qualquer dispositivo eletroˆnico.
• Esta prova possui 3 questo˜es. Confira.
• Caso o aluno tenha perguntas ou observac¸o˜es a serem feitas ao professor, devera´ descreveˆ-
las na capa da prova.
Questa˜o 1
Seja W subespac¸o vetorial de Rn. Considere o conjunto
W⊥ = {v ∈ Rn |v ·w = 0 para todo w ∈W}
dito complemento ortogonal de W em Rn.
(a) Mostre que W⊥ e´ um subespac¸o vetorial de Rn.
(b) Mostre que W⊥ ∩W = {0}.
(c) Assuma que W =ger{(1, 2,−3), (3, 1,−1)}. Sabendo que v = (a, 1, b) ∈ W⊥, deter-
mine os valores de a e b.
Questa˜o 2
Seja P : R3 → R3 a transformac¸a˜o linear que e´ a projec¸a˜o ortogonal sobre o plano Π de
equac¸a˜o 2y + z = 0.
E seja F : R3 → R3 a transformac¸a˜o afim que e´ a projec¸a˜o ortogonal sobre o plano Π′ de
equac¸a˜o 2y + z = 15.
(a) Mostre que a transformac¸a˜o P e´ definida pela matriz
[P ] =
1
5
 5 0 00 1 −2
0 −2 4
 .
(b) Determine a projec¸a˜o ortogonal de (1, 1, 0) no plano Π.
(c) Determine o posto e a nulidade de [P ] do item (a).
(d) Encontre treˆs vetores v1,v2 e v3 satisfazendo simultaneamente:
• v1,v2 e v3 sa˜o treˆs autovetores distintos de P ;
• v1 ⊥ v2, v2 ⊥ v3 e v3 ⊥ v1.
(e) Determine a projec¸a˜o ortogonal de (0, 0, 0) no plano Π′.
(f) Determine a expressa˜o para F , ou seja, determine F (x, y, z).
(Pode responder usando matrizes, se preferir.)
Questa˜o 3
Decida se cada afirmac¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa. Se a afirmac¸a˜o for verdadeira, apre-
sente uma demonstrac¸a˜o. Se a afirmac¸a˜o for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
(a) Se F : R2 → R2 e´ transformac¸a˜o afim dada por F (x, y) = (x − y, y) + (1, 2), enta˜o
F (u+ v) = F (u) + F (v) para todos os vetores u e v de R2.
(b) Se A =
 1 0 00 k 5
2k −1 k
, enta˜o A e´ invert´ıvel seja qual for k ∈ R.
(c) Se B =
 1 0 0 1 pi0 k 5 2 √3
2k −1 k 3 −5
, enta˜o B tem nulidade 2 seja qual for k ∈ R.
(d) Se p(x) ∈ ger{1 + x2, 1 + x+ x2} e´ um polinoˆmio na˜o nulo, enta˜o p(x) tem grau 2.
(e) Se S = {1 + x2, 1 + x+ x2} e S′ = {x, x2}, enta˜o gerS = gerS′.