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TEORIA DAS ESTRUTURAS I Parte 4 Caderno de Exercícios Prof. Dr. Ricardo Azoubel da Mota Silveira Profa. Dra. Andréa Regina Dias da Silva Colaboração: Gilney Afonso Gonçalves Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas Universidade Federal de Ouro Preto 2012 SUMÁRIO 1. Pórticos ............................................................................................................. 1 1.1. Pórticos Biapoiados ............................................................................................. 1 1.2. Pórticos Engastados-Livres .................................................................................. 4 1.3. Pórticos Triarticulados ....................................................................................................6 1.4. Pórticos Biapoiados com Articulação e Tirante (ou Escora) .........................................9 1.5. Pórticos Compostos ......................................................................................................11 1.6. Pórticos com Barras Inclinadas .......................................................................... 14 1.7. Estabilidade e Grau de Indeterminação .............................................................. 17 2. Arcos ................................................................................................................ 22 3. Treliças ............................................................................................................ 25 3.1. Estabilidade e Grau de Indeterminação ...................................................................25 3.2. Treliças (Parte 1) ............................................................................................... 26 3.3. Treliças (Parte 2) ............................................................................................... 26 3.4. Treliças com Altura Constante (Viga de Substituição) ........................................ 31 4. Grelhas ............................................................................................................ 34 5. Linhas de Influência ....................................................................................... 36 6. Deslocamentos em Estruturas ...................................................................... 43 Teoria das Estruturas I 1 1. PÓRTICOS 1.1. PÓRTICOS BIAPOIADOS Problema 1. Pede-se determinar: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) Problema 2. Pede-se determinar: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 2 A B C Problema 3. Pede-se: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) Problema 4. Determine: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços cortante, normal e momento fletor c. Equação do Momento Fletor para o elemento AB. d. O momento fletor máximo no elemento AB. PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 3 A B C Problema 5. Pede-se determinar: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços: cortante, normal e momento fletor c. Represente graficamente o nó B PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 4 A B C D E 1.2. PÓRTICOS ENGASTADOS-LIVRES Problema 1. Pede-se determinar: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) c. Represente graficamente o nó B Problema 2. Pede-se determinar: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 5 Problema 3. Pede-se determinar: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) Problema 4. Determine: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 6 1.3. PÓRTICOS TRIARTICULADOS Problema 1. Pede-se: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) Problema 2. Determine: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 7 Problema 3. Pede-se: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) Problema 4. Determine: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 8 Problema 5. Determine: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) Problema 6. Determine: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 9 1.4. PÓRTICOS BIAPOIADOS COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE (OU ESCORA) Problema 1. Determine: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) Problema 2. Pede-se: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 10 Problema 3. Pede-se: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (normal e momento fletor) PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 11 1.5. PÓRTICOS COMPOSTOS Problema 1. Para o pórtico composto abaixo, pede-se: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (normal e momento fletor) Problema 2. Para o pórtico composto abaixo, pede-se: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante e momento fletor) a a a a a a PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 12 Problema 3. Determine: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes (normal, cortante e momento fletor) Problema 4. Determine: a. Reações de apoio b. Diagramas de esforços solicitantes(normal, cortante e momento fletor) PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 13 Problema 5. Para o quadro composto abaixo, pede-se: a. Projetar o arco triarticulado baseando-se na linha de pressões da carga uniformemente distribuída atuante b. Reações de apoio c. Diagramas de esforços solicitantes (normal e momento fletor) 4m 2m 2 tf/m 4 tf 2 tf2 tf 4m4m 2m G A B C D E F G H I J 2 tf 2 tf 4 tf (indicador de simetria) PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 14 1.6. PÓRTICOS COM BARRAS INCLINADAS Problema 1. Veja que a escada mostrada na figura abaixo pode ser idealizada como um pórtico plano biapoiado. Para esse sistema, pede-se chegar nos diagramas de esforços solicitantes fornecidos. PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 15 Problema 2. O galpão esquematizado em perspectiva na parte esquerda da figura abaixo tem seu pórtico transversal central idealizado como triarticulado. Para esse sistema estrutural, pede- se chegar no diagrama de momento fletor fornecido. PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 16 Problema 3. Para o galpão industrial ilustrado na figura a seguir, pede-se chegar no diagrama de momento fletor fornecido. 10kN/m 5m A 2,5m 2,5m 5m B 5m C D E 6kN 2kN 1m 1,2m 0,8m PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 17 1.7. ESTABILIDADE E GRAU DE INDETERMINAÇÃO Problema 1. Classifique cada uma das estruturas a seguir como estável ou instável. As estruturas são submetidas à carregamentos externos conhecidos e que podem atuar em qualquer lugar. (a) (b) (c) (d) (e) PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 18 Problema 2. Classifique cada uma das vigas a seguir como estaticamente determinada ou estaticamente indeterminada. Se estaticamente indeterminada avalie o grau de indeterminação. As vigas são submetidas à carregamentos externos conhecidos e que podem atuar em qualquer lugar. (a) (b) (c) (d) (e) PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 19 Problema 3. Classifique cada um dos quadros a seguir como estaticamente determinado ou estaticamente indeterminado. Se estaticamente indeterminado avalie o grau de indeterminação. Os quadros são submetidos à carregamentos externos conhecidos e que podem atuar em qualquer lugar. (a) (b) (c) (d) PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 20 Problema 4. Classifique cada um dos quadros a seguir como estaticamente determinado ou estaticamente indeterminado. Se estaticamente indeterminado avalie o grau de indeterminação. Os quadros são submetidos à carregamentos externos conhecidos e que podem atuar em qualquer lugar. (a) (b) (c) PÓRTICOS Teoria das Estruturas I 21 Problema 5. Para cada um dos sistemas estruturais mostrados a seguir, pede-se: 1. Avaliar a sua ESTABILIDADE 2. Avaliar o GRAU DE INDETERMINAÇÃO (GI), ou seja, verificar se são estaticamente determindados (ED) ou indeterminados (EI), ou mesmo hipostáticos (H) Considere que o carregamento externo pode atuar em qualquer duração. Importante: JUSTIFICAR A RESPOSTA. (a) (b) (c) (d) Teoria das Estruturas I 22 2. ARCOS Problema 1. Para a estrutura abaixo determine: a. Reações de apoio b. VC (esq) e VC (dir) c. NC (esq) e NC (dir) Problema 2. Para o pórtico composto abaixo, pede-se: a. Diagrama de momento fletor b. VG(esq), VG (dir), NG(esq), NG(dir) c. VtrechoCD, NtrechoCD, VtrechoAD, NtrechoAD Observação: A cúpula DGE, para eixos coordenados com origem em D, é definida pela equação: y = -x2/3 + 2x Para o trecho curvo, DGE, construa o DMF a partir da reta horizontal DE e cote-o nos quartos do respectivo trecho. 3m 4m4m 4m 5 tf A B C par. 2o grau ARCOS Teoria das Estruturas I 23 Problema 3. Deseja-se construir uma estrutura cujo eixo coincida com a linha de pressões do carregamento indicado na figura a seguir. Pede-se assim: a. A linha de pressões b. Esforços normais máximo e mínimo atuantes c. A inclinação da tangente ao eixo da estrutura na seção de abscissa x = 2,5 m 2t/m 12m 2t/m A B 12m f=6,4m G Problema 4. Para o quadro composto abaixo (dois pórticos e um arco triarticulado EGH), pede- se: a. Projetar o arco triarticulado baseando-se na linha de pressões da carga atuante b. As reações de apoio c. Diagrama de momento fletor (DMF) d. Diagrama de esforço normal (DEN) e. Diagrama de esforço cortante (DEC) 4m 2m 2 tf/m 4 tf 2 tf2 tf 4m4m 2m G A B C D E F G H I J 2 tf 2 tf 4 tf (indicador de simetria) ARCOS Teoria das Estruturas I 24 Problema 5. Para o pórtico composto abaixo (pórtico engastado-livre + arco triarticulado BGF), pede-se: a. Projetar o arco triarticulado baseando-se na linha de pressões da carga atuante b. Reações de apoio (arco triarticulado + pórtico engastado-livre) c. Diagrama de momento fletor (DMF) d. Diagrama de esforço normal (DEN) e. Diagrama de esforço cortante (DEC) Teoria das Estruturas I 25 3. TRELIÇAS 3.1. ESTABILIDADE E GRAU DE INDETERMINAÇÃO Problema 1. Para as treliças mostradas a seguir, pede-se: 1. A avaliação da sua estabilidade 2. Definir se elas são estaticamente determinada ou estaticamente indeterminada. Se estaticamente indeterminada, determine o grau de indeterminação (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) TRELIÇAS Teoria das Estruturas I26 3.2. TRELIÇAS (PARTE 1) Problema 1. Determinar os esforços normais atuantes na treliça da figura abaixo. Problema 2. Determinar os esforços normais atuantes na treliça da figura abaixo. TRELIÇAS Teoria das Estruturas I 27 Problema 3. Para a figura abaixo pede-se: a. Avaliar o esforço normal nas barras GF e GD b. Defina se esses esforços são de tração ou compressão (As reações de apoio são dadas) Problema 4. Classifique a treliça mostrada na figura abaixo. Em seguida, obtenha: a. Reações de apoio b. O esforço normal nas barras CD, CF e DE (tração ou compressão ?) c. Apenas indique como obter os esforços normais nas barras AE, AC e CE 6kN 1m 1m 1m 1m 1m 6kN 3m 2m 1m A B C D E F TRELIÇAS Teoria das Estruturas I 28 3.3. TRELIÇAS (PARTE 2) Problema 1. Pede-se indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuam Esforço Normal Nulo. Problema 2. Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio são dadas. Ay = 5kN 2m2m2m 2m 4kN 2kN 4kN Ey = 5kN A B C D E F GH I J 4m 2m 2m a a Ax = 0 TRELIÇAS Teoria das Estruturas I 29 Problema 3. Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio são dadas. Ay = 5kN 6ft6ft6ft 6ft 3k Fy = 3k A B C D E F G H Ax = 0 6ft 3k 12ft 6ft a a45o45o 45o Problema 4. Obter os esforços normais para o reticulado abaixo. 2m2m2m 2m 3t/m 1,5m TRELIÇAS Teoria das Estruturas I 30 Problema 5. Determinar os esforços normais atuantes na treliça da figura abaixo. Sugere-se verificar previamente que barras têm esforço normal nulo. a a a a a a PP a 4P a a a Problema 6. Classifique a treliça mostrada na figura abaixo. Em seguida obtenha os esforços normais atuantes, não esquecendo de indicar se são de tração ou compressão. Assuma que os membros são conectados através de rótulas perfeitas. A B C D E F TRELIÇAS Teoria das Estruturas I 31 3.4. TRELIÇAS COM ALTURA CONSTANTE (VIGA DE SUBSTITUIÇÃO) Problema 1. Determinar os esforços normais atuantes na treliça da figura abaixo. 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2t 4t 4t 4t 4t 4t 2t Problema 2. Determinar os esforços normais atuantes na treliça da figura abaixo. 3m 4m 4t 3m 3m 3m 3m 3m 8t 12t 12t 4t 4t 2t TRELIÇAS Teoria das Estruturas I 32 Problema 3. Obter os esforços normais atuantes na treliça da figura abaixo. 4m4m4m 4m h = 3m 3t 3t 3t 3t A B C D E V1 V2 V3 V4 U1 U2 U3 U4 O1 O2 O3 O4 D1 D2 D3 D4 s1 s1 s2 s2 Problema 4. A figura abaixo representa uma treliça de altura constante, estando faltando as diagonais (uma em cada painel). Pede-se: a. Dispor as diagonais para que, com o carregamento indicado, trabalhem todas a tração b. Calcular a menor altura h, de modo que o maior esforço normal atuante nas barras horizontais não ultrapasse, em módulo, o valor de 8 tf c. Para este valor de h, achar os esforços normais nas barras 2m2m2m 2m h 2t 2t 3t3t A B 2m 2m 2m 2t C D E F G H I J TRELIÇAS Teoria das Estruturas I 33 Problema 5. Para a treliça de altura constante mostrada na Figura 3, pede-se, utilizando o conceito de viga de substituição: a. A menor altura h, de modo que o maior esforço normal atuante nas barras horizontais não ultrapasse, em módulo, o valor de 5 kN b. O esforço normal nas barras horizontais superiores (tração ou compressão ?) c. O esforço normal nas barras diagonais (tração ou compressão ?) Problema 6. Para a treliça de altura constante mostrada abaixo, pede-se, utilizando o conceito de viga de substituição: a. A menor altura h, de modo que o maior esforço normal atuante nas barras horizontais não ultrapasse, em módulo, o valor de 10 tf b. O esforço normal nas barras horizontais (tração ou compressão ?) c. O esforço normal nas barras diagonais (tração ou compressão ?) d. O esforço normal nas barras verticais (tração ou compressão ?) 2m h 4tf 2m 2m 2m 1m 2m 4tf 4tf 1m 2m 2m 2m A B 4tf 4tf U1 U2 U3 U4 U5 O1 O2 O3 O4 O5 V1 V2 V3 V4 V5 V6D1 D2 D3 D4 D5 Teoria das Estruturas I 34 4. GRELHAS Problema 1. Determinar os diagramas solicitantes a grelha da figura abaixo. Problema 2. Determinar os diagramas solicitantes a grelha da figura abaixo. GRELHAS Teoria das Estruturas I 35 Problema 3. Determinar os diagramas solicitantes a grelha da figura abaixo. Problema 4. a. Determine o Momento fletor em C pela direita e o Momento torçor em C pela direita b. Pode-se afirmar que (justifique): Momento fletor em C pela direita = Momento fletor em C pela esquerda? Momento torçor em C pela direita = Momento torçor em C pela esquerda? a a a a B A C D P (força) x y Teoria das Estruturas I 36 5. LINHAS DE INFLUÊNCIA Problema 1. Obter as reações de apoio máximas para uma ponte engastada-livre de 10m, provocadas pelo trem-tipo abaixo: Problema 2. Para a ponte abaixo obter as envoltórias de MF e EC, cotando-as nas seções indicadas. São dados: a. Carga permanente: g = 2 tf/m b. Trem-tipo: 1 tf/m 20 tf 10 tf 1 tf/m 20 tf 10 tf 21A 3 B 3m 3m 3m 3m LINHAS DE INFLUÊNCIA Teoria das Estruturas I 37 Problema 3. Para a ponte de CLASSE 45 abaixo, pede-se: a. O modelo estrutural de análise indicando a carga permanente b. MF e EC (carga permanente) nas seções 1, 2, 4, 6 e 7 c. L.I.MF e L.I.EC das seções 1, 2, 4, 6 e 7 d. MF e EC (carga móvel - trem-tipo de anteprojeto) nas seções 1, 2, 4, 6 e 7 e. Tabela de envoltória para as seções 1, 2, 4, 6 e 7 Problema 4. Para o modelo estrutural da ponte abaixo, pede-se: a. Carga permanente: MF e EC nas seções A, 1, 2, 3 e 5 b. L.I.MF e L.I.EC das seções A, 1, 2, 3 e 5 c. Carga móvel: MF e EC nas seções A, 1, 2, 3 e 5 Obs.: Trem-tipo d. Tabela de envoltória para as seções A, 1, 2,3 e 5 (ϕ =1) A A 10 12 7.5 7.55 na pilar encontro (rigidez elevada; b=largura da ponte) cortina (b=largura da ponte) pilar pilar pilar na 5 15 1 3 5 6 742 obs.: as seções 2 e 4 estão no meio do vão rótula engaste engaste 4 6 6 A 1 2 3 4 5 B 5 tf 10 tfq=2.5 tf/m 5 tf 2 3 3 carga permanente 1.5 tf/m 7.5 tf qg qg VVV MMM ϕ+= ϕ+= LINHAS DE INFLUÊNCIA Teoria das Estruturas I 38 Problema 5. Para a ponte CLASSE 30 (veículo tipo com três eixos) a seguir, pede-se: a. Carga permanente – VP2: - Esforço cortante: Seção Dd ; Momento fletor: Seção L ; Reação de apoio: Seção I b. Linha de Influência – VP2: - Esforço cortante: Seção Dd ; Momento fletor: Seção L ; Reação de apoio: Seção I c. Carga móvel – VP2 (Trem-tipo de anteprojeto): - Esforço cortante: Seção Dd ; Momento fletor: Seção L ; Reação de apoio: Seção I d. Tabela de envoltória Observação: Carga permanente: γconc = 2.5 tf/m3; γrevestim. = 2.0 tf/m3 VP1VP1VP1 VP2 VP3 VP4 0,8 0,2 2,0 5,0 m 5,0 m5,0 m hr(média) = 0,075 m revestimento 0,3 pilar pilarpilarpilar Área de influência de VP3 2,5 m 2,5 m 0,3 0,2 indicador de simetria Pilar Encontr (rig. elevada) P1P1P1 P5P4P3P2 F ED CB IH G K J A Junta Junta Junta Junta Junta 9 m8 m9 m8 m12 m 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 10 m trecho central 3 m L LINHAS DE INFLUÊNCIA Teoria das Estruturas I 39 Problema 6. Para a ponte CLASSE 12 (veículo tipo com dois eixos) a seguir, pede-se: a. Linha de Influência – VP4: Esforço cortante: Seção A (LIVA) e Seção I (LIVI) Momento fletor: Seção C (LIMc) e Seção H (LIMH) Reação de apoio: Seção C (LIRc) b. Carga móvel – VP4 (Trem-tipo de anteprojeto): Esforço cortante: Seções A e I Momento fletor: Seções C e H Reação de apoio: Seção C P6 ED H KA 10 m10 m10 m10 m10 m CB JuntaJunta P2 P3 I JJunta P5 3 m P4P1P1 F G Junta 2 m2 m 2,5 m transversina transversina 5 m LINHAS DE INFLUÊNCIA Teoria das Estruturas I 40 Problema 7. Para a PONTE MISTA (RODOVIÁRIA) mostrada na página seguinte, pede-se: a. - Carga Permanente – VP4: q (peso próprio) = 4 tf/m; q(lastro + dormentes) = 1 tf/m; P(transversina) = 2 tf - M. fletor: Seção D; -Esforço. cortante: Seção Je ; - Reação de apoio: Seção E b. Linha de Influência – VP4: - Momento fletor: Seção D (LIMD) ; -Esforço cortante: Seção Je (LIJe) ; Reação de apoio: Seção E (LIE) c. Carga móvel – VP4 (Trem-tipo de projeto): - M. fletor (máximo positivo e negativo): Seção D - E. cortante (máximo positivo e negativo): Seção Je - R. apoio (máxima positiva e negativa): Seção E d. Envoltória de solicitações (ϕ= 1) P6 ED H KA 12 m10 m10 m10 m 10 m CB JuntaJunta P2 P3 I J Junta P5 2 m P4P1 F G Junta 2 m 2 m 2 m transversinas 6 m indicador de simetria L Junta 6m 2 m 4 m LINHAS DE INFLUÊNCIA Teoria das Estruturas I 41 Problema 8. Obtenha a linha de influência do esforço normal na barra GB da ponte treliçada mostrada na figura a seguir. Problema 9. Obtenha a linha de influência do esforço normal na barra GC da ponte treliçada mostrada na figura abaixo. LINHAS DE INFLUÊNCIA Teoria das Estruturas I 42 Problema 10. Determine o máximo esforço normal que pode ser desenvolvido na barra BC da ponte treliçada mostrada a seguir, devido a uma carga acidental concentrada de 20 k e uma acidental uniformemente distribuída de 0,6 k/ft. Teoria das Estruturas I 43 6. DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS Problema 1. Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica mostrada na figura abaixo. Considere: E = 29 (103) ksi e A = 0,5 in2. Problema 2. Considere a treliça mostrada abaixo; cada barra com E = 200 GPa e A = 400 mm2. Determine: a. O deslocamento vertical no ponto C se uma força horizontal de 4 kN for aplicada nesse mesmo ponto b. Se nenhuma carga for aplicada, qual seria o deslocamento vertical em C se a barra AB for 5 mm menor do que o tamanho definido em projeto DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS Teoria das Estruturas I 44 Problema 3. Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica mostrada na figura abaixo. Devido ao calor radiante da parede, a barra AD é submetida a um aumento da temperatura de DT = +120º F. Considere: E = 29 (103) ksi e α = 0,6 (10-5)/oF. A seção A de todas as barras é indicada na figura. Problema 4. Determine o deslocamento do ponto B da viga metálica mostrada abaixo. Considere: E = 200 GPa e I = 500 (106) mm4. DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS Teoria das Estruturas I 45 Problema 5. Determine a inclinação q no ponto B da viga metálica mostrada abaixo. Considere: E = 200 GPa e I = 60 (106) mm4. Problema 6. Determine o deslocamento vertical no ponto D da viga metálica a seguir. Considere: E = 29(103) ksi e I = 800 in4. Problema 7. Determine a rotação q no ponto C do pórtico metálico a seguir. Considere: E = 200 GPa e I = 15(106) mm4. DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS Teoria das Estruturas I 46 Problema 8. Determine o deslocamento horizontal no ponto C do pórtico metálico mostrado abaixo. Considere: E = 29(103) ksi, G = 12(103) ksi, I = 600 in4, e A = 80 in2 para ambos os membros. Inclua as parcelas de energia devido ao esforço axial e cisalhante. 4k/ft 8ft 10ft A x1 x2 B C Problema 9. A viga mostrada abaixo é usada num sistema estrutural sujeito a duas temperaturas diferentes. Se a temperatura do topo da seção é 80º F e a da base é 160º F, determine o deslocamento vertical no meio da viga devido a esse gradiente de temperatura. Considere: α = 6,5(10-6)/oF.
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