Álgebra - norma e produto interno

Prévia do material em texto

Aula 02 
 
Norma e produto interno 
Norma 
Já vimos que o comprimento de um vetor V 
é definido como sendo o comprimento de 
qualquer um dos segmentos orientados 
que o representam. 
Tal comprimento também é chamado de 
norma V e é denotado por . 
Norma 
Exemplo 1 
Determine a norma do vetor V = (1,−2, 3). 
Solução: 
 
 
 
Obs.: Um vetor de norma igual a 1 é 
chamado vetor unitário. 
 
 
Distância entre dois pontos 
A distância entre dois pontos 
 é igual à 
norma do vetor . 
Como , então 
a distância de P a Q é dada por 
 
 
Se 
 
 
Exemplo 2 
Determine a distância entre os pontos 
P = (2,−3, 1) e Q = (−1, 4, 5). 
Solução: 
 
 
Observação 
Se e é um escalar, então 
da definição da multiplicação de vetor por 
escalar e da norma de um vetor temos: 
Observação 
Dado um vetor V não nulo, o vetor 
 
 
 
é um vetor unitário na direção de V , pois 
 
Exemplo 
Determine um vetor unitário na direção do 
vetor V = (1,−2, 3) . 
Solução: 
 
 
Ângulo entre vetores 
O ângulo entre dois vetores não nulos, V e 
W, é definido pelo ângulo determinado 
por V e W que satisfaz 0 ≤  ≤  
 
Vetores ortogonais 
Quando o ângulo entre dois vetores V e W 
é reto ( = /2), ou um deles é o vetor 
nulo, dizemos que os vetores V e W são 
ortogonais ou perpendiculares entre si. 
 
V
W
/ 2 
Produto Escalar ou Interno 
O produto escalar ou interno de dois vetores 
V e W é definido por 
 
 
 
 
em que  é o ângulo entre eles. 
 
 
Observação 
Quando os vetores são dados em termos 
das suas componentes não sabemos 
diretamente o ângulo entre eles. 
 
Por isso, precisamos de uma forma de 
calcular o produto escalar que não 
necessite do ângulo entre os vetores. 
 
Lei dos cossenos 
Cálculo do Produto interno 
em (1) os termos e são cancelados e obtemos 
(1)
Resultado 
O produto escalar ou interno, V⋅W, entre 
dois vetores é um número dado por 
 
 
se e 
 
e por 
 
se e . 
Exemplo 
Sejam V = (0, 1, 0) e W = (2, 2, 3). 
Determine o produto escalar de V por W. 
Solução: 
 
 
Ângulo entre vetores 
 
Exemplo 
Determinar o ângulo entre uma diagonal de 
um cubo e uma de suas arestas. 
Solução: 
 
Propriedades 
 
Projeção Ortogonal 
 
Projeção Ortogonal 
 
Projeção Ortogonal 
 
 
Demonstração 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )II
Daí,
( )I
( )II
( )I
Exemplo 
 , 
 
 
 
 . 
Solução