Distância e Ângulo entre Retas e Planos

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LISTA 4
Distância e ângulo entre retas & planos
1. Ache o ângulo entre as retas dadas por:
(a) r :
{x+ 2
3
= 3− z
y = 0
e s :
{x+ 1
2
= z + 3
y = 0
(b) r : x =
1− y
2
=
z
3
e s :
{
3x+ y − 5z = 0
2x+ 3y − 8z = 1
2. Ache o ângulo entre a reta e o plano dados por:
(a)
{
x = 0
y = z
e z = 0
(b) x = y = z e z = 0
3. Ache o ângulo entre os planos dados por:
(a) π1 : X = (1, 0, 0) + λ(1, 0, 1) + µ(−1, 0, 0) e π2 : x+ y + z = 0
(b) π1 : X = (0, 0, 0) + λ(1, 0, 0) + µ(1, 1, 1) e π2 : X = (1, 0, 0) + λ(−1, 2, 0) + µ(0, 1, 0)
4. Calcule a distância do ponto P a reta r nos casos:
(a) P = (0,−1, 0) e r :
{
x = 2z − 1
y = z + 1
(b) P = (1, 0, 1) e r :

x = λ
y = λ/2
z = λ/3
5. Calcule a distância entre ponto P e o plano π nos casos:
(a) P = (0, 0,−6) e π : x− 2y − 2z − 6 = 0
(b) P = (0, 0, 0) e π : 2x− y − 2z − 3 = 0
6. Calcule a distância entre as retas:
(a) r :
{
x = z − 1
y = 3z − 2
e s :
{
3x− 2z + 3 = 0
y − z − 2 = 0
(b) r :
x+ 4
3
=
y
4
=
z + 5
−2
e s :

x = 21 + 6λ
y = −5− 4λ
z = 2− λ
1
7. Sejam P = (x1, y1, z1) e Q = (x2, y2, z2) dois pontos quaisquer no espaço. Um ponto M do segmento de
extremidades P e Q é dito ponto médio quando a distância de P a M for igual a distância de M a Q.
Figura 1: d(P,M) = d(M,Q)
As coordenadas de M (ponto médio do segmento de extremidades P e Q) são dadas por:
M =
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
,
z1 + z2
2
)
.
Sabendo disso, calcule as coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades P = (−1,−3, 4) e
Q = (1, 2,−8).
8. Considere dois planos com equações gerais dadas por:
π1 : ax+ by + cz + d1 = 0
π2 : ax+ by + cz + d2 = 0.
Tais planos são paralelos e a distância entre eles pode ser calculada por
d(π1, π2) =
|d1 − d2|√
a2 + b2 + c2
.
Use isso para calcular a distância entre os planos:
π1 : 3x+ 4y −
√
11z − 8 = 0 e π2 : 6x+ 8y − 2
√
11z + 28 = 0.
2