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Cálculo Diferencial 
e Integral
Alessandra Negrini Dalla Barba
© 2020 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Barba, Alessandra Negrini Dalla.
B228c Cálculo diferencial e integral / Alessandra Negrini Dalla Barba. – 
 Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2020.
 218 p.
 
 ISBN versão digital 978-65-5903-021-7
 
 1. Limites e continuidade. 2. Derivadas. 3. Aplicações das 
 derivadas. I. Título.
CDD 620
Raquel Torres CRB-6/2786
Sumário
Unidade 1
Funções ........................................................................................................... 7
Seção 1
 Introdução às funções e funções polinomiais ................................ 9
Seção 2
Tipos especiais de funções e propriedades ....................................27
Seção 3
Funções trigonométricas .................................................................45
Unidade 2
Limites ..........................................................................................................66
Seção 1
Introdução ao estudo dos limites ...................................................68
Seção 2
Limites infinitos e no infinito ..........................................................85
Seção 3
Continuidade de funções ..............................................................102
Unidade 3
Derivadas e regras de derivação .............................................................122
Seção 1
Introdução às derivadas ................................................................124
Seção 2
Outras regras de derivação ...........................................................139
Seção 3
Regra da cadeia e derivação implícita .........................................154
Unidade 4
Aplicações das derivadas .........................................................................170
Seção 1
Taxas relacionadas e pontos críticos ...........................................172
Seção 2
Máximos e mínimos, concavidade e pontos de inflexão ..........187
Seção 3
Regra de L’Hospital e otimização.................................................203
Palavras do autor
Prezado aluno, quando buscamos relacionar variáveis entre si, podemos empregar o conceito de função, desde que determinadas condições sejam verificadas. Porém, para resolver um problema que pode ser 
modelado por uma função, não basta conhecer a definição correspondente, 
é necessário investigar o comportamento da função, se temos a presença de 
valores máximos ou mínimos, entre outras características, as quais podem 
ser avaliadas a partir, por exemplo, do emprego dos conceitos de limite e 
de derivada.
Assim, em Cálculo Diferencial e Integral visamos investigar o compor-
tamento de funções desde a sua definição, englobando domínio, imagem, 
lei de formação, considerando também as representações gráficas correspon-
dentes, as propriedades verificadas em relação a crescimento, decrescimento, 
concavidade, entre outras. Você descobrirá ferramentas indispensáveis para 
o estudo de situações-problema provenientes de diferentes contextos, e que 
podem ser modeladas por funções, como é o caso de problemas relativos a 
receitas e lucros acumulados por empresas, organização do tráfego em vias 
de uma cidade, comportamento de espécies ao longo do tempo em determi-
nada região, decaimento radioativo de substâncias no decorrer do tempo, 
entre outros exemplos. 
Sendo assim, neste livro, iniciaremos nossos estudos na Unidade 1, inves-
tigando os conceitos básicos envolvendo funções bem como suas proprie-
dades. Vamos identificar as principais definições associadas, as diferentes 
representações que podem ser adotadas para as funções, com enfoque nas 
representações algébricas e gráficas correspondentes, a composição de 
funções, o conceito de função inversa, além de avaliar categorias importantes 
de funções.
Na Unidade 2 o foco de estudos são os limites de funções, possibili-
tando identificar o comportamento em torno de pontos específicos, ou ainda 
quando avaliamos regiões do domínio tendendo ao infinito, permitindo 
também estudar a continuidade das funções reais.
O estudo das derivadas tem início na Unidade 3, a partir de uma 
associação com o problema das retas tangentes, taxas de variação, sendo 
seguido do estudo e aplicação das regras de derivação na resolução de 
problemas matemáticos ou provenientes de outros contextos.
Por fim, na Unidade 4, o objetivo é estudar algumas aplicações das 
derivadas, dentre as quais podemos destacar as taxas relacionadas, os testes 
para estudo de máximos e mínimos de funções, pontos de inflexão, concavi-
dade, problemas de otimização e a regra de L’Hospital.
Nesse sentido, para cumprir os desafios propostos em cada unidade, é 
importante que você se dedique aos estudos, considerando a complexi-
dade dos conceitos abordados na disciplina e as relações de dependência 
existentes entre eles. Então, procure desenvolver uma rotina de estudos que 
envolva desde os conceitos teóricos até à resolução de exercícios e problemas, 
procurando refletir sobre a importância de cada conceito para a resolução de 
problemas e, principalmente, para o contexto profissional relacionado à sua 
área de formação.
Bons estudos!
Unidade 1
Alessandra Negrini Dalla Barba
Funções
Convite ao estudo
Caro aluno, no Cálculo Diferencial e Integral temos por objetivo estudar 
o comportamento de funções e suas aplicações por meio do emprego da 
definição de função, suas propriedades, bem como o estudo de limites e 
derivadas associadas. Assim, é essencial aprofundarmos os estudos em 
relação aos conceitos fundamentais associados às funções.
As funções podem ser construídas a partir de relações entre variáveis, 
desde que satisfaçam a certos critérios. Diante dessa possibilidade, o conceito 
de função pode ser empregado quando desejamos, por exemplo, analisar a 
relação existente entre as variações do preço de um produto em função de 
certas variáveis, como a inflação, por exemplo, ou quando relacionamos uma 
área de plantio com a produção e lucro que podem ser gerados a partir dela, 
entre outras situações. Vamos direcionar nossos estudos para as funções de 
uma variável, isto é, aquelas funções nas quais relacionamos apenas duas 
variáveis entre si, uma independente e a outra dependente. Dessa forma, 
podemos descrever fenômenos como a variação da distância percorrida em 
função da velocidade adotada pelo veículo, o tempo necessário para escoarcerta quantidade de água a partir de um encanamento, entre outras situações.
Como temos a possibilidade de descrever diferentes fenômenos a partir 
das funções, além de conhecer as definições e propriedades associadas, é 
importante conhecermos as diferentes categorias de funções, observando os 
comportamentos que podem ser modelados a partir delas.
Nesse sentido, ao longo desta unidade estudaremos os conceitos básicos 
associados às funções, bem como os principais tipos de funções que podem 
ser estudadas, dentre as quais podemos destacar as funções polinomiais, 
exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, visando ao desenvolvimento 
de competências e habilidades que permitam compreender as funções e sua 
aplicação em diferentes contextos.
Dessa forma, iniciaremos nossos estudos, na primeira seção, observando como 
podemos definir uma função, considerando a importância de avaliarmos domínio, 
contradomínio, imagem e lei de formação associados, bem como identificarmos 
as estratégias empregadas na representação de funções, com destaque para 
as representações algébricas e gráficas. Além disso, estudaremos as propriedades 
das funções polinomiais, analisando as especificidades das funções afim e 
quadráticas. Em seguida, estudaremos as funções exponenciais e logarítmicas, 
na segunda seção, observando os comportamentos de cada função e relacionan-
do-as entre si a partir do conceito de função inversa, o qual está relacionado com a 
composição de funções. Por fim, na terceira seção nossos estudos serão direcio-
nados às funções trigonométricas e suas propriedades, analisando com mais 
detalhes as funções seno, cosseno e tangente, relacionando-as com o ciclo 
trigonométrico e com as unidades de medidas adotadas para ângulos.
Assim, vamos iniciar os estudos a respeito das funções, observando suas 
principais propriedades e refletindo a respeito de sua aplicação na resolução de 
problemas. Bons estudos! 
9
Seção 1
 Introdução às funções e funções polinomiais
Diálogo aberto
Vamos iniciar os estudos a partir de um conceito fundamental para o 
Cálculo Diferencial e Integral: o de função. Ele está presente em diversas 
situações, especificamente quando podemos interpretá-las como um tipo 
especial de relação entre duas variáveis, independentemente dos contextos 
nos quais elas estão inseridas. Ao longo da seção estudaremos a definição 
de função, algumas de suas propriedades, como a caracterização de funções 
crescentes e decrescentes, pares e ímpares, além de observar as características 
específicas das funções que integram o conjunto das funções polinomiais. 
Para esse estudo, considere que você esteja atuando em um escritório 
que presta consultoria para micro e pequenas empresas, principalmente em 
relação a questões financeiras. Um grupo de empresários pretende lançar 
no mercado um novo aplicativo para transportes e, com isso, uma nova 
empresa, com a proposta de que os motoristas associados utilizem apenas 
carros alugados em vez de carros particulares, visto que essa empresa será 
lançada a partir de uma sociedade estabelecida com duas locadoras de 
veículos: L e A. O grupo de empresários pretende organizar os planos para 
associação de novos motoristas considerando as tarifas cobradas por cada 
locadora associada, conforme as seguintes descrições:
• A tarifa semanal cobrada para o aluguel de um automóvel padrão pela 
locadora L corresponde a um valor fixo de R$ 320,00 acrescido de R$ 
0,30 por quilômetro rodado.
• A tarifa semanal cobrada para o aluguel de um automóvel padrão pela 
locadora A corresponde a um valor fixo de R$ 140,00 acrescido de R$ 
0,45 por quilômetro rodado.
Como você organizaria os dois planos para a associação de novos 
motoristas? Que condições poderiam ser estabelecidas para a escolha 
do melhor plano de acordo com o perfil de cada motorista, em relação a 
distância média a ser percorrida por ele semanalmente?
Além disso, esse grupo de empresários deseja orientações em relação 
a como gerenciar a empresa visando maximizar o lucro semanal, avaliado 
a partir de informações disponíveis a respeito do número de motoristas 
associados, considerando que todos percorram ao menos 500 quilômetros 
10
por semana e considerando que a empresa está iniciando suas atividades. 
Nesse estudo, você deve partir das seguintes informações:
• O custo total para a manutenção da empresa é dado como o produto 
entre o número de motoristas associados ( )x e a expressão 
46 25 5300, x+ , considerando os investimentos necessários para 
manter a sociedade com as duas locadoras.
• A receita total pode ser calculada pela expressão 7612 5 10406 25, ,x- , 
considerando os investimentos que também são realizados pelas 
locadoras na manutenção dos veículos.
Que orientações você daria a esse grupo de empresários em relação à 
maximização do lucro semanal, sob as condições apresentadas por eles?
Assim, para a resolução da situação apresentada, prossiga em seus 
estudos, conferindo a definição e algumas propriedades das funções, bem 
como as características das funções polinomiais, mais especificamente das 
funções afim e quadráticas, para posteriormente empregá-las na interpre-
tação e resolução do desafio proposto.
Não poode faltar
Em diferentes contextos podemos identificar situações nas quais preci-
samos relacionar variáveis entre si, como quando comparamos as quanti-
dades de combustível consumidas por um automóvel com as distâncias 
percorridas. Para contribuir com a descrição de fenômenos nos quais preci-
samos relacionar duas variáveis entre si, podemos empregar o conceito de 
função, desde que essa relação apresente algumas características específicas. 
Vejamos na sequência como podemos definir uma função e quais são as 
possíveis representações associadas.
Introdução ao estudo das funções
Por definição, uma função f corresponde a uma regra que associa cada 
elemento x, pertencente a um conjunto D, a um único elemento f(x), perten-
cente a um conjunto E. Nesse caso, podemos empregar a representação 
f D E: ® . Para que seja definida uma função, note que cada elemento do 
conjunto D deve estar relacionado somente a um elemento de E. Uma 
representação possível para uma função é o diagrama de flechas, conforme 
Figura 1.1.
11
Figura 1.1 | Diagrama de flechas para uma função f
x
D
a
( )f x
( )f a
E
Fonte: elaborada pela autora.
No diagrama de flechas, como o da Figura 1.1, podemos apresentar os 
dois conjuntos, D e E, empregados na construção da função, sendo as relações 
existentes entre seus elementos evidenciadas por meio de flechas. 
No estudo de uma função f D E: ® , o conjunto D é chamado de domínio 
de função, no qual são indicados os possíveis valores assumidos pela variável 
independente, a qual pode ser representada por x. O conjunto E, por sua vez, 
consiste no contradomínio da função, no qual é estudada a variável depen-
dente. Além disso, os possíveis valores de f x( ) , obtidos ao variar x por todo 
o domínio, pertencem a um subconjunto de E chamado de imagem de f.
Atenção
Usualmente, os conjuntos empregados na representação de domínios e 
contradomínios é o conjunto dos números reais ( ) , no entanto, 
podemos utilizar subconjuntos de  conforme o tipo de problema em 
estudo.
As funções, conforme a definição apresentada, podem ser chamadas 
também de funções de uma variável, visto que temos a presença de uma 
única variável independente. 
Além do diagrama de flechas, podemos representar as funções a partir de 
gráficos, os quais permitem analisar o comportamento da função e como se 
relacionam as variáveis entre si.
O gráfico de uma função f D E: ® corresponde a um conjunto de pares 
ordenados x y,( ) em que y f x= ( ) , com x pertencente ao domínio D da 
função. Esse conjunto pode ser descrito como G x f x x D= ( ) ∈{ }, ( ) . Desse 
modo, partindo do plano cartesiano, a construção de um gráfico envolve a 
identificação dos pares ordenados envolvendo os valores do domínio com 
suas imagens correspondentes. Na Figura 1.2 podemos observarum exemplo 
de gráfico, associado a uma função f, o qual destaca o domínio e a 
imagem correspondentes.
12
Figura 1.2 | Gráfico da função f D E: ®
Imagem
Domínio
0
 x
y = f(x)
Fonte: elaborada pela autora.
Nas representações gráficas, como é o caso da Figura 1.2, os pares 
ordenados sempre são identificados de modo que os elementos do domínio 
sejam representados a partir do eixo das abscissas (horizontal), denominado 
eixo x, e a imagem seja descrita a partir do eixo das ordenadas (vertical), 
descrito como eixo y.
Também temos a possibilidade de estudar funções definidas a partir de 
uma tabela de valores, ou ainda a partir de uma expressão matemática que 
a caracteriza, a qual corresponde ao principal tipo de representação adotado 
no Cálculo Diferencial e Integral.
Exemplificando
Um exemplo de função representada algebricamente consiste em:
f : ®
x f x x ( )= +1
Para cada x Î (domínio), sua imagem é tal que f x x( )= +1 . A 
expressão f x x( )= +1 consiste na regra ou lei de formação da função, 
a qual deve ser apresentada em conjunto com domínio e contradomínio 
adequados.
A representação gráfica para essa função é apresentada na Figura 1.3.
13
Figura 1.3 | Representação gráfica para f, com f x x( )= +1
Fonte: elaborada pela autora.
Além disso, podemos construir uma tabela de valores associados a f, 
conforme a Tabela 1.1, de modo a estudar a função em certos valores 
de seu domínio.
Tabela 1.1 | Tabela de valores correspondente à função f, com f x x( )= +1
x f x( )
-2 -1
-1 0
0 1
1 2
2 3
Fonte: elaborada pela autora.
Além das diferentes representações, podemos analisar as propriedades 
que são apresentadas por uma função, principalmente em relação ao seu 
comportamento. Vejamos a seguir algumas das propriedades que podem ser 
apresentadas por uma função.
Propriedades das funções
Seja uma função f D E: ® e considere I DÌ um subintervalo de seu 
domínio. Dizemos que a função f é crescente no intervalo I quando, dados 
x x I1 2, Î , se x x1 2< então f x f x1 2( )< ( ) , conforme exemplo apresentado na 
14
Figura 1.4(a). Por outro lado, a função f é classificada como decrescente no 
intervalo I quando, dados x x I1 2, Î , se x x1 2< então f x f x1 2( )> ( ) , cujo 
exemplo é destacado na Figura 1.4(b).
Figura 1.4 | Comportamento de uma função em relação a crescimento e decrescimento
y y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
x1 x2 x1 x2x
x
(a) Função crescente (b) Função decrescente
Fonte: elaborada pela autora
Também podemos estudar o comportamento de uma função em relação 
à simetria, possibilitando a classificação como pares ou ímpares de acordo 
com as propriedades que apresentam. 
Uma função f é classificada como par quando é válida a igualdade 
f x f x( ) ( )− = para todo x em seu domínio. Uma função f é ímpar no caso em 
que f x f x( ) ( )− =− para todo x em seu domínio.
Assimile
Quando uma função é classificada como par, seu gráfico é simétrico em 
relação ao eixo y, conforme exemplo ilustrado na Figura 1.5(a). Por 
outro lado, se uma função f é ímpar, então seu gráfico é simétrico em 
relação à origem, isto é, se rotacionarmos a parte do gráfico correspon-
dente a x ³0 180° em torno da origem, podemos obter a parte corres-
pondente a x £0 , sendo um exemplo apresentado na Figura 1.5(b).
Figura 1.5 | Comportamento gráfico de funções pares e ímpares
y y
x x
(a) Função par (b) Função ímpar
Fonte: elaborada pela autora. 
15
As classificações em relação a funções crescentes ou decrescentes, ou 
em relação a funções pares e ímpares, podem ser empregadas no estudo de 
funções com diferentes características.
Reflita
Toda função f : ® não crescente será, necessariamente, decres-
cente em seu domínio? Toda função f : ® que não seja par será, 
por consequência, ímpar? De que forma os gráficos poderiam ser utili-
zados para ilustrar as respostas para essas questões?
Além dessas propriedades, de acordo com a lei de formação de uma 
função podemos construir categorias específicas de funções, dentre as quais 
podemos destacar as polinomiais, exponenciais, logarítmicas, entre outras. 
Vejamos a seguir as características das funções polinomiais.
Funções polinomiais
Uma função polinomial consiste em uma função f : ® cuja lei de 
formação é dada por:
f x a x a x a x a x a x an
n
n
n
n
n( ) ...= + + + + + +−
−
−
−
1
1
2
2
2
2
1 0
sendo n um número inteiro não negativo e os números a a a an0 1 2, , ,..., são 
constantes denominadas coeficientes do polinômio. Desde que o coefi-
ciente dominante an seja diferente de zero, então o grau do polinômio é 
igual a n.
Exemplificando
Seja a função polinomial f : ® definida por f x x x x( )= + − +3 2 54 2 . 
Note que f corresponde a uma função polinomial de grau 4, com coefi-
ciente dominante a4 3= .
No conjunto das funções polinomiais podemos destacar duas subcate-
gorias importantes: o conjunto das funções polinomiais de grau 1, chamadas 
de funções afim, e as funções polinomiais de grau 2, denominadas funções 
quadráticas, as quais são apresentadas a seguir.
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Funções afim
Uma função f : ® cuja lei de formação é f x ax b( )= + , com a e b 
números reais, é denominada função polinomial de grau 1, função polino-
mial de 1º grau ou função afim. A constante real a é denominada coeficiente 
angular e b é chamada de coeficiente linear. O gráfico que descreve uma 
função dessa classe é representado por uma reta no plano cartesiano, o que 
permite o emprego desse tipo de função na representação de fenômenos com 
característica linear, como é o caso do valor pago por uma quantidade especí-
fica de unidades de um mesmo produto, por exemplo, considerando a 
ausência de descontos e outras variáveis.
Por exemplo, a função f : ® com f x x( )= −2 1 é afim, cujo gráfico é 
ilustrado na Figura 1.6.
Figura 1.6 | Gráfico da função real f com lei de formação f x x( )= −2 1
Fonte: elaborada pela autora.
A raiz de uma função afim f x ax b( )= + consiste em um valor x perten-
cente ao seu domínio tal que f x( )= 0 . Por exemplo, a raiz da função 
f x x( )= −2 2 é x =1 , pois f ( )1 2 2 0= − = .
No conjunto das funções afim, podemos ainda destacar o caso particular 
da função linear, a qual apresenta lei de formação f x ax( )= , com a um 
número real. O gráfico de uma função linear pode ser identificado como uma 
reta que passa pela origem, isto é, que contém o par ordenado ( , )0 0 .
O estudo do crescimento e decrescimento de funções afim pode ser reali-
zado com base no coeficiente angular associado, de modo que:
• Função afim crescente: o coeficiente angular é positivo a>( )0 .
• Função afim decrescente: o coeficiente angular é negativo a<( )0 .
17
Além disso, independentemente do crescimento ou decrescimento da 
função, um valor x Î , no domínio de uma função afim, é chamado de raiz 
da função quando f x( )= 0 , o qual é caracterizado, graficamente, como a 
interseção do gráfico da função com o eixo x.
Temos ainda o caso em que o coeficiente angular a é nulo na lei de 
formação f x ax b( )= + , o que implica na existência da função constante, cuja 
lei de formação é f x b( )= , com b um número real, sendo seu gráfico descrito 
por uma reta paralela ao eixo x.
Além das funções afim, uma outra classe importante de funções polino-
miais corresponde nas funções polinomiais de grau 2 ou funções quadráticas.
Funções quadráticas
Uma função f : ® cuja lei de formação é f x ax bx c( )= + +2 , com a, 
b e c números reais e a¹0 , é denominada função polinomial de grau 2, 
função polinomial de 2º grau ou função quadrática. O gráfico que descreve 
uma função dessa classe é representado por uma parábola no plano carte-
siano. Por exemplo, a função f : ® com f x x x( )= + −2 12 é uma função 
quadrática, cujo gráfico é ilustrado na Figura 1.7.
Figura 1.7 | Gráfico da função real f com lei de formação f x x x( )= + −2 12
Fonte: elaborada pela autora. 
O coeficiente a, do termo de grau 2, é responsável por indicar o compor-
tamento da parábola em relação à sua concavidade.Quando a>0 , a 
parábola que representa graficamente a função quadrática tem concavidade 
18
voltada para cima, enquanto a<0 indica que a parábola terá concavidade 
voltada para baixo.
Também podemos estudar as raízes associadas a funções quadráticas 
considerando, de modo análogo às funções afim, que x Î no domínio da 
função f é uma raiz quando f x( )= 0 . Sendo assim, x é uma raiz quando for 
solução da equação de 2º grau na forma ax bx c2 0+ + = . Para estudar os tipos 
de raízes que uma função quadrática pode apresentar podemos estudar o 
discriminante ∆( ) , calculado como segue: ∆= −b ac2 4 . A partir do discri-
minante podemos inferir que a função quadrática apresentará:
• Duas raízes reais distintas quando o discriminante for positivo ∆>( )0 .
• Duas raízes reais e iguais, ou uma raiz de multiplicidade 2, quando o 
discriminante for nulo ∆=( )0 .
• Duas raízes complexas conjugadas quando o discriminante for 
negativo ∆<( )0 .
As raízes podem ser obtidas a partir do estudo da equação de 2º grau 
associada, possibilitando o emprego da fórmula resolutiva para equações do 
2º grau na forma: x b
a
=
− ± ∆
2
.
Combinando as análises em relação às raízes e concavidade, podemos 
identificar uma das seis possibilidades para o gráfico da função quadrática, 
conforme situações ilustradas na Figura 1.8.
Figura 1.8 | Estudo do sinal e das raízes de uma função quadrática
y y y
y y y
(d) 0a < e 0∆ > (e) 0a < e 0∆ = 0a < e 0∆ <
(a) 0a > 0∆ >e 0a > 0∆ =e (b) (c) 0a > e 0∆ <
Fonte: elaborada pela autora.
19
Além das propriedades já estudadas, outro elemento que se faz presente 
no gráfico de uma função quadrática é o vértice, o qual consiste no ponto em 
que o gráfico altera entre os comportamentos de crescimento e decresci-
mento. O vértice corresponde a um ponto de coordenadas x yV V,( ) em que: 
x b
aV
=−
2
 e y
aV
=−
∆
4
. Note que o vértice pode corresponder a um valor 
mínimo, quando a parábola tem concavidade voltada para cima, ou 
máximo, se a concavidade é voltada para baixo, dependendo da lei de 
formação e do domínio da função.
Assimile
A partir de uma função quadrática com lei de formação 
f x ax bx c( )= + +2 as principais expressões algébricas que podemos 
identificar são:
• Discriminante: ∆= −b ac2 4
• Raízes: x b
a
=
− ± ∆
2
;
• Vértice: x yV V,( ) com x
b
aV
=−
2
 e y
aV
=−
∆
4
. 
As funções quadráticas podem ser empregadas na descrição de fenômenos 
relacionados com a Física, como o movimento de lançamento de objetos sob 
determinadas condições.
O conhecimento do conceito de função e suas propriedades é essencial 
quando desejamos interpretar fenômenos por meio dos recursos matemá-
ticos, principalmente quando podemos identificar relações entre variáveis, 
sejam essas situações provenientes de contextos matemáticos ou de outras 
áreas do conhecimento.
Sem medo de errar
Na situação-problema em estudo, você deve prestar consultoria a um 
grupo de empresários para que possam iniciar sua nova empresa, baseada 
em um aplicativo para transportes em associação com empresas de locação 
de veículos. Para isso, você precisará realizar estudos em relação aos planos 
que serão oferecidos para a associação de novos motoristas, visto que a 
condição é que o motorista trabalhe com um veículo alugado a partir de uma 
das empresas associadas, além de estudar a respeito das receitas, custos e 
lucros que podem ser obtidos, apresentando orientações para os empresários 
quanto à abertura da empresa.
20
Nesse sentido, vamos iniciar pela avaliação de planos para os motoristas 
associados. Como condição, cada motorista associado deve alugar um 
veículo em uma das empresas: locadora L ou locadora A. Se representarmos 
o número de quilômetros rodados por q e a tarifa semanal por T, podemos 
construir uma função em que T seja a variável dependente relacionada à 
variável independente q. Denotemos por TL a tarifa cobrada na locadora L e 
TA a tarifa cobrada pela locadora A. Podemos construir funções que 
descrevem as duas tarifas com domínios dados pelo conjunto 
 + = ∈ ≥{ }x x| 0 em ambos os casos, porque o número de quilômetros 
rodados é sempre um número positivo ou igual a zero, sendo o contrado-
mínio dado por  . Desse modo, podemos representar as tarifas cobradas 
em cada locadora a partir das seguintes funções afim:
TL : + →
 
q T q qL ( ) ,= +320 0 30
e
TA : + →
 q T q qA ( ) ,= +140 0 45 
Considerando as duas possibilidades de planos, referentes a cada uma das 
locadoras, podemos avaliar as condições para a indicação do melhor plano 
para cada perfil de motorista com base na quilometragem média percorrida 
por cada motorista semanalmente. Para isso, podemos construir a represen-
tação gráfica para as duas funções em um mesmo plano, conforme a Figura 
1.9.
Figura 1.9 | Comparações entre os planos para locação de veículos
y
x
TL
TA
900
800
700
1000
600
500
400
300
200
100
0 500 1500 2000
Fonte: elaborada pela autora. 
21
Podemos observar na Figura 1.9 que, ao comparar os gráficos das 
funções em estudo, existe um ponto em comum a ambos os gráficos, ou 
seja, existe um valor de quilometragem q para o qual as tarifas cobradas 
pelas duas locadoras são iguais. Desse modo, comparando as leis de 
formação das funções e igualando-as podemos verificar que:
320 0 30 140 0 45 320 140 0 45 0 30+ = + ⇒ − = − ⇒, , , ,q q q q 
⇒ = ⇒ = =180 0 15 180
0 15
1200,
,
q q 
Assim, para 1200 quilômetros rodados semanalmente, as tarifas cobradas 
pelas duas locadoras são iguais. Logo, com base nessa informação e anali-
sando a Figura 1.9 pode-se afirmar que:
• O plano com locação de veículos pela locadora L é mais indicado aos 
motoristas que planejam percorrer semanalmente, em média, uma 
distância superior a 1200 quilômetros.
• O plano com locação de veículos pela locadora A é mais indicado 
para motoristas que pretendem percorrer semanalmente, em média, 
uma distância inferior a 1200 quilômetros.
Além desse estudo, você deve apresentar orientações em relação ao lucro 
obtido e número de motoristas associados, considerando que a empresa está 
em fase inicial de implantação. Nesse sentido, com base nas informações 
apresentadas e denotando por x o número de motoristas associados, temos 
que o custo total é dado por:
C x x x x x( ) , ,= +( )= +46 25 5300 46 25 53002
enquanto a receita total é dada por R x x( ) , ,= −7612 5 10406 25 . Como o lucro 
corresponde à diferença entre receita e custo, temos que o lucro pode ser 
calculado como segue:
L x R x C x x x x( ) ( ) ( ) , , ,= − = −( )− +( )=7612 5 10406 25 46 25 53002
 
 =− + −46 25 2312 5 10406 252, , ,x x
22
Construindo a representação gráfica para a função lucro, temos a Figura 1.10.
Figura 1.10 | Função lucro correspondente à empresa de transportes por aplicativo
2000
1000
 0
10 20 30 40 50
y
x
Fonte: elaborada pela autora.
Devido às características da função lucro, a qual pode ser representada como
L : + →
 
,
x L x x x ( ) , , ,=− + −46 25 2312 5 10406 252
que corresponde a uma função quadrática, e tendo o coeficiente do termo 
de segundo grau negativo, então a função assume um valor máximo, corres-
pondente ao seu vértice. Determinando as coordenadas do vértice da 
função, obtemos:
xV =− ⋅ −( )
= =
2312 5
2 46 25
2312 5
92 5
25,
,
,
,
yV =−
− ⋅ −( )⋅ −( )
⋅ −( )
= =
( , ) , ,
,
2312 5 4 46 25 10406 25
4 46 25
3422500
185
2
118500 
Logo, para que a empresa atinja lucro máximo, no valor de R$ 18500,00, 
é necessário que existam 25 motoristas associados, percorrendo pelo menos 
500 quilômetros semanais em média.
Para finalizar o atendimento ao grupo de empresários, elabore uma síntese 
das informações obtidas durante os estudos, apresentando um relatório 
organizado que atenda a todos os questionamentos e exigências do cliente.
23
Avançando na prática
Gerenciando a produção de placas de alumínio
Uma empresa produz placas de alumínio de diferentes tamanhos, 
realizando cortes conformea necessidade dos clientes. Em uma dessas 
encomendas, após realizar a produção das placas solicitadas pelo cliente, 
restaram placas no formado de triângulos retângulos isósceles cuja 
hipotenusa tem comprimento igual a 2 metros. Para reduzir os desperdí-
cios, a empresa pretende cortar, a partir das placas triangulares, placas de 
formato retangular, considerando o esboço, no plano cartesiano, apresen-
tado na Figura 1.11.
Figura 1.11 | Placas retangulares e triangulares para corte 
y
P(a,b)
x
B
A C
-1 0 a, 1
 1
Fonte: elaborada pela autora
Para auxiliar a empresa na identificação de como devem ser realizados 
os cortes, você deve identificar uma expressão matemática que relacione a 
área das placas retangulares com a constante a relativa ao comprimento da 
placa. Como você expressaria a área da placa retangular em função do valor 
a associado ao seu comprimento?
Resolução da situação-problema
As coordenadas dos vértices do triângulo, no plano cartesiano, são dadas 
por A( , )-1 0 , B( , )0 1 e C( , )1 0 . Sabemos que a área de um retângulo é dada 
pelo produto entre as medidas do comprimento e da largura da figura. 
Determinemos, inicialmente, a relação existente entre as coordenadas a e b 
24
do ponto P para empregá-las no cálculo da área da placa retangular. Como 
temos P pertencente à reta que passa por B e C, então podemos determinar a 
lei de formação da função f x mx n( )= + cujo gráfico é a reta que passa por B 
e C. Sabendo que f ( )0 1= (ponto B) e f ( )1 0= (ponto C) então 
f x x( )=− +1 . Sendo assim, como P a b( , ) é um ponto do gráfico de f então 
b f a a= =− +( ) 1 . Como a área da região retangular corresponde ao produto 
entre 2a e b, então podemos concluir que a área da região é dada em função 
de a pela expressão A a a a a a( )= ⋅ − +( )=− +2 1 2 22 .
Com seu auxílio, o projeto pode ser concluído com êxito.
Faça valer a pena
1. A seguir é apresentado o gráfico completo de uma função f de uma 
variável real:
y
x
3
2
 1
0
 1
2
4 3 2 1 1 2 3 4 5
Em relação à função apresentada, analise as seguintes afirmações, classifican-
do-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) O domínio de f consiste no conjunto −[ ]4 4, .
( ) A imagem da função f corresponde ao conjunto −[ ]2 2, .
( ) É válido que f ( )0 3=− .
( ) A função f é crescente no intervalo −[ ]2 2, .
( ) A função f é par no intervalo −[ ]2 2, .
25
Assinale a alternativa que indica a sequência correta, considerando a ordem 
na qual as afirmações foram apresentadas:
a. V – V – F – V – V.
b. V – F – V – F – F.
c. F – V – F – V – F.
d. V – F – F – V – V.
e. F – V – V – F – F.
2. O gráfico a seguir apresenta variações nas temperaturas registradas ao 
longo de um dia em uma cidade do Rio Grande do Sul durante o inverno:
y
x
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Nessa situação, as temperaturas foram medidas entre as 4 e as 13 horas de 
um mesmo dia.
A respeito dessas informações, analise as seguintes asserções e a relação 
proposta entre elas:
I. A temperatura y, em função do horário x, descrita no gráfico pode 
ser classificada como uma função crescente.
PORQUE
II. II. No intervalo de 4 a 7 horas, a função que descreve a relação entre 
temperatura e horário pode ser dada por y x x( )= −2 10 .
Com relação às asserções apresentadas, assinale a alternativa correta:
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justifica-
tiva correta para a I.
26
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma 
justificativa correta para a I.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
d. A asserção II é uma proposição verdadeira e a I é uma proposição falsa.
e. As asserções I e II são proposições falsas.
3. Uma cooperativa atua no ramo da produção de óleo de girassol para 
consumo residencial, a partir da comercialização realizada a partir de 
mercados e supermercados credenciados. 
Diariamente, essa cooperativa tem uma produtividade que varia de 2 a 
6 quilolitros (kL) de óleo, de acordo com a demanda e disponibilidade de 
matéria-prima, de modo que o custo de produção diário, dado em reais e 
descrito em função da quantidade de óleo, em quilolitros, produzidos 
diariamente, possa ser modelado pela função:
c x x x( )= − +40 400 26002
Com base nesse contexto, analise as seguintes afirmações:
I. O custo de produção, por quilolitro, em um dia no qual houve uma 
produção de 4 quilolitros de óleo é de R$ 1640,00.
II. O custo diário mínimo, por quilolitro, corresponde a R$ 1500,00, o 
qual ocorre com a produção diária de 3 quilolitros de óleo.
III. O custo diário máximo, por quilolitro, é de R$ 1600,00, correspon-
dente a uma produção de 5 quilolitros de óleo.
IV. Se a produção diária for inferior a 3 quilolitros, o custo diário de 
produção será superior a R$ 1800,00.
V. O custo diário máximo, por quilolitro, será de R$ 1960,00, indepen-
dentemente da produção diária nessa cooperativa.
Está correto o que se afirma apenas em:
a. I e III.
b. I e V.
c. II e IV.
d. III e IV.
e. I, II e V.
27
Seção 2
Tipos especiais de funções e propriedades
Diálogo aberto
Nesta seção vamos direcionar nossos estudos às categorias das funções 
exponenciais e logarítmicas, bem como das funções inversas, considerando 
a importância central do conceito de função para os estudos e o desenvol-
vimento do Cálculo Diferencial e Integral. Esse assunto é de grande impor-
tância para o desenvolvimento da Matemática e uma ferramenta indispen-
sável para a resolução de problemas envolvendo diferentes áreas do conhe-
cimento, como é o caso do estudo do decaimento radioativo de substâncias 
químicas, ou mesmo as variações populacionais de espécies em ambientes 
específicos, por exemplo.
Estão relacionadas às funções exponenciais e funções logarítmicas o 
cálculo de juros compostos, o estudo das variações da pressão atmosférica, 
as curvas de aprendizagem, a escala Richter para avaliação dos impactos 
de terremotos e a lei do resfriamento de Newton, que são apenas alguns 
exemplos de emprego de tais funções. Para estudar essas funções, devemos 
empregar definições e propriedades de potências e logaritmos, estudados 
desde a Educação Básica, bem como o conceito de função e suas proprie-
dades. Outra importância no estudo dessas duas categorias de funções 
consiste na possibilidade de compará-las entre si, esclarecendo a relação de 
uma função com sua inversa, quando essa existe, evidenciando os diferentes 
estudos que podem ser realizados a partir da definição de função inversa e da 
composição de funções.
Assim, para esses estudos, suponha que um empresário solicitou atendi-
mento, no escritório de consultoria no qual você atua, para realizar um 
estudo a respeito da produtividade de sua empresa e a relação que pode ser 
estabelecida com os investimentos realizados e estimativas futuras. 
Para isso, você deve construir um modelo que descreva a produtividade 
em função dos investimentos, sabendo que essa relação pode ser modelada, 
na situação em questão, a partir de uma função do tipo exponencial dada por 
p i Ceki( )= , em que p representa a produtividade, i os investimentos, enquanto 
C e k são constantes que podem ser determinadas a partir das informações 
disponíveis: a produtividade da empresa, sem investimentos, é constante e 
igual a 20000 unidades ao mês e, além disso, ocorre um aumento de 100% na 
produtividade quando comparamos a ausência de investimentos com um 
investimento de 50 mil reais ao mês.
28
Além disso, para incrementar os estudos, você deverá analisar também o 
comportamento da função inversa, a qual descreve os investimentos a partir 
da produtividade, relacionando-as entre si. Nesse sentido, qual o investi-
mento necessário para que a produtividade atinja um patamar de 100 mil 
unidades produzidas mensalmente?
Como você responderia a essas questões? Qual modelo e conclusões você 
apresentaria ao empresário? Prossiga em seus estudos e confira os conceitos 
necessáriospara o cumprimento desse desafio!
Não pode faltar
As funções correspondem a relações especiais entre conjuntos, a partir 
das quais associamos variáveis dependentes e independentes entre si. Assim, 
quando definimos funções, indicamos dois conjuntos – domínio e contrado-
mínio – e uma regra que associa os conjuntos entre si – lei de formação –, a 
qual pode assumir diferentes formatos. Dependendo da expressão matemá-
tica considerada podemos construir diferentes classes de funções, como a das 
funções algébricas.
Funções algébricas
Uma função cuja lei de formação é obtida a partir da aplicação de um 
número finito de operações algébricas (adição, subtração, divisão e extração 
de raízes) sobre um polinômio é denominada função algébrica. Como 
exemplos, temos as funções f x x x( )= +2 e g x x( )= −3 2 .
Assimile
Podemos incluir as funções polinomiais no conjunto das funções 
algébricas, o qual é mais geral em comparação com o conjunto das 
funções polinomiais, visto que os polinômios podem ser construídos a 
partir, por exemplo, da soma e da diferença de monômios.
Cada função algébrica possui uma representação gráfica distinta, não 
sendo possível padronizá-las. Por isso, é necessário avaliar cada caso de forma 
independente, observando as propriedades da função algébrica em estudo.
Observe que para determinar a lei de formação da função algébrica 
h x x x( )= −2 aplicamos a operação de diferença entre os monômios x2 e x 
para, na sequência, extrair raiz quadrada. Outra interpretação que podemos 
empregar para construir a lei de formação de h, e que também pode envolver 
29
funções que não sejam algébricas, é a composição de funções, a qual permite 
relacionar diferentes funções para construir as chamadas funções compostas.
Composição de funções
Sejam as funções y f u u= =( ) e u g x x x= = −( ) 2 . Note que y é uma 
função de u que, por sua vez, é uma função de x, logo y é uma função de x. 
Nesse caso, podemos empregar substituição de modo a obter:
y f u f g x f x x x x= = = − = −( ) ( ( )) ( )2 2
Com esse procedimento, denominado composição, obtemos a função 
composta de f e g.
Nesse sentido, dadas duas funções g A B: ® e f C D: ® em que 
Im g C( )⊂ , ou seja, a imagem da função g seja um subconjunto do domínio 
de f, a função composta f g , também chamada composição de f e g, é uma 
função f g A D : ® tal que f g x f g x( ) =( ) ( ( )) para x AÎ .
Observe que se estamos trabalhando com a função composta f g 
primeiro aplicamos a função g em algum elemento x do domínio para, na 
sequência, aplicar f sobre g x( ) . Além disso, o domínio da função composta 
f g é igual ao domínio de g. 
Por exemplo: se considerarmos as funções f x x( )= 2 2 e g x x( )= +3 1 , as 
quais são polinomiais e possuem domínio e contradomínio caracterizado 
pelo conjunto dos números reais, podemos construir as seguintes 
funções compostas:
f g x f g x f x x x x( ) = ( )= +( )= +( ) = + +( ) ( ) 3 3 2 6 31 2 1 2 4 2
g f x g f x g x x x( ) = ( )= ( )=( ) + = +( ) ( ) 2 2 1 8 12 2 3 6
ambas com domínio e contradomínio caracterizados por  . Observe que 
as diferentes ordens em que tomamos f e g influenciam na função composta 
obtida. Além disso, é importante observar também se existe a relação de 
inclusão entre os conjuntos imagem e domínio das funções envolvidas, 
conforme a definição de função composta.
Reflita
Considerando as propriedades das funções polinomiais, o que 
podemos afirmar a respeito da composição de funções polinomiais? 
A composta será sempre uma função polinomial? Se sim, é possível 
afirmar qual será o grau da função composta com base nos graus das 
funções polinomiais iniciais?
30
A partir do exemplo anterior, podemos observar que nem sempre as duas 
composições que podem ser construídas a partir de duas funções geram um 
mesmo resultado, isto é, uma mesma função. No entanto, existem alguns 
pares de funções em particular que, ao serem compostas entre si, geram, 
como resultado, em ambas as ordens, a função identidade, cuja lei de 
formação é i x x( )= para todo x no domínio de i. Esses pares envolvem uma 
função e a sua inversa, a qual existe desde que algumas propriedades sejam 
verificadas. Para que estejamos aptos a avaliar a existência desse tipo de 
função, iniciemos pelo estudo da bijetividade de funções.
Funções bijetivas e inversas
Uma função bijetiva pode ser caracterizada como uma função simul-
taneamente injetiva e sobrejetiva. Assim, para que possamos compreender 
o conceito de bijetividade, vamos definir a injetividade e a sobrejetividade.
Uma função f D E: ® pode ser classificada como função injetiva (ou 
injetora) se dados x x D1 2, Î com x x1 2¹ então f x f x( ) ( )1 2¹ . Ou de forma 
equivalente, para x x D1 2, Î tivermos f x f x( ) ( )1 2= implicando x x1 2= . 
Como exemplo de função injetiva temos a função f : ® com f x x( )= , 
cujo gráfico é ilustrado na Figura 1.12(a). Se tomarmos dois números reais 
x x1 2¹ distintos em seu domínio, as imagens serão diferentes entre si, pois 
f x x x f x( ) ( )1 1 2 2= ≠ = . Por outro lado, a função g : ® em que g x x( )= 2 , 
cujo gráfico é ilustrado na Figura 1.12(b), consiste em um contraexemplo 
para a definição de função injetiva porque, por exemplo, -1 e 1 são elementos 
distintos no domínio de g, porém, g g( ) ( )− = −( ) = = =1 1 1 1 12 2 , logo, nem 
sempre valores distintos do domínio têm imagens distintas.
Figura 1.12 | Funções injetivas e não injetivas
Fonte: elaborada pela autora.
Em relação à sobrejetividade, dizemos que uma função f D E: ® é classi-
ficada como função sobrejetiva (ou sobrejetora) se dado qualquer y EÎ for 
31
possível identificar x DÎ tal que y f x= ( ) , ou ainda, se o conjunto imagem 
de f coincidir com o contradomínio de f, que corresponde ao conjunto E. 
Assim, uma função é sobrejetiva quando todos os elementos do contrado-
mínio são imagens de elementos do domínio pela função em estudo. Como 
exemplo temos a função f : ® em que f x x( )= , cujo gráfico é ilustrado 
na Figura 1.13(a). Tomando qualquer número real y Î no contradomínio 
de f, ao escolher x y= no domínio, sempre teremos f x y( )= , ou seja, 
Im( )f = . Por outro lado, a função g : ® com g x x( )= 2 , cujo gráfico é 
ilustrado na Figura 1.13(b), consiste em um contraexemplo para a definição 
de função sobrejetiva. De fato, podemos observar graficamente que a imagem 
de g é formada apenas pelos números reais maiores ou iguais a zero, ou pelo 
intervalo 0,+∞[ ) , enquanto o contradomínio é dado por  , ou ainda, ao 
tomarmos qualquer número real negativo no contradomínio, o -1 por 
exemplo, não é possível identificar nenhum x Î no domínio tal que 
f x x( )= =−2 1 .
Figura 1.13 | Funções sobrejetivas e não sobrejetivas
Fonte: elaborada pela autora.
Porém, se desejamos construir uma função sobrejetiva, podemos 
restringir o contradomínio à sua imagem de modo que essa propriedade seja 
verificada. Assim, se queremos que uma função f D E: ® seja classificada 
como sobrejetiva, podemos considerar sua restrição f D f: Im( )® .
De posse das definições de injetividade e sobrejetividade, podemos carac-
terizar uma função bijetiva (ou bijetora) como uma função simultaneamente 
injetiva e sobrejetiva. Conforme estudado, como a função f : ® dada 
por f x x( )= é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo, podemos afirmar que f 
é bijetiva. Por outro lado, como g : ® em que g x x( )= 2 não é injetiva e 
nem sobrejetiva, g não pode ser classificada como bijetiva. 
A partir do conceito de bijetividade, podemos estudar as funções inversas. 
A partir de uma função bijetiva f D E: ® , se f a b( )= , com a DÎ e b EÎ , a 
32
função inversa a f existe e corresponde a uma função f E D− →1 : de tal forma 
que f b a− =1( ) . Note que o domínio de f é igual à imagem da inversa f -1 , 
enquanto o domínio de f -1 é igual à imagem de f.
Exemplificando
Considere a função f : ® definida por f x x( )= −3 1 . Temos que 
essa função é bijetiva, porque:
• f é injetiva: dados xx1 2, Î com x x1 2¹ teremos que 3 31 2x x¹ e, 
consequentemente, f x x x f x( ) ( )1 1 2 23 1 3 1= − ≠ − = , comprovando a 
injetividade de f.
• f é sobrejetiva: seja y Î no contradomínio de f, se x y= + ∈
3
1
3
 então 
f x y y y( )= +





− = + − =3 3
1
3
1 1 1 , isto é, existe x no domínio tal que 
f x y( )= , provando a sobrejetividade de f.
Sendo assim, a função f é bijetiva e, consequentemente, admite inversa. 
Note que a função f é tal que y f x x= = −( ) 3 1 . Expressando x em 
função de y podemos obter:
y x y x y x= − ⇔ + = ⇔ + =3 1 1 3
3
1
3
 
Dessa forma, teremos que a função inversa f − →1 :  pode ser 
definida como f x
x− = +1
3
1
3
( ) . Note que ao construirmos as funções 
compostas de f com a sua inversa nas duas ordens possíveis teremos:
f f x f x x x x− −= − = − + = − + =1 1 3 1 3 1
3
1
3
1
3
1
3
( ( )) ( ) ( )
f f x f x x x x( ( ))− = +





= +





− = + − =
1
3
1
3
3
3
1
3
1 1 1
ou seja, ao compormos uma função com sua inversa, caso ela exista, 
sempre iremos obter a função identidade i x x( )= como resultado.
33
Para a categoria de funções afim, desde que não sejam constantes, é 
possível identificar as funções inversas correspondentes, as quais são também 
do tipo afim.
Assimile
As funções afim, do tipo não constantes, com domínio e contradomínio 
reais, são funções que podem ser classificadas como bijetivas, sendo 
simultaneamente injetivas e sobrejetivas. Além da comprovação via 
definição, é possível observar graficamente a presença da injetividade e 
sobrejetividade para essa categoria de funções.
No estudo das funções inversas, existem duas categorias de funções 
em particular que podemos destacar: as funções exponenciais e as funções 
logarítmicas, devido às relações que podem ser estabelecidas entre elas.
Função exponencial
Chamamos de função exponencial de base b uma função cuja lei de 
formação assume a forma f x bx( )= , em que b>0 . Como exemplos temos as 
funções f x x( )= 2 e g x x( )=p . Note que as funções exponenciais são 
construídas a partir de potências em que a base é constante e o expoente 
consiste na variável em estudo.
Na Figura 1.14 podemos observar os comportamentos gráficos das 
funções exponenciais. Note que independentemente do valor assumido por 
b, desde que b>0 , o gráfico da função exponencial sempre contempla o 
ponto 0 1,( ) , pois b0 1= . Na Figura 1.14(a) temos a representação gráfica de 
uma função exponencial cuja base b é tal que b>1 , assim, temos uma função 
crescente na qual, para x tendendo ao infinito, o valor y f x= ( ) tende ao 
infinito, enquanto x tendendo a −∞ implica y f x= ( ) se aproximando de 
zero, o que configura o eixo x como uma assíntota horizontal desse tipo de 
função exponencial, isto é, por menor que seja o valor do domínio, sua 
imagem será um número que se aproxima de zero, porém, nunca será igual a 
zero. Por outro lado, na Figura 1.14(b) temos a representação gráfica de uma 
função exponencial cuja base b é tal que 0 1< <b , correspondendo a uma 
função decrescente que também apresenta o eixo x como uma assíntota 
horizontal, devido ao fato de que se x tende ao infinito, o valor y f x= ( ) 
34
tende a zero, enquanto x tendendo a −∞ implica y f x= ( ) tendendo a 
infinito. Além disso, uma terceira possibilidade, não ilustrada nos gráficos, 
corresponde a b=1 , nesse caso, teremos a função constante, pois bx será 
constante igual a 1 para todo x real.
Figura 1.14 | Comportamento gráfico da função exponencial
y
x
1 1
y
x
(a) Base b > 1 (a) Base 0 < b < 1
Fonte: elaborada pela autora.
Podemos ainda construir as chamadas funções do tipo exponencial, em 
que a lei de formação é obtida a partir da lei usual acrescida de constantes, 
assumindo a forma geral f x a b ckx( )= ⋅ + , com a, b, c e k constantes reais.
Uma das funções exponenciais mais utilizadas na resolução de problemas 
é aquela em que a base b é tomada igual ao número e, denominado número 
de Euler. O número e corresponde a um número irracional que pode ser 
aproximado, até a quarta casa, como e » 2 7183, . A função exponencial de 
base e, f x ex( )= , é também conhecida como a função exponencial natural, 
podendo ser utilizada também a notação exp( )x em substituição ao termo ex .
Observe que as funções exponenciais são construídas a partir de potên-
cias, adotando o expoente como sendo a variável em estudo. Assim como 
podemos relacionar as potências e os logaritmos entre si, também podemos 
relacionar as funções exponenciais com uma outra categoria de funções, 
derivadas dos logaritmos e denominadas como funções logarítmicas.
Função logarítmica
A função logarítmica de base b apresenta como lei de formação 
f x xb( ) log= . Assim como temos as condições de existência para o estudo 
dos logaritmos, devemos ter na função logarítmica que a base b seja positiva 
e diferente de 1, além disso, x deve ser sempre positivo. Dessa forma, como 
condições de existência da função logarítmica devemos ter o domínio dado 
pelos números reais positivos (conjunto +∗ ) e a base sendo b>0 e b¹1 .
35
Assimile
Para a definição da função logarítmica devemos ter f : +
∗ → dada 
por f x xb( ) log= , com b>0 e b¹1 .
Podemos estudar o comportamento gráfico da função logarítmica de 
acordo com os valores assumidos pela base b de forma semelhante ao estudo 
da função exponencial. No entanto, como o domínio deve envolver apenas 
os números positivos, observe nos dois casos ilustrados na Figura 1.15 que os 
valores do eixo x são estudados apenas em sua parte positiva.
Figura 1.15 | Comportamento gráfico da função logarítmica
y
x
y
x
1
1
(a) Base b > 1 (b) Base 0 < b < 1 
Fonte: elaborada pela autora.
Como logb 1 0= para todo b>0 e b¹1 , então temos que o gráfico da 
função logarítmica sempre contém o ponto de coordenadas 1 0,( ) , indepen-
dentemente do valor assumido pela base b. No caso da Figura 1.15(a), na 
qual é apresentada a representação gráfica de uma função logarítmica de base 
b>1 , note que a função é crescente, enquanto para 0 1< <b , conforme a 
Figura 1.14(b), temos uma função decrescente.
Se tomarmos, na função logarítmica, a base b como sendo o número de 
Euler e, o qual é positivo e diferente de 1, temos a construção da função 
logarítmica natural f x xe( ) log= . Para essa função utilizamos a notação 
especial f x x( ) ln= , a qual já indica que a base da função logarítmica corres-
ponde ao número de Euler. Além disso, na função logarítmica, também 
podemos adotar a base decimal (10), sendo a notação utilizada f x x( ) log= , 
isto é, a ausência da base na notação indica que se trata da base 10.
Considerando o conceito de função inversa, vamos analisar as funções 
exponencial e logarítmica natural, comparando-as entre si. Note que se 
y x xe= =ln log então, pela definição de logaritmo, devemos ter que e xy = , 
36
ou seja, existe uma relação entre as funções logarítmica e exponencial a partir 
da base tomada em cada função. Dessa relação, podemos interpretar que as 
funções f x x( ) ln= e g x ex( )= são inversas uma da outra. Comparando 
graficamente as funções f e g, conforme ilustração presente na Figura 1.16, 
podemos observar que os gráficos das duas funções são simétricos em relação 
ao gráfico da função identidade i x x( )= , representado pela reta pontilhada 
na Figura 1.16.
Figura 1.16 | Comparação entre as funções exponencial e logarítmica natural
y
x
g(x) = ex
i(x) = x
f(x) = ln (x)
Fonte: elaborada pela autora.
Além disso, podemos observar pelas propriedades de potências e 
logaritmos que f g x e xx( ( )) ln= ( )= e g f x e xx( ( )) ln( )= = . Podemos estender 
essa ideia para outras bases, concluindo que se b é um número real tal que 
b>0 e b¹1 então as funções bx e logb x são inversas uma da outra.
A relação de inversão existente entre as funções exponenciais e logarít-
micas também é essencial para a interpretação e resolução de problemas 
que podem ser modelados por essas funções.E, para esse tipo de estudo, o 
emprego das propriedades de potências e logaritmos é essencial, conforme 
exemplo a seguir.
Exemplificando
Considere a função f : ® dada por f x x( )= ⋅3 4 . Vejamos alguns 
aspectos dessa função que podem ser analisados:
(a) Tomando x = 3 no domínio de f, sua imagem pode ser determinada 
como segue: f ( )3 3 4 3 64 1923= ⋅ = ⋅ = .
37
(b) Para determinar o elemento do domínio cuja imagem é 768, ou x tal 
que f x( )= 768 , podemos empregar a seguinte estratégia:
768 3 4 768
3
4 256 4 4 4 44= ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =x x x x x 
Sendo assim, f ( )4 768= .
(c) Como existem situações nas quais não é possível comparar potências 
de mesma base, como no item (b), podemos recorrer aos logaritmos. 
Para isso, considere, por exemplo, que desejamos determinar x para o 
qual f x( )= 96 , assim:
96 3 4 96
3
4 32 4= ⋅ ⇔ = ⇔ =x x x 
 
⇔ = log(32) )
 
log(4x 
⇔ = log(32) ) 
 
x log(4 
⇔ = x log( )
log( )
32
4
 
Para a resolução desse problema foi utilizado como auxílio o recurso da 
calculadora para o cálculo de log( )32 e log( )4 . Veja que a base 10 foi 
utilizada porque o logaritmo decimal pode ser calculado por meio da 
calculadora. Outra possibilidade seria a utilização do logaritmo natural. 
Assim, conhecer as relações existentes entre as diferentes categorias 
de funções, comparando-as a partir, por exemplo, do conceito de função 
inversa, da composição de funções, bem como estudando a injetivi-
dade e sobrejetividade, são conhecimentos essenciais quando desejamos 
aprofundar os estudos e aplicar esses conceitos na resolução de problemas 
oriundos dos mais variados contextos.
Sem medo de errar
Para a resolução do desafio proposto, você precisa analisar as infor-
mações apresentadas pelo empresário em relação à produtividade e inves-
timentos realizados por ele em sua empresa, empregando os conceitos 
relativos a funções exponenciais, logarítmicas e inversas. 
Sabe-se que a relação existente entre investimentos e produtividade, no 
caso estudado, pode ser dada por uma função do tipo exponencial com lei 
de formação p i Ceki( )= , em que p representa a produtividade, i os investi-
38
mentos, sendo C e k constantes. Nesse caso, a função p é tal que p : + → 
porque o domínio deve contemplar os possíveis valores de investimentos, 
os quais devem ser não negativos. Para determinar as constantes da função 
p, devemos considerar que:
• A produtividade da empresa, sem investimentos, é constante e igual a 
20000 unidades ao mês, isto é, p( )0 20000= , considerando os investi-
mentos dados em milhares de reais e a produtividade em unidades.
• Ocorre um aumento de 100% na produtividade quando comparamos 
a ausência de investimentos com um investimento de 50 mil reais ao 
mês, ou seja, a produtividade com um investimento de 50 mil reais 
consiste no dobro da produtividade sem investimentos, o que 
podemos representar por p( )50 40000= .
Da primeira condição obtemos:
20000 0 0= = =⋅p Ce Ck( ) , 
isto é, C = 20000 , o que implica p i eki( )= 20000 . E da segunda condição 
segue que:
40000 50 20000 250 50= = ⇔ =⋅p e ek k( ) 
 
⇔ = = 
 
ln ln2 5050e kk
 
 
 ⇔ ≈ 0 693 50, k 
⇔ ≈ 0 0139, k 
Logo, a função que caracteriza a relação entre produtividade e investi-
mentos pode ser dada por p : + → com p i e i( ) ,= 20000 0 0139 . Na Figura 1.17 
podemos observar o comportamento gráfico da função produtividade, 
considerando o domínio e a lei de formação característicos.
39
Figura 1.17 | Representação gráfica para a função produtividade
140000
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
20 40 100 120 140 160 18060 80 200
p
i
Fonte: elaborada pela autora.
Note que a imagem da função produtividade é tal que 
Im( ) ,p = +∞[ )20000 . Assim, se definirmos p com p : ,+ → +∞[ )20000 
teremos a função produtividade bijetiva, visto que é simultaneamente injetiva 
e sobrejetiva, considerando as propriedades da função exponencial. Nesse 
sentido, podemos identificar sua inversa, a qual relaciona os investimentos 
em função da produtividade, cuja lei de formação pode ser identificada da 
seguinte forma:
p e p ei i= ⇔ =20000
20000
0 0139 0 0139, , 
 
 ln
 
⇔





= =
p e ii
20000
0 01390 0139ln( ) ,,
 
 
 ln⇔





=
1
0 0139 20000,
p i 
 ln⇔ ⋅





=71 942 20000
, p i 
Assim, a lei de formação da função inversa pode ser escrita como 
i p p( ) ,= ⋅





71 942 20000
ln . Para que a função logarítmica possa ser avaliada 
40
devemos ter p
20000
0> , isto é, p>0 . Mas, o investimento não pode ser 
negativo, ou seja,
i p p( ) , ln≥ ⇔ ⋅





≥0 71 942 20000
0
⇔





≥ln
p
20000
0
 
⇔ ≥
p
20000
1 
⇔ ≥p 20000 
Sendo assim, encontramos o domínio da função investimento, que 
coincide com a imagem da função produtividade, e temos i : ,20000 +∞[ )→ + 
com i p p( ) ,= ⋅





71 942 20000
ln .
Por fim, é necessário avaliar o investimento necessário para que a produ-
tividade atinja 100 mil unidades produzidas. Para isso, podemos empregar 
qualquer uma das duas funções, por serem uma inversa da outra. Empregando 
a função investimento, para p=100000 unidades temos:
i( ) , ,100000 71 942 100000
20000
71 942 5 115= ⋅





= ⋅ ( )≈ln ln ,,786
Desse modo, o investimento para que a produtividade seja de 100 mil 
unidades deve ser ao menos de 115,786 mil reais.
Para finalizar o atendimento ao empresário, elabore um relatório, contem-
plando as principais informações coletadas durante esses estudos e as conclu-
sões que podem ser obtidas diante do contexto em estudo.
Avançando na prática
Aplicações da composição de funções para 
determinar a receita de uma indústria
O gerente comercial de uma indústria está fazendo um levantamento a 
respeito das informações relativas a gastos, receitas e lucros obtidos com 
produção e venda de alimentos correspondentes a um dos setores recém-im-
plantados na indústria. Você foi contratado para auxiliar a equipe de finanças 
41
a identificar modelos matemáticos a partir das informações coletadas pelo 
gerente e pelos demais funcionários da equipe. Dessas informações, é possível 
inferir que a produtividade (p) do setor é dada em função da disponibilidade 
de matéria-prima (d) de acordo com a função p d e d( )= 3 5 . Além disso, a 
receita obtida (r) é descrita a partir da produtividade de acordo com a função 
r p p( )= −20 12502 . Com base nessas informações, qual é o modelo que 
descreve a receita obtida pelo setor em questão em função da disponibilidade 
de matéria-prima?
Resolução da situação-problema
Para a identificação do modelo solicitado pelo gerente comercial da 
indústria é necessário aplicar o conceito de composição de funções, devido às 
informações previamente conhecidas. Nesse caso, como temos as funções 
p d e d( )= 3 5 e r p p( )= −20 12502 . 
Para expressar a receita em função da disponibilidade de matéria-prima, 
faz-se necessário identificar a lei de formação da função r r d= ( ) . Note que a 
função receita é descrita através da produtividade que, por sua vez, é obtida 
em relação à disponibilidade de matéria-prima. Essa relação caracteriza a 
função composta, a qual pode ser denotada por r d r p d( ) ( )=( ) . Desse modo, 
para identificar a lei de formação da função composta, podemos empregar o 
seguinte procedimento:
r d r p d r p d p d( ) ( ) ( ) ( )=( ) = ( )= ( ) − 20 12502
 
= ( ) −20 3 12505 2e d
 
 
 
 
= ⋅ ⋅( ) −20 9 12505 2e d
 
 
= −180 125010e d 
isto é, r d e d( )= −180 125010 , que corresponde a uma função do tipo exponen-
cial eque representa a receita obtida pelo setor da indústria, calculada a 
partir da disponibilidade de matéria-prima.
Faça valer a pena
1. As funções exponenciais e do tipo exponenciais podem ser empregadas, 
dentre outras situações, para avaliar situações que envolvem crescimentos e 
decrescimentos, como é o caso, por exemplo, do crescimento do número de 
indivíduos em uma colônia de bactérias.
42
Nesse sentido, suponha que uma cultura de bactérias apresente, no instante 
inicial, exatamente 1000 indivíduos. Além disso, sabe-se que o número de 
indivíduos nessa cultura duplica a cada 30 minutos.
Com base nesse contexto, pode-se afirmar que o número de bactérias nessa 
cultura após um período de 80 minutos, contado a partir do instante inicial, 
será de, aproximadamente:
a. 2000 indivíduos.
b. 2514 indivíduos.
c. 2828 indivíduos.
d. 6320 indivíduos.
e. 16000 indivíduos.
2. O conhecimento das propriedades dos logaritmos é uma das condições 
essenciais para o estudo das características das funções logarítmicas, devido 
ao fato da definição dessas funções tomar por base todos os conceitos que 
envolvem os logaritmos.
Diante desse tema, julgue as afirmativas a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Considerando a função logarítmica de base decimal f x x( ) log( )= , se 
f x K( )= então temos que x deve ser sempre positivo, enquanto K pode ser 
qualquer número real – positivo, negativo ou nulo.
( ) A função logarítmica natural, cuja lei de formação é da forma g x x( ) ln( )= 
e assumindo como base o número de Euler, pode ser avaliada para qualquer 
número real x.
( ) Pela definição da função logarítmica como h x xb( ) log ( )= , com b>0 e 
b¹1 , é possível afirmar que h( )1 0= para qualquer valor real assumido por 
b, desde que atenda às condições especificadas.
( ) Tomando as funções logarítmicas de base decimal e natural, dadas 
respectivamente por f x x( ) log( )= e g x x( ) ln( )= , é possível afirmar que 
f x g x( ) ( )> para todo número real x tal que x>1 . 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
a. V – V – F – F.
b. V – F – V – F.
c. V – F – F – V.
d. F – F – V – V.
43
e. F – V – V – F.
3. Analise a figura a seguir, a qual ilustra o gráfico de uma função f:
Figura | Gráfico da função f
y
x
-2 4
Fonte: elaborada pela autora.
A partir da representação gráfica anterior, podemos obter algumas informações a 
respeito do comportamento da função ao longo do seu domínio, principalmente 
em relação à injetividade, sobrejetividade e existência de inversa.
Nesse sentido, analise as asserções apresentadas a seguir e a relação proposta entre 
elas:
I. A função f em questão não admite inversa se considerarmos o seu domínio 
descrito pelo conjunto D x x= ∈ − ≤ ≤{ } 2 4 .
PORQUE
II. A função f é injetiva se considerarmos f definida sobre todo o conjunto de 
números reais.
Com base nas asserções apresentadas, assinale a alternativa correta:
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa 
correta da I.
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justifi-
cativa correta da I.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, uma proposição falsa.
44
d. A asserção II é uma proposição verdadeira e a I, uma proposição falsa.
e. As asserções I e II são proposições falsas.
45
Seção 3
Funções trigonométricas
Diálogo aberto
Ao nosso redor existem diversos fenômenos que podem ser caracterizados 
como periódicos, dentre os quais podemos destacar o dia, por exemplo, cuja 
passagem pode ser avaliada em função das variações do tempo e da movimentação 
do Sol, dentre outros fatores. O fenômeno das marés, estudado em regiões litorâ-
neas, também pode ser destacado como periódico, visto que é possível identificar 
um padrão de variação entre marés altas seguidas de marés baixas e assim sucessi-
vamente, de acordo com a região em estudo. Assim, é de suma importância dispor 
de conceitos matemáticos que permitam o estudo desses tipos de fenômenos, sendo 
as funções trigonométricas um dos principais conceitos empregados nesses casos.
Diante desse contexto, suponha que um instituto de meteorologia contatou o 
escritório no qual você atua e solicitou um auxílio para o estudo de um problema 
envolvendo variações de temperatura em determinada região do país, sendo você 
o responsável por esse atendimento. 
Uma equipe de funcionários do instituto realizou coletas de dados na 
região de interesse durante um mês, no verão, observando que um determinado 
padrão poderia ser identificado em relação às temperaturas, as quais foram regis-
tradas diariamente e em horários fixados. Após essa coleta, foram determinadas as 
temperaturas médias mensais observadas em cada horário fixado do dia, conforme 
a coleta, sendo esses dados apresentados na Tabela 1.2.
Tabela 1.2 | Dados que relacionam as temperaturas em horários fixados
Horário Temperatura
00:00 27 °C
03:00 27,5 °C
06:00 31 °C
09:00 35 °C
12:00 38 °C
15:00 37,5 °C
18:00 34 °C
21:00 30,5 °C
Fonte: elaborada pela autora.
46
O instituto solicitou a você a construção de um modelo que aproxime o 
conjunto de dados em questão e que permita identificar estimativas para as 
temperaturas médias atingidas durante outros instantes de tempo em um dia. 
Após um estudo realizado em equipe, foi possível identificar que a função 
que modela esse fenômeno tem como lei de formação T h a b ch d( ) cos( )= + + , em 
que h representa o horário correspondente, medido em horas, e T descreve a 
temperatura média, em graus Celsius. Com base nesses dados, qual o modelo 
que descreve o conjunto de dados presente na Tabela 1.2?
Como você resolveria esse desafio? Quais são os conhecimentos necessá-
rios para solucionar esse problema? Prossiga em seus estudos e identifique os 
conceitos que podem contribuir com a resolução do desafio proposto!
Não pode faltar
No estudo do conceito de função, outra categoria que podemos destacar, 
além das polinomiais, exponenciais e logarítmicas, é a das funções trigo-
nométricas, as quais podem ser empregadas na descrição de determinados 
fenômenos que apresentam periodicidade, ou seja, que têm certo comporta-
mento que se repete em intervalos. Porém, para que possamos compreender 
o perfil dessas funções e como se dá a modelagem de fenômenos, iniciemos 
retomando as medidas de arco e as características do ciclo trigonométrico.
Medidas de arco e radianos
Para estudar as medidas de arco precisamos relacionar circun-
ferências a medidas lineares e angulares. Nesse sentido, vamos consi-
derar inicialmente uma circunferência de raio r e centro O, a partir da 
qual é construído o arco AB cujo ângulo central é a , conforme a 
Figura 1.18.
Figura 1.18 | Arco AB associado ao ângulo central a
Fonte: elaborada pela autora.
47
Podemos realizar os estudos da medida do arco considerando as unidades 
radianos e graus, no entanto, tomaremos as medidas em radianos para, 
posteriormente, associarmos ao estudo das funções trigonométricas, o qual é 
desenvolvido essencialmente a partir dessa unidade de medida.
Atenção
Podemos relacionar as duas unidades de medidas de ângulos entre si 
por meio da seguinte equivalência: um ângulo de medida p radianos 
corresponde a um ângulo de medida 180°.
Sabemos que para uma circunferência de raio r, seu comprimento é dado 
por 2pr , o que equivale ao ângulo central de 2p radianos. Porém, se o 
ângulo central de um arco tem medida a radianos, então o comprimento do 
arco AB correspondente será dado por ar , obtido a partir de uma relação de 
proporcionalidade entre as expressões e medidas conhecidas.
Exemplificando
Seja um arco AB construído a partir de uma circunferência de raio 
r = 2 cm referente a um ângulo central de 45° . Esse ângulo corresponde 
a p 4 radianos, então o comprimento do arco AB será de 
p p4 2 2( )⋅ = cm .
A partir das medidas de arcos, circunferências e ângulos, vamos estudar 
o comportamento das funções trigonométricas e suas relações com as razões 
trigonométricase o ciclo trigonométrico.
Funções trigonométricas e o ciclo trigonométrico
As funções trigonométricas são estudadas com base nas razões trigono-
métricas que podem ser definidas a partir de um triângulo retângulo, em 
associação com o estudo realizado no ciclo trigonométrico. Nesse contexto, a 
partir de um triângulo retângulo ABC e um ângulo interno agudo q especi-
ficado, conforme Figura 1.19, podemos destacar as seguintes 
razões trigonométricas:
sen AB
AC
q( )= ; cos q( )= BC
AC
; tg
sen AB
BC
q
q
q
( )= ( )
( )
=
cos
.
48
Figura 1.19 | Triângulo retângulo ABC
Fonte: elaborada pela autora.
Para estudar os valores assumidos por seno, cosseno e tangente de 
diferentes ângulos, podemos utilizar o ciclo trigonométrico, conhecido 
também por circunferência trigonométrica. Esse ciclo é construído, no plano 
cartesiano, a partir de uma circunferência centrada na origem O( , )0 0 e de 
raio com medida igual a uma unidade, conforme a Figura 1.20. Com isso, 
temos a divisão do ciclo trigonométrico em quadrantes da seguinte forma: o 
1º quadrante contempla os ângulos variando de 0 a p
2
 radianos, no 2º 
quadrante temos a variação de p
2
 a p radianos, no 3º quadrante de p a 3
2
p 
radianos, e no 4º quadrante de 3
2
p a 2p radianos, como ilustrado na Figura 
1.20(b).
Figura 1.20 | Ciclo trigonométrico
Fonte: elaborada pela autora.
49
Percorremos o ciclo no sentido anti-horário, partindo do eixo x, mais 
especificamente do ponto de coordenadas A 1 0,( ) , de acordo com a Figura 
1.20(a), por meio da construção de arcos centrados na origem. Para um arco 
AOB , como o exemplo ilustrado na Figura 1.20(a), o valor do seno do ângulo 
central associado é dado pela distância entre o centro O da circunferência e a 
projeção do ponto B sobre o eixo y (vertical), enquanto o cosseno é dado pela 
distância entre O e a projeção do ponto B sobre o eixo x (horizontal), isto é, 
os valores de seno são avaliados sobre o eixo y e os de cosseno sobre o eixo x, 
de modo que em ambos os casos os valores variam de -1 a 1, limitados pela 
circunferência cujo raio tem medida uma unidade. A tangente é avaliada em 
uma reta tangente à circunferência, que contém o ponto A 1 0,( ) e é perpendi-
cular ao eixo x. Assim, para o ângulo destacado na Figura 1.20(a), a tangente 
consiste na distância do ponto A até o ponto de interseção entre a reta 
tangente e a reta que contém os pontos O e B.
No estudo do ciclo trigonométrico, podemos destacar alguns ângulos, 
chamados ângulos notáveis: p
6
, p
4
 e p
3
 radianos, além de 0 e p
2
 radianos. 
Podemos ainda identificar os simétricos a eles em relação aos eixos x e y, 
conforme ângulos destacados na Figura 1.20(b), o que permite comparar os 
valores de seno, cosseno e tangente dos simétricos por meio da identificação 
dos sinais associados a cada quadrante.
Com base nas razões apresentadas e na estrutura do ciclo trigonométrico, 
podemos construir as funções seno, cosseno e tangente, cujos detalhes serão 
apresentados no que segue.
Função seno
A função seno consiste em uma função f : ® cuja lei de formação é 
f x sen x( ) ( )= , a qual na literatura de origem inglesa pode assumir a forma 
f x sin x( ) ( )= . O domínio dessa função é descrito por  e, nesse conjunto, se 
associamos os elementos x Î a ângulos, então devemos adotar a medida 
em radianos, para os quais avaliaremos o valor do seno correspondente.
Atenção
Para estudar as funções trigonométricas com o auxílio de calculadoras 
científicas é necessário realizar as medições dos ângulos (elementos do 
domínio) em radianos, ou seja, a calculadora deve ser programada para 
realizar os cálculos em radianos em vez da medida em graus.
50
Na Figura 1.21 temos a ilustração do gráfico da função f x sen x( ) ( )= . 
Observe que o conjunto imagem dessa função é descrito pelo intervalo 
−[ ]1 1, , visto que os valores de seno de um ângulo variam de -1 a 1, conforme 
pode ser observado no ciclo trigonométrico. Além disso, se compararmos o 
gráfico ao ciclo, teremos que no gráfico são apresentadas as correspondências 
entre os infinitos ângulos e os valores de senos associados, inclusive dos 
ângulos que estão em outras voltas do ciclo além da primeira, tanto no 
sentido anti-horário quanto no horário.
Figura 1.21 | Gráfico da função f x sen x( ) ( )=
Fonte: elaborada pela autora.
Note que, a cada intervalo de comprimento 2p , o gráfico repete um 
mesmo tipo de comportamento. Isso significa que a função seno é periódica 
e tem seu período p= 2p .
Assimile
De modo geral, uma função f é periódica quando podemos identificar 
um valor pÎ para o qual f x f x p( ) ( )= + para todo x pertencente 
ao domínio de f. O menor valor positivo de p para o qual a relação 
apresentada é verificada chama-se de período fundamental.
Em nossos estudos chamaremos simplesmente de período ao período 
fundamental, isto é, sempre tomaremos o menor valor positivo para o qual a 
função é classificada como periódica.
Podemos observar a partir da Figura 1.21 que existem intervalos em seu 
domínio em que a função seno é crescente, como é o caso de 3 2 5 2p p,  , por 
exemplo, enquanto em outros é decrescente, como em p p2 3 2,  , por 
exemplo, sendo que esse perfil repete-se devido à periodicidade da 
função seno.
51
Reflita
É possível descrever genericamente em quais intervalos a função seno 
é crescente, considerando o seu período? E em relação ao decresci-
mento? Como você justificaria sua resposta a ambas as questões?
Vejamos agora as características da função cosseno, observando que ela 
apresenta algumas semelhanças com a função seno.
Função cosseno 
A função cosseno consiste em uma função f : ® cuja lei de formação 
é f x x( ) cos( )= . O gráfico dessa função é ilustrado na Figura 1.22
Figura 1.22 | Gráfico da função f x x( ) cos( )=
Fonte: elaborada pela autora.
Analisando a Figura 1.22 e comparando-a com os estudos realizados a 
partir do ciclo trigonométrico podemos inferir que a função cosseno 
apresenta como conjunto imagem o intervalo −[ ]1 1, , sendo periódica de 
período p= 2p . Além disso, assim como na função seno, existem, no 
domínio da função cosseno, intervalos de crescimento, como p p,2[ ] , e inter-
valos de decrescimento, como 0,p[ ] . O estudo das propriedades da função 
cosseno pode ser realizado de forma análoga ao da função seno.
Reflita
A partir das funções seno e cosseno e suas propriedades, o que podemos 
dizer a respeito da classificação enquanto par ou ímpar? É possível 
classificar a função seno como par ou como ímpar? E a função cosseno?
Para a função tangente, podemos realizar o estudo partindo da relação 
que pode ser estabelecida entre as razões trigonométricas seno, cosseno e 
52
tangente: tg
sen
q
q
q
( )= ( )
( )cos
. Note que não podemos avaliar a tangente para 
todos os ângulos, visto que existem situações em que o cosseno assume o 
valor zero, inviabilizando o cálculo da tangente pela impossibilidade de 
realizar divisão por zero. A partir desse estudo, vejamos como podemos 
definir a função tangente.
Função tangente
A função tangente consiste em uma função cuja lei de formação é 
f x tg x( ) ( )= , ou em algumas referências de origem inglesa como 
f x x( ) tan( )= . Para o domínio da função tangente não podemos consi-
derar os ângulos cujo cosseno é nulo, pois não podemos efetuar 
divisões por zero. Note que o cosseno é nulo para os ângulos p 2 , 
3 2p , e assim sucessivamente, o que pode ser generalizado pela 
expressão p p2+k , para kÎ . Assim, o domínio da função tangente 
pode ser descrito por D x x k k= ∈ ≠ + ∈{ }� �p p2 , , enquanto seu 
gráfico é ilustrado na Figura 1.23.
Figura 1.23 | Gráfico da função f x tg x( ) ( )=
Fonte: elaborada pela autora.
A partir da Figura 1.23, podemos observar que a imagem da função 
tangente é  , pois os valores das tangentes de ângulos, na condição apresen-
tada, sempre variam de −∞ a +∞ . Além disso, a função tangente é perió-
dica de período p=p . Note que, como a função tangentenão está definida 
em p p2+k , para kÎ , então as retas x k= +p p2 , para cada k inteiro, 
configuram-se como assíntotas verticais para o gráfico da função, isto é, se x 
53
aproxima-se de p 2 , por exemplo, o gráfico da função tangente aproxima-se 
da reta x =p 2 no infinito sem interceptá-la.
Além das três funções apresentadas, podemos também construir 
funções associadas às razões trigonométricas secante, cossecante 
e cotangente, bem como podemos construir funções inversas das 
funções trigonométricas seno, cosseno e tangente.
Reflita
Quais seriam os domínios, contradomínios e imagens associadas às 
funções secante, cossecante e cotangente?
Retornemos agora às funções seno e cosseno. Já observamos as carac-
terísticas dessas duas funções, porém, vamos aprofundar nossos estudos e 
refletir sobre a possibilidade de construir novas funções a partir delas, por 
meio do acréscimo de constantes às suas respectivas leis de formação. Para 
isso, vejamos, por exemplo, o caso da função seno. Inicialmente, vejamos o 
exemplo a seguir a respeito da função seno.
Exemplificando
Considere a função seno com lei de formação f x sen x( ) ( )= e sConsi-
dere a função seno com lei de formação f x sen x( ) ( )= e suponha que, a 
partir dela, seja construída a função g x sen x( ) ( )= 2 . Na Figura 1.24 são 
apresentados os gráficos das funções f e g em um mesmo plano cartesiano.
Figura 1.24 | Comparação entre os gráficos de f e g
Fonte: elaborada pela autora.
Observe que, ao acrescentar a constante 2 multiplicando por x, o gráfico 
sofre uma alteração, apresentando o mesmo comportamento no que se 
54
refere à imagem e periodicidade, porém tem período diferente. Enquanto f 
apresenta o período p= 2p , a função g apresenta como período p=p .
A lei de formação da função seno é f x sen x( ) ( )= , porém, ao acrescentar 
constantes podemos construir uma forma geral para a função seno do tipo 
g x a b sen cx d( ) ( )= + ⋅ + , em que a, b, c e d são números reais, com b e c não 
nulos. Ao comparar os comportamentos das funções f e g entre si, podemos 
identificar as influências de cada uma das constantes da seguinte forma:
• A constante a é responsável pela translação vertical do gráfico. Assim, 
o gráfico da função a sen x+ ( ) , em comparação com f, é transla-
dado em a unidades para cima quando a>0 ou para baixo 
quando a<0 .
• A constante b ocasiona ampliação ou compressão vertical do gráfico, 
ou seja, é responsável pela amplitude. Desse modo, o gráfico da função 
b sen x× ( ) , em comparação com f, é ampliado verticalmente se b >1 
ou comprimido verticalmente se b <1 .
• A constante c é responsável por ampliação ou compressão horizontal 
do gráfico, estando associada ao período da função. Nesse caso, o 
gráfico da função sen cx( ) , em comparação com f, é ampliado horizon-
talmente se c <1 ou comprimido horizontalmente quando c >1 . 
Associado a c, o período p da função sen cx( ) é dado por p
c
=
2p .
• A constante d, em associação com a c, descreve as translações 
horizontais do gráfico da função. Sendo assim, o gráfico da 
função sen cx d( )+ , em comparação com f, é transladado em d
c
 
unidades para a esquerda quando d>0 ou para a direita se d <0 .
Na Figura 1.25 são apresentados, em um mesmo plano cartesiano, os 
gráficos da função f x sen x( ) ( )= e da função g x sen x( ) ( )= + ⋅ +1 2 2 p .
55
Figura 1.25 | Gráficos de f x sen x( ) ( )= (em azul) e g x sen x( ) ( )= + ⋅ +1 2 2 p (em vermelho)
Fonte: elaborada pela autora.
Comparando o gráfico de f e g, a partir da Figura 1.25, é possível 
observar que:
• A amplitude de g é igual a 4, sendo o dobro da amplitude original, que 
corresponde a 2 e tem relação com o comprimento do intervalo que 
caracteriza a imagem da função f. Essa modificação ocorre devido a 
b= 2 .
• O gráfico foi deslocado uma unidade para cima porque a= >1 0 .
• O período do gráfico é igual a p=p , sendo metade do período 
original da função f, o que ocorre devido a c = 2 .
• O gráfico foi transladado de p 2 unidades para a esquerda porque 
d =p e c = 2 .
Um estudo semelhante pode ser desenvolvido a partir da função cosseno, 
possibilitando analisar as influências das constantes a, b, c e d sob o gráfico de 
g x a b cx d( ) cos( )= + ⋅ + em comparação com f x x( ) cos( )= . Também 
podemos estender esse estudo à função tangente.
Conhecendo as características das funções trigonométricas, principal-
mente em relação à periodicidade e seu comportamento gráfico, podemos 
empregá-las para estudar fenômenos cujas características se aproximem das 
propriedades dessas funções, sendo necessário identificar, na construção 
dos modelos, o domínio, o contradomínio e a lei de formação adequadas às 
características do fenômeno ou problema em estudo.
56
Sem medo de errar
No desafio proposto, você deve atender a um instituto de meteorologia 
de modo a construir um modelo matemático que represente as tempera-
turas médias atingidas durante um dia, em determinada região, com base 
nos dados coletados pela equipe de funcionários do instituto, e sabendo 
que o conjunto de dados pode ser modelado por uma função 
T h a b ch d( ) cos( )= + + , em que h representa o horário correspondente, em 
horas, e T descreve a temperatura média, em graus Celsius. 
Para que seja possível determinar corretamente o modelo, precisamos 
identificar os valores assumidos pelas constantes a, b, c e d a partir do 
conjunto de dados apresentado. Podemos reorganizar os dados presentes na 
Tabela 1.2 considerando uma variável auxiliar n que indica o número de 
intervalos de 3 horas contados a partir da meia-noite, em que n h= 3 , de 
modo a obter as representações dadas conforme a Tabela 1.3.
Tabela 1.3 | Dados associados às variáveis do problema da temperatura
h (em horas) n (variável auxiliar) T (em °C)
0 0 27
3 1 27,5
6 2 31
9 3 35
12 4 38
15 5 37,5
18 6 34
21 7 30,5
Fonte: elaborada pela autora.
Assim como no caso da função seno, podemos acrescentar constantes à 
lei de formação da função cosseno de modo a realizar alterações em seu 
gráfico, possibilitando, dentre outras, construir modelos com base nessa 
função e que descrevam determinados fenômenos. Ao comparar os gráficos 
das funções f x x( ) cos( )= e g x a b cx d( ) cos( )= + ⋅ + podemos inferir que:
• a é responsável pela translação vertical do gráfico.
57
• b gera ampliação ou compressão vertical do gráfico, influenciando em 
sua amplitude. 
• c é responsável por ampliação ou compressão horizontal do gráfico, 
estando associado ao período da função.
• d, em associação com a c, descreve as translações horizontais do 
gráfico da função.
Para que seja possível identificar os valores assumidos por essas 
constantes, devemos tomar por base os dados apresentados e o significado no 
contexto. Iniciemos pela avaliação do período. Note que o conjunto de dados 
é composto por oito valores, considerando o estudo da variável n. Desse 
modo, o período da função em estudo corresponderá a 8. Observe que 
quando n= 8 , h é igual a 24h, que por sua vez corresponde a 0h, coincidindo 
com n= 0 , confirmando a informação de que o período é igual a 8. Associando 
o período da função à constante c a partir da expressão p
c
=
2p , obtemos:
8 2 2 2
8 4
= ⇒ = ⇒ = =
p
p
p p
c
c c 8 
Sendo c positivo, tomando a medição dos ângulos no sentido usual, 
teremos c= ≈p
4
0 785, .
A constante d diz respeito à translação horizontal do gráfico da função 
cosseno. Se avaliarmos o comportamento gráfico da função cosseno, 
conforme a ilustração presente na Figura 1.21, temos que o menor valor 
assumido pela função, ou seu ponto de mínimo, ocorre no ponto central de 
seu período. Nesse sentido, para a função T em estudo, o menor valor da 
temperatura deveria ocorrer entre o quarto e quinto valor de n, ou seja, no 
valor médio entre eles: 4,5. Porém, pela Tabela 1.3 é possível inferir que o 
ponto de mínimo ocorre no primeiro valor (à meia-noite). Logo, o gráfico da 
função T, em relação à função cosseno, foi deslocadoem 3,5 unidades para a 
esquerda, o que pode ser observado pelo deslocamento de seu ponto mínimo. 
Assim, se considerarmos uma relação de proporcionalidade entre a função 
cosseno e a função T: 8
3 5
2 7
8,
= ⇒ =
p p
x
x , logo, o gráfico está deslocado de 
7
8
p para a esquerda, o que implica d » 2 749, .
Para determinar a constante b devemos avaliar a amplitude do gráfico da 
função em estudo a partir dos dados disponíveis. Note que a amplitude do 
gráfico da função cosseno é igual a 2, que corresponde ao comprimento do 
intervalo que caracteriza a imagem da função cosseno, que consiste em 
−[ ]1 1, . Assim, para determinar a amplitude vamos identificar inicialmente o 
58
maior e menor valor assumido pela temperatura no conjunto de dados, que 
correspondem respectivamente a 38 °C e 27 °C. Dessa forma, a amplitude 
será: 38 27
2
5 5− = , , isto é, b= 5 5, .
Por fim, determinemos a constante a, relativa ao deslocamento vertical da 
função. Analisando graficamente a função cosseno, a partir da Figura 1.21, e 
considerando o tipo de deslocamento ocasionado por a, podemos observar 
que a soma entre o deslocamento vertical (a) e a amplitude (b) corresponde 
ao maior valor do conjunto de dados, enquanto a diferença entre o desloca-
mento vertical (a) e a amplitude (b) fornece o menor valor do conjunto de 
dados. Sendo assim, do maior valor de temperatura segue que: 
a b a a+ = ⇒ + = ⇒ =38 5 5 38 32 5 , , .
Logo, o modelo que representa o conjunto de dados é 
T n n( ) , , cos( , , )= + ⋅ ⋅ +32 5 5 5 0 785 2 749 . Porém, como n h= 3 , substituindo 
essa igualdade em T, para retornar à variável h, obtemos a função 
T h h( ) , , cos( , , )= + ⋅ ⋅ +32 5 5 5 0 262 2 749 , cujo gráfico é ilustrado na Figura 1.26.
Figura 1.26 | Gráfico associado ao modelo de temperatura e horário
Fonte: elaborada pela autora.
59
No Figura 1.26 temos a representação dos valores conhecidos de tempe-
raturas por meio de pontos, conforme a Tabela 1.2, em associação com o 
gráfico da função construída e que compõe o modelo associado ao problema. 
Note que temos pouca variação entre os valores tabelados e aqueles obtidos 
por meio do modelo, indicando que o modelo representa adequadamente a 
realidade, considerando os dados conhecidos.
Para finalizar a resolução desse desafio, elabore um relatório para o insti-
tuto de meteorologia a respeito do modelo que foi construído, indicando 
como as constantes foram determinadas, discutindo também a respeito da 
precisão desse modelo e refletindo sobre as estratégias que poderiam ser 
empregadas para que o modelo determinado apresentasse melhores aproxi-
mações para as temperaturas médias.
Avançando na prática
Aplicação das funções trigonométricas 
no controle do número de clientes em um 
supermercado
Um supermercado que permanece em atendimento durante 24 horas 
por dia gerencia parte de suas operações em função do número de clientes 
presentes no estabelecimento, principalmente em relação ao número de 
funcionários para atendimento nos caixas. Nesse sentido, a gerência desse 
estabelecimento realiza a contagem do número de clientes no local a cada 
intervalo de 3 horas. Com os dados coletados e a partir de estudos realizados 
por uma empresa terceirizada, foi construído um modelo que informa o 
número de clientes no estabelecimento a cada hora, considerando se tratar de 
um dia de atendimento normal. O modelo estabelecido é dado pela função 
n t sen t( )= − ⋅





700 500 12
p , em que n representa o número de clientes e t o 
horário do dia, com 0 24£ £t . Com base no modelo apresentado, ao longo 
de um dia de atendimento normal, em quais horários estão presentes os 
números máximo e mínimo de clientes nesse estabelecimento?
60
Resolução da situação-problema
O número de clientes é dado em função do horário por meio de 
n t sen t( )= − ⋅





700 500 12
p . Para avaliar o número máximo e o número mínimo 
de clientes precisamos estudar o comportamento da função seno envolvida 
em n. Sabemos que a função f x sen x( ) ( )= tem sua imagem variando de -1 a 
1, de modo que f ( )p 2 1= e f ( )3 2 1p =− , bem como nos ângulos corres-
pondentes de outras voltas do ciclo trigonométrico. Dessa forma, conside-
rando todo o domínio da função seno, temos que o menor valor possível 
assumido pela função seno corresponde a -1, enquanto o maior valor 
assumido para o seno é 1. Desse estudo, vamos analisar o que ocorre com 
n t( ) quando os valores assumidos por seno são 1 e -1, tomando por base a lei 
de formação da função n:
• Para sen x( )=1 temos: 700 500 1 700 500 200− ⋅ = − = ;
• Para sen x( )=−1 temos: 700 500 1 700 500 1200− ⋅ −( )= + = .
Assim, o número mínimo de clientes no estabelecimento é de 200. 
Para determinar o instante em que esse número é atingido, vamos resolver 
a equação:
200 700 500
12
500 500
12
= − ⋅





 ⇒ − =− ⋅




sen t sen tp p 

⇒
⇒





= ⇒ = ⇒ = sen
t t tp p p
12
1
12 2
6
Logo, o número mínimo de clientes ocorre às 6 horas. De modo análogo, 
sendo o número máximo de clientes igual a 1200, obtemos que:
1200 700 500
12
500 500
12
= − ⋅





 ⇒ =− ⋅




sen t sen tp p 

⇒
⇒





=− ⇒ = ⇒ = sen
t t tp p p
12
1
12
3
2
18 
Portanto, o número máximo de clientes ocorre às 18 horas. Na Figura 
1.27 podemos observar o gráfico correspondente à função n.
61
Figura 1.27 | Gráfico associado ao número de clientes por hora no supermercado
Fonte: elaborada pela autora.
A partir da Figura 1.27 podemos visualizar o comportamento da função 
n, bem como os valores mínimos e máximos atingidos, respectivamente, 
quando t = 6 e t =18 . Assim, com a determinação dos pontos de máximo e 
mínimo, finalizamos a tarefa proposta com êxito
Faça valer a pena
1. Considere que, no interior de determinada máquina, duas roldanas estejam 
ligadas entre si a partir de um cabo de aço, de modo que a roldana menor apresenta 
um raio de 5 centímetros, enquanto a maior apresenta raio de medida igual a 18 
centímetros, conforme figura a seguir:
Figura | Roldanas.
Fonte: elaborada pela autora.
Quando a roldana menor sofre uma rotação de 240°, qual será a rotação realizada 
pela roldana maior durante esse processo?:
a. 4
3
p radianos.
62
b. 3
4
p radianos.
c. 18
5
p radianos.
d. 27
10
p radianos.
e. 10
27
p radianos. 
2. As funções trigonométricas podem ser empregadas na construção de modelos 
relativos a diferentes situações, principalmente no que se refere aos fenômenos 
periódicos. Um desses modelos relaciona a pressão arterial de um indivíduo adulto, 
sob condições normais, com o tempo, conforme a seguinte função:
P t t( ) cos( )= + +100 20 6 p
Na função apresentada, t corresponde ao tempo, medido em segundos, e 
P à pressão arterial, medida em mmHg, sendo que cada período completo 
equivale a um batimento cardíaco.
A respeito dessa função, analise as seguintes afirmações:
I. A pressão arterial desse indivíduo varia no intervalo 80 120,[ ] .
II. O período da função P corresponde a p= p
6
.
III. O domínio da função P corresponde a  .
Está correto apenas o que se afirma em:
a. I.
b. II.
c. I e II.
d. I e III.
e. II e III.
3. Quando vamos definir uma função trigonométrica, assim como para as 
demais categorias de funções, devemos considerar três elementos essenciais 
a serem descritos: domínio, contradomínio e lei de formação. 
Nesse sentido, sejam as funções trigonométricas cujas leis de formação são 
dadas no que segue:
63
f x tg x( )= −






p
3
g x tg x( )= ⋅ ( )2
h x tg x( )= + +





3 2 4
p
Com base nessas funções, e considerando as características das razões e 
funções trigonométricas, analise as seguintes afirmações, classificando-as 
como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Para que a função trigonométrica f esteja bem definida devemos consi-
derar o domínio descrito pelo conjunto x x k k∈ ≠ + ∈








� �5
6
pp, e o 
contradomínio dado por  .
( ) Para que a função trigonométrica g esteja bem definida devemos considerar o 
domínio descrito pelo conjunto  e o contradomínio dado por 0 2,[ ] .
( ) Para que a função trigonométrica h esteja bem definida devemos 
considerar o domínio descrito pelo conjunto x x k k∈ ≠ + ∈








� �p p
2
, e o 
contradomínio dado por  .
Assinale a alternativa que indica a sequência correta das classificações, consi-
derando a ordem na qual as afirmações foram apresentadas:
a. V – V – F.
b. V – F – V.
c. V – F – F.
d. F – V – F.
e. F – F – V.
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em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/cfi/71!/4/4@0.00:0.00. 
Acesso em: 7 nov. 2019.
AXLER, S. Pré-Cálculo: uma preparação para o cálculo. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632153/
cfi/6/32!/4/1050/6@0:0. Acesso em: 1 nov. 2019.
CONNALLY, E. A. et al. Funções para modelar variações: uma preparação para o cálculo. Rio 
de Janeiro: LTC, 2009.
FERNANDES, D. B. (Org.). Cálculo diferencial. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 1.
HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo a uma e várias variáveis. Rio de Janeiro: LTC, 2011. v. 1.
KIME, L. A.; CLARK, J.; MICHAEL, B. K. Álgebra na universidade: um curso pré-cálculo. 
5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/
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STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 1.
THOMAS, G. B. et al. Cálculo. 12 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. v. 1.
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2530-8/cfi/6/24!/4/2/590/4/2@0:0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2530-8/cfi/6/24!/4/2/590/4/2@0:0
Unidade 2
Alessandra Negrini Dalla Barba
Limites
Convite ao estudo
Caro aluno, quando estudamos problemas reais a partir de modelos matemáticos, é comum empregar o conceito de função. O objetivo, em geral, é estudar propriedades ou soluções para o problema corres-
pondente, estudando intervalos de crescimento e decrescimento, taxas de 
variação, otimização de recursos, entre outras possibilidades. Para isso, preci-
samos empregar derivadas e integrais, que por sua vez estão relacionadas 
diretamente a um dos principais temas de estudo do Cálculo Diferencial 
e Integral: o conceito de limite, objeto de estudo da presente seção. No 
estudo dos limites, usualmente nos deparamos com a noção de infinito, por 
exemplo ao estudar o comportamento de funções quando os valores de 
seu domínio tendem ao infinito. 
A noção de infinito é aplicada, por exemplo, na estruturação dos 
conjuntos numéricos. Se desejamos estudar o valor numérico assumido 
pela fração 1/3, pertencente ao conjunto dos números racionais, refletindo 
a respeito das conversões entre representações fracionárias e decimais para 
essa fração, podemos observar que ela corresponde a uma dízima perió-
dica, isto é, a representação decimal que envolve a repetição de um mesmo 
algarismo nas infinitas casas decimais. Assim, quando apresentamos a fração 
1/3 na forma 0,3333, por exemplo, não estamos evidenciando o valor real da 
fração, mas uma aproximação ao 1/3. Note que se construirmos a sequência 
0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; 0,33333; …, obtemos números cujos valores estão 
cada vez mais próximos da fração 1/3, de modo que, intuitivamente, consi-
derando o número de casas decimais tendendo ao infinito, teremos o valor 
numérico exato representado por 1/3. Perceba, nesse problema, que a noção 
de infinito tem relação com o limite, visto que, como o infinito não pode 
ser interpretado como um número, precisamos estudar o comportamento de 
determinado objeto matemático, que seria o número de casas decimais no 
problema apresentado, quando assume valores cada vez maiores.
Ao longo da unidade discutiremos os principais conceitos associados a 
esse tema. Assim, iniciaremos na primeira seção pelo estudo da definição 
de limites, bem como suas propriedades e principais exemplos, enquanto na 
segunda seção analisaremos principalmente a relação existente entre limites e 
a noção de infinito. Na terceira seção, estudaremos a importância do conceito 
de limite para avaliar a continuidade de funções reais, bem como para identi-
ficar descontinuidades, quando elas existem.
Assim, prossiga em seus estudos, refletindo a respeito da importância 
do conceito de limites para a construção, interpretação e investigação das 
propriedades das funções reais. Bons estudos! 
68
Seção 1
Introdução ao estudo dos limites
Diálogo aberto
Para que possamos compreender e refletir a respeito da importância 
do conceito de limite para o estudo das funções reais, necessárias para a 
realização de todo o tipo de análises nas Engenharias e demais profissões 
relacionadas às ciências exatas, iniciemos, nesta seção, pelo estudo da 
definição de limite bilateral e limite lateral, bem como de suas principais 
propriedades, tomando por base os conhecimentos a respeito das princi-
pais categorias de funções.
Para esse estudo, considere que você integra um grupo formado por jovens 
profissionais de diferentes áreas, e que pretendem implantar uma startup 
relacionada à indústria 4.0 utilizando seus conhecimentos de engenharia, 
programação, finanças e matemática. Essa startup está sendo organizada no 
sentido de desenvolver softwares que permitam analisar o comportamento de 
máquinas por meio de sensores, os quais serão instalados de modo a possibi-
litar a coleta de dados, que, por sua vez, serão convertidos em funções que, ao 
serem analisadas, permitam emitir diagnósticos da condição das máquinas. 
Esses softwares serão desenvolvidos para que possam, por exemplo, com 
base nas funções geradas, diferenciar as descontinuidades associadas a varia-
ções programadas e previstas no ritmo de trabalho das máquinas, daquelas 
que possam estar associadas a problemas de funcionamento ou redução da 
vida útil do equipamento.
Assim, para que seja possível validar as informações geradas por um dos 
softwares da startup, você ficou responsável por realizar estudos teóricos. 
Sua primeira tarefa será analisar o comportamento da função f a partir do 
seu gráfico, que aproxima bem uma característica de uma máquina em um 
ciclo de trabalho, como ilustrado na Figura 2.1, identificando se existem os 
limites nos pontos x=−3 e x = 3 não pertencentes ao seu domínio.
69
Figura 2.1 | Gráfico gerado para a função f
Fonte: elaborada pela autora.
A segunda tarefa é construir um esboço para o gráfico de uma função real 
g, cujo domínio é descrito pelo conjunto D=( )∪( )1 2 2 5, , e com base nas 
informações: lim ( )
x
g x
→
=
1
0 ; lim ( )
x
g x
→ −
=
2
3 ; lim ( )
x
g x
→ +2
 não existe; lim ( )
x
g x
→
=−
5
2 ; g 
comporta-se como uma reta no intervalo 1 2,( ) ; g comporta-se como uma 
parábola com concavidade voltada para baixo em 2 5,( ) , com vértice 
localizado em x = 4 e no qual a função assume um valor negativo.
A terceira e última tarefa é construir uma tabela de valores para investigar 
o comportamento da função h : −{ }→2 dada por h x
x
( )=
−
1
2
 em torno 
de x = 2 , construindo hipóteses a respeito da existência do limite da função 
h quando x tende a 2.
Como você executaria cada tarefa? Quais são os principais conceitos 
envolvidos no estudo das funções presentes nas três tarefas? Prossiga em seus 
estudos e confira os conceitos essenciais para a resolução desse desafio!
Não pode faltar
O conceito de limitepode ser estudado quando desejamos avaliar o 
comportamento de funções em torno de valores, principalmente não 
70
pertencentes ao domínio. Assim, seja, por exemplo, a função f : −{ }→0 
definida por f x sen x
x
( ) ( )= , com gráfico ilustrado na Figura 2.2. 
Figura 2.2 | Gráfico da função f x sen x
x
( ) ( )=
Fonte: elaborada pela autora.
Note que a função f não está definida em zero, pois isso ocasionaria em 
uma divisão por zero, o que é impossível. No entanto, apesar desse fato, 
podemos investigar como se dá o comportamento da função f em torno de 
zero, ou seja, em valores suficientemente próximos de zero, mas diferentes 
dele. Para isso, podemos investigar os dados presentes na Tabela 2.1.
Tabela 2.1 | Comportamento da função f em torno de zero
x f x( ) x f x( ) 
-1,0 0,8414709 1,0 0,8414709
-0,5 0,9588510 0,5 0,9588510
-0,1 0,9983341 0,1 0,9983341
-0,01 0,9999833 0,01 0,9999833
-0,001 0,9999998 0,001 0,9999998
Fonte: elaborada pela autora.
Quando analisamos o comportamento dos valores da função f próximos 
de zero, tanto pelo gráfico quanto pela tabela, podemos observar que para 
valores cada vez mais próximos de zero obtemos imagens associadas que 
estão cada vez mais próximas de 1, o que nos leva, intuitivamente, a afirmar 
que se x aproxima-se de zero então f x( ) aproxima-se suficientemente de 1. 
71
No entanto, como não podemos nos basear em apenas alguns dados 
numéricos para obter afirmações a respeito do comportamento de funções, 
pois podemos, por exemplo, tomar uma amostra do conjunto de dados que 
nos conduzam a conclusões errôneas, precisamos de um conceito teórico que 
fundamente esse tipo de estudo.
Reflita
Será que existem situações em que essa investigação por meio de 
tabelas pode nos conduzir a conclusões errôneas quanto ao 
comportamento da função em torno de um ponto dado? Para contribuir 
com essa reflexão, analise, por exemplo, o comportamento da função 
f x x
x
( )= + −
2
2
9 3
 em torno de zero (avalie também valores da 
ordem de 10 4- ).
Logo, para que possamos obter conclusões corretas a respeito do compor-
tamento de funções em torno de pontos, precisamos empregar o conceito de 
limite de função.
Limites e limites laterais
Seja uma função real f. Dizemos que um número real L é o limite da 
função f quando x tende a um valor a sempre que f x( ) for suficientemente 
próximo de L para x suficientemente próximo de a, mas x a¹ . Quando isso 
ocorre, podemos utilizar a notação lim ( )
x a
f x L
→
= , ou ainda, “ f x L( )® com 
x a® ”. Dessa forma, dizemos que o limite de uma função existe, no ponto 
considerado, quando a função se aproxima cada vez mais de um único 
número real L quando x aproxima-se do ponto fixado a.
Exemplificando
Sejam a função f : ® dada por f x x( )= −3 1 e a= 2 . Quando x se 
aproxima de 2, então 3x se aproxima de 6 e 3 1x- se aproxima de 5. 
Consequentemente, lim ( ) lim
x x
f x x
→ →
= −( )=
2 2
3 1 5 .
Também podemos definir o limite da seguinte forma: lim ( )
x a
f x L
→
= se, e 
somente se, para qualquer número e>0 , por menor que seja, for possível 
identificar d>0 suficientemente pequeno de tal forma que se 0< − <x a d 
então f x L( )− <e . Vejamos um exemplo da aplicação desse formato da 
72
definição de limite para provar que lim
x
x
→
−( )=
2
4 5 3 . Para isso, seja e>0 um 
número real positivo qualquer, precisamos provar que é possível determinar 
d>0 para que a definição seja verificada. Logo, para cada e>0 , tomando 
δ
ε
= >
4
0 temos que se 0 2< − <x d então 
4 5 3 4 8 4 2 4 4
4
x x x−( )− = − = − < = ⋅ =δ ε ε
isto é, 4 5 3x−( )− <e , logo, lim
x
x
→
−( )=
2
4 5 3 . Assim, para provar a existência 
do limite por meio da definição nesse formato, conhecido como definição 
formal de limite, devemos determinar uma expressão para d>0 , construída 
a partir de e>0 , que pode ser um número real positivo qualquer, satisfa-
zendo a implicação em questão.
Usualmente dizemos que a definição apresentada anteriormente, em 
suas duas versões, refere-se a um limite bilateral, devido à aproximação ao 
valor L precisar ocorrer tanto por valores maiores quanto menores que a. 
Porém, como nem todas as funções apresentam um mesmo comportamento 
em torno de um ponto dado, precisamos distinguir se estamos avaliando a 
aproximação com x do lado esquerdo ou do lado direito do ponto a fixado, 
isto é, a aproximação por valores menores ou maiores que a, respectivamente. 
Para essa diferenciação podemos estudar os chamados limites laterais, em 
que o objetivo é avaliar as aproximações considerando apenas um dos lados 
do ponto fixado.
Nesse sentido, escrevemos lim ( )
x a
f x L
→ +
= para o caso em que, tomando 
valores de x próximos de a, mas maiores do que a, implicar em f x( ) aproxi-
mando-se de L, conforme ilustração presente na Figura 2.3(a). Por outro 
lado, a notação lim ( )
x a
f x L
→ −
= representa o caso em que, ao tomar valores de x 
próximos de a, e menores que a, tivermos f x( ) suficientemente próximo de 
L, de acordo com a Figura 2.3(b). 
73
Figura 2.3 | Limites laterais
Fonte: elaborada pela autora.
Assimile
A notação lim ( )
x a
f x L
→ +
= pode ser lida como “L é o limite de f x( ) com x 
tendendo ao a pela direita”, ou limite à direita, conforme a Figura 
2.3(a), enquanto lim ( )
x a
f x L
→ −
= corresponde a “L é o limite de f x( ) com 
x tendendo ao a pela esquerda”, ou limite à esquerda, de acordo com 
a Figura 2.3(b).
Vejamos como podemos interpretar os limites laterais a partir de um 
estudo gráfico. Para isso, seja a função f cujo gráfico é ilustrado na Figura 2.4.
Figura 2.4 | Função f e o estudo dos limites laterais
Fonte: elaborada pela autora.
A partir da Figura 2.4, podemos observar o comportamento da função f 
em torno do ponto x = 3 o qual não pertence ao domínio da f. Note que 
lim ( )
x
f x
→ −
=
3
2 , pois quando tomamos valores de x suficientemente próximos e 
74
menores que 3 – isto é, uma aproximação pela esquerda de 3 –, os valores de 
f x( ) aproximam-se de 2. Por outro lado, lim ( )
x
f x
→ +
=−
3
1 , porque ao tomar 
valores de x suficientemente próximos e maiores que 3 – isto é, aproximação 
pela direita de 3 – observamos que f x( ) assume valores próximos de -1. 
Assim, nem sempre os limites laterais são iguais, porém, quando a igualdade 
dos limites laterais ocorre, podemos relacioná-los ao limite bilateral da 
seguinte forma: lim ( )
x a
f x L
→
= se, e somente se, lim ( ) lim ( )
x a x a
f x L f x
→ →+ −
= = , isto é, 
o limite bilateral existe se, e só se, os limites laterais existem e são iguais. 
Assim, para o exemplo ilustrado na Figura 2.4, o limite bilateral não existe 
porque os limites laterais diferem entre si.
A partir dessa relação podemos justificar também, por exemplo, porque 
o lim
x
x
x®0
 não existe. De fato, sabemos que x ³0 para todo número real x, 
então quando avaliamos o limite à esquerda, por estarmos nos aproximando 
de zero por números negativos, teremos lim
x
x
x→ −
=−
0
1 , enquanto o limite à 
direita, avaliado a partir dos reais positivos, resulta em lim
x
x
x→ +
=
0
1 , porém, 
como os limites laterais existem, mas são diferentes, podemos concluir que o 
limite em questão não existe.
Os limites laterais também podem ser empregados no estudo das funções 
definidas por partes, as quais correspondem nas funções cujas leis de 
formação são definidas por duas ou mais expressões matemáticas, como é o 
caso da função modular, por exemplo, a qual é definida por f : ® em 
que f x x
x x
x x
( )
,
,
= =
≥
− <




 
 
0
0
, e cuja representação gráfica é dada na Figura 2.5.
Figura 2.5 | Gráfico da função modular f x x( )= 
Fonte: elaborada pela autora.
75
Analisando o comportamento da função modular em torno de zero 
podemos inferir que lim lim
x x
x x
→ →− −
= −( )=
0 0
0 e lim lim
x x
x x
→ →+ +
= =
0 0
0 . Assim, como 
os limites laterais são iguais, podemos afirmar que lim
x
x
→
=
0
0 . Observe que, 
ao avaliaro limite à esquerda, utilizamos a expressão da função para x <0 
enquanto o limite à direita utiliza-se da expressão de f para x ³0 . Esse tipo 
de análise é essencial para a avaliação dos limites laterais de funções definidas 
por partes, principalmente nos valores nos quais ocorre a mudança entre as 
expressões matemáticas que definem a função.
Uma característica importante dos limites, quando eles existem, é a unici-
dade. Isto é, se uma função admite um limite, quando x tende a um valor 
fixado, então esse limite é único, assim, existe um único valor real para o qual 
a função tende, sob as condições estabelecidas.
No estudo de limites, quando afirmamos que um limite existe, isso signi-
fica que o limite da função no ponto em questão é igual a um número real, ou 
seja, assume um valor específico. Essa análise é válida tanto para os limites 
bilaterais quanto para os laterais.
Além da relação existente entre limites bilaterais e laterais, também 
existem propriedades que possibilitam a identificação de limites de funções, 
partindo de funções conhecidas e de operações que podem ser definidas entre 
funções, como a adição e a multiplicação, por exemplo. Vejamos a seguir 
algumas das propriedades que podem ser aplicadas no estudo de limites.
Propriedades dos limites
Dada uma função real f, e supondo que os limites envolvidos existam, são 
válidas as seguintes propriedades:
1. Se b é uma constante real então lim ( ) lim ( )
x a x a
bf x b f x
→ →
( )= ( ) .
2. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
±( )= ± .
3. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
( )=( )( ) .
4. lim ( )
( )
lim ( )
lim ( )x a
x a
x a
f x
g x
f x
g x→
→
→






= , desde que lim ( )
x a
g x
→
≠0 .
5. lim ( ) lim ( )
x a
n
x a
n
f x f x
→ →
( ) =( ) , para n inteiro positivo.
6. lim ( ) lim ( )
x a
n
x a
nf x f x
→ →
= , para n inteiro positivo, e se n for par, com 
lim ( )
x a
f x
→
>0 .
76
7. Para qualquer constante real k é válido que lim
x a
k k
→
= .
8. lim
x a
x a
→
= .
As propriedades apresentadas podem ser aplicadas desde que as funções 
envolvidas sejam tais que os limites em questão existam, ou seja, resultem em 
números reais. Nessas condições, elas podem ser empregadas para relacionar 
os limites conhecidos de funções entre si de modo a obter informações a 
respeito de outras funções. Além disso, as propriedades apresentadas, apesar 
de estarem relacionadas aos limites bilaterais, também podem ser reescritas 
para o estudo dos limites laterais de funções, desde que esses limites existam.
Exemplificando
Considere as funções reais f e g tais que lim ( )
x
f x
→−
=
1
3 e lim ( )
x
g x
→−
=−
1
2 . 
Nesse sentido, empregando as propriedades 1 e 2 podemos observar 
que:
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x x
f x g x f x g x
→− →− →−
−( )= + −( )
1 1 1
3 3
 
 
= + −( )
→− →−
lim ( ) lim ( )
x x
f x g x
1 1
3
 
 
= + −( ) −( )
=
3 3 2
9
Portanto, lim ( ) ( )
x
f x g x
→−
−( )=
1
3 9 . Outra possibilidade de aplicação das 
propriedades dos limites, mais especificamente a 1, 2, 4, 7 e 8, é a 
seguinte:
lim
lim
limx
x
x
x x
x
x x
x→
→
→
− +
−
=
− +( )
−( )2
3 2
2
3 2
2
3 1
2 1
3 1
2 1
 =
+ −( )+
( )+
→ → →
→
lim lim lim
lim lim
x x x
x
x x
x
2
3
2
2
2
2
3 1
2
xx
x x
x x
→
→ →
−( )
=
+ −( ) +
2
2
3
2
2
1
3
 
lim lim lim
xx
x x
x
→
→ →
+ −( )
=
+ −( )⋅ +
2
2 2
1
2 1
8 3 4
lim lim
 
11
2 2 1
1
⋅ + −( )
=−
Observe que as duas situações podem ser estudadas porque existem os 
limites envolvidos nos procedimentos de cálculo. 
Observando o exemplo anterior, o cálculo do limite de x x
x
3 23 1
2 1
− +
−
 
77
quando x tende a 2 consiste basicamente em calcular o valor da razão para 
x = 2 . Isso ocorre porque temos uma razão entre polinômios, cujo denomi-
nador não tende a zero. Nesse sentido, para uma função polinomial P x( ) 
qualquer, e para uma constante real a qualquer, temos que lim ( ) ( )
x a
P x P a
→
= . A 
partir desse resultado, podemos investigar os limites associados, por exemplo, 
à soma, diferença, produto e quociente de funções polinomiais.
Reflita
Para justificar as propriedades válidas aos limites podemos recorrer à 
definição formal de limite, a qual envolve o uso de e e d associados. 
Nesse sentido, como você demonstraria a validade da igualdade lim
x a
k k
→
= , 
com a e k reais, utilizando a definição formal? Qual d deve ser escolhido, em 
função de e positivo qualquer, para que a propriedade seja verificada?
Para que possamos estudar os limites de funções podemos empregar 
um outro resultado, além das propriedades já citadas, o qual envolve a 
identificação de limitantes superior e inferior, sendo eles representados por 
funções cujos limites existem e são iguais. Assim, vejamos o enunciado 
desse resultado.
Teorema 2.1 (Teorema do Confronto): Se f x g x h x( ) ( ) ( )£ £ para x 
suficientemente próximo de a (exceto possivelmente no ponto a) e, além 
disso, lim ( ) lim ( )
x a x a
f x h x L
→ →
= = , então podemos concluir que lim ( )
x a
g x L
→
= .
Dessa forma, para aplicarmos o teorema do confronto no estudo de um 
limite, é necessário limitar a função em estudo entre outras duas funções 
cujos limites sejam iguais. Vejamos, por exemplo, o caso da função 
f x x sen
x
( )=






2 1 , estudando seu limite em torno de x = 0 . Sabemos que 
− ≤





≤1
1 1sen
x
, pois o seno de qualquer número está sempre limitado entre 
-1 e 1. Como x2 0³ para todo x real, multiplicando todos os membros das 
desigualdades envolvendo seno por x2 obtemos − ≤





≤x x sen x
x2 2 21 . Como 
lim lim
x x
x x
→ →
−( )= =
0
2
0
2 0 , pelo teorema do confronto podemos concluir que 
78
lim
x
x sen
x→













 =0
2 1 0 . Veja que com a limitação de f entre as funções dadas, as 
quais apresentam mesmo limite quando x tende a 0, permite afirmar o mesmo para 
a função f em torno do ponto x = 0 .
Para estudar os limites é importante definir corretamente a função, identi-
ficando domínio e contradomínio correspondentes, empregando as defini-
ções e propriedades para que possa estudar o comportamento da função ao 
longo de seu domínio ou em pontos fora de seu domínio.
Sem medo de errar
Para que seja possível validar informações geradas a partir do software 
em desenvolvimento, você ficou responsável, no contexto da implemen-
tação da startup, na realização de estudos teóricos associados ao comporta-
mento de funções. Nesse caso, você deverá estudar três funções, referentes 
às três tarefas.
Para a primeira tarefa, você deve analisar o gráfico apresentado na Figura 
2.1 visando identificar os limites da função estudada nos pontos x=−3 e 
x = 3 não pertencentes ao seu domínio. Nesse caso, ao analisar graficamente 
o comportamento da função f, a partir da Figura 2.1, é possível observar que, 
ao fixar o ponto x=−3 , obtemos os seguintes limites laterais: 
lim ( )
x
f x
→− −
=
3
0 e lim ( )
x
f x
→− +
=−
3
1 .
Como os limites laterais existem, mas são distintos, podemos afirmar que 
a função f não admite limite quando x tende a -3. Agora em relação ao ponto 
x = 3 observa-se que lim ( )
x
f x
→ −
=
3
2 , no entanto, o limite quando x tende a 3 
pela direita não existe, visto que, quanto mais próximos os valores de x estão 
de 3, maiores serão os valores assumidos por f x( ) , sendo assim, o limite de f 
quando x tende a 3 também não existe.
Para a segunda tarefa, o objetivo é construir um esboço para a função 
g, sendo conhecidos o domínio e algumas informações a respeito de seu 
comportamento. Por se tratar de um esboço, podem ser construídos 
diferentes gráficos que atendam às informações apresentadas, porém, todos 
apresentarão comportamentos semelhantes no que se refere a algunslimites 
e padrões em relação a alguns intervalos específicos.
Assim, uma das possibilidades de esboço para o gráfico de g pode ser 
construída conforme segue. Inicialmente, vamos analisar os dois intervalos 
79
que compõem o domínio de g. No intervalo 1 2,( ) sabe-se que o gráfico de g 
consiste em uma reta e, além disso, lim ( )
x
g x
→
=
1
0 e lim ( )
x
g x
→ −
=
2
3 . Com essas 
informações, podemos traçar a primeira parte do gráfico de g, conforme 
a Figura 2.6(a). Por outro lado, no intervalo 2 5,( ) sabe-se que a função g é 
descrita por uma parábola, com concavidade voltada para baixo, sendo o 
vértice localizado no ponto em que x = 4 e com o valor correspondente 
negativo, além de serem dadas as informações de que lim ( )
x
g x
→ +2
 não existe e 
que lim ( )
x
g x
→
=−
5
2 . Dessas informações, podemos inferir que, para que g 
assuma essas propriedades, é necessário que, ao tomar valores de x cada vez 
mais próximos de 2 à direita, então os valores de g x( ) serão cada vez menores, 
visto que a concavidade da parábola deve ser voltada para baixo. Nesse 
sentido, podemos complementar o esboço do gráfico de g, de acordo com a 
Figura 2.6(b). Note que, por se tratar de um esboço, o objetivo é identificar 
um perfil para o gráfico de g, ainda que não sejam conhecidos os valores 
exatos das imagens de todos os pontos de seu domínio. Assim, podem ser 
construídos outros gráficos, porém, muitas das características deverão ser 
mantidas em comparação com o gráfico presente na Figura 2.6(b).
Figura 2.6 | Construção do esboço do gráfico de g
Fonte: elaborada pela autora.
Em relação à terceira tarefa, investigue o comportamento da função 
h : −{ }→2 dada por h x
x
( )=
−
1
2
 quando x tende a 2 por meio da 
80
construção de uma tabela de valores. Assim, como o objetivo é avaliar pontos 
suficientemente próximos de x = 2 , podemos analisar tanto para valores 
maiores quanto menores de 2, mas que sejam diferentes dele porque 2 não 
pertence ao domínio de h. Nesse sentido, podemos construir dados conforme 
a Tabela 2.2.
Tabela 2.2 | Comportamento da função f em torno de x = 2
x f x( ) x f x( ) 
1 -1 3 1
1,9 -10 2,1 10
1,99 -100 2,01 100
1,999 -1000 2,001 1000
1,9999 -10000 2,0001 10000
1,99999 -100000 2,00001 100000
Fonte: elaborada pela autora.
Analisando a Tabela 2.2, podemos construir as hipóteses de que os limites 
laterais de h não existem, visto que avaliando o limite à esquerda, quanto 
mais próximos de 2 são os valores de x, menores serão os valores de h x( ) , 
enquanto à direita, quanto mais próximos de 2 são os valores de x, maiores 
serão os valores de h x( ) . Porém, é importante ressaltar que essa análise 
permite apenas a construção de hipóteses, as quais devem ser validadas 
somente por meio dos estudos teóricos realizados com base na definição 
de limite.
Para finalizar, sua tarefa consiste em organizar um relatório, contendo as 
informações necessárias para a resolução de cada tarefa, bem como as obser-
vações e conclusões obtidas ao longo desses estudos.
Avançando na prática
Investigando limites laterais utilizando as 
propriedades
Considere que você esteja participando como monitor em um curso de 
capacitação para funcionários de uma empresa de tecnologia que atua com o 
desenvolvimento de soluções que atendam a diversos profissionais das 
ciências exatas, como no desenvolvimento de softwares matemáticos, por 
81
exemplo. A proposta dessa capacitação é promover um estudo colaborativo 
de conteúdos matemáticos essenciais para o atendimento a um de seus 
principais clientes, o que envolve o aprofundamento nos estudos de conceitos 
básicos do Cálculo Diferencial e Integral, como é o caso dos limites. Durante 
essa capacitação, cujo tema é o estudo dos limites, um dos problemas 
propostos consiste em estudar os limites laterais e o limite bilateral da função 
f x
x x
x
( )=
−
−
3 2 6
3
 em torno do ponto x = 3 . Como você resolveria essa tarefa? 
Como você orientaria os cursistas em relação aos conceitos e argumentos que 
podem ser utilizados para a resolução desse problema?
Resolução da situação-problema
O problema proposto na capacitação envolve a avaliação dos limites 
laterais da função f quando x aproxima-se de 3. Observe que a função f pode 
ser reescrita como segue:
f x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
( )=
−
−
=
−( )
−
=
−
−
=
−
−
3 3 3 32 6
3
2 3
3
2 3
3
2 3
3
Analisando o limite lateral à esquerda de 3, temos que os valores de x são 
tais que x− <3 0 , mas que x x− =− −( )>3 3 0 . Sendo assim, 
lim ( ) lim lim
x x x
f x
x x
x
x
→ → →− − −
=
−
−
= −( )=−
3 3
3
3
32 3
3
2 1 54 . Em relação ao limite à direita 
de 3, temos que os valores de x são tais que x− >3 0 , e também que 
x− >3 0 . Logo, lim ( ) lim lim
x x x
f x
x x
x
x
→ → →+ + +
=
−
−
= =
3 3
3
3
32 3
3
2 54 . Dessa forma, como 
os limites laterais existem, mas são diferentes, podemos afirmar que o limite 
(bilateral) de f, quando x aproxima-se de 3, não existe.
Com essas informações, pode-se concluir a existência de limites laterais, 
com ausência de limite bilateral, o que possibilita concluir com sucesso o 
desafio proposto.
Faça valer a pena
1. O cálculo do limite de funções pode ser estudado com base, dentre outras, 
na aplicação das propriedades envolvendo funções cujas características são 
previamente conhecidas no contexto dos limites.
A partir das propriedades dos limites, faça a associação das funções contidas 
na Coluna A com seus respectivos limites, apresentados na Coluna B.
82
Coluna A Coluna B
I. f x x x
x
( )= − +
−
3 3 5
1
 1. lim ( )x f x→ =5 6 
II. f x x x( )= + +2 6 2. lim ( )
x
f x
→−
=
2
1
III. f x x x( )= −( ) +2 33 5 3. lim ( )x f x→ =−0 5
IV. f x x x
x
( )= +
−
2 6
3 2
 4. lim ( )x f x→ =−1 3
Assinale a alternativa que apresenta a associação correta entre as colunas:
a. I – 1; II – 3; III – 4; IV – 2.
b. I – 2; II – 1; III – 3; IV – 4.
c. I – 2; II – 4; III – 1; IV – 3.
d. I – 3; II – 1; III – 4; IV – 2.
e. I – 4; II – 2; III – 1; IV – 3.
2. Considere a função real f cuja representação gráfica é apresentada no que 
segue:
Figura | Função real f
Fonte: elaborada pela autora.
83
Em relação às características da função f, bem como os conceitos de limites 
laterais e bilaterais, analise as seguintes afirmações, verificando a validade de 
cada um dos limites apresentados em cada item:
I. lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
→ →+ −
= =
0 0
4 .
II. lim ( )
x
f x
→ +
=
2
0 .
III. lim ( )
x
f x
→
=
4
2 .
IV. lim ( )
x
f x
→ −6
 não existe.
Está correto apenas o que se afirma apenas em:
a. I e III.
b. II e IV.
c. I, II e III.
d. I, III e IV.
e. II, III e IV.
3. Podemos estudar os limites de funções a partir das propriedades opera-
tórias, além das relações que podem ser estabelecidas com os limites laterais, 
desde que os limites envolvidos existam nos pontos em estudo.
Nesse contexto, analise a função cuja lei de formação é indicada no que segue:
f x
x x
x x
( )
,
,
=
− <
− >





3 3
6 2 3
 
 
Em relação à função apresentada, analise as seguintes asserções e a relação 
proposta entre elas:
I. A função f, que consiste em uma função definida por partes, não 
admite limite quando x aproxima-se de 3.
PORQUE
II. Os limites laterais de f em torno de x = 3 existem e, portanto, 
são caracterizados por números reais.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica 
a I.
84
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa.
d. A asserção I é uma proposição falsa e a II, verdadeira.
e. As asserções I e II são proposições falsas.
85
Seção 2
Limites infinitos e no infinito
Diálogo aberto
No estudo dos limites de funções, podemos nos deparar com situações 
nas quais a função assume valores cada vez maiores ou menores quando 
tomamos valores do domínio suficientementepróximos de um dado valor 
fixado, como é o caso do comportamento da função tangente em valores 
suficientemente próximos de p
2
. Além dessa possibilidade, podemos ter 
interesse em estudar o comportamento de uma função para valores muito 
grandes ou pequenos de seu domínio, como é o caso do estudo de como 
se comporta uma função que expressa, por exemplo, a corrente elétrica 
presente em um circuito em função do tempo, quando tomamos valores de 
tempo muito grandes. Para ambas as situações precisamos realizar estudos 
com base em um conceito matemático essencial, a noção de infinito. Apesar 
de não ser caracterizado como um número, o infinito também contribui 
com a realização, desde estudos teóricos até a interpretação de problemas 
construídos a partir de fenômenos reais, principalmente, associados a 
modelos matemáticos.
Assim, para o estudo dos conceitos envolvendo, principalmente, os 
limites infinitos e no infinito, suponha que você faz parte de um grupo 
de jovens engenheiros que pretendem organizar e implantar uma startup, 
apresentando como principal objetivo o desenvolvimento de softwares que 
possam contribuir com projetos aliados à indústria 4.0, visando analisar o 
comportamento de diferentes máquinas por meio de sensores. Assim, os 
softwares terão sua funcionalidade associada ao estudo do comportamento 
de funções, as quais comporão os modelos construídos com base nos dados 
coletados a partir dos sensores instalados.
Nesse sentido, você ficou responsável por realizar alguns estudos teóricos 
a respeito de modelos previamente conhecidos, para que, de posse dessa 
informação, seja possível desenvolver o primeiro software que será lançado 
pela startup, voltado para máquinas empregadas no ramo da informática. 
Assim, você deverá analisar os comportamentos das seguintes funções 
presentes em modelos pré-determinados:
• f x sen x( )= ⋅ +





3 2
p quando x tende a valores muito grandes.
86
• g x tg x
x
( ) ( )= quando x tende a zero.
• h x x
x
( )= −
+
3 5
2 3
4
 quando x tende a valores muito grandes.
• j x x
x x
( )= +
+ −
12 25
4 2 502
 quando x tende a valores muito pequenos.
Quais conclusões você pode obter a partir do estudo das funções apresen-
tadas nos pontos ou intervalos associados? Quais conceitos são necessários 
para analisar os modelos pré-determinados? Prossiga em seus estudos e 
confira os conceitos essenciais para solucionar o desafio proposto!
Não pode faltar
No estudo do conceito de limite temos por objetivo, dentre outras possi-
bilidades, estudar o comportamento de uma função em torno de um ponto, 
o qual pode pertencer ou não ao seu domínio. Nesse contexto, afirmar que L 
é o limite de uma função f, quando x tende a um valor a, significa dizer que 
f x( ) aproxima-se suficientemente de L sempre que x aproximar-se de a, com 
x a¹ , permitindo, nesse caso, o uso da notação lim ( )
x a
f x L
→
= . Além de 
empregar esse estudo ao limite bilateral, também podemos ajustar a definição 
de modo a aplicá-la aos limites laterais.
Dizemos que o limite de uma função existe quando podemos identificar 
um único número real L que cumpre a condição anterior. Assim, conside-
rando, por exemplo, a função f, cujo gráfico é ilustrado na Figura 2.8, 
podemos observar que o limite, quando x tende a 2, não existe, visto que os 
limites laterais diferem entre si, porque lim ( )
x
f x
→ −
=
2
1 e lim ( )
x
f x
→ +
=−
2
2 .
Figura 2.8 | Gráfico da função f
Fonte: elaborada pela autora.
87
Nesse sentido, uma das condições que podemos empregar para justificar que 
o limite bilateral não existe em dado ponto consiste em identificar que os limites 
laterais em torno do ponto em avaliação são diferentes. Além disso, temos a possi-
bilidade de a função apresentar um crescimento ou decrescimento indefinido 
quando x tender a um determinado ponto. Para esses casos, podemos estudar os 
limites infinitos.
Limites infinitos
Analisaremos, inicialmente, as características da função f : −{ }→0 
dada por f x
x
( )= 12 , cujo gráfico é apresentado na Figura 2.9.
Figura 2.9 | Gráfico da função com lei de formação f x
x
( )= 12
Fonte: elaborada pela autora.
Observe que, ao tomar valores de x cada vez mais próximos de zero, tanto 
à esquerda quanto à direita, são obtidos valores de f x( ) cada vez maiores. 
Investigaremos alguns valores de x e os respectivos valores de f x( ) quando 
aproximamos x de zero pela direita, isto é, por valores positivos, sendo esses 
dados registrados na Tabela 2.3.
88
Tabela 2.3 | Possíveis valores obtidos a partir da função f x
x
( )= 12
x f(x)
1 1
0,5 4
0,1 100
0,01 10000
0,001 1000000
Fonte: elaborada pela autora.
Comparando a Tabela 2.3 com a Figura 2.9, podemos observar que, 
quanto menor o valor assumido por x, para x>0 , maior será sua imagem 
f x( ) . Assim, aparentemente, os valores de f podem tornar-se arbitrariamente 
grandes quando tomamos valores de x suficientemente próximos de zero, 
tanto à esquerda quanto à direita. Logo, quando x tende a zero, a função f não 
tende a um número específico, o que podemos representar, nesse caso, como 
lim ( )
x
f x
→
=∞
0
, porque a função assume valores cada vez maiores, tendendo ao 
infinito. A notação apresentada significa dizer que não existe o limite da 
função f quando x tende a zero.
Assimile
As notações +∞ e −∞ não representam números, mas noções que 
indicam que estamos trabalhando com valores muito grandes em 
módulo, positivos ou negativos, respectivamente. Nesse sentido, a 
notação lim ( )
x a
f x
→
=+∞ ou lim ( )
x a
f x
→
=∞ indica que o limite da função 
f quando x tende ao valor a não existe, mas que os valores de f tornam-se 
cada vez maiores quando x aproxima-se de a. Por outro lado, a notação 
lim ( )
x a
f x
→
=−∞ indica que o limite da função f quando x tende ao valor 
a não existe, e que os valores de f tornam-se cada vez menores quando x 
aproxima-se de a, entendendo por “menores” os números negativos com 
maiores valores absolutos.
Dessa forma, por definição, dada uma função f definida em ambos os 
lados de um valor a, exceto, possivelmente, no ponto a, temos que 
89
lim ( )
x a
f x
→
=∞ indica que podemos tornar os valores de f tão grandes quanto 
quisermos tomando x suficientemente próximo de a, mas diferente dele, 
enquanto lim ( )
x a
f x
→
=−∞ ilustra que podemos tornar os valores de f tão 
pequenos quanto quisermos tomando x suficientemente próximo de a, e 
diferente dele. Em ambos os casos, temos que os limites são infinitos.
Apesar da definição anterior ter envolvido os limites bilaterais, 
podemos adaptá-las de modo a envolver os limites laterais, ocasionando 
em uma das seguintes situações: lim ( )
x a
f x
→ −
=∞ , lim ( )
x a
f x
→ −
=−∞ , lim ( )
x a
f x
→ +
=∞ 
ou lim ( )
x a
f x
→ +
=−∞ .
Exemplificando
Considere uma função com lei de formação f x
xn
( )= 1 , com n inteiro 
positivo. Essa lei de formação possibilita a construção de um conjunto 
de funções que contém a função 
1
2x
 estudada, assim como a função 
1
x
 , cuja representação gráfica é ilustrada na Figura 2.10, entre outras.
Figura 2.10 | Gráfico da função 
1
x
Fonte: elaborada pela autora.
Note que, nesse conjunto de funções, o domínio deve ser descrito por 
−{ }0 , visto que as funções não estão definidas em zero. No entanto, 
90
podemos estudar o comportamento dessas funções em torno de zero, 
o que permite inferir que:
lim ( )
,
,x
f x
n
n→ −
=
+∞
−∞



0
se Ø par
se Ø �mpar
 e lim ( )
x
f x
→ +
=+∞
0
Por exemplo, 
1 1
1x x
= , sendo n=1 ímpar, logo lim
x x→ −
=−∞
0
1
 e 
lim
x x→ +
=+∞
0
1
, o que pode ser observado a partir da Figura 2.10.
O estudo apresentado no exemplo anterior é muito interessante por 
possibilitar também o estudo do comportamento de determinadas funções 
racionais que apresentam características similares.
Retornando à função f x
x
( )= 12 , observe que em torno de zero a função f 
tende ao infinito, pois lim ()
x
f x
→
=∞
0
. Note que, ao tomar valores de x tendendo 
a zero, conforme o gráfico da Figura 2.9, a função está cada vez mais próxima 
da reta x = 0 (eixo y), apesar de nunca a interceptar. Por essa propriedade, 
temos que a reta x = 0 pode ser caracterizada como uma assíntota vertical 
do gráfico da f.
Dizemos que a reta x a= é denominada assíntota vertical da curva 
y f x= ( ) se uma das seguintes condições for verificada: lim ( )
x a
f x
→
=∞ , 
lim ( )
x a
f x
→
=−∞ , lim ( )
x a
f x
→ −
=∞ , lim ( )
x a
f x
→ −
=−∞ , lim ( )
x a
f x
→ +
=∞ ou 
lim ( )
x a
f x
→ +
=−∞ .
Assimile
Quando uma função f apresenta limite infinito para x tendendo a algum 
valor real a, então a reta x a= configura-se como assíntota vertical para 
y f x= ( ) .
Quando existem os limites de funções, podemos avaliar os limites das 
funções construídas a partir de operações definidas sobre as funções previa-
mente conhecidas, como calcular o limite da soma ou da diferença de funções, 
por exemplo. Podemos realizar um estudo análogo utilizando alguns limites 
infinitos, desde que não resultem em indeterminações, ou seja, em resultados 
que não podem ser avaliados.
91
Exemplificando
Considere que as funções f e g são tais que lim ( )
x a
f x
→
=∞ e 
lim ( )
x a
g x
→
=∞ , então, podemos afirmar que lim ( ) ( )
x a
f x g x
→
+( )=∞ , 
devido aos crescimentos das funções f e g próximos de a. Porém, 
lim ( ) ( )
x a
f x g x
→
−( ) consiste em uma indeterminação do tipo ∞−∞ , a 
qual não pode ser avaliada. Assim, podemos combinar funções entre si, 
cujos limites são infinitos, desde que não resultem em indeterminações.
Na avaliação de limites, podemos nos deparar com situações que 
envolvam ∞−∞ , ¥
¥
, 0
0
 , 0⋅∞ , por isso, a necessidade de empregar 
estratégias adequadas no cálculo de limites, principalmente aos que estejam 
envolvidos com a noção de infinito.
Reflita
Considerando as principais operações que podem ser avaliadas entre 
funções (adição, subtração, multiplicação, divisão, etc.), em quais situa-
ções podemos obter cada uma das indeterminações indicadas?
Além do estudo dos limites infinitos, também podemos investigar o 
comportamento das funções quando x tende a valores muito grandes ou 
muito pequenos, tema que estudaremos a seguir.
Limites no infinito
Considere novamente a função f x
x
( )= 12 , cujo gráfico é apresentado na 
Figura 2.9. Observe que, tomando valores de x muito grandes, podemos 
obter valores de f x( ) próximos de zero, sendo que o mesmo ocorre quando 
x tende a valores muito pequenos. Quando realizamos esse tipo de estudo, 
empregamos as definições associadas a limites no infinito.
Nesse contexto, seja f uma função definida em um intervalo a,+∞( ) , 
podemos afirmar que lim ( )
x
f x L
→+∞
= significa dizer que os valores de f x( ) 
aproximam-se de L à medida que tomamos valores de x suficientemente 
grandes. Por outro lado, para f definida em −∞( ),a , afirmar que lim ( )
x
f x L
→−∞
=
implica dizer que os valores de f x( ) aproxima-se de L à medida que tomamos 
valores de x suficientemente pequenos. Usualmente, lê-se o trecho “ x→+∞
” como “x tendendo a mais infinito”, e o correlato “ x→−∞ ” como “x 
tendendo a menos infinito”.
92
Para as funções da forma f x
xn
( )= 1 , com n inteiro positivo, temos 
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
→+∞ →−∞
= = 0 . A partir desse resultado e empregando as opera-
ções envolvendo funções no limite, podemos investigar os limites de outras 
funções, como é o caso das polinomiais e racionais.
Exemplificando
Seja a função f x x
x
( )= −
−
11 2
2 13
, em que o polinômio do denominador tem 
grau maior que o polinômio do numerador. Note que, ao avaliar a 
função para x tendendo ao infinito, tanto o polinômio do numerador 
quanto do denominador tendem ao infinito, o que ocasionaria em uma 
indeterminação do tipo 
¥
¥
, cujo valor não pode ser avaliado. Por isso, 
para calcular o limite dessa função quando x tende ao infinito, emprega-
remos as propriedades dos limites e as manipulações algébricas da 
seguinte forma: para calcular lim ( ) lim
x x
f x x
x→∞ →∞
=
−
−






11 2
2 13
, iniciaremos 
dividindo todos os termos do numerador e denominador pelo monômio 
de mais alto grau dentre os termos dos dois polinômios, no caso, o do 
denominador x3( ) , obtendo, assim:
lim ( ) lim lim
x x x
f x x
x
x
x x
x
x
→∞ →∞ →∞
=
−
−





=
−11 2
2 1
11 2
23
3 3
3
33 3
2 3
3
1
11 2
2 1−






=
−
−



→∞
x
x x
x
x
lim




Da propriedade envolvendo limite do produto de função por constante, 
bem como utilizando a informação de que lim lim
x xx x→+∞ →+∞
= =
1 1 02 3 , 
temos:
lim
lim
x
xx x
x
x
→∞
→∞
−
−






=
⋅ − ⋅
11 2
2 1
11 1 22 3
3
2 llim
lim lim
x
x x
x
x
→∞
→∞ →∞
−
=
⋅ − ⋅
−
= =
1
2 1
11 0 2 0
2 0
0
2
0
3
3
Sendo assim, lim ( )
x
f x
→∞
= 0 . Logo, quando trabalhamos com funções 
racionais, em que o grau do polinômio presente no denominador é maior 
ou igual do que o grau do polinômio presente no numerador, podemos 
utilizar uma estratégia análoga em conjunto com informações a respeito 
das funções na forma f x
xn
( )= 1 , com n inteiro positivo. 
93
Com essa definição, podemos estudar as assíntotas horizontais a partir 
dos limites no infinito. Dessa forma, a reta y L= é caracterizada como uma 
assíntota horizontal da curva y f x= ( ) quando lim ( )
x
f x L
→+∞
= ou 
lim ( )
x
f x L
→−∞
= . Para o exemplo da função f x
x
( )= 12 , a reta y = 0 (eixo x) 
consiste em uma assíntota horizontal ao gráfico de f.
Reflita
O que podemos concluir a respeito das assíntotas horizontais das funções 
na forma f x
xn
( )= 1 , com n inteiro positivo? Como você justificaria sua 
resposta a essa questão?
Além das funções polinomiais e racionais, também podemos estudar os 
limites associados a funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, 
bem como de combinações de funções de diferentes categorias, desde que 
sejam empregadas as definições e propriedades corretamente.
Nesse sentido, considere o gráfico ilustrado na Figura 2.11(a), o qual 
representa a função exponencial f x ex( )= . Note que, tomando valores de x 
suficientemente grandes, temos que f x( ) tende ao infinito, sendo esse fato 
denotado por lim
x
xe
→∞
=∞ , ou seja, consiste em um caso de que o limite no 
infinito é infinito, possibilitando afirmar 
que f x( ) tende ao infinito quando x tende ao infinito. Por outro lado, quando 
analisamos x tendendo a valores muito pequenos, observamos que os valores 
de f x( ) aproximam-se de zero, o que indica que lim
x
xe
→−∞
= 0 .
Figura 2.11 | Gráficos de funções exponenciais e logarítmicas
Fonte: elaborada pela autora.
94
Agora, analisemos a Figura 2.11(b), a qual representa o gráfico da função 
g x x( ) ln( )= . Assim como na função exponencial, para a função g temos que, 
tomando valores de x suficientemente grandes, g x( ) tende ao infinito, ou 
seja, lim ln( )
x
x
→∞
=∞ . Como a função logarítmica é avaliada somente para 
valores de x positivos, então podemos avaliar apenas o limite à direita de 
zero, o qual é dado por lim ln( )
x
x
→ +
=−∞
0
.
Outro limite importante e que tem relação com o número de Euler, e, 
consiste em lim lim
x
x
x
x
x x
e
→+∞ →−∞
+





 = +





 =1
1 1 1 . Esse fato pode ser observado 
partir do gráfico de 1 1+





x
x
, ilustrado na Figura 2.12, na qual notamos a reta 
y e= como assíntota horizontal do gráfico dessa função. Com isso, podemos 
obter aproximações para o valor e, o qual é essencial para a constituição das 
funções exponencial e logarítmica naturais.
Figura 2.12 | Gráfico da função 1 1+





x
x
Fonte: elaborada pela autora.
Em relação às funções trigonométricas, temos que as funções trigonomé-
tricas seno e cosseno têm seus valores oscilando entre 1 e -1, sendo impos-sível determinar um limite quando tomamos x tendendo a valores muito 
grandes ou pequenos, logo, não existem os limites lim ( )
x
sen x
→+∞
, lim ( )
x
sen x
→−∞
, 
 e lim cos( )
x
x
→−∞
. Em relação à função tangente, temos a possibilidade, por 
95
exemplo, de avaliar os limites laterais em torno dos números reais nos quais 
ela não está definida, os quais também são dados por limites infinitos.
Atenção
No caso das funções seno e cosseno, o limite não existe. Porém, como 
o comportamento dessas funções trigonométricas, para valores muito 
grandes de x, é oscilante, não podemos indicar na notação que o limite 
é “igual a infinito”.
Dentre os principais limites envolvendo funções trigonométricas, temos 
o limite fundamental, o qual é dado por lim ( )
x
sen x
x→
=
0
1 . Para justificar esse 
limite, podemos empregar o teorema do confronto considerando a limitação 
cos( ) ( )x sen x
x
£ £1 para − ≤ ≤p p
2 2
x e x ¹0 . Com o emprego de mudanças 
de variáveis, também podemos, a partir do limite fundamental, calcular 
outros limites, como é o caso de lim ( )
x
sen x
x→
=
0
3 3 , estudado por meio da 
aplicação da mudança q= 3x ao limite fundamental.
É importante ressaltar que, apesar de utilizarmos as notações ¥ ou 
−∞ , quando afirmamos que o limite de uma função, em um ponto dado ou 
quando x tende a valores muito grandes em módulo, é igual a “infinito” ou a 
“menos infinito”, estamos dizendo que o limite não existe, porque ele só existe 
quando for igual a um número real. Assim, a igualdade envolvendo limite e 
infinito apenas indica um comportamento da função, cujo limite não existe.
O conhecimento dos limites é importante para possibilitar a identificação 
de informações a respeito de diferentes funções, oriundas de estudos teóricos 
ou práticos, contribuindo para a resolução dos mais variados problemas, 
sejam eles de natureza matemática ou associados a fenômenos reais.
Sem medo de errar
Dentre a equipe de jovens engenheiros que pretendem organizar e 
implantar a startup relacionada à indústria 4.0, você ficou responsável por 
desenvolver estudos teóricos que contribuam para o desenvolvimento do 
primeiro software a ser lançado por essa empresa. Assim, você deverá estudar 
os comportamentos de algumas funções conhecidas, em regiões específicas, 
para que possa comparar os resultados teóricos com as informações que 
forem geradas pelo software em desenvolvimento.
96
Analisando cada uma das funções apresentadas, podemos obter as 
seguintes informações:
• f x sen x( )= ⋅ +





3 2
p quando x tende a valores muito grandes.
Nesse caso, devemos calcular lim ( ) lim
x x
f x sen x
→∞ →∞
= ⋅ +













3 2
p . Observe que a 
função sen x+






p
2
 tem suas imagens variando entre -1 e 1, porque corres-
ponde à função seno. Sendo assim, f x sen x( )= ⋅ +





3 2
p tem suas imagens 
variando de -3 a 3, isto é, a função f tem seus valores oscilando entre -3 e 3, 
semelhante ao que ocorre com a função seno, o que indica que lim ( )
x
f x
→∞
 
não existe.
• g x tg x
x
( ) ( )= quando x tende a zero.
Devemos calcular lim ( )
x
tg x
x®0
. Sabemos, pelo limite fundamental, que 
lim ( )
x
sen x
x→
=
0
1 . Comparando a função g com o limite fundamental, 
podemos obter:
tg x
x
sen x
x
x
sen x
x x
sen x
x x
( )
( )
cos( ) ( )
cos( )
( )
cos( )
= = ⋅ = ⋅
1 1 .
Como lim cos( )
x
x
→
( )=
0
1 , então:
lim ( ) lim ( )
cos( )x x
tg x
x
sen x
x x→ →
= ⋅





= ⋅ =0 0
1 1 1 1 .
Isto é, lim ( )
x
tg x
x→
=
0
1 .
• h x x
x
( )= −
+
3 5
2 3
4
 quando x tende a valores muito grandes.
O objetivo é calcular lim ( ) lim
x x
h x x
x→∞ →∞
=
−
+






3 5
2 3
4
. Por se tratar de uma função 
racional, em que ambas as funções que compõem numerador e denominador 
de h tendem ao infinito quando x assume valores muito grandes, a avaliação 
direta de h resultaria em uma indeterminação do tipo ¥
¥
. Por isso, vamos 
97
empregar uma estratégia adequada para estudar o limite dessa função. Assim, 
inicialmente, analisaremos os graus dos polinômios presentes em seu 
numerador e seu denominador. Note que o polinômio no numerador tem 
grau 4, e no denominador, grau 1. Logo, o grau do polinômio do numerador 
é maior que o grau do polinômio no denominador. Devido a esse fato, os 
termos dominantes de cada polinômio serão os responsáveis por indicar o 
comportamento da função racional para valores muito grandes de x, isto é, os 
termos dos polinômios nos quais estão presentes as potências de maior grau 
de x. Nesse sentido, note que:
lim ( ) lim lim
x x x
h x x
x
x
x→∞ →∞ →∞
=
−
+






=





3 5
2 3
3
2
4 4

=





=∞→∞limx x
3
2
3
Assim, nos casos em que o grau do polinômio do numerador é maior que 
o grau do polinômio do denominador, temos funções racionais, cujos limites 
no infinito são infinitos.
• j x x
x x
( )= +
+ −
12 25
4 2 502
 quando x tende a valores muito pequenos.
No caso dessa função, o objetivo é avaliar lim ( ) lim
x x
j x x
x x→−∞ →−∞
=
+
+ −






12 25
4 2 502
. 
Note que as funções que ocupam o numerador e o denominador da função 
racional ambas tendem “ao infinito” para valores muito pequenos de x, o que 
ocasionaria uma indeterminação da forma ¥
¥
. Devido a esse fato, preci-
samos empregar uma estratégia adequada no estudo desse limite. Assim, 
iniciaremos pela divisão de numerador e denominador por x, porém, com 
uma consideração de que, se x <0 , então x x=− 2 . Desse modo:
j x x
x x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
( )= +
+ −
=
+
+ −
=
+
+ −
−
12 25
4 2 50
12 25
4 2 50
12 25
4 2 502 2 2
2
 =
+
−
+ −
=
+ ⋅
− + ⋅ − ⋅
12 25
4 2 50
12 25 1
4 2 1 50 1
2
2 2
x
x
x x
x
x
x x
Como lim lim
x xx x→−∞ →−∞
= =
1 1 02 , então:
98
lim ( ) lim lim
x x x
j x x
x x→−∞ →−∞ →−∞
=
+
+ −






=
+12 25
4 2 50
12
2
225 1
4 2 1 50 12
⋅
− + ⋅ − ⋅






x
x x
 = +
− + −
=
−
=
−
=−
12 0
4 0 0
12
4
12
2
6
Sendo assim, lim ( )
x
j x
→−∞
=−6 .
Portanto, a partir dos limites obtidos, é possível obter informações a 
respeito das funções em estudo e, quando necessário, comparar com dados e 
gráficos apresentados por softwares, como o da situação descrita.
Desse modo, para finalizar sua tarefa, organize um relatório contendo 
todos os dados coletados, apresentando com detalhes os procedimentos 
empregados para calcular os limites em questão, bem como observações e 
conclusões que podem ser construídas a partir desses estudos.
Avançando na prática
Aplicações do limite de funções exponenciais 
em situações práticas
As funções exponenciais são empregadas na modelagem, principalmente, 
de fenômenos, nos quais se verificam comportamentos associados a cresci-
mentos indefinidos ou a decrescimentos que tendem a algum tipo de assín-
tota horizontal.
Nesse contexto, suponha que você tenha sido contratado por um labora-
tório de análises clínicas para estudar fenômenos envolvendo substâncias 
químicas e suas respectivas meias vidas. Nesse contrato, você ficou respon-
sável por analisar como se dá a quantidade do isótopo plutônio-240 ao longo 
do tempo, sabendo que a quantidade dessa substância é dada por 
Q t Q e t( ) ,= −0
0 00011 , em que t é dado em anos, Q t( ) consiste na quantidade de 
substância em cada instante de tempo e Q0 corresponde à quantidade de 
substância no instante inicial. Qual será a quantidade do isótopo 240 do 
plutônio quando t→∞ ? Como você justificaria sua resposta? Construa 
também uma justificativa para o estudo da meia vida de outras substâncias 
químicas partindo da função geral f t ke t p( )= − , em que k e p são 
constantes positivas.
99
Resolução da situação-problema
Para analisar o comportamento da quantidade do isótopo 240 do plutônio, 
para t tendendo a valores muito grandes, faz-se necessário calcularo limite 
da função Q t Q e t( ) ,= −0 0 00011 no infinito. Sabemos que limx
xe
→∞
=∞ e, 
consequentemente, lim
x
bxe
→∞
=∞ para b um número real não nulo. Além 
disso, lim
x x→∞
=
1 0 . Considerando essas informações, teremos que:
lim ( ) lim lim, ,t t
t
t t
Q t Q e
Q
e→∞ →∞
−
→∞
= = =0
0 00011 0
0 00011 0
Assim, a quantidade de plutônio-240 tende a zero quando o tempo tende 
a valores muito grandes. De modo análogo, para uma substância qualquer, 
cuja quantidade seja descrita, no tempo, por f t ke t p( )= − , para k e p constantes 
positivas, tem-se que a quantidade tenderá a zero, para t tendendo ao infinito.
Desse modo, para finalizar essa tarefa, elabore um relatório que contemple 
todas as informações solicitadas pelo laboratório, complementando a 
resolução com todas as justificativas e os conceitos necessários.
Faça valer a pena
1. No estudo de um circuito elétrico mantido à temperatura constante, a 
partir da Lei de Ohm, sabe-se que, se uma voltagem de V volts é aplicada 
através de um resistor, o qual apresenta uma resistência de R ohms, pode-se 
afirmar que uma corrente dada por I V
R
= e medida em ampères circulará 
através do resistor.
Existem materiais que, quando sua temperatura tende ao zero absoluto 
(-273 °C), oferecem resistências à corrente elétrica, tendendo a zero, 
sendo chamados de supercondutores..
Mantendo a voltagem constante em um circuito, e com base na lei de Ohm, 
o que se pode afirmar a respeito da corrente em um supercondutor quando a 
resistência tende a zero à direita, ou R→ +0 ?
a. A corrente tende a zero.
b. A corrente tende a uma constante negativa.
c. A corrente tende a uma constante positiva.
d. A corrente não existe.
100
e. A corrente tende ao infinito.
2. Quando estudamos limites no infinito, isto é, quando tomamos valores do 
domínio muito grandes ou muito pequenos, temos interesse em determinar 
o comportamento da função quando tendemos os valores de seu domínio 
ao “infinito” ou ao “menos infinito”. Assim, em ambas as situações, como 
estamos lidando com a noção de infinito, precisamos empregar estratégias 
adequadas ao cálculo dos limites envolvidos. 
Nesse sentido, analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas:
I. O limite da função f x x x
x x
( )= − +
+ −
5 3 7
4 2
3
5 , quando x tende a valores 
muito pequenos, não existe.
PORQUE
II. A avaliação direta do limite resultaria em uma indeterminação do 
tipo ¥
¥
.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica 
a I.
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II justifica a I.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II, falsa.
d. A asserção I é uma proposição falsa, e a II, verdadeira.
e. As asserções I e II são proposições falsas. 
3. Os limites no infinito podem ser aplicados quando desejamos deter-
minar, por exemplo, qual é o comportamento de uma função que descreve a 
população de determinada espécie em uma região, dada em função do tempo, 
quando tomamos valores de tempo muito grandes. Nesse caso, é importante 
avaliar a existência de limites, as propriedades que podem ser aplicadas, não 
utilizando procedimentos que ocasionem indeterminações.
Com base nesse tema, e considerando o estudo apenas dos valores positivos 
dos domínios das funções, julgue as afirmativas a seguir em verdadeiras (V) 
ou falsas (F):
( ) Quando calculamos o limite, no infinito, para funções polinomiais não 
constantes, independentemente do grau, ele será sempre infinito.
101
( ) Quando calculamos o limite, no infinito, para funções racionais, indepen-
dentemente do grau, ele será sempre constante e igual a zero.
( ) Quando calculamos o limite, no infinito, para as funções trigonométricas 
seno e cosseno, ele sempre será igual a zero.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
a. V – V – F.
b. V – F – V.
c. V – F – F.
d. F – V – F.
e. F – F – V. 
102
Seção 3
Continuidade de funções
Diálogo aberto
Uma das aplicações do estudo dos limites de funções consiste na avaliação 
da continuidade, a qual corresponde a uma propriedade das funções que, 
intuitivamente, pode ser entendida como a ausência de interrupções ou 
lacunas nos gráficos correspondentes. Quando classificamos uma função 
como contínua em seu domínio, por exemplo, temos a possibilidade de 
avaliar derivadas e integrais em todos os pontos do domínio, empregar deter-
minadas estratégias para identificar raízes, entre outros. E quando temos as 
funções descontínuas, podemos realizar outros tipos de estudos correspon-
dentes a essa classificação. Assim, o conceito de continuidade de funções 
pode contribuir com a resolução de problemas por meio da avaliação das 
propriedades dos modelos matemáticos associados.
Nesse sentido, para o estudo da continuidade de funções, considere que 
você integra um grupo de jovens engenheiros interessados em organizar e 
implantar uma startup. Nesse trabalho, o objetivo é desenvolver e fornecer 
softwares que contribuam para projetos relativos à indústria 4.0, principal-
mente no que se refere a acompanhar o funcionamento de máquinas por 
meio da realização de coletas de dados via sensores e avaliação das funções 
geradas a partir desses dados.
Para um dos projetos em desenvolvimento, você foi indicado como o 
responsável por realizar os estudos teóricos que possibilitarão a validação do 
software em desenvolvimento. Por se tratar de um projeto voltado a circuitos 
elétricos, é necessário implementar nesse software funcionalidades que 
permitam avaliar funções contínuas e descontínuas.
Assim, sua tarefa, nesse projeto, consiste em avaliar as seguintes funções, 
as quais serão essenciais para a validação dos resultados obtidos por meio 
do software:
• Função f, a partir de sua lei de formação: f x
x x
x
x
x
( ) ,
,
=
− −
−
≠
=





2 2
2
2
3 2
 
 
.
• Função g, a partir de sua lei de formação: g x
x x
x
( )
,
,
=
− < <
=±




 
 
1 1
0 1
 , esten-
dida de modo a considerar g x g x( ) ( )+ =2 para todo x Î . 
103
• Função h, por meio de seu gráfico, o qual é descrito na Figura 2.13.
Figura 2.13 | Representação gráfica para a função h
Fonte: elaborada pela autora.
Como você avaliaria cada função com base no conceito de continuidade? 
E no caso de serem descontínuas, qual tipo de descontinuidade poderá ser 
encontrada? Como você resolveria esse problema? Prossiga em seus estudos 
e confira os conceitos necessários para cumprir o desafio proposto!
Não pode faltar
Podemos estudar o limite de uma função, em torno de um ponto fixado, 
o qual pode pertencer ou não ao domínio da função em estudo. Porém, para 
que possamos avaliar a continuidade de uma função, é importante consi-
derar que o ponto fixado a pertença ao domínio da função em estudo, pois 
precisamos comparar valores obtidos a partir do cálculo de limites com as 
imagens dos pontos fixados pelas funções em estudo. Vejamos a seguir os 
critérios necessários para a construção de funções contínuas.
Funções contínuas
Intuitivamente, a continuidade de uma função tem relação com a 
ausência de lacunas, saltos ou interrupções em seu gráfico. Por essa análise, 
podemos intuir, por exemplo, que a função ilustrada na Figura 2.14(a) seria 
um exemplo de função contínua, enquanto a função representada na Figura 
2.14(b) seria um exemplo de função descontínua. No entanto, como podemos 
justificar esse fato do ponto de vista teórico? Como podemos definir uma 
função contínua?
104
Figura 2.14 | Comportamento gráfico de funções contínuas e descontínuas
 
Fonte: elaborada pela autora.
Para a definição de função contínua temos, inicialmente, uma função real 
f e um valor a pertencente ao seu domínio. Dizemos que a função f é contínua 
em x a= quando lim ( ) ( )
x a
f x f a
→
= .
Assimile
Note que a definição de continuidade de uma função envolve a ocorrência 
de três condições: f está definida em a, ou f a( ) estádefinida; lim ( )
x a
f x
®
 
existe; e lim ( ) ( )
x a
f x f a
→
= .
Considere, por exemplo, a função real cuja lei de formação é f x x( )= −2 1 . 
Note que a função f está definida em x =1 , de modo que:
f ( )1 2 1 1 2 1 1= ⋅ − = − = .
Além disso, o limite bilateral de f existe em x =1 e é tal que:
lim ( ) lim ( )
x x
f x x f
→ →
= −( )= ⋅ − = − = =
1 1
2 1 2 1 1 2 1 1 1
Portanto, a função f é contínua em x =1 , porque lim ( ) ( )
x
f x f
→
=
1
1 . Note 
que a função f, além do ponto indicado, é contínua em todos os pontos do seu 
domínio, isto é, é contínua em todo o conjunto dos números reais. Sendo 
assim, podemos afirmar que f é contínua em  .
Nesse contexto, dizemos que f é uma função contínua em um intervalo 
do tipo a b,( ) , com a e b números reais, se f for contínua em todos os números 
do intervalo. No caso do exemplo anterior, tomamos o intervalo como sendo 
o conjunto de números reais por completo.
Dentre as funções contínuas, podemos destacar como exemplos as 
funções afim, quadráticas, exponenciais, logarítmicas, seno e cosseno. 
105
Além disso, por meio das operações de adição, multiplicação e composição, 
podemos partir de funções contínuas de modo a construir outras funções 
que também apresentam essa mesma característica.
No caso das funções racionais, a continuidade ocorre para os intervalos 
nos quais os denominadores não se anulam, conforme o seguinte exemplo.
Exemplificando
Seja a função real cuja lei de formação é f x x
x
( )= −
+
2 1
1
. Note que a 
função f está definida para todos os números reais diferentes de -1, isto 
é, seu domínio é descrito por D f x x( )= ∈ ≠−{ } 1 . Sendo assim, a 
função f será contínua em todo o seu domínio, ou seja, para todos os 
reais diferentes de -1. Por exemplo, tomando o número x D f= ∈3 ( ) 
podemos observar que:
f ( )3 3 1
3 1
8
4
2
2
=
−
+
= =
lim ( ) lim
x x
f x x
x→ →
=
−
+






=
−
+
= =
3 3
2 21
1
3 1
3 1
8
4
2
Logo, como lim ( ) ( )
x
f x f
→
=
3
3 , podemos concluir que f é contínua em 
x = 3 . Um argumento análogo pode ser empregado para provar que f 
será contínua em cada um dos pontos de seu domínio D f( ) . 
A continuidade também pode ser avaliada à esquerda ou à direita em um 
ponto a, de modo análogo às relações existentes entre limites bilaterais e limites 
laterais. Nesse caso, f é contínua à direta em um valor a quando lim ( ) ( )
x a
f x f a
→ +
= , 
sendo contínua à esquerda de a no caso em que lim ( ) ( )
x a
f x f a
→ −
= .
Nesse contexto, analisemos a função f, definida por partes, a qual é apresentada 
a seguir:
f x
x x
x
x x
( )
,
,
,
=
<
≤ ≤
>





 se 
 se 
 se 
1
2 1 2
2
O gráfico dessa função f é ilustrado na Figura 2.15.
106
Figura 2.15 | Gráfico da função f definida por partes
Fonte: elaborada pela autora.
As funções g x x( )= e h x( )= 2 são contínuas em seus domínios, donde 
segue que f é contínua, exceto, possivelmente, em x =1 e x = 2 , que 
consistem nos pontos de transição da função definida por partes. 
Analisando os limites laterais em x =1 podemos observar que lim ( )
x
f x
→ −
=
1
1 
e lim ( )
x
f x
→ +
=
1
2 , o que indica que o limite de f não existe em torno de x =1 , 
assim, não podemos avaliar a continuidade de f nesse ponto. No entanto, 
note que f ( )1 2= , então lim ( ) ( )
x
f x f
→ +
=
1
1 , isto é, podemos dizer que a função f 
é contínua à direita em x =1 .
Por outro lado, em x = 2 temos que lim ( )
x
f x
→ −
=
2
2 e lim ( )
x
f x
→ +
=
2
2 , o que 
comprova a existência do limite, com lim ( )
x
f x
→
=
2
2 . Além disso, como f ( )2 2= 
e lim ( ) ( )
x
f x f
→
=
2
2 , então podemos concluir que f é contínua em x = 2 .
Reflita
No contexto da existência da continuidade para funções reais, qual 
exemplo você destacaria de função contínua à esquerda em um ponto 
de seu domínio? Você conseguiria construir um exemplo de função que 
atenda a esse critério?
Com a caracterização das continuidades à direita e à esquerda, podemos 
afirmar que uma função f será contínua em um intervalo fechado do tipo 
107
a b,[ ] , com a e b reais, quando f for contínua no intervalo a b,( ) , f for contínua 
à direita em a e contínua à esquerda em b.
Exemplificando
Seja a função f x x( )= −4 2 , cujo gráfico é ilustrado na Figura 2.16 e 
cujo domínio é descrito pelo intervalo fechado D f( ) ,= −[ ]2 2 . Para 
analisar a continuidade de f em seu domínio, devemos analisar a conti-
nuidade de f no intervalo aberto −( )2 2, , além das continuidades nos 
dois extremos. 
Figura 2.16 | Gráfico da função f x x( )= −4 2
Fonte: elaborada pela autora.
Em relação ao intervalo aberto −( )2 2, , note que se tomarmos qualquer 
número real c tal que c∈ −( )2 2, então:
lim ( ) lim lim ( )
x c x c x c
f x x x c f c
→ → →
= − = −( )= − =4 4 42 2 2
Sendo assim, f é contínua em todos os pontos do intervalo aberto 
−( )2 2, . Além disso, a continuidade nas extremidades 2 e -2 também 
são verificadas, pois:
lim ( ) lim lim ( )
x x x
f x x x f
→ → →− − −
= − = −( )= =
2 2
2
2
24 4 0 2
lim ( ) lim lim ( )
x x x
f x x x f
→− →− →−+ + +
= − = −( )= = −
2 2
2
2
24 4 0 2
Portanto, f é contínua no intervalo fechado, o que implica f ser contínua 
em todo o seu domínio. 
Assim, quando desejamos avaliar a continuidade de funções, preci-
samos avaliar em quais pontos ou conjuntos desejamos estudar esse tipo 
108
de comportamento. No entanto, quando nos referimos às categorias de 
funções mais utilizadas, temos a verificação da continuidade em seus respec-
tivos domínios.
Assimile
Dentre as principais funções que podemos estudar, podemos afirmar que 
são contínuas em seus respectivos domínios as funções das seguintes 
categorias: funções polinomiais, racionais, raízes, exponenciais, 
logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas.
Como nem todas as funções são contínuas em todos os valores reais, um 
outro conceito essencial para o estudo do comportamento de funções em 
seus domínios é a definição de função descontínua, bem como dos tipos de 
descontinuidades, como veremos a seguir.
Funções descontínuas e tipos de descontinuidades
Dada uma função real f e um ponto fixado a, pertencente ou não ao 
domínio de f, dizemos que f é descontínua em a, ou f tem uma desconti-
nuidade em a, quando f não for contínua em a. Dentre as possíveis descon-
tinuidades que podem ocorrer temos as removíveis, as de salto e as infinitas. 
Verifiquemos alguns exemplos de funções descontínuas e os tipos de descon-
tinuidades correspondentes.
Seja a função trigonométrica tangente, f x tg x( ) ( )= , cujo gráfico é 
ilustrado na Figura 2.17.
Figura 2.17 | Gráfico da função tangente
Fonte: elaborada pela autora.
109
Note que o valor x =p 2 não pertence ao domínio da função tangente, 
pois a tangente não está definida para esse valor. Logo, a função tangente não 
é contínua em x =p 2 . Nesse sentido, a função tangente apresenta uma 
descontinuidade em x =p 2 , a qual é caracterizada como uma descontinui-
dade infinita, porque ao calcular os limites laterais em x =p 2 observamos 
que lim ( )
x
tg x
→
−
=+∞
p
2
 e lim ( )
x
tg x
→
+
=−∞
p
2
, isto é, os limites laterais são infinitos.
Um outro exemplo de função descontínua que podemos destacar é 
f x x
x
( )= −
−
2 4
2
, cujo gráfico é apresentado na Figura 2.18. 
Figura 2.18 | Gráfico da função f x x
x
( )= −
−
2 4
2
Fonte: elaborada pela autora.
Note que f é descontínua em x = 2 , visto que f ( )2 não está definida. No 
entanto, avaliando o limite de f em x = 2 , e sabendo que 
x x x2 4 2 2− = +( ) −( ) , obtemos:
lim ( ) lim lim
x x x
f x x
x
x x
x→ → →
=
−
−






=
+( ) −( )
−


2 2
2
2
4
2
2 2
2








= +( )= + =
→
lim
x
x
2
2 2 2 4
Observe então que, apesar de f não estar definida em x = 2 , o limite de f 
em torno desse ponto existe. Porém, observe que a partir de f, se definirmos 
uma função g de modo que:
g x
f x x
x
( )
( ),
,
=
≠
=



2
4 2
110
então g será uma função contínua. Desse modo, observe que ao estender a 
função f, podemos construir uma nova função que será contínua em todo o 
 por meio do preenchimento do “buraco” presente no gráfico de f. Esse é 
um exemplo de uma descontinuidade removível. Observe que nesse tipo de 
descontinuidade temos um ponto, no qual a função não está definida, mas 
em torno do qual o limite bilateral da função existe, de modo que ao completar 
a definição da função adequadamente podemos torná-la em uma 
função contínua.
Uma terceira situação possível corresponde à descontinuidade do tipo 
salto. Nesse caso, podemos destacar, por exemplo, a função f x
x
x
( )= para 
x ¹0 , definida com base na função módulo, cujo gráfico é apresentado na 
Figura 2.19. 
Figura 2.19 | Gráfico da função f x
x
x
( )= para x ¹0
Fonte: elaborada pela autora.
Note que f é descontínua em x = 0 , porque não está definida nesse ponto, 
porém, podemos estudar os limites laterais em torno dele: 
lim ( ) lim
x x
f x x
x→ →− −
=
−
=−
0 0
1 e lim ( ) lim
x x
f x x
x→ →+ +
= =
0 0
1 . Assim, para f, os limites 
laterais em torno de x = 0 existem, mas são diferentes. Nesse caso, não temos 
uma descontinuidade removível, porque não é possível “completar” a 
definição de f de modo a torná-la contínua, devido ao fato de os limites 
laterais serem distintos. Desse modo, uma descontinuidade do tipo salto tem 
111
a característica de que a função, em um ponto, apresenta os limites laterais 
iguais a números reais distintos, o que impossibilita a conversão em uma 
função contínua.
Reflita
Você conseguiria construir um exemplo de função que apresenta os três 
tipos de descontinuidades, em três valores reais distintos? Qual seria o 
esboço do gráfico dessa função e qual análise você faria, com base nos 
conceitos teóricos?
Relacionado ao estudo das funções contínuas, um dos principais resul-
tados associados a essa temática é o teorema do valor intermediário, cujo 
enunciado é apresentado a seguir.
Teorema 2.2 (Teorema do valor intermediário): se f é uma função 
contínua em um intervalo fechado a b,[ ] , com a e b números reais, e k é um 
número real qualquer entre f a( ) e f b( ) , então existe no mínimo um número 
c a b∈[ ], tal que f c k( )= .
Na Figura 2.20 é apresentado um gráfico que ilustra uma situação na 
qual o teorema do valor intermediário é verificado, sendo necessariamente a 
função f contínua.
Figura 2.20 | Ilustração para o teorema do valor intermediário
Fonte: elaborada pela autora.
Uma das aplicações desse teorema consiste no estudo das raízes de 
funções contínuas, como podemos observar no seguinte exemplo.
112
Exemplificando
Seja a função polinomial f x x x x( )= − + −4 3 23 2 . Queremos deter-
minar um intervalo no domínio de f que contenha uma raiz dessa 
função. Observe que ao tomar x = 2 e x = 3 obtemos:
f ( )2 2 3 2 2 2 6 04 3 2= − ⋅ + − =− <
f ( )3 3 3 3 3 2 7 04 3 2= − ⋅ + − = >
Como a função f é contínua, pelo teorema do valor intermediário 
podemos afirmar que existe um número c entre 2 e 3 tal que f c( )= 0 , 
isto é, a função f tem uma raiz no intervalo 2 3,[ ] contido em seu 
domínio. 
A partir do exemplo anterior, perceba a importância da continuidade da 
função para esse resultado, porque se a função apresentasse, por exemplo, 
uma descontinuidade do tipo salto, não teríamos a garantia de que a função 
teria uma raiz.
A continuidade é um conceito essencial no estudo das funções, contri-
buindo para a obtenção de informações a respeito da função ao longo de seu 
domínio, propiciando, por exemplo, a representação de fenômenos por meio 
de funções adequadas às suas características e que possam ser estudadas com 
base nas mais variadas ferramentas desenvolvidas pela Matemática, contri-
buindo, assim, para a resolução de problemas reais.
Sem medo de errar
Para cumprir o desafio proposto, realizando o estudo teórico de cada 
uma das funções apresentadas e que serão essenciais para a validação dos 
resultados produzidos pelos softwares, é necessário empregar os conceitos 
de limite, continuidade e descontinuidade, bem como das classificações das 
descontinuidades. Nesse sentido, vejamos a seguir as características de cada 
uma das funções em discussão:
• Função f, a partir de sua lei de formação: f x
x x
x
x
x
( ) ,
,
=
− −
−
≠
=





2 2
2
2
3 2
 
 
.
Para estudarmos a função f quanto à continuidade, analisemos inicial-
mente a sua definição para x real e diferente de 2. Note que a razão x x
x
2 2
2
- -
-
 
é tal que seu denominador não se anula para valores reais x ¹ 2 , logo, a 
função f é contínua para os intervalos ( , )−∞ 2 e ( , )2 +∞ , por se tratar de uma 
113
função racional. Vejamos agora para x = 2 . Por um lado, pela definição 
temos que f ( )2 3= e, por outro lado, calculando os limites laterais em torno 
desse ponto obtemos:
lim ( ) lim lim ( )( ) lim(
x x x x
f x x x
x
x x
x→ → → →− − − −
=
− −
−
=
+ −
−
=
2 2
2
2 2
2
2
1 2
2
xx+ =1 3)
lim ( ) lim lim ( )( ) lim(
x x x x
f x x x
x
x x
x→ → → →+ + + +
=
− −
−
=
+ −
−
=
2 2
2
2 2
2
2
1 2
2
xx+ =1 3)
Como os limites laterais existem e são iguais entre si, além de coincidirem 
com a imagem de f em x = 2 , podemos concluir que a f é contínua nesse 
ponto. Dessa forma, podemos concluir que a função f é contínua em todo o 
seu domínio, o qual é dado por  .
Função g, a partir de sua lei de formação: g x
x x
x
( )
,
,
=
− < <
=±




 
 
1 1
0 1
 , estendida 
de modo a considerar g x g x( ) ( )+ =2 para todo x Î . 
• A função g pode também ser conhecida pela nomenclatura “onda 
dente de serra” ou função “dente de serra”, cuja representação gráfica 
é dada na Figura 2.21.
Figura 2.21 | Gráfico para a função dente de serra
Fonte: elaborada pela autora.
Note que a função g é descontínua em pontos na forma x n= −2 1 , com n 
inteiro, isto é, em todos os números inteiros ímpares, sejam eles negativos ou 
positivos. Veja que nesses pontos os limites laterais existem, mas são 
diferentes, como é o caso de x =1 , por exemplo, em que g( )1 0= , lim ( )
x
g x
→ −
=
1
1 
e lim ( )
x
g x
→ −
=−
1
1 . Logo, em cada um desses pontos a função é descontínua, 
apresentando pontos de descontinuidade do tipo salto.
114
• Função h:
Conforme verificado no gráfico da função h, presente na Figura 2.13, a 
função h é descontínua, considerando seu domínio descrito pelo conjunto de 
números reais. Pontos de descontinuidades podem ser observados para 
x=−4 , x=−2 , x = 3 e x = 5 . Vejamos a seguir as características apresen-
tadas por h em torno de cada um desses pontos: 
• Para x=−4 : os limites laterais de h nesse ponto existem e são iguais, 
sendo lim ( ) lim ( )
x x
h x h x
→− →−− +
= =
4 4
2 , no entanto temos que h( )− =4 0 , o 
que difere dos limites laterais, possibilitando concluir que x=−4 é 
um ponto de descontinuidade de h. Além disso, nesse ponto temos 
uma descontinuidade removível, visto que a função está definida em 
x=−4 , os limites laterais em torno desse ponto existem e são iguais, 
apesar de os valores obtidos pela função e pelo limite serem diferentes 
entre si em x=−4 .
• Para x=−2 : os limites laterais de h nesse ponto existem e são iguais, 
sendo tais que lim ( ) lim ( )
x x
h x h x
→− →−− +
=− =
2 2
1 . Porém, note que a função h 
não está definida nesse ponto, de modo que a função h apresenta uma 
descontinuidade em x=−2 . Note que essa descontinuidade é do tipo 
removível, porque como os limites laterais existem e são iguais para 
x=−2 , mas a função não está definida nesse ponto, se estendermos 
a definição dessa função de modo que a imagem de x=−2 seja igual 
aos limites laterais de h em torno desse ponto, teremos x=−2 como 
sendo um ponto de continuidade no domínio de h.
• Para x = 3 : os limites laterais de h nesse ponto existem e são iguais, 
sendo lim ( ) lim ( )
x x
h x h x
→ →− +
= =
3 3
2 , no entanto temos que h( )3 0= , o que 
difere dos limites laterais, possibilitandoconcluir que x = 3 é um 
ponto de descontinuidade de h. Além disso, nesse ponto temos uma 
descontinuidade removível, pois a função está definida em x = 3 , os 
limites laterais em torno desse ponto existem e são iguais, apesar de os 
valores obtidos pela função e pelo limite serem diferentes entre si em 
x = 3 .
• Para x = 5 : esse ponto configura-se como uma descontinuidade 
infinita, pois ao calcularmos os limites laterais de h em torno desse 
ponto podemos obter lim ( )
x
h x
→ −
=+∞
5
 e lim ( )
x
h x
→ +
=−∞
5
, enquanto 
h( )5 2= . Dessa forma, a função h é descontínua em x = 5 , sendo essa 
descontinuidade do tipo infinita.
115
Assim, a continuidade de h pode ser observada em todos os valores reais, 
com exceção de x=−4 , x=−2 , x = 3 e x = 5 .
Após realizar os estudos necessários, finalize o desafio proposto elabo-
rando um relatório que contemple todos os conceitos e justificativas neces-
sárias para a classificação das funções em questão a respeito da continuidade 
e que possam contribuir para a análise e validação das informações geradas 
pelo software para essas e para outras funções.
Avançando na prática
Estudo da função de Heaviside
A função de Heaviside, também chamada de função degrau unitário, cuja 
lei de formação é dada por H x
x c
x cc
( )
,
,
=
<
≥




0
1
 
 
, em que c é um número real, é 
muito utilizada no campo das ciências exatas e engenharias, por contribuir 
para a descrição de diversos fenômenos, dentre os quais podemos citar, por 
exemplo, a passagem de correntes elétricas em circuitos submetidos a chaves 
que são ligadas e desligadas mediante determinadas condições.
Considere que durante a resolução de um problema envolvendo correntes 
elétricas você deparou-se com essa função e precisa obter algumas conclu-
sões a partir de seu comportamento. Para isso, construa o gráfico da função 
de Heaviside e, utilizando os conhecimentos a respeito de limites e conti-
nuidade, determine onde a função de Heaviside é contínua, justificando sua 
resposta. Como você resolveria esse desafio?
Resolução da situação-problema
A função de Heaviside tem domínio  e lei de formação H x
x c
x cc
( )
,
,
=
<
≥




0
1
 
 
 
para c real. Como c pode assumir valores positivos, negativos ou nulos, o 
gráfico da função de Heaviside pode assumir uma das formas ilustradas na 
Figura 2.22.
116
Figura 2.22 | Gráficos para a função de Heaviside
Fonte: elaborada pela autora.
Independentemente do valor assumido por c, temos que x c= consiste 
em um ponto de descontinuidade do tipo salto. De fato, vamos analisar os 
limites laterais dessa função em c:
lim ( )
x c
cH x
→ −
= 0 e lim ( )
x c
cH x
→ +
=1
Logo, como os limites existem e são diferentes, então não existe o limite 
da função em x c= . Além disso, temos que H cc ( )=1 . Desse modo, temos 
que a função de Heaviside está definida em c, mas como os limites laterais 
existem e são diferentes, então a função é descontínua em x c= com uma 
descontinuidade do tipo salto. Portanto, a continuidade da função se dá nos 
intervalos −∞( ),c e c,+∞( ) , isto é, em todos os números reais diferentes de 
c, além de apresentar continuidade à direita em x c= , porque 
lim ( ) ( )
x c
c cH x H c
→ +
= =1 , o que conclui o desafio proposto.
Faça valer a pena
1. A continuidade é uma característica de funções reais, avaliada com base 
no conceito de limite e suas propriedades, sendo necessário relacionar o 
cálculo de limites com os domínios e imagens das funções reais em estudo.
Diante desse tema, analise a figura a seguir, na qual é ilustrado o gráfico de 
uma função real f:
117
Fonte: elaborada pela autora.
Com base nas informações presentes no gráfico de f, assinale a alternativa 
que indica corretamente um valor de x no qual a função f é contínua:
a. x=−4 .
b. x=−1 .
c. x = 3 .
d. x = 5 .
e. x = 8 .
2. As funções contínuas apresentam a propriedade de igualdade entre 
limites e imagens em seus pontos de continuidade, enquanto as funções 
descontínuas são tais que seus gráficos podem apresentar interrupções ou 
saltos em determinados pontos chamados de descontinuidades.
Diante desse tema, analise a função f : −{ }→1 definida por:
f x
x
x
( )=
−( )
−
1
1
2
A partir da função apresentada, analise as seguintes asserções e a relação 
proposta entre elas
I. A função real g : ® dada por:
g x
f x x
x
( )
( ),
,
=
≠
=




 
 
1
0 1
pode ser classificada como uma função contínua.
118
PORQUE
II. A função f apresenta uma descontinuidade do tipo salto em x =1 .
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica 
a I.
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa.
d. A asserção I é uma proposição falsa e a II, verdadeira.
e. As asserções I e II são proposições falsas.
3. Quando estudamos funções descontínuas, podemos classificar os pontos 
de descontinuidades de acordo com o comportamento da função em torno 
deles. Assim, podemos identificar as descontinuidades infinitas, removíveis 
e do tipo salto.
Em relação a esse tema, analise as seguintes afirmações:
I. A função real f definida por:
f x
x x
x x
( )
,
,
=
+ <
≥





2
3
4 2
2
 
 
apresenta uma descontinuidade removível em x = 2 .
II. A função real g definida por:
g x
x x
x x
( )
,
,
=
+ <
≥





2
3
5 2
2
 
 
apresenta uma descontinuidade do tipo salto em x = 2 .
III. A função real h definida por:
h x
x x
x x
( )
,
,
=
− <
− >




1 1
1 12
 
 
apresenta uma descontinuidade removível em x =1 .
IV. A função real j definida por:
j x x
x
x
( )
,
,
= +
≠−
=−





1
1
1
0 1
 
 
apresenta uma descontinuidade infinita em x=−1 .
119
Está correto o que se afirma apenas em:
a. I e II.
b. II e III.
c. I, II e IV.
d. I, III e IV.
e. II, III e IV.
120
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. Disponível 
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/cfi/129!/4/4@0.00:0.00. 
Acesso em: 12 dez. 2019.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limites, derivação e integração. 6. 
ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo: volume 1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo a uma e várias variáveis: volume 1. Rio de Janeiro: 
LTC, 2011.
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo: volume 1. 3 ed. Porto Alegre: Bookman, 2018.
ROQUE, T. História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio de 
Janeiro: Jorge Zahar, 2012.
STEWART, J. Cálculo: volume I. São Paulo: Cengage Learning, 2016. Disponível em: https://
integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/cfi/106!/4/4@0.00:54.3. Acesso em: 
22 nov. 2019.
THOMAS, G. B. et al. Cálculo: volume 1. 12 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/cfi/129!/4/4@0.00:0.00
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/cfi/106!/4/4@0.00:54.3
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/cfi/106!/4/4@0.00:54.3
Unidade 3
Alessandra Negrini Dalla Barba
Derivadas e regras de derivação
Convite ao estudo
Caro aluno, nesta unidade estudaremos um dos principais conceitos 
pertencentes ao Cálculo Diferencial e Integral: a derivada. Esse conceito está 
presente na estruturação de diversos campos da Matemática, bem como na 
Física e Engenharias, entre outros, no que se refere à formulação de ferra-
mentas e estratégias para a construção e estudo de modelos matemáticos, 
os quais são elaborados com o intuito de contribuírem para a resolução de 
problemas reais. 
Nesse contexto, quando desejamos, por exemplo, estudar fenômenos 
envolvendo taxas de variação, como velocidade, meia-vida de substâncias 
radioativas, quantidade de espécies em dado local, vazão de fluidos em 
tubulações, geração de correnteelétrica em condutores de eletricidade, isola-
mento térmico de materiais etc., a derivada consiste em um conceito funda-
mental na construção das equações que compõem os modelos matemáticos 
correspondentes. E se podemos interpretar um fenômeno real matematica-
mente, por meio de um modelo, a partir da identificação da solução matemá-
tica correspondente, podemos determinar uma solução coerente com o 
fenômeno real em estudo.
No estudo das derivadas, a definição de função, com suas propriedades 
e categorias principais, bem como a definição de limites e as estratégias de 
cálculo correspondentes são conceitos indispensáveis, visto que a derivada, 
que pode ser interpretada como uma função, é definida a partir de um limite, 
o qual deve existir conforme os critérios associados.
Sendo assim, para que possamos construir modelos e interpretar correta-
mente situações com base na definição de derivada, devemos, inicialmente, 
conhecer seus fundamentos, as propriedades correspondentes, observando 
os diferentes significados que ela pode assumir conforme o contexto, de 
modo a possibilitar sua aplicação no estudo de problemas reais.
Assim, nesta unidade iniciaremos a primeira seção discutindo a respeito 
da definição de derivada, com base nos conceitos de função e limite, obser-
vando sua aplicação no estudo de taxas de variação e velocidade, e na 
determinação de retas tangentes a curvas, bem como analisando a relação 
que pode ser estabelecida entre função, derivada e continuidade, identifi-
cando algumas das regras de derivação que podem ser empregadas quando 
desejamos determinar a derivada associada a uma função. Na segunda seção, 
daremos continuidade ao estudo das regras de derivação, observando como 
o conceito de derivada se aplica no estudo das funções trigonométricas, 
exponenciais e logarítmicas. Por fim, na terceira seção, estudaremos a regra 
de derivação relativa às funções compostas, além da derivação implícita 
associada a funções deriváveis. 
Nesse sentido, prossiga em seus estudos, analisando todos os principais 
conceitos e propriedades relativos às derivadas, refletindo a respeito de sua 
aplicabilidade no estudo da Matemática e na resolução de problemas prove-
nientes dos mais diversos campos do conhecimento. 
Bons estudos! 
124
Seção 1
Introdução às derivadas
Diálogo aberto
No Cálculo Diferencial e Integral, um dos conceitos que podemos 
destacar, pela sua importância nessa área, é o de derivada. No entanto, 
apesar de compor um dos campos da Matemática, sua aplicação se dá nas 
mais variadas áreas, como nas Engenharias, Física, Biologia, Geografia e 
Economia, entre outras, tendo como principal aplicação a descrição de 
fenômenos relacionados a taxas de variação. Nesse sentido, vamos estudar 
a definição de derivada, tomando por base os conceitos de função e limite, 
devido à sua importância tanto na caracterização de uma derivada em um 
ponto quanto para a derivada enquanto função. 
Para esse estudo, considere que você foi contratado para o setor de 
pesquisa e desenvolvimento de uma empresa de tecnologias que atua no 
ramo de atendimento a empresas, escritórios e indústrias, fornecendo 
soluções para diversos problemas por meio de softwares. Nessa empresa, 
você é responsável por realizar estudos teóricos, envolvendo conceitos 
matemáticos, essenciais para que o setor de computação possa desenvolver 
os algoritmos e implementar os softwares que serão entregues aos clientes.
Considere que você esteja atuando em dois projetos diferentes, solici-
tados por uma mesma indústria de materiais hidráulicos, sendo o primeiro 
associado à construção de modelos e o segundo, voltado ao setor financeiro 
dessa empresa.
Para o primeiro projeto, você precisa auxiliar na construção de modelos por 
meio da interpretação de algumas situações e sua correspondente representação 
em linguagem matemática. Nesse caso, você deve analisar as seguintes situações 
e representá-las adequadamente a partir dos conceitos de função e derivada:
• Água escoando através de um cano a uma taxa constante de 10 cm3 
por segundo.
• A taxa de variação do volume de água em um reservatório, durante 
as 10 primeiras horas de escoamento, é igual a 1.500 litros por hora.
No segundo projeto, a empresa solicitou a análise e interpretação de 
dados em relação aos lucros associados na fabricação de um produto especí-
fico. Nesse caso, você ficou responsável por realizar um estudo matemático e 
a interpretação das funções envolvidas. De posse dos dados fornecidos pela 
empresa, sua equipe realizou um estudo prévio e identificou que o custo C
125
da indústria, com a fabricação e venda de x unidades do produto em questão, 
pode ser modelado pela função C x x x( ) ,= +0 4 4002 , enquanto a receita R 
obtida na fabricação e venda de x unidades desse mesmo produto é dada por 
R x x( )= +80 15000 . Com base nessas informações, determine a função que 
representa o lucro obtido na fabricação e venda desse produto e, em seguida, 
determine e interprete o significado da função lucro marginal no 
contexto apresentado.
Quais são os conceitos que devem ser empregados para a resolução dessas 
tarefas? Prossiga em seus estudos e confira os fundamentos necessários para 
cumprir esse desafio!
Não pode faltar
Um dos principais conceitos do Cálculo Diferencial e Integral é o de 
derivada, que pode ser empregado quando desejamos avaliar taxas de 
variação. Um dos primeiros problemas matemáticos que envolve esse 
conceito consiste em determinar a reta tangente a uma curva, em um ponto 
fixado. Os conceitos relacionados foram introduzidos pelos matemáticos 
Newton e Leibniz no século XVIII. 
O problema da reta tangente
Seja uma função f , cujo gráfico y f x= ( ) seja descrito a partir da Figura 
3.1(a), bem como um ponto P x f x( , ( ))0 0 fixado e pertencente ao gráfico de f
. Queremos determinar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f 
passando pelo ponto P e, para isso, vamos construir retas secantes, isto é, 
retas que interceptam o gráfico de f em dois pontos, sendo um deles neces-
sariamente P , de modo que os dois pontos estejam cada vez mais próximos 
entre si, conforme a Figura 3.1(b).
Figura 3.1 | O problema da reta tangente
Fonte: elaborada pela autora.
126
Seja a reta secante ao gráfico de f nos pontos P e Q x h f x h( , ( ))0 0+ + , 
com h uma constante real. O coeficiente angular, ou ainda, a inclinação a da 
reta secante que contém P e Q é dada por:
a
f x h f x
x h x
f x h f x
h
=
+ −
+ −
=
+ −( ) ( )
( )
( ) ( )0 0
0 0
0 0 .
Como desejamos determinar a inclinação da reta tangente que contém P
, então desejamos aproximar o ponto Q de P , o que é possível tomando 
valores de h cada vez mais próximos de zero. Sendo assim, a partir de a , se 
calcularmos o limite quando h® 0 , teremos:
m
f x h f x
hh
=
+ −
→
lim
( ) ( )
0
0 0 ,
sendo m a inclinação da reta tangente, ou coeficiente angular da reta 
tangente, ao gráfico de f contendo P , desde que o limite indicado exista. 
Consequentemente, a reta tangente consiste na reta que contém P e cuja 
inclinação, ou coeficiente angular, é dada por m . Nesse caso, podemos 
entender a derivada da função f em x x= 0 , denotada por f x’ 0( ) , como 
sendo a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P , desde que 
o limite envolvido exista.
Além do problema matemático discutido, o conceito de derivada 
também pode ser aplicado em situações práticas, como é o caso do estudo 
da velocidade, mais especificamente da velocidade instantânea. Considere, 
por exemplo, a situação de conduzir um veículo. Quando estamos dirigindo 
um automóvel, o velocímetro do veículo nos informa a todo momento qual 
é a velocidade em cada instante, sendo que ela pode aumentar ou reduzir 
conforme o acionamento dos pedais. Porém, se considerássemos apenas um 
instante específico e fotografássemos o veículo, por exemplo, não conse-
guiríamos calcular a velocidade porque, ao congelar a imagem, teríamos 
apenas um veículo parado. Diante dessasituação, como podemos deter-
minar a velocidade de um veículo, em um instante específico, de modo a 
exibir a informação no velocímetro? Para isso, podemos também empregar 
o conceito de derivada.
Taxas de variação e velocidade instantânea
Considere, por exemplo, que um automóvel se mova sobre uma reta 
conforme a equação s f t= ( ) com s representando o deslocamento desse 
objeto, a partir da origem, no instante t . A função f é chamada de função 
posição do objeto. Como desejamos calcular a velocidade instantânea do 
automóvel, queremos determinar a taxa de variação da função posição no 
tempo. Para isso, iniciemos pelo estudo da velocidade média. Tomando um 
intervalo de tempo entre t0 e t h0 + , a variação de posição será de f t( )0 até 
127
f t h( )0 + , assim, a velocidade média atingida por esse automóvel nesse inter-
valo será de:
velocidade mØdia deslocamento
tempo
= =
+ −
+ −
=
f t h f t
t h t
( ) ( )
( )
0 0
0 0
ff t h f t
h
( ) ( )0 0+ −
Para calcular a velocidade instantânea, desejamos que o intervalo de 
tempo seja tão pequeno quanto se queira, o que pode ser obtido ao tomar h 
cada vez mais próximo de zero, ou h® 0 . Dessa forma, calculando o limite 
da razão que caracteriza a velocidade média, quando h tende a zero, teremos 
a velocidade instantânea v t( )0 , avaliada em t t= 0 e dada por:
v t
f t h f t
hh
( ) lim
( ) ( )
0 0
0 0=
+ −
→
.
Comparando essa informação com o estudo realizado anteriormente a 
respeito da reta tangente, observe que a velocidade instantânea do automóvel 
em um instante t t= 0 pode ser interpretada como a inclinação da reta 
tangente ao gráfico de s f t= ( ) no ponto T t f t( , ( ))0 0 , ou como a derivada da 
função s f t= ( ) em t t= 0 .
Reflita
Além da velocidade, você conseguiria identificar outros exemplos de 
grandezas que poderiam ser avaliadas a partir dos conceitos de taxa de 
variação, inclinação de reta tangente e derivada?
Considerando essas aplicações, vejamos a seguir como podemos definir 
a derivada em um ponto.
Derivada de uma função em um ponto
Dada uma função f e um número x a= , a derivada da função f em a
, denotada por f a’( ) , é:
f a f a h f a
hh
’( ) lim ( ) ( )= + −
→0
,
se o limite existir. A derivada também pode ser escrita como 
f a f x f a
x ax a
’( ) lim ( ) ( )= −
−→
, pois se x a h= + , então h® 0 implica x a® , permi-
tindo uma equivalência entre as duas expressões.
128
Exemplificando
Determine a derivada da função f x x( )= −2 12 em um número aÎ .
f a f a h f a
h
a h a
hh h
’( ) lim ( ) ( ) lim[ ( ) ] [ ]= + − = + − − −
→ →0 0
2 22 1 2 1
 == + + − − +
=
+ + − −
→
→
lim ( )
lim
h
h
a ah h a
h
a ah h
0
2 2 2
0
2 2
2 2 1 2 1
2 4 2 1 2 aa
h
ah h
h
a h a
h h
2
0
2
0
1
4 2 4 2 4
+
=
+
= +( )=
→ →
 lim lim
Portanto, f a a’( )= 4 .
Podemos, além de calcular as derivadas em pontos específicos, inter-
pretar a derivada enquanto uma função. Nesse caso, a derivada permanece 
sendo definida em função de um limite, mas de tal forma que possamos 
avaliar todos os valores x pertencentes ao seu domínio.
Derivada como função
A derivada de uma função f , em relação à variável x , correspondente à 
função f ’ descrita por:
f x f x h f x
hh
’( ) lim ( ) ( )= + −
→0
.
desde que o limite exista. Nesse sentido, o domínio da função derivada é 
composto por todos os valores de x para os quais o limite anterior existe. 
Quando uma função f admite uma derivada em um ponto x , dizemos 
que f é derivável ou que f é diferenciável em x , e quando f ’ existe em 
cada ponto do domínio de f , tem-se que f é derivável ou diferenciável. Por 
outro lado, quando o limite não existe em x , temos que a função f não é 
derivável em x , ou não é diferenciável em x .
Assimile
Se a função y f x= ( ) é derivável, então além da notação f x’( ) (lê-se “f 
linha de x”) para a derivada, podemos empregar as seguintes notações: 
D f xx ( ) (lê-se “derivada de f x( ) em relação a x ”), D yx (lê-se 
“derivada de y em relação a x ”) ou dy
dx
 (lê-se “derivada de y em 
relação a x ”).
129
Vejamos como podemos determinar a expressão para a derivada de uma 
função utilizando a definição formal de derivada, que emprega o cálculo 
de limites.
Exemplificando
Vamos provar que a função y f x x
x
= = =−( ) 2 2
1
 é derivável e deter-
minar a expressão que caracteriza sua derivada f x’( ) , ou dy
dx
. O 
domínio de f é tal que D f x x( )= ∈ ≠{ } 0 . Sendo assim, admitindo 
x ¹ 0 obtemos:
f x f x h f x
h
x h x
h
x x h
h h h
’( ) lim ( ) ( ) lim lim= + − =
+( )
−
( )
=
− +
→ → →0 0
2 2
0
21 1 (( )
+( )
=
− +( )
+( )






→
2
2 2
0
2 2
2 2
1
x h x
h
h
x x h
x h xh
 lim 
=
− + +( )
+( )






=
→
lim
h h
x x xh h
x h x0
2 2 2
2 2
1 2
 llim lim
h hh
xh h
x h x
x h
x h x→ →
− −
+( )






=
− −
+( )0
2
2 2 0 2
1 2 2
22 0 2 2
2





= −
+
+( )





→
lim
h
x h
x h x
 =− +
+( )
=− =− =− −
2 0
0
2 2 22 2 4 3
3x
x x
x
x x
x
.
Portanto, a derivada da função f é tal que f x x’( )=− −2 3 para todo 
x ¹ 0 , porque o limite existe para cada x não nulo.
Se denotarmos por A o conjunto dos valores x do domínio de f nos 
quais a função f é derivável, então a função derivada, ou simplesmente 
derivada de f , pode ser representada como:
f A
x f x
’ :
’( )
®�
� 
.
A derivada f ’ pode ainda ser denominada derivada de 1ª ordem de f , 
podendo ser representada também por f ( )1 . Essas denominações e notações 
são importantes porque podemos construir derivadas de ordens mais altas 
para funções, desde que os limites envolvidos existam.
A derivada da função f ’ corresponde à derivada de 2ª ordem de f e 
pode ser representada por f ’’ ou f ( )2 , de modo que a relação f f’ ’ ’’( ) = é 
válida. Sendo assim, na determinação da lei de formação da derivada de 2ª 
ordem, nos pontos nos quais ela exista, podemos empregar, por exemplo, o 
estudo do seguinte limite:
130
f x f x h f x
hh
’’( ) lim ’( ) ’( )= + −
→0
.
De modo análogo, podemos estender essa caracterização ao estudo das 
derivadas de ordens superiores a 2 para a função f , desde que os limites 
característicos existam nos pontos em estudo.
A definição de derivada via limites é utilizada quando desejamos verificar 
se uma função é diferenciável em um ou mais valores de seu domínio. Porém, 
existem casos nos quais não precisamos recorrer diretamente à definição de 
derivada, visto que são conhecidos alguns resultados importantes, chamados 
de regras de derivação, e que podem ser empregados quando, sabendo que a 
função é derivável, desejamos determinar a lei de formação de sua derivada.
Regras de derivação
Algumas regras de derivação que podem ser aplicadas na determinação 
de derivadas de funções são as seguintes:
Regra da constante: d
dx
c( )= 0 , para cÎ ;
Regra para x : d
dx
x( )=1 ;
Regra da potência: d
dx
x nxn n( )= −1 ;
Regras da linearidade: para funções f e g deriváveis temos
Multiplicação por constante: d
dx
cf x c d
dx
f x( ( )) ( ( ))= , para cÎ ;
Soma de funções: d
dx
f x g x d
dx
f x d
dx
g x( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))+ = + .
Se combinarmos as quatro regras entre si, por exemplo, podemos deter-
minar a derivada de funções polinomiais. Se desejamos determinar a derivada 
da função f x x x x( )= − + +2 4 53 2 , por exemplo, pelas regras apresen-
tadas obtemos:
f x d
dx
x x x’( ) ( )= − + +2 4 53 2 (soma de funções)
= + − + +
d
dx
x d
dx
x d
dx
x d
dx
( ) ( ) ( ) ( )2 4 53 2 
 
 (multiplicação por constante)
= − + +2 4 53 2d
dx
x d
dx
x d
dx
x d
dx
( ) ( ) ( ) ( ) (regras 1, 2 e 3)
= − + +
= − +
2 3 2 4 1 0
6 2 4
2
2
( ) ( ) ( ) ( )x x
x x
131
As regras de derivação podem ser aplicadas desde que as funções envol-
vidas sejam deriváveis nos pontos e/ou conjuntos em estudo. Além disso, 
essas regras também podem ser utilizadas quando desejamosdeterminar 
derivadas de ordens superiores. Por exemplo, a derivada de 2ª ordem para a 
função f x x x x( )= − + +2 4 53 2 pode ser determinada a partir da derivada de 
1ª ordem de f ’ . Assim, sabendo que f x x x’( )= − +6 2 42 , aplicando as regras 
de derivação obtemos:
f x d
dx
f x d
dx
x x’’( ) ( ’( )) ( )= = − +6 2 42 (soma de funções)
= + − +
d
dx
x d
dx
x d
dx
( ) ( ) ( )6 2 42 
 
 (multiplicação por constante)
= − +6 2 42d
dx
x d
dx
x d
dx
( ) ( ) ( ) (regras 1, 2 e 3)
= − +
= −
6 2 2 1 0
12 2
( ) ( ) ( )x
x
Dessa forma, dada a função f x x x x( )= − + +2 4 53 2 , sua derivada de 1ª 
ordem consiste em f x x x’( )= − +6 2 42 e a derivada de 2ª ordem, 
f x x’’( )= −12 2 , ambas deriváveis em todo o conjunto de números reais. Na 
Figura 3.2 podemos observar os gráficos das funções f , f ’ e f ’’ , o que 
permite comparar o comportamento da função f com os de suas duas 
primeiras derivadas.
Figura 3.2 | Função f x x x x( )= − + +2 4 53 2 e suas derivadas de 1ª e 2ª ordens
Fonte: elaborada pela autora.
Reflita
Quais conclusões podemos obter ao comparar os gráficos e as leis de 
formação de funções polinomiais com os de suas derivadas?
132
Uma relação importante que precisamos analisar consiste em associar os 
conceitos de derivada e continuidade entre si, observando as implicações que 
podem ser estabelecidas.
Funções deriváveis e continuidade
Vamos iniciar avaliando o comportamento da função módulo, dada por 
f x x( )= .
Exemplificando
A função f x x( )= apresenta seu gráfico conforme a Figura 3.3.
Figura 3.3 | Gráfico da função módulo
Fonte: elaborada pela autora.
A função f é contínua em todo o seu domínio, basta verificar que 
lim ( ) ( )
x a
f x a f a
→
= = para todo aÎ . Em relação à diferenciabilidade, 
note que no intervalo −∞( ),0 e 0,+∞( ) a função f comporta-se, 
respectivamente, como as funções g x x( )=− e h x x( )= , sendo ambas 
deriváveis nos intervalos indicados. Logo, para verificar se f é derivável 
em  resta estudar seu comportamento em x = 0 . Observe que:
lim ( ) ( ) lim
x x
f x f
x
x
x→ →− −
−
−
= =−
0 0
0
0
1 e lim
( ) ( ) lim
x x
f x f
x
x
x→ →+ +
−
−
= =
0 0
0
0
1
Como os limites laterais existem, mas são diferentes, temos que o limite 
bilateral não existe quando x tende a zero. Devido a esse fato, a função 
módulo não é derivável em x = 0 , apesar de ser contínua nesse ponto. 
Observe que o “bico” presente no gráfico da função módulo corres-
ponde a um indicativo de que a função não é derivável nesse ponto.
Observe, no exemplo anterior, que existem funções que não são derivá-
veis em todo o seu domínio, como é o caso da função módulo. No entanto, 
133
como os limites laterais lim ( ) ( )
x
f x f
x→ −
−
−0
0
0
 e lim ( ) ( )
x
f x f
x→ +
−
−0
0
0
 existem, podemos 
dizer que a função módulo apresenta derivadas laterais em torno de zero. 
Assim, podemos ajustar a definição de derivada via limites de modo a deter-
minar derivadas laterais. Nesse caso, em vez de calcular limites bilaterais, 
utilizamos os limites laterais para determinar derivadas laterais à direita ou à 
esquerda, especificamente quando se trata de derivada no ponto.
Ainda a respeito do exemplo anterior, observe que não podemos garantir 
que toda função contínua será derivável, isto é, a continuidade não implica 
derivabilidade. Porém, temos o seguinte teorema, o qual permite relacionar 
esses conceitos entre si.
Teorema 3.1: Se f é uma função derivável em x a= então f é contínua 
nesse ponto.
A demonstração completa para esse teorema pode ser consultada no livro 
Um Curso de Cálculo (Volume 1), de Hamilton Luiz Guidorizzi, página 150, 
Seção 7.6, disponível em Minha Biblioteca.
Com isso, podemos relacionar os conceitos de função contínua e função 
derivável entre si, permitindo identificar padrões e obter conclusões a 
respeito do comportamento das mais variadas funções. Assim, em síntese, 
temos que derivabilidade implica continuidade.
O conceito de derivada, em conjunto com a caracterização de funções 
deriváveis, ou diferenciáveis, permite a construção de estratégias e ferra-
mentas matemáticas capazes de interpretar e resolver problemas prove-
nientes dos mais variados contextos, principalmente no que se refere ao 
estudo de taxas de variação e outras situações que possam ser relacionadas 
matematicamente com inclinações de retas tangentes.
Sem medo de errar
No contexto de atuação como funcionário de uma empresa de tecnolo-
gias, mais especificamente no setor de pesquisa e desenvolvimento, você foi 
encarregado de atender a dois projetos específicos correspondentes a uma 
indústria de materiais hidráulicos.
No primeiro projeto, você deve analisar algumas situações e, de posse dos 
conhecimentos a respeito de funções e derivadas, interpretá-las e representá-
-las adequadamente. Para esse passo temos as seguintes situações:
• Água escoando através de um cano a uma taxa constante de 10 cm3 
por segundo.
134
Apesar de, aparentemente, termos a impressão de que essa frase está 
relacionada à velocidade da água, o correto é que essa situação envolve uma 
taxa de variação. Porém, para representá-la corretamente, precisamos identi-
ficar qual é a função envolvida nesse caso. Note que a unidade utilizada é cm3 
por segundo, então a situação em questão envolve a taxa de variação de uma 
quantidade que é medida em centímetros cúbicos. Como essa unidade é 
utilizada na descrição de volume, então a informação presente na frase diz 
respeito a uma taxa de variação de um volume. Se considerarmos, por 
exemplo, que toda a água que está escoando nesse cano seja coletada em um 
tanque, então denotando por V t( ) o volume da água, em cm3, no tanque em 
um instante t , medido em segundos, sendo a taxa de variação do volume 
igual a 10 cm3 por segundo, a expressão matemática que representa correta-
mente essa informação é: V t dV
dt
’( )= =10 .
• A taxa de variação do volume de água em um reservatório, durante 
as 10 primeiras horas de escoamento, é igual a 1.500 litros por hora.
Se representarmos o volume por V t( ) , em que V é medido em litros e o 
tempo t é dado em horas, a taxa de variação do volume no tempo é dada por 
V t’( ) ou dV
dt
. Como essa taxa é avaliada durante as 10 primeiras horas de 
escoamento, estamos tratando de um problema que envolve a derivada em 
um ponto, nesse caso t =10 . Se a taxa de variação do volume é igual a 1.500 
litros por hora, a expressão matemática que descreve a situação é: 
V dV
dt
’( ) ( )10 10 1500= = .
Para o segundo projeto, a sua tarefa consiste em avaliar o lucro e o lucro 
marginal associado a uma situação, a partir da qual são conhecidas as 
seguintes informações: o custo pode ser modelado pela função 
C x x x( ) ,= +0 4 4002 , enquanto a receita R é dada por R x x( )= +80 15000 , 
sendo x o número de unidades vendidas e fabricadas para o produto em 
questão. Sabendo que o lucro L pode ser determinado a partir da expressão 
L x R x C x( ) ( ) ( )= − , teremos, nesse problema, que:
L x R x C x x x x x x( ) ( ) ( ) , ,= − = +( )− +( )=− − +80 15000 0 4 400 0 4 320 150002 2
Logo, o lucro é dado pela função L x x x( ) ,=− − +0 4 320 150002 . O lucro 
marginal corresponde à taxa de variação do lucro a partir da quantidade de 
unidades fabricadas e vendidas, logo, o lucro marginal consiste na derivada 
da função lucro, isto é, em L x’( ) ou dL
dx
. Por se tratar de uma razão entre 
lucro e produção, pode ser medido em reais por unidade. Em suma, o lucro 
marginal pode ser entendido como o lucro adicional que pode ser obtido ao 
aumentar ou reduzir a produção, sendo ele positivo ou negativo.
135
Para determinar o lucro marginal podemos empregar duas estratégias: 
pela definição de derivada ou pelas regras de derivação, visto que se trata de 
uma função polinomial de 2º grau. Vamos analisar os dois casos:
• Pela definição de derivada:
L x
x h x h x x
h
’( ) lim
, ,
=
− +( ) − +( )+



− − − +
→0
2 20 4 320 150000 4 320 150000( )
h
=
− − − − − +( )− − − +
→
lim
, , , ,
h
x xh h x h x x
0
2 2 20 4 0 8 0 4 320 320 15000 0 4 320 150000( )
h
=
− − − − − + + + −
→
lim , , , ,
h
x xh h x h x x
0
2 2 20 4 0 8 0 4 320 320 15000 0 4 320 15000
hh
=
− − −
→
lim , ,
h
xh h h
h0
20 8 0 4 320
= − − −( )
→
lim , ,
h
x h
0
0 8 0 4 320
=− −0 8 320, x
• Pelas regras de derivação:
L x d
dx
x x’( ) ( , )= − − +0 4 320 150002 (soma de funções)
= − + − +
d
dx
x d
dx
x d
dx
( , ) ( ) ( )0 4 320 150002 (multiplicação por constante)
=− − +0 4 320 150002, ( ) ( ) ( )d
dx
x d
dx
x d
dx
 (regras 1, 2 e 3)
=− − +0 4 2 320 1 0, ( ) ( ) ( )x
=− −0 8 320, x
Portanto, o lucro marginal é dado por L x x’( ) ,=− −0 8 320 .
Dessa forma, de posse das análises para as situações, do primeiro 
projeto, e com o estudo do lucro e lucro marginal, do segundo projeto, para 
finalizar seu desafio você deverá organizar as informações coletadas em um 
relatório, o qual será encaminhado ao setor de computação para a finalização 
dessas demandas.
Avançando na prática
Estudo de taxas de variação
Considere que você esteja enchendo uma bola de plástico, cujo formato 
pode ser aproximado por uma esfera com volume V e raio r . Você verificou 
136
que, aparentemente, quanto mais ar é injetado para o interior da bola, menor 
é a velocidade com a qual ela está enchendo, o que está relacionado com a 
alteração na taxa de variação do raio em relação ao volume dessa bola. Como 
você justificaria esse fato com base no estudo de taxas de variação? Considere, 
para esse estudo, que o volume dessa bola esteja no intervalo 0 5 1 5, ,£ £V .
Resolução da situação-problema
Para comprovar que a taxa de variação do raio em relação ao volume 
é alterada de acordo com a quantidade de ar presente no interior da bola, 
precisamos analisar a taxa de variação média do raio em relação ao volume.
Como o volume de uma esfera é dado por V r= 4
3
3p , expressando o raio 
em função do volume podemos obter r r V V= =





( )
/3
4
1 3
p
. Analisando agora as 
taxas de variação média nos intervalos 0 5 1 0, ,£ £V e 1 0 1 5, ,£ £V obtemos:
• Para 0 5 1 0, ,£ £V : r r( , ) ( , )
, ,
, ,
,
,1 0 0 5
1 0 0 5
0 62 0 49
0 5
0 26−
−
=
−
≈ .
• Para 1 0 1 5, ,£ £V : r r( , ) ( , )
, ,
, ,
,
,1 5 1 0
1 0 0 5
0 71 0 62
0 5
0 18−
−
=
−
≈ .
Sendo assim, quanto maior o volume, isto é, quanto maior a quantidade 
de ar no interior da bola, menor será a taxa de variação do raio em relação 
ao volume. Logo, a taxa de variação decresce à medida que o volume de ar 
no interior da bola cresce, permitindo relacionar com a aparente redução na 
velocidade com a qual a bola está enchendo.
Faça valer a pena
1. A existência da derivada de uma função depende diretamente da 
existência de um limite, o que evidencia a importância do conceito de limite 
para a estruturação desse importante conceito do Cálculo Diferencial e 
Integral. Porém, para que não haja a necessidade de calcular limites em cada 
problema envolvendo derivadas, foram estabelecidas regras de derivação, 
as quais são provadas via limites, mas que podem ser aplicadas diretamente 
para as funções deriváveis, como é o caso, por exemplo, das funções polino-
miais e racionais em seus respectivos domínios.
Diante desse contexto, faça a associação das funções contidas na Coluna A com 
suas respectivas funções derivadas de 1ª ordem, apresentadas na Coluna B.
137
Coluna A Coluna B
I. f x x x( )= − +5 3 12 1. f x x’( )= −10 3 
II. f x x( )=− +3 1 2. f x x x’( )= +16 143 
III. f x x x( )= + −4 7 14 2 3. f x x x’( )= − −12 22 3 
IV. f x x x( )= + +−4 33 2 4. f x x’( )=− +−3 12 
V. f x x x( )= +−3 1 5. f x’( )=−3 
Assinale a alternativa que apresenta a associação correta entre as colunas:
a. I – 1; II – 2; III – 5; IV – 4; V – 3.
b. I – 1; II – 4; III – 2; IV – 3; V – 5.
c. I – 1; II – 5; III – 2; IV – 3; V – 4.
d. I – 2; II – 5; III – 1; IV – 4; V – 3.
e. I – 2; II – 1; III – 3; IV – 5; V – 4.
2. Uma das aplicações do conceito de derivada tem relação com a determi-
nação da reta tangente a uma curva, ou ao gráfico de uma função, em um 
ponto fixado. Nesse caso, podemos relacionar a derivada com a inclinação da 
reta tangente, ou coeficiente angular da reta tangente, de tal forma que para 
uma função f e um ponto fixado a, a equação da reta tangente ao gráfico de 
f em x a= pode ser dada por:
y f a x a f a= −( )+’( ) ( )
Nesse sentido, considere a função cuja lei de formação é f x
x
( )= 1 e seja o 
ponto x = 3 pertencente ao seu domínio.
Recorrendo à definição de derivada via limites, assinale a alternativa que 
fornece corretamente a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = 3 :
a. y x= −1
9
1
3
b. y x=− +1
9
2
3
c. y x= +1
3
2
9
d. y x=−1
9
e. y x= −1
3
1
9
138
3. Considere a função definida por:
f x
x x
x x
( )
,
,
=
+ ≤
+ >




2 2 1
2 1
 
 
Note que f é uma função definida por partes a partir de duas funções polino-
miais, sendo uma de 2º grau e outra de 1º grau, de modo que seu domínio 
abrange todo o conjunto de números reais. A partir dessa definição, podemos 
estudar o comportamento de f e de sua derivada, caso exista, bem como 
relacionar com a definição de continuidade.
Nesse sentido, a partir da relação que pode ser estabelecida entre o conceito 
de derivada e de função contínua, avalie as seguintes asserções e a relação 
proposta entre elas:
I. A função f pode ser classificada como uma função contínua em 
x =1 .
PORQUE
II. A função f pode ser classificada como uma função derivável ou 
diferenciável em x =1 .
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I.
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa.
d. A asserção I é uma proposição falsa e a II, verdadeira.
e. As asserções I e II são proposições falsas.
139
Seção 2
Outras regras de derivação
Diálogo aberto
Quando estudamos uma derivada por meio de sua definição, precisamos 
calcular um limite e, caso ele exista, identificar se a função é diferenciável 
e qual sua derivada. No entanto, quando estamos lidando com funções 
diferenciáveis, podemos empregar as regras de derivação com o intuito de 
determinar suas leis de formação com base em propriedades conhecidas 
a priori. Além das regras da soma, diferença, multiplicação por escalar e 
potência, existem outras que também podem contribuir com o estudo das 
funções deriváveis. Também é fundamental conhecer o comportamento das 
derivadas de funções empregadas com grande frequência, como é o caso das 
funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.
Assim, para o estudo desses temas, considere que você atua como funcio-
nário de uma empresa de tecnologia cuja área de atuação é o atendimento 
a empresas diversas, fornecendo soluções, na forma de softwares, para 
diferentes tipos de problemas.
Nesse contexto, imagine que você tenha sido indicado para dar um 
suporte para o setor de computação, fornecendo algumas informações que 
serão empregadas na validação de um software, que será entregue a uma 
indústria de circuitos eletrônicos e que possui como uma de suas ferramentas 
principais a elaboração de gráficos bidimensionais para funções. Para isso, 
você deverá elaborar um relatório apresentando com detalhes o processo de 
obtenção das derivadas de 1ª ordem para as seguintes funções:
f x x
ex
( ) cos( )= 3
g x x x( ) ln= −2 5 23 
h x x( )= ⋅ +3 5 1 
Além disso, você deverá calcular a derivada da função 
p x x x x( )= −( ) +( )1 2 3 2 utilizando duas estratégias diferentes e comparando 
os resultados obtidos por meio dos dois procedimentos.
Para concluir a tarefa, você deve construir um relatório, descrevendo com 
detalhes as regras de derivação e os procedimentos empregados para a deter-
minação das derivadas de cada uma das funções apresentadas.
140
Dêcontinuidade em seus estudos e confira quais são os conceitos neces-
sários para cumprir o desafio proposto!
Não pode faltar
O conceito de derivada pode ser empregado, dentre outras atividades, na 
modelagem de fenômenos que envolvem taxas de variação, principalmente 
no caso instantâneo, dentre os quais podemos destacar a avaliação da veloci-
dade instantânea de um móvel, a qual relaciona-se com a derivada da função 
posição correspondente. Também podemos associar graficamente a derivada 
de uma função em um ponto como a inclinação, ou coeficiente angular, da 
reta tangente ao gráfico da função no ponto fixado. Porém, para que seja 
possível definir uma derivada, é necessário que o limite correspondente 
exista, possibilitando determinar tanto a derivada no ponto quanto a função 
derivada, com suas características e notações específicas.
Por definição, a derivada tem relação direta com o cálculo de limite. 
Porém, podemos obter algumas regras de derivação a partir do cálculo de 
limites considerando expressões mais gerais, e que podem ser aplicadas em 
diversas situações, desde que as funções envolvidas sejam diferenciáveis, sem 
a necessidade de recorrer novamente ao cálculo de limites. 
Regras de derivação
Além das regras de derivação envolvendo constantes, potências, soma, 
diferença e multiplicação por escalar, também podemos definir regras 
de derivação para produto e quociente de funções, conforme apresentado 
a seguir.
1. Regra do produto: se f e g forem funções diferenciáveis em x , 
então o produto fg também é diferenciável, com:
d
dx
f x g x d
dx
f x g x f x d
dx
g x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )= ( )








+ ( )








.
Podemos ainda representar a regra da forma fg x f x g x f x g x( ) = +’( ) ’( ) ( ) ( ) ’( )
, empregando a notação linha na representação das derivadas.
2. Regra do quociente: se f e g forem funções diferenciáveis em x , 
com g x( )¹ 0 , então o quociente f g também é diferenciável, com:
d
dx
f x
g x
d
dx
f x g x f x d
dx
g x
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )





=
( )








− ( ))








[ ]g x( ) 2
.
141
Podemos ainda representar a regra da forma 
f g x f x g x f x g x
g x
( ) = −
[ ]
’( ) ’( ) ( ) ( ) ’( )
( ) 2
, utilizando a notação linha na represen-
tação das derivadas.
Exemplificando
Vejamos como determinar a derivada da função q x x
x
( )= −3 1
2
3 . 
Podemos empregar duas estratégias diferentes nesse caso:
Opção 1: podemos interpretar a função q como um produto de funções 
da forma q x x x( )= −( ) −3 12 3 e, nesse caso, aplicar a regra do produto 
tomando f x x( )= −3 12 e g x x( )= −3 . Assim, f x x’( )= 6 e 
g x x’( )= −( ) −3 4 , e:
q x f x g x f x g x x x x x’( ) ’( ) ( ) ( ) ’( )= + =( )( )+ −( ) −( )( )− −6 3 1 33 2 4
 
 
= + −( ) −( )= − +
=− + =
− − − − − −
− −
6 3 3 6 9 3
3 3
2 2 4 2 2 4
2 4
x x x x x x
x x −− +3 32 4x x
.
Isto é, q x
x x
’( )=− +3 32 4 .
Opção 2: podemos aplicar a regra do quociente tomando f x x( )= −3 12 
e g x x( )= 3 . Desse modo, f x x’( )= 6 , g x x( )[ ] =2 6 e g x x’( )= 3 2 , logo:
q x f x g x f x g x
g x
x x x x
x
’( ) ’( ) ( ) ( ) ’( )
( )
=
−
[ ]
=
( )( )− −( )( )
2
3 2 2
6
6 3 1 3
 
 
=
− −( )
=
− +
=
− +
=
−
6 3 3 6 9 3
3 3
4 4 2
6
4 4 2
6
4 2
6
x x x
x
x x x
x
x x
x
33 3 3 34
6
2
6 2 4
x
x
x
x x x
+ =− +
.
Portanto, q x
x x
’( )=− +3 32 4 .
Além dessas duas possibilidades, note que podemos simplificar a lei de 
formação da função q da seguinte forma:
q x x
x
x
x x x x
x x( )= − = − = − = −− −3 1 3 1 3 1 3
2
3
2
3 3 3
1 3 .
Com isso, a derivada de q pode ser obtida da seguinte forma:
q x x x x x
x x
’( )= −( ) − −( ) =− + =− +− − − −3 1 3 3 3 3 32 4 2 4 2 4 .
142
Note que podemos combinar as regras de derivação entre si, como as 
regras da soma e do produto em uma mesma função, por exemplo, desde 
que sejam compatíveis às características da função em estudo. Assim, para 
identificar qual ou quais são as regras mais adequadas para cada situação, é 
necessário analisar qual o formato da lei de formação da função e quais são 
as operações envolvidas, sempre verificando se não é possível realizar algum 
tipo de simplificação antes de aplicar qualquer regra.
Assimile
As principais regras de derivação podem ser resumidas da seguinte 
forma:
a. 
d
dx
c( )= 0 , com cÎ .
b. 
d
dx
x nxn n( )= −1 , com nÎ .
c. ( )’ ( ’)cf c f= .
d. ( )’ ’ ’f g f g+ = + .
e. ( )’ ( ’) ( ’)fg f g f g= + .
f. ( / )’ ( ’) ( ’)f g f g f g
g
=
−
2 .
Vamos analisar outro exemplo envolvendo as regras de derivação, com 
destaque para a regra da potência com expoente não inteiro. Calculemos, por 
exemplo, a derivada da função f x x x x( )= −( )43 75 . Para isso, vamos 
reescrever a lei de formação da função f como:
f x x x x( )= −( )1 2 4 3 7 5 .
Podemos aplicar a distributividade na expressão de f por:
f x x x x x x x x
x x
( )= −( )=( )( )−( )( )
= −+ +
1 2 4 3 7 5 1 2 4 3 1 2 7 5
1 2 4 3 1 2 7 55
11 6 19 10 = −x x
Calculando a derivada de f obtemos:
f x x x
x
’( )= −
= −
( )− ( )−
( )−( )
11
6
19
10
11
6
19
1
11 6 1 19 10 1
11 6 6 6 
00
11
6
19
10
19 10 10 10
5 6 9 10
x
x x
( )−( )
= − 
Portanto, a derivada da função f é dada por f x x x’( )= −11
6
19
10
5 6 9 10 , que 
pode ser reescrita na forma f x x x’( )= −11
6
19
10
56 910 .
143
Além das funções polinomiais e racionais, também podemos estudar as 
derivadas associadas às funções pertencentes a outras categorias, como é o 
caso das funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.
Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas
Vamos iniciar pelo estudo da função exponencial f x bx( )= . Pela definição 
de derivada temos: 
f x b b
h
b b
h
b b
hh
x h x
h
x h
x
h
h
’( ) lim lim lim= − =
−( )
= ⋅
−
→
+
→ →0 0 0
1 1 .
Note que lim lim ’( )
h
h
h
hb
h
b b
h
f
→ →
+−
=
−
=
0 0
0 01 0 , dessa forma, se f for diferenci-
ável em zero, então será diferenciável em todos os reais, com f x b fx’( ) ’( )= 0 . 
Sendo o número de Euler, e, definido de tal forma que lim
h
he
h→
−
=
0
1 1 , então se 
tomarmos b e= teremos f ’( )0 1= e, consequentemente,
d
dx
e ex x( )= ,
que consiste na regra de derivação da função exponencial de base e. 
No entanto, podemos estudar funções exponenciais em que a base não 
corresponde ao número de Euler, mas a um número b qualquer positivo e 
diferente de 1. Assim, vamos analisar agora a derivada da função f x bx( )= 
para b>0 e b¹1 . Nesse caso, vimos anteriormente que:
f x b b
h
x
h
h
’( ) lim= ⋅ −
→0
1
Para esse estudo, empregando a propriedade das funções exponenciais e 
logarítmicas temos que b e b= ln , sendo assim, b eh b h= (ln ) e, consequentemente:
f x b e
h
x
h
b h
’( ) lim
(ln )
= ⋅
−
→0
1
Podemos adotar a mudança de variáveis na forma (ln )b h t= , o que 
permite expressar h em função de t como h t
b
=
ln
. Relacionando essa 
mudança com o limite dado por lim
h
he
h→
−
=
0
1 1 , obtemos:
lim lim
ln
lim ln
(ln )
h
b h
t
t
t
te
h
e
t b
b e
t→ → →
−
=
−
= ⋅
−




0 0 0
1 1 1

= ⋅
−
= ⋅ =
→
ln lim ln lnb e
t
b b
t
t
0
1 1
Portanto, f x b bx’( ) ln= ⋅ .
144
Assimile
Em relação às derivadas das funções exponenciais, para b>0 e b¹1 
temos que 
d
dx
b b bx x( ) ln= ⋅ . E se b for o número de Euler, e, então 
d
dx
e ex x( )= .
Note que podemos associar essas informações às regras de derivação. Por 
exemplo, calculando a derivada da função f x ex x( )= + ⋅3 4 2 obtemos:
f x e ex x x x’( ) ( ) ( ln( )) ln( )= + ⋅ = + ⋅3 4 2 2 3 4 2 2 .
Podemos também calcular a derivada de funções logarítmicas, consi-
derando a existência da função logarítmica natural cuja base é dada pelo 
número de Euler. Porém, como as funções exponenciais e logarítmicas 
podem ser associadas entre si por meio do conceito de função inversa, então 
podemos empregar essa relação também para a determinação das derivadas.
Estudemosa derivada da função inversa de uma função real f . Se uma 
função f é definida em um intervalo I , de tal forma que sua derivada f x’( ) 
existe e não se anula em I , então sua inversa f -1 é também derivável em 
qualquer ponto de seu domínio. Para determinar o valor da derivada de f -1 
em um ponto b , ou f b−( )1 ’( ) , podemos empregar a seguinte relação:
f b
f f b
−
−( ) = ( )
1
1
1’( )
’ ( )
isto é, f b−( )1 ’( ) consiste no recíproco de f ’ calculado no ponto a f b= −1( ) .
Diante dessa relação, seja f x ex( )= , cuja inversa é f x x− =1( ) ln( ) . Da 
regra apresentada anteriormente, e sabendo que f x ex’( )= , note que:
f x
f f x e e xf x x
−
−( ) = ( )
= = =−
1
1
1 1 1 1
1’( )
’ ( ) ( ) ln( )
Portanto, f x
x
−( ) =1 1’( ) . A partir dessa informação podemos calcular a 
derivada de funções na forma f x xb( ) log ( )= , considerando as condições que 
permitam a definição da função. Pela mudança de base sabemos que 
log ( ) ln
lnb
x x
b
= , sendo lnb constante. Calculando a derivada temos:
f x d
dx
x d
dx
x
b b
d
dx
x
bb
’( ) log ( ) ln
ln ln
ln
ln
= ( )=





= ⋅ ( )=
1 1
⋅⋅ =
1 1
x x bln
.
145
Exemplificando
Vamos determinar a derivada de f x x
x
( ) ln= . Aplicando a regra do 
quociente e sabendo que 
d
dx
x
x
(ln )= 1 e d
dx
x( )=1 , obtemos, pela 
regra do quociente:
f x
d
dx
x x x d
dx
x
x
x
x
’( )
(ln ) ln ( )
=








⋅ − ⋅








=
⋅
2
1
 
−−
=
−
ln
ln
x
x
x
x
2
2
1 
Portanto, f x x
x
’( ) ln= −1 2 .
Outras funções que também podem ser estudadas diante do conceito de 
derivada são as funções trigonométricas. Vejamos a seguir como podemos 
determinar as derivadas dessas funções por meio da definição de derivada 
envolvendo limites. 
Derivadas de funções trigonométricas
Para estudar as derivadas de funções trigonométricas precisamos 
conhecer identidades trigonométricas e limites importantes, como 
lim ( )
x
sen x
x→
=
0
1 e lim cos( )
x
x
x→
−
=
0
1 0 . Avaliemos o caso da função seno, 
f x sen x( ) ( )= , estudando a derivada por meio de sua definição:
f x sen x h sen x
h
sen x h sen
h
h
’( ) lim ( ) ( )
lim ( )cos( )
=
+ −
=
+
→
→
0
0
 (( )cos( ) ( )
lim ( ) cos( )
h x sen x
h
sen x h
hh
−
=
−




→ 0
1
++














=
→
cos( ) ( )
lim cos( ) (
x sen h
h
x sen h
h
 
0
)) ( ) cos( )
co
h
sen x h
h





−
−













=
1
 ss( ) lim ( ) ( ) lim cos( )x sen h
h
sen x h
hh h
( )⋅





−( )⋅
−
→ →0 0
1





=( )⋅( )−( )⋅( )= cos( ) ( ) cos( )x sen x x1 0
.
Portanto, d
dx
sen x x( ( )) cos( )= . Analogamente, podemos mostrar que
d
dx
x sen x(cos( )) ( )=− .
146
Para as demais funções trigonométricas temos: d
dx
tg x x( ( )) sec ( )= 2 , 
d
dx
x x tg x(sec( )) sec( ) ( )= , d
dx
x x x( ( )) ( ) ( )cossec cossec cotg=− e 
d
dx
x x( ( )) ( )cotg cossec=− 2 . Além da definição, podemos determinar cada 
uma dessas derivadas utilizando as regras de derivação em conjunto com as 
definições dessas razões trigonométricas que dependem apenas de seno 
e cosseno.
Exemplificando
Determinemos a derivada da função tangente f x tg x( ) ( )= . Sabemos 
que tg x sen x
x
( ) ( )
cos( )
= então pela regra do quociente teremos:
d
dx
tg x
sen x x sen x x
x
( ( ))
( ) ’cos( ) ( ) cos( ) ’
cos( )
=
( ) − ( )
( )2
 
 
=
⋅ − ⋅ −( )cos( ) cos( ) ( ) ( )
cos ( )
x x sen x sen x
x2
 
 
=
+
= =
cos ( ) ( )
cos ( )
cos ( )
sec (
2 2
2
2
21
x sen x
x
x
xx)
.
Portanto, 
d
dx
tg x x( ( )) sec ( )= 2 .
De posse das funções derivadas, podemos determinar também as 
derivadas em pontos. Basta substituir o valor de x pelo ponto desejado e 
realizar os cálculos necessários, lembrando de que a unidade usualmente 
utilizada para x nas funções trigonométricas é o radiano, sendo necessário 
configurar as calculadoras científicas para esse uso.
Reflita
Você conseguiria determinar as derivadas das funções trigonométricas 
cotangente, cossecante e secante, passo a passo, empregando as regras 
de derivação e as relações existentes com as razões trigonométricas 
seno e cosseno?
147
As regras de diferenciação são estratégias importantes para o cálculo de 
derivadas, desde que as funções envolvidas atendam aos critérios necessá-
rios para a existência dos limites correspondentes. Além disso, é importante 
transitar entre as diferentes representações para derivadas, selecionando de 
acordo com o tipo de estudo a ser realizado.
Sem medo de errar
No contexto de atuação na empresa de tecnologia, sua tarefa consiste 
em determinar as derivadas para as funções apresentadas, descrevendo com 
detalhes os procedimentos para o cálculo das derivadas, utilizando as regras 
de derivação e as derivadas das funções conhecidas. Vejamos a seguir os 
procedimentos de determinação das derivadas das funções apresentadas:
a. Para f x x
ex
( ) cos( )= 3 : 
Sabendo que d
dx
e ex x( )= e d
dx
x xcos( ) ( )( )=−sen , pela regra do quociente 
e da multiplicação por escalar obtemos:
f x d
dx
x
e
d
dx
x
x’( )
cos( )
cos( )
=






=
( )








⋅
3
3
 
ee x d
dx
e
e
d
dx
x
x x
x
− ⋅ ( )







( )
=
( )






3
3
2
cos( )
cos( )
 


⋅ − ⋅
⋅
=
−( )−
=
e x e
e e
sen x x
e
x x
x x
x
3
3 3
cos( )
( ) cos( )
 
 −− −3 3sen x x
ex
( ) cos( )
Logo, f x sen x x
ex
’( ) ( ) cos( )=− −3 3 .
b. Para g x x x( ) ln= −2 5 23 :
Sabemos que d
dx
x
x
ln( )= 1 . Além disso, note que x x23 2 3= , sendo assim, 
d
dx
x x x x
x x
2 3 2 3 1 2 3 3 3 1 3
1 3 3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
( )= = = = =( )− ( )−( ) −
148
Logo, pela regra da soma e da multiplicação por escalar temos que:
g x d
dx
x x
d
dx
x d
dx
x
’( ) ln
ln
= −( )
= ( )








− ( )

2 5
2 5 5
23
23 





= ⋅ −






= −
 
 
2 1 5 2
3
2 10
3
3
3
x x
x x
Sendo assim, g x
x x
’( )= −2 10
33
.
c. Para h x x( )= ⋅ +3 5 1 :
Sabendo que d
dx
x x( ) ln5 5 5= ⋅ e d
dx
1 0( )= , pelas regras da soma e multi-
plicação por escalar obtemos:
h x d
dx
d
dx
d
dx
x
x
’( )= ⋅ +( )
= ( )







+ ( )
=
3 5 1
3 5 1 
 33 5 5 0
3 5 5
⋅ ⋅ +
= ⋅ ⋅
x
x
ln
ln 
Portanto, h x x’( ) ln= ⋅ ⋅3 5 5 .
Considere agora a função p x x x x( )= −( ) +( )1 2 3 2 . Determinemos a 
derivada de p utilizando duas estratégias diferentes:
1. Vamos aplicar inicialmente a distributividade em p, assim:
p x x x x x x x x( )= −( ) +( )= + − −1 2 2 23 2 2 4 5
Agora, aplicando as regras da soma, multiplicação por escalar e 
potência, obtemos:
p x d
dx
x x x x
d
dx
x d
dx
x d
dx
x
’( )= + − −( )
= ( )+ ( )− ( )


2 4 5
2 4
2 2
2 





− ( )







= + − −
2
1 2 8 10
5
3 4
d
dx
x
x x x 
149
2. Aplicando as regras do produto, soma, multiplicação por escalar e 
potência, temos:
p x d
dx
x x x
d
dx
x x
’( )= −( ) +( )


= −( )







⋅ +
1 2
1 2
3 2
3 xx x d
dx
x x
d
dx
d
dx
x
2 3 2
3
1 2
1 2
( )+ −( ) +( )







= ( )− ( )



 




⋅ +( )+ −( ) ( )+ ( )







= − (
x x x d
dx
x d
dx
x
x
2 3 2
2
1 2
0 2 3 ))

 ⋅ +( )+ −( ) +( )
= −( )⋅ +( )+ −(
x x x x
x x x x
2 3
2 2 3
1 2 1 2
6 1 2 )) +( )
=− − + + − −
= + − −
1 2
6 6 1 2 2 4
1 2 8 10
3 4 3 4
3
x
x x x x x
x x
 
 xx4
Portanto, a partir de ambas as estratégias, podemos concluir que 
p x x x x’( )= + − −1 2 8 103 4 .
Para finalizar sua tarefa, organize o relatório contendo todos os procedi-
mentos e conceitos necessários para a resolução dos problemas propostos.
Avançando na prática
Taxas de variação e densidade linear
Considere que para realizar um experimento,um pesquisador selecionou 
um pedaço de fio não homogêneo, de modo que sua massa, medida a partir 
de uma extremidade fixada do fio, seja descrita pela função:
m x x x( )= +( )2 1
em que x indica a distância, em metros, medida a partir da extremidade 
fixada, enquanto m representa a massa, dada em quilogramas.
Sabendo que a densidade linear do fio consiste na taxa de variação da 
massa em relação ao comprimento do fio, qual é a densidade linear desse 
fio considerando o comprimento de 2 metros, medido a partir da extremi-
dade fixada?
150
Resolução da situação-problema
Se a densidade linear do fio, que denotaremos por r , corresponde à taxa 
de variação da massa em relação ao comprimento do fio, então a densidade 
linear pode ser dada por r= dm
dx
. Aplicando a regra do produto, segue que:
dm
dx
d
dx
x x x d
dx
x
d
dx
x
= ( )








+( )+( ) +( )







= (
2 1 2 1
2 ))








+( )+( ) +( )







=( ) +( )+( )
1 2 1
2 1 2 0
1 2x x d
dx
x
x x ++






= + +( )






−
−
1
2
2 2 2 1
2
1 2
1 2
x
x x x
/
/ 
 == + +
= + +
= +
2 2
2 2
2 3
1 2x x
x x
x
 
 
Sendo assim, r( )x x= +2 3 . Logo, a densidade linear em cada ponto x é 
dada pela função r( )x x= +2 3 . Para um fio com 2 metros de comprimento, 
a densidade linear no ponto x = 2 corresponde a:
r( ) ,2 2 3 2 6 24= + ≈
Isto é, a densidade linear em x = 2 é de aproximadamente 6 24, / kg m .
Para finalizar a resolução desse problema, organize um relatório contem-
plando o estudo da função massa e da densidade linear, identificando todas as 
regras de derivação necessárias para a obtenção da função densidade linear.
151
Faça valer a pena
1. Considere a função cuja lei de formação é dada por:
f x e xx( ) cos( )= 
cujo gráfico é apresentado no que segue:
Figura | Gráfico da função f x e xx( ) cos( )=
Fonte: elaborada pela autora.
Podemos construir retas tangentes associadas ao gráfico de f , desde que 
sejam fixados os pontos pertencentes ao seu gráfico.
Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta correta-
mente a equação da reta tangente ao gráfico de f passando pelo ponto no 
qual x = 0 :
a. y x=
b. y e x e= +1 1
c. y x= −1
d. y x= +1
e. y x e= +2 1
152
2. O conhecimento das regras de derivação permite determinar a lei de 
formação para diversas funções derivadas, empregando os conhecimentos 
prévios a respeito das funções envolvidas, sem a necessidade de calcular os 
limites, mas desde que as condições necessárias sejam verificadas, ou seja, 
se as funções envolvidas são deriváveis nos pontos ou conjuntos em estudo.
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir:
I. A derivada da função f x x x tg x( ) cos( ) ( )= + é dada por 
f x x x x x’( ) cos( ) ( ) sec ( )= − + sen 2 .
II. A derivada da função g x x x( ) ln= 5 2 é dada por g x x x x’( ) ln= +10 5 .
III. A derivada da função h x x
x
( )= +13 é dada por h x
x
x
’( )=− −5 6
2 4
.
IV. A derivada da função j x x ex( )= 2 é dada por j x xex’( )= 2 .
Considerando o contexto apresentado, é correto o que se afirma em:
a. I e II, apenas.
b. I e III, apenas.
c. II e IV, apenas.
d. I, II e III, apenas.
e. I, II e IV, apenas.
3. Depois de aberta a válvula inferior de um tanque de armazenamento de 
água, é necessário aguardar um período de 12 horas até esvaziá-lo. A profun-
didade y, em metros, do líquido nesse tanque, t horas após a abertura da 
válvula, é descrita pela função:
y t
t
= ⋅ −





⋅





50 1 12
1
2
A respeito desse problema, julgue as afirmativas a seguir em verdadeiras (V) 
ou falsas (F):
( ) A taxa de variação da profundidade do líquido no tanque, em função do 
tempo, após 1 hora da abertura da válvula, é de 15 metros/hora, aproxima-
damente.
( ) A taxa de variação da profundidade do líquido no tanque, em função do 
tempo, após 2 horas da abertura da válvula, é de -8,3 metros/hora, aproxi-
madamente.
( ) A taxa de variação da profundidade do líquido no tanque, em função do 
tempo, após 5 horas da abertura da válvula, é de -0,8 metros/hora, aproxi-
madamente.
153
( ) A taxa de variação da profundidade do líquido no tanque, em função do 
tempo, após 10 horas da abertura da válvula, é nula.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
a. V – V – F – F.
b. V – F – F – V.
c. F – F – V – V.
d. F – V – V – V.
e. F – V – V – F.
154
Seção 3
Regra da cadeia e derivação implícita
Diálogo aberto
As funções de uma variável real podem ser empregadas na descrição de 
vários fenômenos e, em geral, precisamos combinar funções de duas ou mais 
categorias por meio da operação de composição, de tal forma a obter uma 
função que descreva de maneira adequada as características do problema em 
estudo. Como as derivadas também podem contribuir na construção de 
modelos e resolução de problemas reais, muitas vezes é necessário trabalhar 
com a composição de funções. Para isso, vamos, nesta seção, estudar uma 
regra de derivação que pode ser aplicada para funções obtidas por meio da 
operação de composição de funções. Além disso, estudaremos a respeito da 
derivação implícita, observando que existem situações em que não conse-
guimos expressar a derivada como uma função do tipo y g x= ( ) , mas conse-
guimos apenas representá-la de forma implícita em uma igualdade.
Para esse estudo, considere que você atua no setor de pesquisa e desenvol-
vimento em uma empresa de tecnologia, a qual presta serviços para empresas 
de diferentes ramos por meio do desenvolvimento e implementação de 
softwares que atendam às necessidades de cada empresa.
Suponha que você tenha sido indicado como coordenador de um projeto 
de capacitação interna a funcionários do setor de computação, com o intuito 
de prepará-los para interpretar e compreender os relatórios que são produ-
zidos pelo setor de pesquisa e desenvolvimento, principalmente os que 
envolvem funções e suas derivadas, visto que foram identificadas algumas 
falhas de implementação em alguns softwares devido a problemas em 
compreender as informações presentes nos relatórios.
Para essa capacitação, você selecionou duas tarefas envolvendo o conceito 
de derivadas, sendo a primeira relativa às regras de derivação e a segunda, à 
derivação implícita, as quais são descritas a seguir:
Tarefa 1: Calcule as derivadas de 1ª ordem para as seguintes funções, 
destacando as regras de derivação que devem ser aplicadas em cada caso:
• f x sen x( ) ( )= 3 ;
• s x x
x
( )= −
+






4
3 1
2
5
 .
155
Tarefa 2: Determine a equação da reta tangente à curva x y3 3 2+ = no 
ponto 1 1,( ) .
Elabore um documento contendo as resoluções detalhadas para as tarefas 
propostas, destacando orientações a respeito dos encaminhamentos que 
podem ser adotados diante de possíveis dúvidas que possam ser manifes-
tadas pelos participantes durante a aplicação dessa capacitação.
Prossiga em seus estudos e confira os conceitos necessários para 
solucionar o desafio proposto!
Não pode faltar
As derivadas são empregadas, dentre outros, no estudo de problemas 
que envolvam taxas de variação, como é o caso do estudo da velocidade 
em relação ao tempo, a qual pode ser entendida como a taxa de variação 
da função posição no tempo. Nesse tipo de estudo, como o objetivo não 
é demonstrar a validade de resultados, mas utilizar os conceitos matemá-
ticos na resolução e interpretação de problemas reais, podemos recorrer às 
regras de derivação com o intuito de determinar derivadas, aplicando-as 
nos estudos a serem realizados. Dentre as principais regras de derivação, 
podemos destacar as regras da soma, do produto, do quociente, de potências 
e de constantes, entre outras.
No entanto, existem situações nas quais os fenômenos em estudo precisam 
ser modelados a partir de funções compostas, como é o caso das funções do 
tipo exponencial, por exemplo, f x x( )= ⋅ −3 2 2 . Para determinar a derivadada 
função f precisamos empregar, dentre outras, uma regra de derivação que 
permita avaliar funções compostas, pois f é originada a partir de uma 
composição envolvendo funções afim e exponenciais. Com o objetivo de 
determinar as derivadas de funções como a f , entre outras, vejamos agora 
como é caracterizada a regra da cadeia e como ela pode ser empregada no 
estudo de derivadas.
Regra da cadeia 
Se g for derivável em x e f for derivável em g x( ) , então a composição 
f g será derivável em x. Além disso, a derivada da função composta 
f g x f g x( ) = ( )( ) ( ) será dada por:
f g x f g x g x( ) ’ ’ ( ) ’( )( )( ) = ( )⋅
Se y f u= ( ) e u g x= ( ) , a regra da cadeia assume a forma:
dy
dx
dy
du
du
dx
= ⋅
156
A demonstração da regra da cadeia pode ser encontrada na Seção 3.4, 
página 177, do livro Cálculo – Volume 1, de James Stewart (2017), disponível 
em Minha Biblioteca.
Com a regra da cadeia podemos avaliar as derivadas de funções compostas 
por meio da articulação com as demais regras de derivação, em conjunto 
com as derivadas conhecidas para as funções pertencentes às principais 
categorias, como polinomiais, exponenciais etc. 
Vejamos um exemplo da aplicação da regra da cadeia envolvendo uma 
composição de funções diferenciáveis.
Exemplificando
Seja a função ( )72( ) 1h x x= + . Note que a função h pode ser entendida 
como a composta h f g=  em que f u u( )= 7 e g x x( )= +2 1 . Sabemos 
que f u u’( )= 7 6 e g x x’( )= 2 , pela regra da potência, da soma e da 
constante. De posse dessas informações, aplicando a regra da cadeia 
obtemos:
h x f g x x x x x’( ) ( ) ’= ( )( ) = +( )




 ⋅( )= +( )7 1 2 14 12
6 2 6
Portanto, h x x x’( )= +( )14 12 6 .
Perceba que na aplicação da regra da cadeia no cálculo de uma derivada 
devemos, inicialmente, observar qual o tipo de função composta em estudo 
e quais são as categorias de funções envolvidas nessa composição, de modo a 
identificar qual função assume o papel de f na regra e qual assume o papel 
de g . Não se esqueça que as funções envolvidas devem ser deriváveis nos 
pontos ou conjuntos em estudo.
Assimile
A regra da cadeia aplicada a uma função composta f g x f g x( ) = ( )( ) ( ) 
assume a forma f g x f g x g x( ) ’ ’ ( ) ’( )( )( ) = ( )⋅ . Se pensarmos em f como 
a função “de fora” e g como a função “de dentro”, então a derivada da 
função composta pode ser entendida como a derivada da função “de 
fora”, aplicada na função “de dentro”, multiplicada pela derivada da 
função “de dentro”.
157
Essa é uma forma intuitiva que pode auxiliar na identificação dos papéis 
assumidos pelas funções f e g na composição de funções e na estru-
tura da regra da cadeia aplicada a ela.
Vejamos outras situações nas quais podemos aplicar a regra da cadeia. 
Por exemplo, seja a função r x x
x
( )= −
+






3 113
2 2
. Note que r pode ser entendida 
como r f g=  em que f u u( )= 11 e g x x
x
( )= −
+
3 3
2 2
. Pelas regras da potência, 
do quociente e da soma, observe que f u u’( )=11 10 e
g x
d
dx
x x x d
dx
x
x
’( )=
−( )







⋅ +( )− −( )⋅ +( )







+
3 33 2 2 3 2 2
2 22
3 2 2 3 2
2 2
4 6
2
2 3
2
3 2
( )
=
( ) +( )− −( )( )
+( )
=
+
 
 
x x x
x
x x ++
+( )
6
2 2 2x
Sendo assim, pela regra da cadeia,
r x f g x x
x
d
dx
x’( ) ( ) ’= ( )( ) = −
+
















⋅
−11 3
2 2
3 10 3 33
2 2
11 3
2 2
3 10
x
x
x
+






=
−
+













 

⋅
+ +
+( )






= ⋅
−( )
+
4 6 6
2 2
11
3
2 2
3 2
2
3 10
x x
x
x
x
 
(( )
⋅
+ +( )
+( )
= ⋅
−( ) + +( )
+
10
3 2
2
3 10 3 2
4 6 6
2 2
11
3 4 6 6
2 2
x x
x
x x x
x
 
(( )12
Logo, r x
x x x
x
’( )= ⋅
−( ) + +( )
+( )
11
3 4 6 6
2 2
3 10 3 2
12 .
Seja agora a função s x e x( ) cos( )= . Nesse caso, s f g=  em que f u eu( )= e 
g x x( ) cos( )= . Sabemos que f u eu’( )= e g x sen x’( ) ( )=− , consequentemente,
s x f g x e d
dx
x e sen xx x’( ) ( ) ’ cos( ) ( )cos( ) cos( )= ( )( ) = ⋅ ( )=−
Desse modo, s x e sen xx’( ) ( )cos( )=− .
Vejamos agora o caso da função t x x x( )= −( ) +( )2 1 14 3 5 . Aplicando inicial-
mente a regra do produto, obtemos:
158
t x d
dx
x x x d
dx
x’( )= −( )








⋅ +( ) + −( ) ⋅ +( )





2 1 1 2 1 14 3
5 4 3 5

Precisamos avaliar as derivadas das funções v x x( )= −( )2 1 4 e 
w x x( )= +( )3 51 . Ao aplicar a regra da cadeia a cada uma dessas 
funções, obtemos:
v x x d
dx
x x x’( )= −( ) ⋅ −( )








= −( ) ⋅ = −( )4 2 1 2 1 4 2 1 2 8 2 13 3 3
w x x d
dx
x x x x x’( )= +( ) ⋅ +( )







= +( ) ⋅( )= +( )5 1 1 5 1 3 15 13 4 3 3 4 2 2 3 44
Retornando à expressão obtida após a aplicação da regra do produto, 
segue que:
t x d
dx
x x x d
dx
x’( )= −( )








⋅ +( ) + −( ) ⋅ +( )





2 1 1 2 1 14 3
5 4 3 5

= −( ) ⋅ +( ) + −( ) ⋅( )⋅ +( )
=
 
 
8 2 1 1 2 1 15 1
2
3 3 5 4 2 3 4x x x x x
xx x x x x
x
−( ) ⋅ +( ) ⋅ +( )+ −( )⋅( )


= −( )
1 1 8 1 2 1 15
2 1
3 3 4 3 2
3 ⋅⋅ +( ) ⋅ − +( )x x x3 4 3 21 38 15 8
Portanto, t x x x x x’( )= −( ) ⋅ +( ) ⋅ − +( )2 1 1 38 15 83 3 4 3 2 .
Esses são apenas alguns exemplos de funções nas quais a regra da cadeia 
pode ser aplicada, visto que se trata de compostas de funções diferenciáveis 
nos pontos ou conjuntos em estudo, o que permite a aplicação do resultado 
em discussão.
Reflita
A regra da cadeia foi definida para a composição envolvendo duas 
funções. E se tivéssemos uma função na qual a composição de funções 
foi aplicada mais de uma vez? Por exemplo, como poderíamos deter-
minar a derivada da função composta f x x x( ) cos= −( )( )3 24 10 , 
sabendo que f é derivável em x e que as funções presentes nas compo-
sições são também diferenciáveis nos pontos em questão? Que estra-
tégia poderia ser empregada nesse tipo de situação?
Note que as regras de derivação podem ser aplicadas na determinação de 
derivadas de funções como y e x= cos( )2 ou y x x= + −3 4 1ln( ) , por exemplo. 
Em ambos os casos temos uma função da forma y f x= ( ) , a qual define y 
explicitamente como uma função de x. No entanto, existem funções que são 
159
definidas implicitamente, como é o caso de x y xy2 2 3+ = , por exemplo, isto 
é, não é possível isolar y de tal forma a representá-lo como uma função 
explícita de x . Porém, ainda que tenhamos esse tipo de problema, podemos 
empregar o método da derivação implícita com o objetivo de determinar, por 
exemplo, dy
dx
, mesmo que de forma implícita, o que viabiliza a solução de 
problemas modelados por funções dessa natureza.
Derivação implícita
Consideremos a equação do círculo unitário x y2 2 1+ = , na qual y é 
dado implicitamente em função de x . Queremos determinar dy dx e, para 
isso, iniciemos derivando os dois membros da igualdade em relação à x :
d
dx
x y d
dx
2 2 1+( )= ( )
Pelas regras de derivada da soma, da potência e da constante obtemos:
d
dx
x d
dx
y2 2 0( )+ ( )=
2 02x d
dx
y+ ( )=
Note que y é uma função de y , ainda que definida implicitamente. 
Desse modo, se y f x= ( ) , então y f x2 2=( )( ) e, pela regra da cadeia, 
teremos que:
d
dx
y d
dx
f x f x d
dx
f x y dy
dx
2 2 2 2( )= ( )( )=( )⋅ ( )= ⋅( ) ( ) ( )
Logo, d
dx
y y dy
dx
2 2( )= ⋅ , o que implica:
2 02x d
dx
y+ ( )=
2 2 0x y dy
dx
+ ⋅ =
2 2y dy
dx
x⋅ =−
dy
dx
x
y
x
y
=− =−
2
2
Sendo assim, dy
dx
x
y
=− . 
Observe que é possível determinar dy dx ainda que y seja dado implici-
tamente em função de x , desde que consideremos y f x= ( ) e a aplicação da 
regra da cadeia a y . Vejamos um outro exemplo de aplicação da 
derivação implícita.
160
Exemplificando
Queremos determinar a inclinação da reta tangente, no ponto P( , )1 2 , 
da curva descrita pela equação y xy x x2 32 8+ = − + . Sabemos que a 
inclinação da reta tangente pode ser dada por uma derivada, no caso,dy dx aplicada ao ponto P . Mas como y é dado implicitamente como 
função de x , então podemos aplicar a derivação implícita.
Iniciemos derivando ambos os membros da equação em relação a x e 
aplicando as regras da soma, do produto, da potência, da constante e da 
multiplicação por escalar como segue:
d
dx
y xy d
dx
x x2 32 8+( )= − +( )
d
dx
y d
dx
xy d
dx
x d
dx
x d
dx
2 32 8( )+ ( )= ( )+ −( )+ ( )
d
dx
y d
dx
xy d
dx
x d
dx
x d
dx
2 32 8( )+ ( )= ( )− ( )+ ( )
d
dx
y d
dx
x y x d
dx
y x2 22 3 1 0( )+ ( )⋅ + ⋅ ( )







= − +
d
dx
y y x dy
dx
x2 22 2 3 1( )+ + ⋅ = −
Como 
d
dx
y y dy
dx
2 2( )= ⋅ , pois y y x= ( ) , então:
2 2 2 3 12y dy
dx
y x dy
dx
x⋅ + + ⋅ = −
2 2 3 1 22y x dy
dx
x y+( ) = − −
dy
dx
x y
y x
=
− −
+
3 1 2
2 2
2
Queremos determinar a inclinação da reta tangente em P( , )1 2 , então 
basta tomar x =1 e y = 2 na expressão de dy dx , donde segue que:
dy
dx ( , )1 2
23 1 1 2 2
2 2 2 1
3 1 4
4 2
2
6
1
3
=
⋅ − − ⋅
⋅ + ⋅
=
− −
+
=
−
=−
Portanto, a inclinação da reta tangente à curva em questão no ponto 
P( , )1 2 é igual a -1 3 .
A derivação implícita também pode ser estudada quando desejamos 
determinar derivadas associadas a funções inversas. 
Por exemplo, seja a função y f x x x= = + +( ) 5 1 , a qual admite inversa. 
Queremos determinar a derivada da função inversa de f , sabendo que essa 
inversa é uma função f -1 tal que x f y= −1( ) , isto é, uma função que depende 
161
de y . Nesse sentido, sua derivada será dada por dx dy , pois, nesse caso, a 
variável independente do problema é y . 
Diante dessa informação, e considerando a lei de formação da função f
, derivando implicitamente a expressão de f em relação a y , e sabendo que 
x depende de y porque desejamos avaliar o comportamento da inversa f -1
, obtemos:
d
dy
y d
dy
x x( )= + +( )5 1
1 15= ( )+ ( )+ ( )d
dy
x d
dy
x d
dy
1 5 04= ⋅ + +x dx
dy
dx
dy
1 5 14= +( )x dx
dy
dx
dy x
=
+
1
5 14
Como não é possível reescrever a igualdade y x x= + +5 1 de modo a 
representar y explicitamente em função de x , então podemos manter a 
expressão de dx dy da forma como foi obtida, concluindo que dx
dy x
=
+
1
5 14
 
corresponde à derivada da função inversa de f x x x( )= + +5 1 . Logo, se temos 
que y f x= ( ) admite inversa, sabendo que f x dy dx’( )= , então a inversa 
x f y= −1( ) é diferenciável, com sua derivada f y dx dy−( ) =1 ’( ) .
Logo, podemos aplicar a derivação implícita no estudo de funções que são 
definidas implicitamente e, ainda, empregar essas derivadas para a resolução 
de problemas envolvendo inclinação de reta tangente, taxas de variação e 
funções inversas, entre outras.
Assimile
Para aplicar a derivação implícita na determinação de dy dx , quando 
x e y estão relacionados a partir de uma equação, em que y é dado 
implicitamente em função de x , podemos empregar a seguinte estra-
tégia:
Passo 1: derivar ambos os membros da equação em relação à variável 
independente (geralmente x ).
162
Passo 2: resolver em dy dx , isto é, agrupar os termos envolvendo 
dy dx em um membro da equação e os demais termos no outro lado 
da equação.
É importante sempre lembrar de que a derivada de qualquer função 
dependendo de y , em relação a x , envolve a aplicação da regra da 
cadeia, o que origina um produto pelo termo dy dx .
Quando resolvemos problemas empregando as regras de derivação ou 
derivação implícita, precisamos estudar as funções ou equações no sentido 
de identificar as estratégias e regras que devem ser aplicadas, além de ter 
o conhecimento das derivadas das funções mais utilizadas, como polino-
miais, racionais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. É por meio 
da prática das regras de derivação que podemos desenvolver as estratégias 
mais adequadas e eficientes para a resolução dos problemas envolvendo as 
derivadas. E, para esses estudos, não se esqueça de que a diferenciabilidade 
das funções nos pontos ou conjuntos é imprescindível para a aplicação das 
regras de derivação e a resolução dos problemas relacionados.
Sem medo errar
Você foi indicado para coordenar um projeto de capacitação interna para 
funcionários do setor de computação na empresa em que você atua e, para 
isso, precisa organizar as tarefas que serão aplicadas durante a capacitação. 
Assim, sua tarefa consiste em analisar e resolver as duas tarefas elaboradas, 
identificando os conceitos necessários para a resolução dessas tarefas.
A primeira tarefa consiste em calcular derivadas utilizando as regras de 
derivação. Assim, vejamos no que segue como podemos calcular as derivadas 
de 1ª ordem para cada uma das funções apresentadas:
• f x sen x( ) ( )= 3 : Note que f g h=  em que g u u( )= 3 e h x sen x( ) ( )= , 
então pela regra da potência temos g u u’( )= 3 2 , além disso, é conhecido 
que h x x’( ) cos( )= . Assim, pela regra da cadeia podemos concluir que:
f x g h x h x sen x x’( ) ’( ( )) ’( ) ( ) cos( )= ⋅ =( )⋅3 2
• s x x
x
( )= −
+






4
3 1
2
5
 : Observe que s p q=  em que p u u( )= 5 e 
q x x
x
( )= −
+
4
3 1
2
, então pela regra da cadeia, s x p q x q x’( ) ’( ( )) ’( )= ⋅ . Pela 
regra da potência p u u’( )= 5 4 , e pela regra do quociente:
163
q x
x x x x
x
’( )
’ ’
=
−( ) +( )− −( ) +( )
+( )
4 3 1 4 3 1
3 1
2 2
2
Pelas regras da soma, multiplicação por escalar e constante, 
3 1 3 1 3x x+( ) = ( ) +( ) =’ ’ ’ . No entanto, observe que a função v x x( )= −4 2 é 
também uma função composta, o que exige a aplicação da regra da cadeia 
novamente. Note que v w t=  em que w u u u( )= = 1 2 e t x x( )= −4 2 . Pelas 
regras da potência, da soma, da multiplicação por escalar e da constante 
obtemos w u u’( )= −1
2
1 2 e t x x’( )=−2 . Assim, pela regra da cadeia,
v x w t x t x x x x x’( ) ’( ( )) ’( )= ⋅ = −( )







⋅ −( )=− −( )− −1
2
4 2 42
1 2 2 1 2
Agora, da expressão de q x’( ) segue que:
q x
x x x x
x
x x x
’( )
’ ’
=
−( ) +( )− −( ) +( )
+( )
=
− −( )( ) +−
4 3 1 4 3 1
3 1
4 3 1
2 2
2
2 1 2 (( )− −( )( )
+( )
=
− −( ) −( ) − −
+( )
−4 3
3 1
3 4 3 4
3 1
2
2
2 2 1 2 2
2
x
x
x x x x
x
Por fim, da expressão de s x’( ) obtemos:
s x p q x q x
x
x
’( ) ’( ( )) ’( )= ⋅
= ⋅
−
+






⋅
−
 5 4
3 1
32
4
xx x x x
x
x
2 2 1 2 2
2
2
4 3 4
3 1
5
4
−( ) −( ) − −
+( )












= ⋅
−( )
−
 
44
4
2 2 1 2 2
23 1
3 4 3 4
3 1x
x x x x
x+( )
⋅
− −( ) −( ) − −
+( )












−
 = ⋅
−( )
+( )
⋅
− −( ) −( ) − −( )
+( )



−
5
4
3 1
3 4 3 4
3 1
2 2
4
2 2 1 2 2 1 2
2
x
x
x x x x
x









=
− −( ) −( ) − −( )
+( )
 
15 5 4 15 4
3 1
2 2 3 2 2 5 2
6
x x x x
x
Portanto, s x
x x x x
x
’( )=
− −( ) −( ) − −( )
+( )
15 5 4 15 4
3 1
2 2 3 2 2 5 2
6 .
164
Para a tarefa 2 você deve estudar o problema que envolve a determinação 
da equação da reta tangente à curva x y3 3 2+ = no ponto 1 1,( ) . Como a 
curva é tal que sua equação expressa y implicitamente em função de x , 
precisamos inicialmente avaliar a inclinação da reta tangente por meio da 
aplicação da estratégia da derivação implícita à equação da curva. Para isso, 
derivando ambos os membros da equação em relação à x , aplicando regra 
da cadeia, da soma, da potência e da constante, obtemos:
d
dx
x y d
dx
d
dx
x d
dx
y d
dx
x d
dx
y3 3 3 3 2 32 2 3+( )= ( ) ⇔ ( )+ ( )= ( ) ⇔ + (( )=
⇔ + ⋅ =
0
3 3 02 2 x y dy
dx
 ⇔ ⋅ =− ⇔ =−3 32 2
2
2y
dy
dx
x dy
dx
x
y
Sendo assim, a inclinação da reta tangente pode ser avaliada a partir de 
dy dx . Como desejamos estudar a equação da reta tangente em ( , )1 1 , substi-
tuindo x =1 e y =1 em dy dx obtemos que a inclinação da reta tangente 
desejada é dada por dy dx=−1 . Sendo assim, como a reta tangente consiste 
na reta com inclinação -1 passando pelo ponto ( , )1 1 , sua equação será:
y x y x y x= −( ) −( )+ ⇔ =− ++ ⇔ =− +1 1 1 1 1 2 
isto é, a equação da reta tangente é y x=− +2 .
Finalize seu desafio elaborando o documento que organiza todas as infor-
mações obtidas a respeito das duas tarefas, contendo enunciados e resolu-
ções detalhadas, e não se esqueça de elencar também possíveis dúvidas 
que podem ser manifestadas pelos participantes durante a aplicação dessa 
capacitação, além de apresentar orientações sobre como sanar essas dúvidas 
durante a capacitação.
Avançando na prática
Regra da cadeia e interpretação de tabelas
Suponha que você ficou encarregado, em conjunto com sua equipe, de 
resolver um problema, o qual foi apresentado por um cliente do escritório de 
consultoria em que você atua. Durante a resolução desse problema, vocês 
obtiveram a Tabela 3.1, indicando imagens das funções f e g , bem como de 
suas derivadas de 1ª ordem, em alguns pontos específicos.
165
Tabela 3.1 | Funções e suas imagens
x f x( ) f x’( ) g x( ) g x’( ) 
1 4 5 4 -1
4 -2 2 1 0
Fonte: elaborada pela autora.
O setor de implementação computacional deseja utilizar os dados 
presentes na Tabela 3.1 para validar o software em desenvolvimento e que 
será entregue ao cliente, o qual relaciona as funções f e g entre si por meio 
da composição de funções, além de possibilitar o cálculo de derivadas. Assim, 
com base nos dados apresentados, determine F ’( )1 e G ’( )1 , sabendo que 
F f g=  e G g f=  .
Resolução da situação-problema
Sabemos que F f g=  e G g f=  , sendo assim, pela regra da cadeia:
F x f g x f g x g x’( ) ( )’( ) ’( ( )) ’( )= = ⋅
G x g f x g f x f x’( ) ( )’( ) ’( ( )) ’( )= = ⋅
Para calcular F ’( )1 devemos determinar f g g’( ( )) ’( )1 1× . Com base na 
Tabela 3.1 podemos identificar que g( )1 4= e g ’( )1 1=− . Além disso, 
f g f’( ( )) ’( )1 4 2= = , logo,
F f g g f’( ) ’( ( )) ’( ) ’( ) ( ) ( )1 1 1 4 1 2 1 2= ⋅ = ⋅ − = ⋅ − =−
isto é, F ’( )1 2=− . Para determinarmos G ’( )1 precisamos calcular 
g f f’( ( )) ’( )1 1× . Pela Tabela 3.1 sabemos que f ( )1 4= e f ’( )1 5= e, além disso, 
g f g’( ( )) ’( )1 4 0= = , assim:
G g f f g’( ) ’( ( )) ’( ) ’( )1 1 1 4 5 0 5 0= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
ou seja, G ’( )1 0= . 
Observe que por meio da regra da cadeia podemos estudar o compor-
tamento de derivadas de funções compostas, de modo que as funções 
envolvidas sejam definidas a partir de tabelas, considerando que os 
dados conhecidos sejam suficientes para estudar as funções e as possíveis 
composições que podem ser construídas. Desse modo, finalize a sua tarefa 
elaborando um relatório detalhado para ser encaminhado ao setor de imple-
mentação computacional a respeito da estratégia empregada na resolução 
desse tipo de problema.
166
Faça valer a pena
1. Analise as funções descritas a seguir:
f x x x( )= +( )2 1 7
g x x
x
( )= +
+
2 1
3 2
 
h x xe ex x( )= +− 3 
k x x x( )= 2 2
Em relação às funções apresentadas e com base nas regras de derivação, 
julgue as afirmativas a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Para determinar a derivada da função f é necessário empregar apenas 
as seguintes regras de derivação: soma, multiplicação por escalar e constante.
( ) Para determinar a derivada da função g é necessário empregar apenas as 
seguintes regras de derivação: cadeia, soma e quociente.
( ) Para determinar a derivada da função h é necessário empregar apenas as 
seguintes regras de derivação: cadeia, produto, potência e soma.
( ) Para determinar a derivada da função k é necessário empregar apenas as 
seguintes regras de derivação: produto, potência e multiplicação por escalar.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
a. V – V – F – F.
b. V – F – V – F.
c. V – V – F – V.
d. F – V – F – V.
e. F – F – V – V.
2. Suponha que uma população de peixes em determinado tanque possa ser 
aproximada pela função P t e t( ) ,=10 0 6 , em que t é dado em meses.
A respeito dessa situação, analise as afirmativas a seguir:
I. A taxa de variação da população de peixes pode ser determinada 
porque a função P é diferenciável.
II. A derivada de P pode ser obtida pela aplicação apenas da regra de 
derivação da multiplicação por escalar.
167
III. A função P é obtida por meio de uma composição entre as funções 
afim e exponencial.
IV. A taxa de variação da população de peixes quanto t = 4 é de aproxi-
madamente 66 peixes por mês.
Considerando o contexto apresentado, é correto o que se afirma em.
a. I e III, apenas.
b. II e IV, apenas.
c. I, II e III, apenas.
d. I, III e IV, apenas.
e. I, II, III e IV.
3. Considere a curva descrita pela equação:
x y xy2 32 4+ =
Um dos estudos que pode ser realizado a partir dessa curva é a construção das 
equações das retas tangentes a pontos específicos em seu gráfico, sendo que 
a inclinação dessas retas depende necessariamente do cálculo de derivadas 
aplicadas aos pontos da curva em estudo.
Diante das características dessa curva, avalie as seguintes asserções e a relação 
proposta entre elas.
I. A inclinação da reta tangente à curva pode ser obtida a partir da 
aplicação da derivação implícita.
PORQUE
II. A variável y é definida implicitamente em relação à x, sendo a 
derivada descrita implicitamente como dy
dx
xy y xy
x
=−
+ +2 2 63 2
2
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I.
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa.
d. A asserção I é uma proposição falsa e a II, verdadeira.
e. As asserções I e II são proposições falsas.
Referências
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em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/cfi/0!/4/4@0.00:0.00. 
Acesso em: 24 abr. 2020.
FERNANDES, D. B. (org.). Cálculo Diferencial. São Paulo: Pearson Education do Brasil: 2014.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limites, derivação e integração. 6. 
ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo: volume 1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/cfi/6/2!/4/2/2@0:0. Acesso 
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HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo a uma e várias variáveis: volume 1. Rio de Janeiro: 
LTC, 2011.
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo: volume 1. 3 ed. Porto Alegre: Bookman, 2018.
STEWART, J. Cálculo: volume I. São Paulo: Cengage Learning, 2016. Disponível em: https://
integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/cfi/0!/4/4@0.00:25.0. Acesso em: 
24 abr. 2020.
THOMAS, G. B. et al. Cálculo: volume 1. 12 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
ZANARDINI, R. A. D. Um breve olhar sobre a História da Matemática. Curitiba: InterSaberes, 
2017. 
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/cfi/0!/4/4@0.00:25.0
Unidade 4
Alessandra Negrini Dalla Barba
Aplicações das derivadas
Convite ao estudo
Diversas áreas do conhecimento e setores da sociedade precisam lidar 
diariamente com problemas que envolvem taxas de variação. Indústrias 
que precisam organizar suas produções de modo a minimizar os gastos 
com matérias-primas e maximizar os lucros, problemas do campo da Física 
que envolvem velocidade e aceleração de partículas em função do tempo e 
laboratórios de pesquisa que precisam aplicar procedimentos de decantação 
para purificar substâncias são apenas alguns exemplos de situações reais 
que podem ser relacionadas ao conceito de derivada, visto que podem ser 
descritas, dentre outros, com o auxílio de funções e de suas derivadas.
Dessa forma, é essencial o conhecimento dos conceitos teóricos envol-
vendo derivadas, e não apenas as definições e propriedades,mas também 
as estratégias que podem ser empregadas na resolução, por exemplo, de 
problemas de otimização. Por isso, ao longo dessa unidade, discutiremos a 
respeito das principais aplicações que podemos identificar para o conceito 
de derivada, relacionando com as interpretações que podem ser atribuídas 
a ela nos diferentes contextos, de modo a aplicar as definições, as regras de 
derivação e as demais propriedades associadas.
Assim, durante esses estudos, é importante que haja um planejamento, 
visto que a resolução dos problemas aplicados exige a construção de estra-
tégias adequadas, desde a construção dos modelos, análise das funções e 
suas derivadas, bem como a determinação da solução e sua interpretação 
conforme o contexto em estudo. Por isso, é necessário realizar a leitura atenta 
dos problemas, procurando relacionar as variáveis e taxas conhecidas com os 
conceitos teóricos associados às derivadas.
Diante desse contexto, na primeira seção discutiremos a respeito das taxas 
relacionadas, que correspondem a problemas em que as incógnitas são taxas 
de variação que podem ser associadas à outras taxas e a valores das variá-
veis, além dos pontos críticos, com a caracterização dos pontos de máximo e 
mínimo de uma função, em conjunto com o teorema do valor extremo. 
Na segunda seção trataremos sobre teoremas de Rolle e do valor inter-
mediário, bem como dos testes de primeira e segunda derivadas que podem 
ser empregados no estudo de problemas envolvendo máximos e mínimos 
de funções.
Por fim, na terceira seção os estudos serão direcionados aos problemas 
de otimização, presentes nas mais variadas ciências, e na regra de L’Hospital, 
aplicadas no estudo de limites de funções cujas análises diretas podem 
gerar indeterminações.
Diante dessas temáticas, prossiga em seus estudos e confira algumas das 
principais aplicações envolvendo os conceitos de função e derivada, relacio-
nando-as com seus conhecimentos prévios a respeito desse tema. 
172
Seção 1
Taxas relacionadas e pontos críticos
Diálogo aberto
As derivadas de funções reais podem ser empregadas no estudo de 
propriedades de funções, mas também na resolução de problemas envol-
vendo, principalmente, taxas de variação associadas a diferentes variáveis, 
como é o caso, por exemplo, do estudo da velocidade enquanto taxa de 
variação da função posição no tempo.
Em diversas áreas de nossa sociedade, os modelos matemáticos são de 
grande auxílio quando desejamos construir simulações associadas a diversas 
situações, buscando, por exemplo, identificar as melhores formas de empregar 
os recursos disponíveis ou minimizar os gastos com matérias-primas, entre 
outros. Assim, ao modelar uma situação por meio de uma função, podemos 
empregar os pontos de máximos e mínimos correspondentes com o objetivo 
de relacionar com as situações exemplificadas, permitindo a execução de um 
estudo prévio que possa contribuir para a avaliação e resolução do problema 
sem que haja gastos apenas para execução dos testes.
Desse modo, o estudo de modelos matemáticos envolvendo funções e 
suas derivadas podem ser empregados, dentre outros casos, na resolução 
de problemas que visam à identificação de máximos e mínimos de funções, 
como maximizar o volume de sólidos ou minimizar os custos de produção, 
desde que as funções envolvidas sejam diferenciáveis nos domínios em 
estudo, de modo a possibilitar a determinação das derivadas, os pontos 
críticos correspondentes e suas classificações enquanto máximos e mínimos.
Além disso, as funções e suas derivadas podem ser empregadas no estudo 
das chamadas taxas relacionadas, nas quais buscamos relacionar a taxa de 
variação de determinada grandeza em função das variações de uma outra 
grandeza, determinando as equações que relacionam as variáveis envolvidas 
e aplicando a regra da cadeia de modo a associar com as informações previa-
mente conhecidas.
Diante desse contexto, ao longo desta seção discutiremos a respeito das 
aplicações das derivadas na interpretação de taxas relacionadas, provenientes 
de diferentes ciências e que envolvem relações entre diferentes variáveis, bem 
como no estudo de máximos e mínimos de funções por meio do estudo de 
pontos críticos associados.
173
Para esse estudo, suponha que você atua em uma empresa de engenharia, 
a qual presta serviços a diversas empresas e indústrias do ramo de desenvolvi-
mento e produção de reservatórios e tubulações, voltados tanto a residências 
e pequenos comércios quanto a indústrias de grande porte. Assim, dentre 
os atendimentos realizados pela empresa de engenharia está a resolução de 
problemas variados apresentados pelos clientes. Nesse contexto, suponha 
que você e sua equipe precisam atender a um cliente, uma indústria que atua 
na fabricação de tanques e reservatórios para fins residenciais e comerciais 
de pequeno porte. Durante esse atendimento, o cliente solicitou o estudo e a 
resolução dos seguintes problemas:
Problema 1: Um tanque tem o formato de um cone circular reto invertido 
com 8 metros de altura e o diâmetro no topo corresponde a 6 metros. Está 
escoando água desse tanque a uma taxa de 10000 cm /min3 a partir de um 
orifício localizado em sua parte inferior e conectado a uma torneira. Ao 
mesmo tempo, água está sendo bombeada para dentro desse tanque a uma 
taxa constante. Para que o nível da água suba a uma taxa de 20 cm/min 
quando a altura da água for 2 metros, qual deve ser a taxa segundo a qual a 
água está sendo bombeada para dentro desse tanque?
Problema 2: Deseja-se fabricar um reservatório no formato de um 
cilindro circular reto de modo que esse reservatório tenha volume máximo. 
Sua equipe fez uma análise prévia desse problema e identificou que o volume 
V desse reservatório pode ser relacionado com o raio r de sua base a partir da 
função V r r r( )= −90 3p p . Com base nessas informações, determine o valor 
de r para o qual o volume desse reservatório seja máximo.
Como você resolveria esses problemas? Quais são os conceitos neces-
sários para a resolução de cada um deles? Elabore um relatório técnico, 
contendo as resoluções detalhadas para cada um dos problemas, indicando 
os conceitos e justificativas necessárias.
Dê sequência em seus estudos e confira algumas das principais aplicações 
do conceito de derivadas em situações práticas!
Não pode faltar
Quando calculamos a derivada de uma função y f x= ( ) , podemos 
relacioná-la com a taxa de variação de y em relação a x, o que pode ser 
denotado por dy dx . A partir desse tipo de relação, podemos analisar como 
se dá o comportamento entre duas variáveis empregando o conceito de taxa 
relacionada, o qual busca evidenciar de que forma a taxa de variação de uma 
174
certa variável influencia nas variações de uma outra, as quais estão relacio-
nadas entre si a partir de alguma equação ou de alguma situação específica.
Taxas relacionadas
Por exemplo, quando tomamos um quadrado com lado de medida a 
unidades e consideramos que essa medida está variando, por exemplo, de 
forma crescente, isto é, estamos aumentando gradativamente o valor de a , 
note que essa modificação influencia também a área dessa figura, a qual varia 
à medida que o valor de a sofre variações. Assim, podemos relacionar a taxa 
de variação da área do quadrado com a taxa de variação da medida de seus 
lados. 
O exemplo anterior foi construído a partir de um contexto matemático, 
porém, essa relação entre taxas de variação também pode ser aplicada em 
outras ciências, desde que seja possível identificar variáveis associadas entre 
si e funções diferenciáveis que as relacionem.
Vejamos a seguir um exemplo de aplicação das taxas relacionadas no 
contexto da Física.
Exemplificando
Suponha que um indivíduo esteja enchendo uma bola de futebol, a qual 
pode ser aproximada por uma esfera. O ar está sendo bombeado para o 
interior dessa bola a uma taxa de 100 cm /s3 . Quão rápido o raio dessa 
bola está aumentando quando o seu diâmetro for 8 cm?
Para resolver esse problema, vamos considerara informação de que a 
taxa de crescimento do ar é de 100 cm /s3 . Além disso, temos que a 
incógnita desse problema consiste na taxa de crescimento do raio 
quando o diâmetro é de 8 cm, ou quando seu raio é 4 cm.
Adotando V para representar o volume da bola e r para o seu raio, 
sabemos que como a bola pode ser descrita por uma esfera de raio r, 
então seu volume será dado por:
V r= 4
3
3p
Note que o volume e o raio variam em função do tempo, dado em 
segundos, assim, a taxa de crescimento do volume em relação ao tempo 
consiste em dV dt , enquanto a taxa de crescimento do raio no tempo 
é dr dt .
Associando essas informações aos dados iniciais temos que 
dV dt =100 cm /s3 , enquanto a incógnita do problema é dr dt 
quando r = 4 cm . 
175
Por meio da expressão do volume, a qual corresponde a uma função 
composta, calculando a derivada e aplicando a regra da cadeia teremos:
dV
dt
dV
dr
dr
dt
d
dr
r dr
dt
r dr
dt
r= ⋅ =





⋅ = ( )⋅ =
4
3
4
3
3 43 2 2p p p ddr
dt
isto é, 
dV
dt
r dr
dt
= 4 2p . Isolando a incógnita e substituindo as informa-
ções conhecidas segue que:
dV
dt
r dr
dt
dr
dt r
dV
dt
= ⇒ = ⋅4 1
4
2
2p p
 
 ⇒⇒ =
( )
⋅
⇒
 
 
dr
dt
dr
dt
( )
( )
4 1
4 4
100
4
2
p
==
25
16p
Sendo assim, a taxa de crescimento do raio em relação ao tempo 
quando r = 4 é dada por 25 16p cm/s ou, aproximadamente, 0,497 
cm/s.
O problema descrito no exemplo anterior é chamado problema de taxas 
relacionadas, pois observe que o objetivo era determinar uma taxa de variação 
desconhecida, relacionando-a com outras variáveis e taxas de variação.
Para resolver esse tipo de problema é importante empregar uma estra-
tégia correta. A seguir, confira algumas sugestões sobre como podemos 
resolver problemas desse tipo.
Assimile
Para resolver problemas envolvendo taxas relacionadas, podemos 
adotar a seguinte estratégia:
• Ler cuidadosamente o enunciado do problema.
• Identificar notações para todas as variáveis relevantes presentes 
no problema.
• Identificar as taxas de variações conhecidas e a taxa de variação 
que corresponde à incógnita do problema, representando-as na 
forma de derivadas.
• Encontrar equações que relacionem as variáveis cujas taxas de 
variações foram identificadas e, quando possível, esboçar figuras 
que ilustrem essas relações e equações.
• Calcular as derivadas de modo a obter uma relação entre as taxas 
de variações conhecidas e a incógnita, empregando a regra da 
cadeia e demais regras de derivação.
176
• Substituir os valores conhecidos das taxas de variação e das variáveis.
• Resolver a equação para a taxa de variação desconhecida.
É importante sempre construir um planejamento para a resolução dos 
problemas envolvendo taxas relacionadas, procurando trabalhar inicial-
mente com a representação das variáveis por letras, conforme os objetivos 
dos problemas, e aplicar as substituições por valores numéricos apenas nas 
etapas finais, após os cálculos de derivadas, para evitar que sejam obtidos 
resultados incorretos ao longo desse processo.
Vejamos outro exemplo envolvendo taxas relacionadas. Suponha que 
uma escada de 1,3 m está apoiada em uma parede. Sabendo que seu topo 
desliza sobre a parede para baixo a uma taxa de 0,2 m/s, com que rapidez 
a base da escada estará se afastando da parede quando o topo estiver 0,5 m 
acima do chão?
Para interpretar esse problema, podemos inicialmente construir um 
esboço, conforme a Figura 4.1, a partir do qual podemos identificar algumas 
das informações apresentadas.
Figura 4.1 | Escada apoiada em uma parede
Fonte: elaborada pela autora.
Denotemos por x a distância da base da escada à parede e por y a distância 
do topo da escada ao chão. Nesse caso, pelo teorema de Pitágoras temos que:
x y2 2 21 3 1 69+ =( ) =, ,
Sabemos que o topo da escada desliza sobre a parede para baixo a uma 
taxa de 0,2 m/s, então dy dt=−0 2, , visto que a escada desliza para baixo. 
Queremos determinar dx dt para o qual y = 0 5, . Derivando cada lado da 
igualdade envolvendo x e y com relação a t obtemos:
177
2 2 0x dx
dt
y dy
dt
dx
dt
y
x
dy
dt
+ = ⇒ =− 
Do teorema de Pitágoras, se y = 0 5, então x =1 2, , e sendo 
dy dt=−0 2, então:
dx
dt
=− ⋅ −( )≈0 5
1 2
0 2 0 083,
,
, ,
Portanto, a base da escada estará se afastando da parede a uma taxa de 
0,083 m/s.
Assim, no estudo de problemas sobre taxas relacionadas, é imprescin-
dível a identificação das variáveis e das taxas conhecidas, bem como de uma 
expressão que relacione as variáveis do problema entre si e que permita um 
estudo a respeito das derivadas correspondentes, empregando a substituição 
dos valores numéricos conhecidos apenas nas etapas finais.
Reflita
Você conseguiria identificar outros tipos de problemas associados 
às taxas relacionadas? Quais são as informações que devem estar 
presentes no enunciado de problemas dessa natureza para que seja 
possível solucioná-lo, com base no conceito de derivada?
Além das taxas relacionadas, as derivadas de funções reais também 
podem ser aplicadas em problemas que exigem a maximização ou a minimi-
zação de fenômenos, sendo essencial, para essas situações, a caracterização 
de pontos de máximo e de mínimo para funções.
Máximos e mínimos de funções reais
Seja uma função real f e um ponto c pertencente ao seu domínio. Dizemos 
que c é um valor máximo local de f se f c f x( ) ( )³ para valores x suficiente-
mente próximos de c. Por outro lado, c é um valor mínimo local de f se 
f c f x( ) ( )£ para valores x suficientemente próximos de c. 
Nesse sentido, os pontos de máximo local e mínimo local são identifi-
cados quando eles assumem, respectivamente, o maior e o menor valor da 
função em intervalos abertos em torno desses pontos. 
Quando c é tal que f c f x( ) ( )³ para todos os pontos x do domínio da 
função f, então dizemos que c é um valor máximo global ou valor máximo 
absoluto da função f. E se o ponto c é tal que f c f x( ) ( )£ para todo x perten-
cente ao domínio de f, então c corresponde ao valor mínimo global ou valor 
mínimo absoluto de f. Em ambos os casos, dizemos que c corresponde a um 
valor extremo da função f.
178
Exemplificando
Considere a função f :  ® definida por f x x( )= 2 . Note que x2 0³ 
para todo x real. Dessa forma, x = 0 corresponde a um valor mínimo de 
f, sendo classificado como valor mínimo global porque corresponde ao 
ponto no qual a função f assume o menor valor possível em seu domínio. 
Na Figura 4.2 temos a representação gráfica de f, o que permite visua-
lizar esse comportamento de f.
Figura 4.2 | Representação gráfica para a função f x x( )= 2
Fonte: elaborada pela autora.
Vejamos agora o comportamento da função g : ® definida por 
g x x x( )= − +3 3 2 , cujo gráfico é ilustrado na Figura 4.3.
Figura 4.3 | Representação gráfica para a função g x x x( )= − +3 3 2
Fonte: elaborada pela autora.
179
Observe que a função assume um valor máximo local em x=−1 , pois 
corresponde ao maior valor da função f em pontos suficientemente 
próximos dele. Por outro lado, x =1 consiste em um valor mínimo local 
de f, por ser o menor valor de f em torno desse ponto. No entanto, note 
que esses pontos não são valores extremos globais, porque a função f 
tende a valores menores que em x =1 quando x tende a −∞ , e f 
tende a valores maiores que em x=−1 quando x tende a +∞ .
Para identificar quais funções assumem valores máximos ou mínimos 
absolutos podemos empregar o resultado apresentado a seguir, referente às 
funções contínuas.
Teorema do valor extremo: Se f for contínua em um intervalo fechado 
a b,[ ] , então f assume um valor máximo absoluto f c( ) e um valor mínimo 
absoluto em f d( ) , para valores c e d pertencentes ao intervalo a b,[ ] .
Por exemplo, se definirmos a função f : ,0 1[ ]→ em que f x x x( )= − +4 23 1 
temos que, segundo o teorema do valor extremo, f admite valor máximo e 
mínimo absolutos nesse intervalo, por ser uma função contínua definidaem 
um intervalo fechado do tipo a b,[ ] . Porém, como podemos identificar em 
quais pontos a função pode assumir valores máximos ou mínimos? Para isso, 
podemos analisar o comportamento da derivada da função f, a qual é diferen-
ciável no intervalo a b,( ) , e mais especificamente em relação às suas raízes.
Um número ou ponto crítico de uma função f é um número c perten-
cente ao domínio de f para o qual f c’( )= 0 ou f c’( ) não existe.
Reflita
Note que o ponto crítico de uma função f é um ponto tal que a derivada 
de f é nula ou não existe nele. Nesse sentido, o que podemos afirmar a 
respeito da relação entre a função módulo f x x( )= , o ponto x = 0 de 
seu domínio e a definição de ponto crítico?
Considere, por exemplo, a função f :  ® definida por f x x( )= 2 . Note 
que x = 0 é um valor mínimo de f; além disso, note que sendo f x x’( )= 2 
então f ’( )0 0= , isto é, x = 0 é um ponto crítico de f. Por outro lado, seja a 
função g : ® definida por g x x x( )= − +3 3 2 . Sabe-se que x =1 é um 
valor mínimo local de f e x=−1 é um valor máximo local de f. Calculando a 
derivada de g obtemos g x x’( )= −3 32 . Observe que g ’( )1 3 1 3 02= ( ) − = e 
g ’( )− = −( ) − =1 3 1 3 02 . Assim, x =1 e x=−1 são ambos pontos críticos de g. 
180
Dessa forma, se f tiver um máximo ou um mínimo local em c então c 
é um ponto crítico de f. Logo, podemos estudar os pontos críticos de uma 
função de tal forma a identificar os valores máximos e mínimos e, se possível, 
determinar quais desses pontos correspondem aos valores máximo e mínimo 
globais da função.
Exemplificando
Considere a função p : ,−[ ]→5 0  dada por p x x x x( )= + + +3 26 9 4 . 
Queremos determinar os valores máximo e mínimo locais associados a 
essa função. Para isso, vamos determinar os pontos críticos associados 
a ela. Assim, calculando a derivada de p e igualando a zero obtemos:
p x x x’( )= + + =3 12 9 02
Resolvendo essa equação, obtemos x=−3 e x=−1 , os quais são 
pontos críticos associados a p. Calculando as imagens em relação a p 
segue que:
p( )− = −( ) + −( ) + −( )+ =3 3 6 3 9 3 4 43 2
p( )− = −( ) + −( ) + −( )+ =1 1 6 1 9 1 4 03 2
Assim, x=−3 é um valor máximo local e x=−1 é um valor mínimo 
local. 
Para analisar se esses pontos são valores extremos globais da função p, 
vejamos os valores assumidos pela função em seus extremos:
p( )− = −( ) + −( ) + −( )+ =−5 5 6 5 9 5 4 163 2
p( )0 0 6 0 9 0 4 43 2= + ⋅ + ⋅ + =
Observe que p p( ) ( )− < −5 1 , logo, x=−5 é o valor mínimo global de p, 
enquanto x=−3 e x = 0 são ambos máximos globais, visto que suas 
imagens pela função p são iguais.
Observe que ao investigar os valores máximos e mínimos globais de uma 
função cujo domínio seja descrito por um intervalo fechado do tipo a b,[ ] , é 
necessário avaliar o comportamento da função também nos extremos desse 
intervalo, visto que eles também podem corresponder a pontos de máximo 
ou mínimo da função.
Assimile
Para determinar os valores máximos ou mínimos globais de uma função 
definida em um intervalo fechado da forma a b,[ ] devemos, inicial-
mente, determinar os pontos críticos de f em a b,( ) e comparar os 
181
valores de f nos pontos críticos e nos extremos do intervalo a b,[ ] de tal 
forma a identificar quais desses pontos correspondem aos valores 
máximo e mínimo globais de f.
Desse modo, para determinar os valores máximos e mínimos locais 
devemos observar o comportamento da função localmente, em torno dos 
pontos críticos pertencentes ao seu domínio. Porém, quando desejamos 
valores máximos e mínimos globais, precisamos analisar o comportamento 
da função em todo o seu domínio, inclusive em seus extremos, caso seja 
definida por um intervalo fechado.
Reflita
Você conseguiria identificar um exemplo de função diferente dos que 
foram apresentados, em que os valores máximos ou mínimos globais 
ocorrem no interior do domínio da função? E um exemplo em que os 
máximos e mínimos globais ocorrem nos extremos do intervalo que 
caracteriza o domínio da função?
Observe as diferentes aplicações das derivadas na resolução de problemas 
provenientes de situações e contextos reais. No entanto, é importante que 
você observe as propriedades das funções que compõem os modelos, verifi-
cando se elas são diferenciáveis, de modo a comprovar se é possível aplicar as 
derivadas para contribuir com a resolução desses problemas.
Sem medo de errar
Para cumprir o desafio proposto, precisamos estudar um problema 
relativo às taxas relacionadas e outro a respeito de máximos e mínimos de 
funções, sendo ambos relacionados ao estudo de derivadas de funções reais.
Vejamos a resolução para o problema 1. Inicialmente, dispomos das 
seguintes informações, as quais adotaremos sempre em função das medidas 
dadas em centímetros para manter o padrão:
• O tanque tem o formato de um cone circular reto invertido com 8 
metros de altura, ou 800 cm, e 3 metros, ou 300 cm, de raio da base 
localizada na parte superior.
• O escoamento de água do tanque ocorre a uma taxa de 10000 cm /min3 .
• Água está sendo bombeada para o interior do tanque a uma 
taxa constante.
182
• A taxa de variação do nível – ou altura – da água no tanque é de 20 
cm/min.
• A incógnita corresponde à taxa segundo a qual a água está sendo 
bombeada para dentro desse tanque quando a altura é de 2 metros, 
ou 200 cm.
Com base nesses dados e sabendo que a água assume o formato do recipiente 
no qual ela é armazenada, podemos representar as seguintes variáveis:
• V: volume da água no tanque.
• h: altura, ou nível, da água no tanque.
• r: raio da base da água no tanque.
• T: taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro 
do tanque.
Se a água assume o formato, dentro do reservatório, de um cone circular reto 
de altura h e raio r, então o volume de água pode ser dado por V r h= 1
3
2p . 
Na Figura 4.4 é apresentado um esboço para o formato do tanque e, a 
partir da semelhança entre os triângulos que podem ser identificados, 
podemos observar que:
300 800 3
8r h
r h= ⇒ = 
Substituindo essa relação na expressão do volume do cone obtemos:
V h h h h h=





 =






=
1
3
3
8
1
3
9
64
3
64
2 2
3p p p
Assim, o volume do cone será dado em função da altura como V h= 3
64
3p .
Figura 4.4 | Esboço para o tanque de água
Fonte: elaborada pela autora.
183
Calculando a derivada de V em relação ao tempo, e aplicando a regra da 
cadeia, obtemos:
dV
dt
dV
dh
dh
dt
h dh
dt
h dh
dt
= ⋅ = ( )⋅ = ⋅3
64
3 9
64
2 2p p
Das informações do problema sabemos que dh dt = 20 cm/min e 
queremos a taxa de variação para h= 2 m ou h= 200 cm . Sendo assim,
dV
dt
h dh
dt
dV
dt
dV
dt
= ⋅ ⇒ = ( ) ⋅( ) ⇒ =9
64
9
64
200 20 1125002 2p p p cm /min3
Como a taxa de variação do volume consiste na diferença entre a taxa de 
água que está sendo bombeada para dentro do tanque e o volume que escapa 
pela torneira, então:
112500 10000 112500 10000 363429 17p p= − ⇒ = + ≈T T cm /min3,
Portanto, a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro 
do tanque é de aproximadamente 363429 17, cm /min3 .
Vejamos agora a resolução para o problema 2. Temos um reservatório no 
formato de um cilindro circular reto cujo volume V pode ser relacionado 
com o raio r de sua base a partir da função V r r r( )= −90 3p p . Queremos 
determinar o valor do raio para o qual tenhamos volume máximo. Para isso, 
precisamos determinar o ponto de máximo da função V r( ) . Sabemos que se 
a função V admite valores máximos ou mínimos, eles ocorrem em seu ponto 
crítico. Assim, vamos determinar as raízes da derivada de V, isto é, os valores 
de r para os quais V r’( )= 0 :
V r r r r’( )= − = ⇒ − = ⇒ =90 3 0 30 0 302 2p p 
Assim, o ponto crítico de V é r = 30 . Como o valor do raio pode variar 
no intervalo 0 3 10,

 , que são as raízes da função V, e em ambos os pontos 
temos que o volume será nulo, logo, o ponto crítico corresponde ao ponto de 
máximo da função V. Analisando o comportamentoda função nesse ponto e 
em valores próximos, podemos também observar que V( ) ,4 929 9» , 
V( ) ,30 1032 4» e V( ) ,6 1017 9» , sendo o volume máximo quando r = 30 . 
Portanto, r = 30 é o valor de raio para o qual o volume do reservatório 
será máximo.
184
Avançando na prática
Filmando o voo de um drone
Uma empresa está realizando uma filmagem do voo de um novo modelo 
de drone para que possa fazer o lançamento desse novo equipamento. Para 
isso, foi posicionada uma câmera ao solo, sendo q o ângulo de elevação 
acima do solo no qual está apontada a câmera. O drone está voando a uma 
velocidade de 80 km/h em uma altitude constante de 2 km, aproximando-se 
da câmera. Quando θ π= 4 , quão rapidamente a câmera precisa girar para 
manter o drone em seu campo visual?
Resolução da situação-problema
Na Figura 4.5 temos um esboço da situação, considerando a posição da 
câmera e do drone em relação ao solo.
Figura 4.5 | Filmagem do voo de um drone
Fonte: elaborada pela autora.
Seja x a distância horizontal entre o drone e a câmera, e como o drone 
está indo em direção à câmera, então dx dt=−80 km/h . Pela Figura 4.5 
temos que tg q( )= 2
x
. Calculando a derivada e aplicando a regra da cadeia 
podemos obter:
1 22
2
cos q
q
( )
⋅ =− ⋅−
d
dt
x dx
dt
Quando θ π= 4 então tg q( )=1 e, assim, x = 2 . Sendo cos q( )= 2 2 e 
dx dt=−80 km/h , segue que:
185
1
2 2
2 1 22
( )
⋅ =− ⋅ ⋅ ⇒ =− ⇒ =− ⇒
d
dt
dx
dt
d
dt
dx
dt
d
dt
dx
dt
q q q 2 dd
dt
q
= 80 radianos/hora
Portanto, a taxa segundo a qual a câmera deve girar para acompanhar o 
movimento do drone quando θ π= 4 é de 80 radianos por hora, ou aproxi-
madamente 1,33 radianos por minuto.
Faça valer a pena
1. Seja a função real f : ,0 7[ )→ cuja representação gráfica é dada conforme 
a seguinte figura:
Figura | Representação gráfica de função real
Fonte: Stewart (2016, p. 248.
Em relação à função apresentada, analise as seguintes afirmações:
I. O ponto x = 4 corresponde a um valor máximo local de f.
II. O ponto x = 4 corresponde a um valor máximo global de f.
III. O ponto x = 2 corresponde a um valor mínimo local de f.
IV. O ponto x = 2 corresponde a um valor mínimo global de f.
Em relação a esse tema, está correto o que se afirma em:
a. I e II, apenas. 
b. I e III, apenas.
c. II e IV, apenas.
d. I, II e III, apenas.
e. I, III e IV, apenas.
186
2. Os problemas de taxas relacionadas podem ser resolvidos a partir da 
identificação das taxas de variação conhecidas e da taxa de variação que 
corresponde à incógnita do problema, bem como de equações que relacionam 
as variáveis do problema entre si, em conjunto com o cálculo das derivadas 
correspondentes. 
Diante desse tema, suponha que uma bola de neve, no formato esférico, está 
derretendo com o passar do tempo. O raio dessa bola decresce a uma taxa de 
0,1 cm por hora enquanto seu raio é de 12 cm.
Quão rapidamente decresce o volume dessa bola de neve no instante considerado?
a. Aproximadamente 57,6 cm3/min.
b. Aproximadamente 115,2 cm3/min.
c. Aproximadamente 180,9 cm3/min. 
d. Aproximadamente 195,5 cm3/min. 
e. Aproximadamente 266,7 cm3/min.
3. Podemos estudar o comportamento de uma função em relação aos seus 
valores máximos e mínimos com base no estudo de sua derivada e dos resultados 
associados, desde que a função em questão seja diferenciável em seu domínio.
Com base nessas informações, seja a função f : ,0 6[ ]→ definida por 
f x x x x( )= − + +2 15 24 73 2 . Em relação a essa função e considerando as 
propriedades dessa função, analise as seguintes asserções e a relação proposta 
entre elas:
I. A função f assume seu valor máximo global no extremo superior do 
intervalo que descreve seu domínio.
PORQUE
II. Segundo o teorema do valor extremo, a função f admite valores 
máximo e mínimo globais nos extremos do intervalo sobre o qual a 
função está definida.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I. 
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa. 
d. A asserção I é uma proposição falsa e a II, verdadeira.
e. As asserções I e II são proposições falsas.
187
Seção 2
Máximos e mínimos, concavidade e pontos de 
inflexão
Diálogo aberto
Quando estudamos funções diferenciáveis, por meio da definição ou das 
regras de derivação, podemos identificar suas derivadas e, inclusive, inter-
pretá-las como funções. Além disso, por exemplo, se tivermos uma função 
polinomial de grau 2 sabemos que sua derivada de 1ª ordem será uma função 
polinomial de grau 1, isto é, a partir das características de uma função 
podemos obter informações a respeito do comportamento de suas derivadas.
No entanto, se temos uma função e conhecemos suas derivadas, podemos 
também identificar propriedades da função original com base no compor-
tamento de suas derivadas, principalmente no que se refere a crescimento 
e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade e presença de pontos 
de inflexão.
Quando desejamos, por exemplo, resolver um problema que visa 
minimizar os gastos com a produção de determinado equipamento, se for 
possível modelar essa situação por uma função, o problema poderá ser 
resumido em determinar o ponto de mínimo dessa função, o qual estará 
associado à minimização dos gastos. Porém, se a função que modela a 
situação for diferenciável, podemos identificar sua solução a partir do estudo 
das derivadas dessa função, com o intuito de determinar o seu valor mínimo. 
Para isso, precisamos realizar um estudo a respeito dos pontos críticos da 
função e aplicar alguns testes envolvendo as derivadas de 1ª e 2ª ordens 
da função.
Diante desse contexto e considerando as aplicações das principais catego-
rias de funções na modelagem e resolução de problemas provenientes das 
mais diversas áreas, nesta seção discutiremos a respeito de teoremas impor-
tantes relacionados às funções contínuas e diferenciáveis, bem como dos 
testes de primeira e segunda derivadas, testes para crescimento, decresci-
mento e concavidade, além de realizar um estudo a respeito de pontos de 
inflexão. Também avaliaremos o processo de construção de esboços para 
gráficos de funções utilizando as informações a respeito de domínio, raízes, 
simetrias, assíntotas, valores máximos e mínimos, intervalos de crescimento 
e decrescimento, observando como o estudo das funções, limites e derivadas 
podem contribuir com esse processo. 
188
Diante dos conceitos em estudo, suponha que você é funcionário de uma 
empresa de engenharia, a qual presta serviços a diferentes empresas e indús-
trias por meio da resolução de problemas, construção de modelos matemá-
ticos, desenvolvimento de softwares, entre outros, conforme as exigências 
apresentadas pelos clientes.
Nesse contexto, você e sua equipe ficaram encarregados do atendimento a 
uma indústria que atua na fabricação de reservatórios e outros equipamentos 
hidráulicos voltados a residências, pequenos comércios e grandes indústrias.
Uma das máquinas utilizadas na fabricação de determinado componente 
para tubulações residenciais está apresentando problemas devido a erros em sua 
regulagem. A sua equipe fez visitas à empresa e identificou que a modificação em 
um parâmetro inserido a partir de um computador acoplado pode modificar a 
produtividade dessa máquina e, após estudos teóricos, conseguiu ajustar correta-
mente a máquina. Porém, além desse ajuste, a empresa solicitou também um estudo 
a respeito dos impactos financeiros dessa modificação nos lucros que são obtidos a 
partir da produção do componente para tubulações residenciais por essa máquina.
Assim, para finalizar esse atendimento, você e sua equipe precisam estudar 
o lucro total obtido pela empresa a partir da produção do componente em 
questão, sabendo que o ajuste na máquina gerou as seguintes informações:
O custo total para a produção de x unidades desse produto pode ser agoradescrito pela função C x x x x( ) , ,= − +0 01 0 6 133 2 , sendo x dado em unidades e 
C, em reais, devido à nova configuração adotada para essa máquina.
Considerando que todas as unidades desse produto sejam vendidas 
a um valor de R$ 7,00 cada, se o lucro associado a esse componente pode 
ser calculado a partir da diferença entre receita e custo total relacionado a 
esse produto, determine a função real que descreve o lucro total obtido pela 
empresa na fabricação e venda do componente considerado. Em seguida, 
faça um estudo a respeito das características dessa função com o intuito de 
avaliar os seguintes aspectos:
• Intervalo de produção no qual o lucro seja positivo.
• Intervalos de produção no qual o lucro seja crescente ou decrescente.
• Produção para a qual ocorre lucro máximo.
Como você resolveria esse problema? Quais são os conhecimentos 
necessários para resolvê-lo? Elabore um relatório técnico, apresentando 
a resolução detalhada para esse problema, com a indicação dos conceitos 
empregados e das justificativas correspondentes, o qual será encaminhando 
em conjunto com o relatório a respeito do ajuste realizado para a indústria 
em atendimento.
189
Dê continuidade em seus estudos e, com base em seus conhecimentos 
prévios a respeito das derivadas, veja como podemos identificar caracterís-
ticas das funções com base em informações a respeito de suas derivadas.
Não pode faltar
O estudo das derivadas de uma função diferenciável, principalmente de 
1ª e 2ª ordens, pode fornecer informações importantes a respeito do compor-
tamento da função em seu domínio, como a respeito da presença de pontos 
críticos, de pontos de máximo e de mínimo, entre outras. 
Vejamos, a seguir, dois teoremas importantes a respeito das relações entre 
uma função e sua derivada de 1ª ordem.
Teoremas de Rolle e do valor médio
Iniciemos pelo estudo do teorema de Rolle, aplicado a funções contínuas 
e diferenciáveis específicas.
Teorema de Rolle: Se f é uma função contínua em a b,[ ] , diferenciável em 
a b,( ) e tal que f a f b( ) ( )= , então existe um número c a b∈( ), tal que f c’( )= 0 .
Dessa forma, se f satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle, então existe um 
ponto x c= em a b,( ) tal que a inclinação da reta tangente ao gráfico de f nesse 
ponto é nula, isto é, a reta tangente ao gráfico nesse ponto é paralela ao eixo x, 
sendo uma reta horizontal. Note que f pode apresentar um único ponto em que 
f c’( )= 0 , como ilustrado no exemplo da Figura 4.6(a), porém, pode apresentar 
dois ou mais pontos que atendam a essa propriedade, como os exemplos 
ilustrados nas Figura 4.6(b) e 4.6(c).
Figura 4.6 | Alguns casos possíveis envolvendo o teorema de Rolle
Fonte: elaborada pela autora.
190
A partir desse resultado, podemos construir um segundo teorema, o 
qual permite relacionar inclinação de reta tangente com inclinação de reta 
construída com base nos extremos do domínio da função. Vejamos a seguir 
seu enunciado.
Teorema do valor médio: Se f é uma função contínua em a b,[ ] e diferen-
ciável em a b,( ) , então existe um número c a b∈( ), tal que f c f b f a
b a
’( ) ( ) ( )= −
−
 
ou, ainda, f b f a f c b a( ) ( ) ’( )− = −( ) .
O teorema do valor médio nos diz que, diante das hipóteses verificadas, 
existe um x c= para o qual a inclinação da reta tangente ao gráfico de f é 
igual à inclinação da reta que contém os pontos a f a, ( )( ) e b f b, ( )( ) . Um 
exemplo associado a esse teorema é apresentado na Figura 4.7.
Figura 4.7 | Teorema do valor médio
Fonte: elaborada pela autora.
Além das informações que podem ser obtidas a partir dos teoremas 
apresentados, podemos empregar alguns testes com o intuito de compre-
ender o comportamento de uma função em relação a intervalos de cresci-
mento e decrescimento, presença de pontos de máximo e de mínimo, entre 
outras informações. Na sequência, vamos estudar os principais resultados 
que contribuem com a obtenção desse tipo de informação a respeito de uma 
função diferenciável.
Testes para derivadas
A primeira avaliação que podemos fazer em uma função com base em 
sua derivada de 1ª ordem é a respeito do crescimento e decrescimento em 
intervalos específicos de seu domínio.
191
Teste de crescimento/decrescimento: Sendo f uma função diferenciável, 
se f x’( )>0 em um intervalo I então f será crescente em I, e se f x’( )<0 , 
então f será decrescente em I.
Por exemplo, seja a função f x x( )= 2 , a qual é diferenciável e tal que 
f x x’( )= 2 . Para x∈ −∞( ),0 temos que f x’( )<0 , isto é, f é decrescente em 
−∞( ),0 . Por outro lado, como x∈ +∞( )0, implica f x’( )>0 , então f é 
crescente em 0,+∞( ) .
Outra análise que pode ser feita em relação a uma função consiste em 
sua concavidade.
Considerando o estudo de uma função diferenciável, podemos classificar 
uma função f como côncava para cima em um intervalo I quando f ’ for 
crescente em I. Por outro lado, f é côncava para baixo em I quando f ’ for 
decrescente em I.
Se tomarmos novamente a função f x x( )= 2 , teremos que ela é côncava 
para cima porque sua derivada é f x x’( )= 2 , a qual é crescente em todo o seu 
domínio. Por outro lado, note que a função g x x( )=− 2 é côncava para baixo 
porque sua derivada g x x’( )=−2 é decrescente em todo o seu domínio.
Essas são algumas análises que podem ser realizadas com base na derivada 
de 1ª ordem de uma função. No entanto, além delas, existem alguns testes 
que podem ser empregados quando desejamos avaliar os pontos críticos e a 
possibilidade de classificá-los como máximos ou mínimos, bem como para 
o estudo da concavidade. Para isso, vejamos na sequência o primeiro teste 
envolvendo a derivada de 1ª ordem da função.
Teste da primeira derivada: Se c é um ponto crítico de uma função f 
contínua, então:
• x c= é um máximo local de f se o sinal de f ’ mudar de positivo para 
negativo em c.
• x c= é um mínimo local de f se o sinal de f ’ mudar de negativo para 
positivo em c.
• Se f ’ mantém o sinal em torno de c, então f não tem máximo ou 
mínimo locais em c.
Ao analisar o comportamento de f x x( )= 2 note que x = 0 é um ponto 
crítico porque f ’( )0 0= . Note que em torno desse ponto o sinal da derivada 
f x x’( )= 2 muda de negativo para positivo, logo, x = 0 corresponde a um 
mínimo local. 
192
Porém, além dessa estratégia para estudo dos pontos de máximo e 
mínimo, quando uma função é diferenciável e admite até a derivada de 2ª 
ordem, podemos complementar essa análise por meio do estudo da derivada 
de 2ª ordem com base no seguinte teste.
Teste da segunda derivada: Suponha que f ’’ seja contínua na proximi-
dade de c, o qual é ponto crítico de f. Se f c’’( )>0 então f tem um mínimo 
local em c, e se f c’’( )<0 então f tem um máximo local em c.
No exemplo a seguir, vamos conferir como podemos aliar os testes da 
primeira e da segunda derivadas para estudar os máximos e mínimos 
associados a uma função.
Exemplificando
Considere a função h : ® definida por h x x( )= +( )2 1 2 . Vamos 
inicialmente determinar os pontos críticos de h, caso existam. Para isso, 
precisamos identificar as raízes de sua derivada de 1ª ordem. 
Aplicando a regra da cadeia, obtemos h x x’( )= +( )4 1 . Se h x’( )= 0 
então x=−1 , que consiste no ponto crítico de h.
Queremos analisar o comportamento de h em x=−1 , então podemos 
aplicar o teste da primeira derivada. Note que h ’( )− =− <2 4 0 e 
h ’( )0 4 0= > , isto é, o sinal da derivada de 1ª ordem passa de negativo a 
positivo em torno de -1, o que implica x=−1 ser um mínimo local de h.
Agora, pelo teste da segunda derivada, note que h x’’( )= 4 , a qual é 
positiva em todo o seu domínio, particularmente em x=−1 , portanto, 
h tem um mínimo local em x=−1 .
Na Figura 4.8 temos a representação gráfica da função h, a qual permite 
visualizar o comportamento dessa função em x=−1 .
Figura 4.8 | Gráfico de h x x( )= +( )2 1 2
Fonte: elaborada pela autora.
193
Observe que os testes da primeira e segunda derivadas permitem um 
estudo a respeito dospontos críticos de uma função diferenciável por meio 
da avaliação do comportamento das derivadas de 1ª e 2ª ordens da função.
No entanto, considere agora a função p x x( )= 3 . Note que x = 0 é um 
ponto crítico de p. Porém, ao aplicar o teste da primeira derivada temos que 
p x x’( )= 3 2 não sofre mudança de sinal em torno de x = 0 , mantendo-se 
positiva. Além disso, do teste da segunda derivada temos que p x x’’( )= 6 se 
anula em x = 0 , o que impossibilita a classificação desse ponto como máximo 
ou mínimo. Esse ponto, apesar de ser crítico, não corresponde a um ponto de 
máximo nem de mínimo, mas a um ponto de inflexão.
Um ponto x c= é classificado como ponto de inflexão de uma função f 
se f for contínua em c e houver mudança de concavidade em torno de c.
Analisando graficamente o comportamento da função p x x( )= 3 em 
torno de x = 0 , conforme observado na Figura 4.9, temos que p sofre uma 
mudança de concavidade, a qual é voltada para baixo em valores x <0 e para 
cima em valores x>0 .
Figura 4.9 | Gráfico para a função p x x( )= 3
Fonte: elaborada pela autora.
Porém, para garantir que ocorre a mudança de concavidade em torno 
desse ponto podemos empregar um teste, o qual envolve o estudo da derivada 
de 2ª ordem para a função em questão.
Teste da concavidade: Para uma função f diferenciável, se f x’’( )>0 para 
todo x em um intervalo I de seu domínio, então o gráfico de f é côncavo para 
194
cima em I. Por outro lado, se f x’’( )<0 para todo x em um intervalo I de seu 
domínio, o gráfico de f é côncavo para baixo em I.
Por exemplo, se p x x( )= 3 então p x x’( )= 3 2 e p x x’’( )= 6 . Como p x’’( )<0 
para x <0 , então p tem concavidade voltada para baixo em −∞( ),0 , e sendo 
p x’’( )>0 para x>0 então p tem concavidade voltada para cima em 0,+∞( )
. Devido a essa mudança de concavidade, podemos concluir que x = 0 é um 
ponto de inflexão para a função p. Observe também que p ’’( )0 0= , ou seja, a 
derivada de 2ª ordem se anula no ponto de inflexão.
Reflita
Você conseguiria identificar um exemplo de função que, em seu 
domínio, apresenta pontos críticos que possam ser classificados como 
máximos ou mínimos, e outros pontos que sejam classificados como 
pontos de inflexão?
A partir desses estudos, em conjunto com outras análises que podem ser 
realizadas a partir das raízes de uma função, seus limites e derivadas, entre 
outros, podemos identificar informações importantes que nos permitem 
a compreensão do comportamento da função em seu domínio, inclusive 
possibilitando a construção de esboço para seu gráfico sem a necessidade 
de recorrer a softwares ou outras ferramentas. Vejamos a seguir como essas 
informações podem contribuir com esse tipo de estudo.
Esboço de gráficos de funções
Quando desejamos estudar as características de uma função, muitas vezes 
buscamos as raízes dessa função, suas interseções com os eixos e valores 
extremos, porém existem outras informações importantes que podem ser 
identificadas a partir do estudo de limites e derivadas, entre outros, e que 
contribuem para a compreensão do comportamento da função ao longo de 
seu domínio.
Vejamos quais informações precisamos conhecer para que possamos 
construir esboços para os gráficos de funções reais.
Assimile
Para esboçar o gráfico de uma função y f x= ( ) precisamos identificar:
1. O domínio de f.
2. As interseções com os eixos x e y.
3. A presença de simetrias, como é o caso das funções pares, ímpares 
ou periódicas.
195
4. A presença de assíntotas horizontais ou verticais, sendo as horizon-
tais identificadas por meio do estudo do limite da função no infinito 
e as verticais para os pontos em que temos limites infinitos.
5. Os intervalos de crescimento e decrescimento.
6. Os valores máximos e mínimos locais ou globais.
7. Os pontos de inflexão e a concavidade.
A partir dessas informações podemos construir um esboço para o 
gráfico da função manualmente.
Verifiquemos como identificar essas informações e empregá-las no 
estudo de uma função real.
Exemplificando
Seja a função d : ® definida por d x x x( )=− + +3 23 16 . Por se 
tratar de uma função polinomial de grau 3, temos que seu domínio é 
descrito pelo conjunto de números reais  .
Queremos determinar as raízes de d, isto é, os valores x para os quais 
d x( )= 0 . Assim, devemos resolver a equação − + + =x x3 23 16 0 . Ao 
explorar a lei de formação dessa função temos d( )4 0= , ou seja, x = 4 
é uma raiz dessa função. Reescrevendo essa equação, teremos: 
− + + =− −( ) + +( )=x x x x x3 2 23 16 4 4 0
Analisando a equação x x2 4 0+ + = obtemos raízes complexas conju-
gadas x i=− +1
2
15
2
 e x i=− −1
2
15
2
. Dessa forma, podemos 
concluir que d possui três raízes, das quais apenas uma é real, x = 4 , 
logo, a interseção do gráfico de d com o eixo x ocorre somente em 
x = 4 , ou em 4 0,( ) . Por outro lado, em relação ao eixo y, a interseção 
ocorre no ponto x y,( ) em que x = 0 , logo, y d= =( )0 16 . Dessa forma, 
a interseção do gráfico de d com o eixo y ocorre em y =16 ou no ponto 
0 16,( ) .
Tendo identificado as interseções com os eixos, podemos analisar se d 
apresenta algum tipo de simetria. Para isso, observe inicialmente que:
d x x x x x x x( )− =− −( ) + −( ) + =− −( )+ + = + +3 2 3 2 3 23 16 3 16 3 16
Como d x d x( ) ( )− ≠ e d x d x( ) ( )− ≠− , podemos afirmar que d não 
pode ser classificada como função par e nem ímpar. Além disso, d 
também não é periódica, logo, não temos simetrias presentes em seu 
gráfico.
196
Sabemos que a função d é contínua em todo o seu domínio, por ser uma 
função polinomial de grau 3. Dessa forma, para cada a em seu domínio 
temos que lim ( ) ( )
x a
f x f a
→
= , não apresentando limites infinitos em 
pontos de seu domínio. No entanto, veja que 
lim ( ) lim lim
x x x
f x x x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
= − + +( )= − −( ) + +( )


3 2 23 16 4 4  =−∞
lim ( ) lim lim
x x x
f x x x x x x
→−∞ →−∞ →−∞
= − + +( )= − −( ) + +( )


3 2 23 16 4 4  =+∞
isto é, o limite no infinito é infinito, evidenciando, assim, as caracte-
rísticas dessa função quando tomamos valores muito grandes ou 
pequenos de seu domínio.
Para avaliar os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função, 
iniciemos determinando a derivada de 1ª ordem dessa função e suas 
raízes, porque d é diferenciável em todo o seu domínio. Desse modo, 
pelas regras de derivação da soma, multiplicação por escalar, potência e 
constante, obtemos d x x x’( )=− +3 62 , cujas raízes são x = 0 e x = 2 , 
que consistem nos pontos críticos de d. Analisando o comportamento da 
função em torno desses pontos podemos construir a Tabela 4.1.
Tabela 4.1 | Comportamento da função d x’( )
Intervalo Sinal de d ’ 
−∞( ),0 - 
0 2,( ) + 
2,+∞( ) - 
Fonte: elaborada pela autora.
Nos intervalos −∞( ),0 e 2,+∞( ) o sinal da derivada d ’ é negativo, 
indicando que d é decrescente nesses intervalos, enquanto em 0 2,( ) a 
função d é crescente porque sua derivada d ’ tem sinal positivo.
Pelo teste da primeira derivada, como em x = 0 , o sinal da derivada 
muda de negativo para positivo, logo esse ponto é um mínimo local de 
d, enquanto x = 2 é um ponto de máximo local visto que o sinal da 
derivada passa de positivo a negativo em torno desse ponto. Por outro 
lado, pelo teste da segunda derivada e sabendo que d x x’’( )=− +6 6 , 
note que x = 0 é mínimo local porque d ’’( )0 6 0= > , enquanto x = 2 
é máximo local porque d ’’( )2 6 0=− < , confirmando as características 
dos dois pontos críticos de d. Note que esses pontos não são máximo e 
mínimo globais porque d tende a +∞ quando x→−∞ e tende a 
−∞ quando x→+∞ . 
197
Além disso, analisando a derivada d ’ , observamos que essa função é 
crescente em −∞( ),1 e decrescente em 1,+∞( ) , indicando que d tem 
concavidade voltada para cima em −∞( ),1 e concavidade para baixo 
em 1,+∞( ) , sendo assim, x =1 é um ponto de inflexão de d. Essa 
informação pode ainda ser complementada sabendo que d x’’( )>0 se 
x <1 e que d x’’( )>0se x>1 .
De posse dessas informações, podemos construir um esboço para o gráfico 
dessa função, o qual deve assumir o formato do gráfico da Figura 4.10.
Figura 4.10 | Gráfico da função d x x x( )=− + +3 23 16
Fonte: elaborada pela autora.
Apesar de os principais exemplos apresentados na seção estarem relacio-
nados às funções polinomiais, os estudos a respeito das funções e suas 
derivadas também podem ser aplicados para outras classes de funções, como 
as exponenciais e logarítmicas, por exemplo. No entanto, é importante estar 
atento ao fato de que existem condições importantes para o emprego dos 
testes apresentados, sendo a principal delas a diferenciabilidade da função. 
Por isso, antes de resolver qualquer problema nesse contexto, devemos 
observar as propriedades das funções com o intuito de verificar se os testes e 
conceitos podem ser aplicados em cada caso.
Sem medo de errar
O seu desafio consiste em construir e estudar a função lucro associada ao 
ajuste realizado na máquina que produz um componente para tubulações 
residenciais. Assim, com base nas informações identificadas pela sua equipe 
198
e pelos gerentes financeiros da indústria, o primeiro passo consiste em 
construir a função lucro. Sabemos que essa função, que denotaremos por 
L x( ) , sendo x a quantidade de unidades produzidas, é tal que L x R x C x( ) ( ) ( )= −
, sendo R x( ) a função receita e C x( ) a função custo total. Temos que 
C x x x x( ) , ,= − +0 01 0 6 133 2 , além disso, a função receita é dada por R x x( )= 7
. Logo, L x x x x x( ) , ,= − − +( )7 0 01 0 6 133 2 , ou ainda, 
L x x x x( ) , ,=− + −0 01 0 6 63 2
A função lucro corresponde a uma função polinomial de grau 3 e, devido 
ao contexto, o seu domínio é dado por D L( ) ,= +∞[ )0 , porque relaciona os 
valores possíveis para a quantidade de unidades produzidas. Além disso, essa 
função é diferenciável, o que permite estudar o comportamento de L relacio-
nado às suas derivadas.
Com o intuito de realizar um estudo mais específico a respeito dessa 
função, iniciemos pela determinação das raízes de L. Resolvendo 
− + − =0 01 0 6 6 03 2, ,x x x obtemos x = 0 , x =12 68, e x = 47 32, , que corres-
pondem aos valores nos quais temos interseções de L com o eixo x. Dessas 
informações podemos observar que se x = 0 então L( )0 0= , ou seja, quando 
não há produção, não há lucro. Além disso, para x =12 68, e x = 47 32, 
também temos lucro nulo, isto é, se forem produzidas em torno de 12 e de 47 
unidades, o lucro associado à produção será nulo. 
A função L é contínua em todo o seu domínio, por ser uma função polino-
mial de grau 3, então para cada a em seu domínio temos que lim ( ) ( )
x a
L x L a
→
= , não 
apresentando limites infinitos em pontos de seu domínio. No entanto, veja que 
lim ( ) lim , , lim ,
x x x
L x x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
= − + −( )= −( )=−∞0 01 0 6 6 0 013 2 3
isto é, o limite no infinito é “menos infinito”, o que evidencia que a 
produção em grande escala não é interessante, já que não teremos necessa-
riamente um lucro cada vez maior associado a grandes produções.
Em relação aos intervalos de crescimento e decrescimento dessa função, 
sendo diferenciável em todo o seu domínio, podemos aplicar as regras de 
derivação e obter a função L x x x’( ) , ,=− + −0 03 1 2 62 , cujas raízes são x = 5 86, 
e x = 34 14, , que são os pontos críticos de L. Na Tabela 4.2 temos o compor-
tamento de L ’ em relação ao seu domínio.
Tabela 4.2 | Comportamento da função L x’( )
Intervalo Sinal de L ’ 
0 5 86; ,[ ) - 
5 86 34 14, ; ,( ) + 
34 14, ;+∞( ) - 
Fonte: elaborada pela autora.
199
Em 0 5 86; ,[ ) e 34 14, ;+∞( ) o sinal da derivada é negativo, então L é decres-
cente nesses intervalos, e em 5 86 34 14, ; ,( ) a função L é crescente porque sua 
derivada tem sinal positivo.
Pelo teste da primeira derivada, como em x = 5 86, , o sinal da derivada 
muda de negativo para positivo. Então esse ponto é um mínimo local de L, 
enquanto x = 34 14, é um ponto de máximo local, visto que o sinal da derivada 
passa de positivo a negativo em torno desse ponto. Por outro lado, pelo teste 
da segunda derivada e sabendo que L x x’’( ) , ,=− +0 06 1 2 , note que x = 5 86, é 
mínimo local, porque d ’’( , ) ,5 86 0 8484 0= > , enquanto x = 34 14, é máximo 
local porque d ’’( , ) ,34 14 0 8484 0=− < , confirmando as características dos dois 
pontos críticos de L. Temos que x = 34 14, é um máximo global, no domínio 
considerado, no entanto, x = 5 86, não é mínimo global porque 
lim ( )
x
L x
→+∞
=−∞ . 
Para complementar os estudos a respeito da função lucro, podemos 
construir um esboço para seu gráfico, o qual deve assumir o formato do 
gráfico da Figura 4.11.
Figura 4.11 | Gráfico da função L x x x x( ) , ,=− + −0 01 0 6 63 2
Fonte: elaborada pela autora.
Analisando o gráfico de L e comparando com as informações coletadas 
anteriormente, podemos observar que o lucro será positivo somente para 
uma produção entre 12 e 47 unidades, aproximadamente. A produção 
inferior a 12 unidades ou superior a 47 unidades não é interessante, visto que 
o lucro associado será negativo, ou seja, a produção gerará apenas despesas.
200
O lucro será crescente em uma produção de 12 a 34 unidades, aproxima-
damente, e decrescente para uma produção entre 34 e 47 unidades, conside-
rando apenas os intervalos para os quais a empresa terá lucro. Em relação ao 
lucro máximo, ele é atingido para 34 unidades produzidas, após a máquina 
receber o ajuste adequado.
Para concluir seu desafio, organize as informações em um relatório 
técnico que aborde todas as informações necessárias para a resolução do 
problema, de tal forma que ele possa ser inserido no relatório geral a ser 
encaminhado para o cliente.
Avançando na prática
Testes de derivadas aplicadas a outras categorias 
de funções
Em uma indústria, a última etapa pela qual determinada peça metálica 
deve ser submetida é a marcação feita a laser por uma máquina específica. 
Sabe-se que a função que modela o número p de peças metálicas desse tipo 
finalizadas e marcadas a laser, em função do tempo t durante o qual a peça é 
submetida ao laser, é dado por:
p t te t( )= −
cujo domínio é descrito pelo intervalo 0,+∞( ) , p é dado em unidades e t 
em segundos. 
Qual é o tempo ideal sob o qual a peça deve ser submetida ao laser para 
que esse processo seja otimizado, isto é, para que o número de peças finali-
zadas seja máximo?
Resolução da situação-problema
Como a função p é diferenciável em seu domínio, podemos empregar 
os testes de primeira e segunda derivadas para identificar informações a 
respeito de seus valores máximos e mínimos. 
Calculando as derivadas de 1ª ordem e 2ª ordem de p obtemos:
p t
t e
t
t
’( )=
−( ) −1 2
2
p t
t t e
t
t
’’( )=
− −( ) −4 4 1
4
2
3
.
201
Determinando os pontos críticos de p, a partir de p t’( )= 0 obtemos 
t = =1
2
0 5, como o único ponto crítico de p. Para aplicar o teste da primeira 
derivada, precisamos avaliar o sinal de p ’ nos intervalos 0 0 5; ,( ) e 0 5, ;+∞( ) . 
No entanto, como p apresenta derivada de 2ª ordem podemos, pelo teste da 
segunda derivada, verificar que p ’’ ,0 5 0( )< , o que implica t = 0 5, ser um 
valor máximo local de p.
Portanto, para que o processo seja otimizado, é necessário que cada peça 
seja submetida ao laser durante um tempo de 0,5 s. 
Faça valer a pena
1. Os teoremas de Rolle e do valor médio podem ser aplicados quando 
desejamos estudar o comportamento das retas tangentes ao gráfico de 
funções contínuas e diferenciáveis.
Em relação a esse tema, seja a seguinte função:
f x x
x
( )=
+2
definida no intervalo 1 4,[ ] .
Sabemos que essa função é contínua em 1 4,[ ] e diferenciável em 1 4,( ) .
Em relação à função f, é correto afirmar que:
a. A função f atende às hipóteses do teorema de Rolle, sendo possível 
identificar um ponto x de seu domínio em que f x’( )= 0 .
b. A função f não atende às hipóteses do teorema de Rolle, apesar de ser 
possível identificar um ponto x de seu domínio emque f x’( )= 0 . 
c. A função f atende às hipóteses do teorema do valor médio, sendo 
possível identificar um único ponto de seu domínio em que 
f x f f’( ) ( ) ( )= −
−
4 1
4 1
. 
d. A função f atende às hipóteses do teorema do valor médio, sendo 
possível identificar dois pontos distintos de seu domínio em que 
f x f f’( ) ( ) ( )= −
−
4 1
4 1
.
e. A função f não atende às hipóteses do teorema do valor médio, por 
não apresentar f ( )1 e f ( )4 iguais.
202
2. Para as funções diferenciáveis, podemos aplicar os testes da primeira e 
segunda derivadas quando desejamos estudar os pontos críticos e identificar 
se é possível classificá-los como valores máximos ou mínimos locais.
Diante desse tema, considere a seguinte função:
f x x( )= + −( )2 5 3
a qual é definida em todo o conjunto de números reais.
A respeito dessa função, analise as seguintes asserções e a relação proposta:
I. I. O ponto x = 5 consiste em um valor máximo local para a função f.
PORQUE
II. II. O ponto x = 5 corresponde a um ponto crítico de f no qual a 
função assume valor positivo.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I. 
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I. 
c. A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa.
d. A asserção I é uma proposição falsa e a II, verdadeira.
e. As asserções I e II são proposições falsas.
3. O estudo dos pontos críticos de uma função é imprescindível quando 
desejamos identificar valores máximos ou mínimos locais, mas desde que 
essa função seja diferenciável, permitindo a aplicação dos testes e a obtenção 
de conclusões que permitam a resolução dos problemas associados.
Diante desse contexto, seja a seguinte função real:
f x axebx( )=
em que a e b são constantes reais.
Quais devem ser os valores assumidos pelas constantes a e b de tal forma que 
f −( )=−1 1 e que f tenha um valor mínimo local em x=−1 ?
a. a e= e b=1 . 
b. a= 0 e b=1 .
c. a e= 2 e b= 2 .
d. a=1 e b e= .
e. a= 2 e b e= 2 .
203
Seção 3
Regra de L’Hospital e otimização
Diálogo aberto
Ao modelar um fenômeno por meio de uma função que depende, por 
exemplo, do tempo, podemos ter interesse em analisar os valores máximos 
e mínimos atingidos, no contexto dos problemas de otimização; no entanto, 
também podemos investigar como se daria o comportamento desse fenômeno 
para tempos muito grandes, o que exigiria o cálculo de um limite no infinito. 
Em ambas as situações, desde que a função em estudo seja diferenciável, o 
conceito de derivada pode ser empregado para contribuir com esses estudos.
Por meio dos testes da primeira e da segunda derivadas podemos analisar 
o comportamento de uma função diferenciável, pelas suas derivadas, no 
que se refere à existência de valores extremos pertencentes ao seu domínio. 
Além disso, as derivadas também podem ser empregadas para identificar 
pontos de inflexão, concavidade, crescimento e decrescimento da função. 
Logo, se o fenômeno em estudo puder ser representado por meio de uma 
função diferenciável, é possível aplicar todos os testes e conceitos sobre suas 
derivadas de tal forma a obter informações sobre a função e, consequente-
mente, soluções para o problema em estudo.
No entanto, para que esse processo possa ser aplicado, é essencial a repre-
sentação correta para o fenômeno em estudo. Assim, é necessário identificar 
as variáveis envolvidas, os tipos de relações que podem ser estabelecidas de tal 
forma a determinar funções e equações que possam ser aplicadas no estudo. 
Para isso, podem ser empregadas expressões previamente conhecidas, como 
área e volume associados a sólidos geométricos, por exemplo.
Em relação aos limites, quando calculamos o limite de razões entre 
funções diferenciáveis e cujo resultado gera indeterminações do tipo 0 0 , ou 
¥ ¥ , podemos recorrer ao recurso da derivada, a partir da chamada regra 
de L’Hospital, para determinar os resultados como alternativa aos demais 
procedimentos que podem ser empregados nesse estudo, desde que 
apliquemos corretamente as regras de derivação.
Assim, nesta seção estudaremos os problemas de otimização e a regra de 
L’Hospital, observando quais as condições que precisam ser verificadas em 
cada um desses estudos e como eles podem ser empregados para resolver os 
problemas correspondentes.
204
Considere que você atua em uma empresa de engenharia que presta 
serviço a indústrias e empresas voltadas ao desenvolvimento e produção de 
reservatórios e tubulações para residências e pequenos comércios e materiais 
para indústrias de grande porte. 
Com base nesse contexto, suponha que você e sua equipe precisam 
atender a uma indústria que atua na fabricação de tanques e reservatórios 
para fins residenciais e para pequenos comércios. Com o objetivo de reduzir 
gastos com a pintura interna e externa de reservatórios instalados usual-
mente em residências e pequenos comércios, essa indústria solicitou a você 
a resolução de um problema de otimização que envolve a minimização de 
custos associados a esse processo de pintura, em conjunto com o planeja-
mento da produção de um modelo específico de reservatório.
Nesse contexto, a indústria apresentou o seguinte problema: deseja-se 
fabricar um tipo de reservatório de água com tampa, no formato de um cilindro 
circular reto, com capacidade para armazenar 1.000 litros de água. Após fabricar 
esse reservatório, uma etapa essencial de produção é a aplicação, sobre toda a 
superfície interna e externa, de uma tinta para a conservação desse produto. 
Considerando esse contexto, a empresa solicitou a você e sua equipe a 
determinação das dimensões desse reservatório para as quais os custos com 
a pintura sejam os menores possíveis.
Após um estudo prévio a respeito desse problema e diante da questão 
apresentada pela indústria, sua equipe relacionou a minimização dos custos 
necessários para a pintura com a minimização da área da superfície total do 
cilindro que representa o reservatório, considerando que ele seja composto 
por laterais, base e tampa.
Diante dessas informações, como você resolveria a esse problema? Quais 
são os conceitos necessários para sua resolução? Organize as informações 
coletadas e os conceitos empregados na resolução do problema, elaborando 
um relatório técnico detalhado a ser encaminhado ao cliente.
Prossiga em seus estudos e confira de que forma o conceito de derivada pode 
contribuir para o cálculo de limites e a resolução de problemas de otimização!
Não pode faltar
Dentre as aplicações do conceito de derivadas podemos destacar os 
problemas de otimização, os quais envolvem basicamente os problemas que 
visam maximizar ou minimizar uma função contínua em determinado inter-
valo, finito ou infinito. Nesse estudo, desde que a função em questão seja 
diferenciável, podemos empregar o conceito de ponto crítico, bem como as 
205
classificações identificadas por meio dos testes de derivadas, visando identi-
ficar uma solução adequada para o problema em discussão.
Vejamos a seguir alguns problemas que podem ser classificados como 
problemas de otimização e que podem ser estudados com o auxílio do 
conceito de derivada.
Problemas de otimização
Os problemas de otimização possuem a característica de objetivarem a 
maximização ou minimização de alguma variável, estudada a partir de uma 
função de uma variável real, a qual pode ser construída com base no tipo de 
situação a ser representada. 
Confira no exemplo a seguir um problema de otimização com vistas a 
maximizar uma produção.
Exemplificando
Uma empresa produz caixas de papelão de diferentes tamanhos. Um dos 
modelos de caixa sem tampa deve ser fabricado a partir de uma folha de 
papelão com 12 cm por 24 cm, cortando-se fora quadrados iguais dos 
quatro cantos e dobrando-se os lados, conforme ilustrado na Figura 4.12. 
Figura 4.12 | Montagem da caixa de papelão
Fonte: elaborada pela autora.
Queremos determinar quais devemser as dimensões dos quadrados a 
serem cortados dessa folha de papelão para que a caixa tenha volume 
máximo.
Seja x o lado de cada quadrado que será cortado da folha de papelão e 
considere V o volume de cada caixa sem tampa.
Como retiramos 2x da medida de cada lado ao formar a caixa, porque 
retiramos os quatro quadrados iguais, então a caixa terá comprimento 
de 24 2- x cm , largura de 12 2- x cm e altura de medida x cm. Logo, 
seu volume pode ser calculado por:
V x x x x x x= −( ) −( ) = − +24 2 12 2 288 72 42 3
206
Como V é uma função que depende apenas de x, a qual consiste na 
incógnita do problema, então devemos determinar x para o qual o 
volume é máximo. Para isso, podemos investigar a função V, diferenci-
ável, e determinar seus pontos críticos, sabendo que x deve ser tal que 
0 6£ £x , pois o menor lado da folha de papelão tem medida 12 cm, e 
como devemos retirar dois quadrados congruentes de cada lado, então 
x pode ser no máximo igual a 6 cm. Nesse sentido, devemos determinar 
o valor máximo de V no intervalo 0 6,[ ] .
Na determinação dos pontos críticos iniciemos identificando a função 
V ’ :
V x x x’( )= − +288 144 12 2
Igualando essa função a zero obtemos as raízes x= − ≈6 2 3 2 54, e 
x= + ≈6 2 3 9 46, , que correspondem aos pontos críticos de V. Note 
que somente o valor x= −6 2 3 pertence ao intervalo 0 6,[ ] , sendo, 
nesse contexto, o único candidato a valor máximo. Pelo teste da 
segunda derivada e sabendo que V x x’’( )=− +144 24 , obtemos:
V ’’ 6 2 3 144 24 6 2 3 48 3 0−( )=− + −( )=− <
isto é, x= −6 2 3 é um valor máximo de V. Além disso, note que:
V 0 288 0 72 0 4 0 02 3( )= ( )− ( ) + ( ) =
V 6 2 3 288 6 2 3 72 6 2 3 4 6 2 3 332 55
2 3
−( )= −( )− −( ) + −( ) ≈ ,
V 6 288 6 72 6 4 6 02 3( )= ( )− ( ) + ( ) =
Portanto, o valor máximo global ou absoluto de V é atingido quando 
x= −6 2 3 , ou seja, o volume máximo da caixa é obtido quando 
tomamos x de medida 6 2 3- cm ou, aproximadamente, 2,54 cm. Na 
Figura 4.13 é ilustrado o gráfico da função V, o que nos permite visua-
lizar o comportamento dessa função e verificar que a conclusão obtida 
pode ser confirmada pelo gráfico.
207
Figura 4.13 | Gráfico da função V x x x x( )= − +288 72 42 3
Fonte: elaborada pela autora.
É importante, para esse tipo de problema, identificar uma função de uma 
variável real que descreva a situação em questão e, caso a função identifi-
cada seja de duas ou mais variáveis, é necessário empregar alguma relação ou 
equação que permita convertê-la em uma função de uma variável.
Nesse sentido, considere agora o problema teórico de determinação da 
área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semicírculo de raio 1. 
Assim, se considerarmos o semicírculo como sendo a metade superior para 
o círculo de equação x y2 2 1+ = , nosso objetivo consiste em determinar as 
medidas dos lados de um retângulo inscrito nesse semicírculo e que tenha 
área máxima, conforme esquema apresentado na Figura 4.14.
Figura 4.14 | Retângulo inscrito no semicírculo de raio 1
Fonte: elaborada pela autora.
208
Sendo um retângulo inscrito, então dois de seus vértices estarão sobre o 
eixo x, enquanto os outros dois estarão sobre o semicírculo. Se o vértice 
localizado no primeiro quadrante tem coordenadas x y,( ) , então podemos 
considerar que o retângulo tem lados de medidas 2x e y. Dessa forma, se 
queremos maximizar a área desse retângulo, denotando essa área por A, 
teremos que nosso objetivo consiste em determinar o valor máximo da 
função A x y xy= ⋅ =2 2 . Note que essa é uma função de duas variáveis, pois 
depende de x e y. Por isso, precisamos empregar outro tipo de relação de tal 
forma a obtermos uma função de uma variável que possa ser estudada com 
base no conceito de derivada. Sabemos que se x y,( ) é um ponto do semicír-
culo e a equação correspondente é x y2 2 1+ = , então x e y podem ser relacio-
nados entre si a partir da igualdade y x= −1 2 . Dessa forma, a função área 
pode ser reescrita como segue:
A x x x( )= −2 1 2
Sabemos que o domínio dessa função é 0 1£ £x , pois a altura do retân-
gulo é limitada pelo raio do semicírculo. Para determinar o valor máximo de 
A podemos estudar sua derivada:
A x
x
x
’( )=
−( )
−
2 1 2
1
2
2
cuja raiz, no domínio especificado, é dada por x = =1
2
2
2
. Esse ponto 
crítico corresponde ao valor máximo absoluto da função área, visto que 
A( )0 0= e A( )1 0= , além de configurar-se como um valor máximo local de A 
pelo teste da segunda derivada.
Como x = 2
2
 então y= −






=1 2
2
2
2
2
. Portanto, o retângulo inscrito 
no semicírculo de raio 1 é aquele que apresenta lados de medidas 2x e y, isto 
é, 2 2x = e y = 2
2
 na unidade de medida de comprimento adotada.
Assimile
Em suma, para resolver um problema de otimização podemos empregar 
os seguintes procedimentos:
• Ler cuidadosamente o problema e identificar variáveis, condições 
e incógnita.
• Se possível, construir um diagrama que relacione as variáveis e as 
informações presentes na descrição do problema.
209
• Atribuir notações para cada uma das variáveis do problema.
• Expressar a incógnita em função das demais variáveis envolvidas 
no problema.
• Se a função identificada for uma função de várias variáveis, identi-
ficar outras relações que permitam converter essa função de 
várias variáveis em uma função de uma variável real.
• Realizar o estudo da função de uma variável real a partir dos testes 
da primeira e segunda derivadas, pontos críticos e de inflexão etc.
• Relacionar a solução obtida com a incógnita do problema em estudo.
A modelagem matemática do problema é uma etapa indispensável, por isso 
é necessário identificar quais expressões ou equações matemáticas podem ser 
empregadas em cada situação para melhor ilustrar o problema em estudo.
Reflita
Quais seriam outros exemplos de problemas de otimização que podem 
ser estudados a partir dos procedimentos apresentados anteriormente? 
Você conseguiria identificar outros exemplos de problemas de otimi-
zação que podem ser resolvidos em sua área de formação e atuação?
Além dos problemas de otimização, outra aplicação importante para as 
derivadas consiste no estudo de limites, principalmente nos casos em que a 
substituição direta dos limites poderia ocasionar indeterminações, principal-
mente para os casos 0 0 ou ¥ ¥ . Para isso, podemos empregar a regra 
conhecida como regra de L’Hospital. Vejamos as condições que devem ser 
verificadas para aplicação desse resultado.
Regra de L’Hospital
Sejam as funções f e g deriváveis em um intervalo aberto contendo a e tais 
que f a g a( ) ( )= = 0 . Se tivermos g x’( )¹0 , exceto possivelmente em a, então:
lim ( )
( )
lim ’( )
’( )x a x a
f x
g x
f x
g x→ →
=
sempre que o limite à direita existir ou for infinito (+∞ ou −∞ ). Uma 
conclusão análoga pode ser obtida no caso em que lim ( )
x a
f x
→
=±∞ e 
lim ( )
x a
g x
→
=±∞ . 
Confira no exemplo a seguir como a regra de L’Hospital pode ser utili-
zada no cálculo de limites.
210
Exemplificando
Queremos calcular lim
x
x
x→−
+
+





2
3 8
2
. Note que se substituíssemos o valor 
x=−2 nas funções que descrevem o numerador e o denominador 
dessa razão, teríamos f ( )− = −( ) + =2 2 8 03 e g( )− = −( )+ =2 2 2 0 , 
isto é, pela substituição direta dos limites teríamos uma indeterminação 
do tipo 0 0 . Como as funções presentes no numerador e denominador 
da razão são ambas diferenciáveis, além de que g x x( )= +2 não se 
anula em outros valores além de x=−2 , podemos aplicar a regra de 
L’Hospital, de modo a obter:
lim lim
’
’
lim
x x x
x
x
x
x
x
→− →− →−
+
+






=
+( )
+( )
=
2
3
2
3
2
28
2
8
2
3
11
3 3 2 12
2
2 2= = −( ) =
→−
lim
x
x
Portanto, lim
x
x
x→−
+
+






=
2
3 8
2
12 .
Assim, por meio da regra de L’Hospital podemos calcular limites envol-
vendo funções diferenciáveis sem a necessidade, por exemplo, de realizar 
estudos a respeito de raízes de funções polinomiaise possíveis simplificações, 
entre outros procedimentos.
Vejamos a aplicação da regra de L’Hospital para indeterminações do tipo 
¥ ¥ .
Por exemplo, queremos calcular lim
x
x
x→∞
−
− +






10 9
3 12
. Note que esse limite 
conduz a uma indeterminação do tipo ¥ ¥ , visto que se x→∞ então 
10 9x− →∞ e − + →∞3 12x . Sendo assim, aplicando a regra de 
L’Hospital obtemos:
lim lim
’
’
lim
x x x
x
x
x
x→∞ →∞ →
−
− +





=
−( )
− +( )
=
10 9
3 12
10 9
3 12 ∞∞
= =
10
12
10
12
5
6
Desse modo, lim
x
x
x→∞
−
− +





=
10 9
3 12
5
6
.
Atenção
A regra de L’Hospital só pode ser aplicada em limites que envolvem 
razões entre funções diferenciáveis e que a substituição direta dos 
limites gere indeterminações dos tipos 0 0 ou ¥ ¥ . Não se pode 
aplicar essa regra em situações que a substituição direta conduza a 
resultados do tipo 3 0 , por exemplo.
211
Além disso, essa regra de L’Hospital pode ser empregada tanto para limites 
bilaterais quanto para os limites laterais.
Seja a função g x sen x
x
( ) ( )= 2 . Vamos analisar o comportamento de g em torno 
de x = 0 por meio do cálculo dos limites laterais. Sabemos que as funções sen x( ) 
e x2 são ambas diferenciáveis e tendem a zero quando x aproxima-se de zero 
tanto pela esquerda quanto à direita. Assim, podemos aplicar a regra de L’Hospital 
para o cálculo dos seguintes limites laterais:
lim ( ) lim
( ) ’
lim cos( )
x x x
sen x
x
sen x
x
x
x→ → →− − −
=
( )
( )
= =−∞
0 2 0 2 0 2
lim ( ) lim
( ) ’
lim cos( )
x x x
sen x
x
sen x
x
x
x→ → →+ + +
=
( )
( )
= =+∞
0 2 0 2 0 2
Assim, pela regra de L’Hospital, podemos concluir que os limites laterais de g 
em torno de zero não existem, mas tendem a −∞ e +∞ , respectivamente, para 
os limites à esquerda e à direita de zero.
Reflita
Você conseguiria identificar outros exemplos de limites bilaterais ou 
laterais estudados anteriormente e que podem ser calculados a partir 
da aplicação da regra de L’Hospital?
Vejamos um outro exemplo da aplicação dessa regra no cálculo de limites 
envolvendo indeterminações. A função f x x x( ) ln= não está definida 
quando x £0 , porém, podemos estudar o limite lateral dessa função quando 
x tende à zero pela direita, ou 
lim ln
x
x x
→ +0
.
Se x tende a zero pela direita ou por valores positivos, então x ® 0 e 
ln x→−∞ , assim, a substituição direta ocasionaria em uma indeterminação 
do tipo 0⋅∞ . Note que apesar dessa indeterminação não estar relacionada 
diretamente à regra de L’Hospital, é possível aplicar essa regra para o cálculo 
do limite apresentado.
Observe que podemos reescrever a lei de formação de f da seguinte forma:
f x x x
x
x x
x
x
x
( ) ln ln ln ln= =






= = −
1
1 1 1
212
Considerando agora esse formato para a lei de formação de f, temos que 
se x→ +0 então ln x→−∞ e x− →∞1 . Sendo assim, como agora temos uma 
indeterminação do tipo ¥ ¥ podemos aplicar a regra de L’Hospital e assim:
lim ln lim ln lim
ln ’
’
lim
x x x x
x x x
x
x
x
x
x→ → − → − → −+ + + +
= =
( )
( )
=
−0 0 1 0 1 0
1
22 0 2 0
1
1
0=
−
= −( )=
→ →+ +
lim lim
x x
x
x
x
Portanto, lim ln
x
x x
→ +
=
0
0 .
O conceito de derivada pode ser aplicado em diversos tipos de problemas 
e em várias ciências. É importante ressaltar, no entanto, que todos os 
conceitos relacionados podem ser empregados apenas no caso em que as 
funções envolvidas atendam a todas as condições estabelecidas, como ser 
diferenciável em um ponto ou intervalo, ser contínua e outras, de acordo 
com o tipo de definição ou resultado que será utilizado.
Sem medo de errar
Para atender a esse cliente, o problema a ser estudado consiste em 
minimizar os custos de pintura associados à fabricação de um reserva-
tório de água no formato de um cilindro circular reto, com capacidade para 
armazenar 1.000 litros de água, e que precisa passar por um processo de 
pintura interna e externa após sua fabricação.
Se o objetivo é minimizar os gastos com a pintura, então devemos deter-
minar as dimensões do reservatório para as quais a área de superfície total 
seja a menor possível.
Sua equipe fez um estudo prévio e construiu um esboço para esse reser-
vatório, conforme apresentado na Figura 4.15, atribuindo as notações r e h, 
respectivamente, para o raio da base e a altura desse reservatório. Por simpli-
cidade, consideremos o reservatório como sendo um cilindro, desconside-
rando possíveis bordas de tampas, entre outros excessos de materiais.
Figura 4.15 | Esboço para o reservatório
Fonte: elaborada pela autora.
213
A partir desse esboço, considerando as notações estabelecidas, temos que 
a área da superfície total A desse reservatório é dada por:
A r rh= +2 22p p
considerando a soma das áreas laterais com as áreas da base e da tampa. 
Note que a função área de superfície depende de duas variáveis, r e h, no 
entanto, para que possamos resolver o problema de otimização em questão, 
precisamos expressá-la a partir de uma única variável.
Sabemos que a capacidade desse reservatório é 1.000 litros. No entanto, 
como desejamos relacionar com as dimensões do reservatório, as quais serão 
dadas em metros, vamos considerar a seguinte equivalência: 1 m3 equivale a 
1.000 litros. Calculando o volume do reservatório e igualando-o a 1 m3 
obtemos pr h2 1= , ou ainda, h r=1 2p . Substituindo essa igualdade na área 
da superfície total obtemos:
A r r
r
r
r
= +





= +2 2
1 2 22 2
2p p
p
p
Portanto, a função que expressa a área da superfície total a partir do raio 
r é dada por A r r
r
( )= +2 22p , que corresponde a uma função de uma variável 
real e que deve ser minimizada para atender às necessidades do cliente. O 
domínio da função A consiste em r >0 , visto que não temos uma limitação 
específica para o raio da base desse reservatório.
Como precisamos determinar os valores mínimos para a função A, 
iniciemos pela determinação das raízes de sua derivada A ’ , isto é, pela 
identificação dos pontos críticos da função A. Calculando a derivada da 
função A obtemos:
A r r r r
r
r
r
’( )= ( )+ −( ) = − = −−2 2 2 1 4 2 4 22 2
3
2p p
p
Igualando essa derivada a zero segue que:
4 2 0 4 2 0 4 2 1
2
3
2
3 3 3
p
p p
p
r
r
r r r− = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = 
Sendo assim, A r’( )= 0 implica r= ≈1
2
0 543
p
, m , que consiste no ponto 
crítico da função área de superfície total A r( ) .
Para comprovar que esse ponto é o valor mínimo absoluto de A podemos 
empregar o teste da primeira derivada, observando o comportamento da 
derivada de A em torno desse ponto:
A ’( , ) ( , )
( , )
,0 2 4 0 2 2
0 2
47 49 0
3
2=
−
≈− <
p
214
A ’( , ) ( , )
( , )
,0 71 4 0 71 2
0 71
4 95 0
3
2=
−
≈ >
p
Como A r’( )<0 para r < 1
2
3
p
 e A r’( )>0 para r > 1
2
3
p
, então 
r= ≈1
2
0 543
p
, m é um valor mínimo da função A, sendo o valor mínimo 
absoluto nesse contexto.
Sendo h r=1 2p então
h=






=






= =
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
3
2 2 3
2 3 2 3
1 3
2 3p
p
p
p
p
p
p
==
= =
( )
=
( )
= =
2
2 2
2
2
2
2 1
2
2 1
2
2
2 3
1 3
2 3
1 3
1 3
1 3 1 3 1 3
3
p
p p p p
 r
Portanto, para que o reservatório tenha área de superfície total mínima, 
devemos ter r= ≈1
2
0 543
p
, m e h r= ≈2 1 08, m . Para finalizar a tarefa, 
elabore um relatório com todas as informações e justificativas construídas 
durante a resolução do problema.
Avançando na prática
Aplicações sucessivas da regra de L’Hospital
Durante a resolução de um problema associado a um circuito elétrico, 
um profissional deparou-se com a seguinte função para a corrente elétrica I 
que atravessa o circuito no instante de tempo t:
I t
sen t t
( )
( )
= −
1 1
Para que possa concluir a resolução desse problema, esse profissional 
precisa avaliar a corrente elétrica que atravessa o circuito no instante em que 
ele é ligado, isto é, quando t = 0 . 
Analisando a função no instante em questão, o que você pode concluir a 
respeito da corrente no circuitoelétrico em questão? Justifique sua resposta 
com base nos conceitos envolvendo limites e derivadas.
215
Resolução da situação-problema
Para analisar o comportamento da corrente no instante em que o circuito 
é ligado, devemos estudar o comportamento da função I t( ) quando t aproxi-
ma-se de zero, pois essa função não está definida nesse ponto. 
Nesse sentido, se analisarmos o comportamento da função por meio do 
limite quando t se aproxima de zero pela direita, pois t >0 , com base no 
limite lateral temos:
t sen t
sen t t
→ ⇒ → ⇒ − →∞−∞+ +0 0 1 1 ( )
( )
A partir dessas informações não conseguimos avaliar o limite. Além 
disso, não temos as indeterminações que possibilitam a aplicação da regra 
de L’Hospital. No entanto, podemos realizar a seguinte mudança na função:
1 1
sen t t
t sen t
t sen t( )
( )
( )
− =
−
 
Observe que se t→ +0 então t sen t− →( ) 0 e t sen t ( )® 0 , ou seja, temos 
uma indeterminação do tipo 0 0 . Aplicando a regra de L’Hospital obtemos:
lim
( )
lim ( )
( )t tsen t t
t sen t
t sen t→ →+ +
−





=
−



0 0
1 1
 
=
−( )
( )
=
−
→ →+ +
lim
( ) ’
( ) ’
lim cos( )
( )t t
t sen t
t sen t
t
sen t0 0
1
 ++





t tcos( )
Note que o último limite ainda gera uma indeterminação do tipo 0 0 , 
então, aplicando novamente a regra de L’Hospital, teremos:
lim cos( )
( ) cos( )
lim
cos( )
t t
t
sen t t t
t
→ →+ +
−
+





=
−( )
0 0
1 1 ’’
( ) cos( ) ’
lim ( )
cos( ) ( )sen t t t
sen t
t t sen tt+( )
=
−
−






→ +0 2 
= =
0
2
0
Portanto, lim
( )t sen t t→ +
−





=0
1 1 0 , isto é, no instante inicial temos que a 
corrente elétrica será nula.
Faça valer a pena
1. Para que seja possível aplicar a regra de L’Hospital no cálculo de limites 
é essencial que as condições correspondentes sejam verificadas, de tal forma 
que os resultados obtidos sejam corretos e idênticos aos que são obtidos por 
meio de outros procedimentos.
Diante desse tema, analise os limites presentes nos seguintes itens:
I. lim ( )
x
sen x
x®0
II. lim
x
x
x→
+ −
0
1 1
216
III. lim
x
xe
x→∞ 2
IV. lim
x
x x
x→−
+ +
− +2
23 8 4
2
Assim, os limites que podem ser calculados por meio da aplicação da regra 
de L’Hospital são apenas aqueles indicados nos itens:
a. I e II. 
b. I e IV.
c. II e III. 
d. I, II e III. 
e. II, III e IV. 
2. A regra de L’Hospital é um importante resultado que pode ser aplicado no 
estudo de determinados limites, sujeitos a condições específicas.
Nesse contexto, considere o seguinte limite, o qual envolve funções diferenciáveis:
A
xx
x
= +





→∞lim ln 1
1
Em relação a esse limite, analise as seguintes asserções e a relação proposta 
entre elas:
I. Podemos aplicar a regra de L’Hospital para calcular o limite A 
apresentado e obter o resultado A=1 .
PORQUE
II. O limite A está associado a uma indeterminação do tipo 0⋅∞ .
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica 
a I. 
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I. 
c. A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa.
d. A asserção I é uma proposição falsa e a II, verdadeira. 
e. As asserções I e II são proposições falsas. 
217
3. Um fazendeiro adquiriu uma nova propriedade no formato retangular e 
de área igual a 3750 m2 , localizada às margens de um rio. Ele pretende cercar 
essa propriedade e dividi-la em quatro partes, conforme o esboço apresen-
tado na figura a seguir:
Fonte: elaborada pela autora.
Esse fazendeiro pretende comprar a menor quantidade possível de material 
para cercar e dividir sua nova propriedade, considerando que o lado da 
propriedade que está às margens do rio não receberá cerca e que em todos os 
demais limites será instalada uma cerca de um mesmo material.
Além disso, após realizar pesquisas de preços, esse fazendeiro decidiu instalar 
uma cerca composta por quatro fios de arame liso, cujo preço é de R$ 15,00 
por cada rolo contendo 20 metros cada.
A partir dessas informações, qual é o menor valor que deverá ser investido 
por esse fazendeiro para que ele possa cercar e dividir sua nova propriedade?
a. R$ 60,00.
b. R$ 300,00.
c. R$ 500,00. 
d. R$ 900,00. 
e. R$ 1.200,00. 
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. Ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limites, derivação e integração. 6. 
Ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
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HUGHES-HALLETT et al. Cálculo a uma e várias variáveis: volume 1. Rio de Janeiro: 
LTC, 2011.
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo: volume 1. 3 ed. Porto Alegre: Bookman, 2018.
STEWART, J. Cálculo: volume I. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
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