serie de fourier de tempo discreto

Prévia do material em texto

SINAIS PERIÓDICOS DE TEMPO 
DISCRETO: A SÉRIE DE FOURIER DE 
TEMPO DISCRETOTEMPO DISCRETO
Considere representar um sinal periódico, com período N, aproximado, como um 
superposição ponderada de senóides complexas:
Para escolher os coeficientes A[k] da DTFS, minimizaremos o MSE: 
Multiplicando cada termo:
Defina:
Aplicando a propriedade de ortogonalidade de senóides complexas de tempo discreto ao
último termo:
Adicionando e subtraindo no lado direito do MSE:
Reescrevendo a soma do meio como um quadrado:
A dependência que o MSE tem dos coeficientes desconhecidos A[k] é apenas no termo do 
meio. O MSE é minimizado forçando o termo do meio a tender a zero com a opção:
X[k] tem período N em k, uma vez que:
MSE mínimo, quando , é:
Permutando a ordem do somatório:
Para m=n:
Substituindo em
Resulta MSE=0. Dessa forma
REPRESENTAÇÃO POR DTFS
x[n] têm período fundamental 
Dizemos que x[n] e X[k] são um par de DTFS e denotamos esta relação como:Dizemos que x[n] e X[k] são um par de DTFS e denotamos esta relação como:
A representação pelos coeficientes da DTFS também é conhecida como representação de
domínio de frequencia, porque cada coeficiente da DTFS é associado com uma senóide
complexa de frequencia diferente.
Examinaremos agora a representação, considerando a contribuição de cada termo para a
onda quadrada do exemplo 3.2. Neste exemplo, os coeficientes da DTFS tem simetria par,
X[k]=X[-k]. As condições gerais sob as quais os coeficientes da DTFS tem simetria par ou
impar, serão discutidos na seção 3.6.
Suponha por conveniência, que N seja par a fim de que N/2 seja inteiro.Suponha por conveniência, que N seja par a fim de que N/2 seja inteiro.