Trabalho Retas Planos Distancia Eletronica

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS-UEA 
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA-EST 
Trabalho de Análise Vetorial – Retas, Planos e Distância 
Curso: Engenharia Eletrônica – 2018.1 
 
1. Dados os pontos 𝐴 = (3, 6, −7), 𝐵 = (−5, 2, 3) e 𝐶 = (4, −7, −6). Escreva equações vetoriais e 
paramétricas para a reta determinada pelos pontos 𝐵 e 𝐶, e obtenha sua forma simétrica (se 
existir). O ponto 𝐷 = (3, 1, 4) pertence a essa reta? 
2. Escreva equações paramétricas para a reta 𝑟 que passa pelo ponto 𝐴 = (2, 0, −3) e: 
a) é paralela à reta 
𝑠:
1 − 𝑥
5
=
3𝑦
4
=
𝑧 + 3
6
; 
b) é paralela à reta que passa pelos pontos 𝐵 = (1, 0, 4) e 𝐶 = (2, 1, 3); 
c) é paralela à reta 𝑠′: {
𝑥 = 1 − 2𝜆
𝑦 = 4 + 𝜆 
𝑧 = −1 − 𝜆
 (𝜆 ∈ ℝ) 
3. Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações 
𝑋 = (0, 0, 0) + 𝜆(1, 2, 4) (𝜆 ∈ ℝ) 
𝑋 = (1, 0, −2) + 𝜆(−1, −1, −1) (𝜆 ∈ ℝ) 
Pergunta-se se as trajetórias são concorrentes e se haverá colisão. 
4. Ache dois pontos 𝐴 e 𝐵 da intersecção dos planos 𝜋1 e 𝜋2, e escreva uma equação vetorial para a 
reta que passa por 𝐴 e 𝐵. Dados: 
𝜋1: 𝑋 = (1, 0, 0) + 𝜆(0, 1, 1) + 𝜇(1, 2, 1) 
𝜋2: 𝑋 = (0, 0, 0) + 𝜆(0, 3, 0) + 𝜇(−2, −1, −1) 
5. Dadas as retas 
𝑟:
𝑥 − 1
2
=
𝑦
2
= 𝑧 e 𝑠: 𝑥 − 1 = 𝑦 = 𝑧 
Obtenha uma equação geral para o plano que contém 𝑟 e 𝑠. 
6. Seja 𝜋1 o plano que passa pelos pontos 𝐴 = (1, 0, 0), 𝐵 = (0, 1, 0) e 𝐶 = (0, 0, 1). Seja 𝜋2 o 
plano que passa por 𝑄 = (−1, −1, 0) e é paralelo aos vetores �⃗� = (0, 1, −1) e �⃗⃗⃗� = (1, 0, 1). Seja 
𝜋3 o plano de equação vetorial 𝑋 = (1, 1, 1) + 𝛼(−2, 1, 0) + 𝛽(1, 0, 1). 
a) Escreva equações gerais de 𝜋1, 𝜋2 e 𝜋3 
b) Mostre que a interseção 𝜋1 ∩ 𝜋2 ∩ 𝜋3 se reduz a um único ponto; determine-o. 
7. Verifique, em cada um dos casos seguintes, se as retas 𝑟 e 𝑠 são concorrentes. Em caso 
afirmativo, determine o ponto 𝑃 comum a elas e escreva uma equação geral do plano determinado 
por elas. 
a) 𝑟: {
𝑥 = 𝑡 
𝑦 = −𝑡 
𝑧 = 1 + 4𝑡
 e 𝑠:
𝑥−1
3
=
𝑦−5
3
=
2+𝑧
5
 
 
b) 𝑟: {
𝑥 = 2 − 2𝑡 
𝑦 = 4 + 𝑡 
𝑧 = −3𝑡 
e 𝑠: {
𝑥 = 1 + 𝑡 
𝑦 = −2𝑡 
𝑧 = 2𝑡 
 
8. Obtenha uma equação geral do plano 𝜋 que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa 
por 𝐴 = (1, 1, 1) e 𝐵 = (2, 1, −1). 
9. Escreva equações paramétricas da reta intersecão dos planos 
𝜋1 : {
𝑥 = 1 + 𝛼 
𝑦 = −2 
𝑧 = −𝛼 − 𝛼
 e 𝜋2 : {
𝑥 = 1 + 𝛼 − 𝛽
𝑦 = 2𝛼 + 𝛽 
𝑧 = 3 − 𝛽 
 
10. Calcule 𝑚 ∈ ℝ para que 
a) 𝑟 e 𝑠 sejam paralelas; 
b) 𝑟, 𝑠 e 𝑡 sejam paralelas a um mesmo plano; 
c) 𝑟 e 𝑡 sejam concorrentes; 
d) 𝑠 e 𝑡 sejam coplanares; 
e) 𝑟 e 𝑠 sejam reversas. 
 São dadas 
𝑟: {
𝑥 = 𝑚𝑦 − 1
𝑧 = 𝑦 − 1 
 𝑠: 𝑥 =
𝑦
𝑚
= 𝑧 𝑡: − 𝑥 + 𝑧 = 𝑦 = −𝑧 − 1 
11. Determine 𝛼 e 𝛽 reais para que as retas 
𝑟: 𝑋 = (1, 𝛼, 0) + 𝜆(1, 2, 1) e 𝑠: {
𝑥 = 𝑧 − 2 
𝑦 = 𝛽𝑧 − 1
 
sejam coplanares e obtenha nesse caso uma equação geral para o plano delas. 
12. Calcule 𝑚 para que a reta 𝑟: 𝑋 = (1, 1, 1) + 𝜆(2, 𝑚, 1) seja paralela ao plano 
𝜋: 𝑋 = (0, 0, 0) + 𝛼(1, 2, 0) + 𝛽(1, 0, 1). 
13. Obtenha uma equação vetorial para a reta 𝑡, concorrente com 𝑟 e 𝑠, em que: 
𝑟: 𝑋 = (1, 1, −1) + 𝜆(2, 1, −1) 𝑠: {
𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 0
 
e 𝑡 é paralela à reta determinada por 𝑀 = (1, −1, 4) e 𝑁 = (0, −3, −1). 
14. Dada a reta 𝑟: 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 + 𝑧 − 1 = 0, seja 𝜋 um plano que contém 𝑟 e determina com os planos 
coordenados um tetraedro de volume 𝑉 =
1
12
. Determine os vértices do tetraedro e uma equação 
geral de 𝜋. 
15. Dê uma equação vetorial da reta paralela ao plano 𝜋, perpendicular à reta 𝐴𝐵, e que intersecta a 
reta 𝑠, sendo 𝜋: 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 1 = 0, 𝐴 = (1, 0, 1), 𝐵 = (0, 1, 2), 𝑠: 𝑋 = (4, 5, 0) + 𝜆(3, 6, 1). 
16. Dados os planos 𝜋1: 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 1 = 0 e 𝜋2: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 1 = 0, determine o plano que contém 
𝜋1 ∩ 𝜋2 e é ortogonal vetor �⃗� = (1, 1, −1). 
17. Ache a reta que intersecta as retas 
𝑟:
𝑥−1
3
=
𝑦−1
2
= −
𝑧
3
; 𝑠: {
𝑥 = −1 + 5𝜆
𝑦 = 1 + 3𝜆 
𝑧 = 𝜆 
 
e forma ângulos congruentes com os eixos coordenados. 
18. Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta 𝑟: {
3𝑧 − 𝑥 = 1
 𝑦 − 1 = 1
 e forma com 
𝑠: 𝑋 = (1,1, 0) + 𝜆(3, 1, 1) um ângulo cuja medida em radianos é 𝜃 = arccos (
2√30
11
). 
19. Faça o que se pede: 
a) Calcule a distância entre os pontos 𝑃 = (−1, −3, 4) e 𝑄 = (1, 2, −8); 
b) Calcule a distância do ponto 𝑃 = (0, −1, 0) à reta 𝑟: {
𝑥 = 2𝑧 − 1
𝑦 = 𝑧 + 1 
; 
c) Calcule a distância entre as retas paralelas 
𝑟: 
𝑥 − 1
−2
=
𝑦
1
2
= 𝑧 𝑠: 𝑋 = (0, 0, 2) + 𝜆 (−2,
1
2
, 1) 
d) Calcule a distância do ponto 𝑃 = (0, 0, −6) ao plano 𝜋: 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 − 6 = 0; 
e) Calcule a distância entre os planos paralelos 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 9 = 0 e 4𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 21 =
0; 
20. Obtenha uma equação vetorial da reta paralela a 𝑠: {
2𝑥 − 𝑧 = 3
𝑦 = 2
, concorrente com 
𝑡: 𝑋 = (−1, 1, 1) + 𝜆(0, −1, 2), e que dista 1 do ponto 𝑃 = (1, 2, 1).