CONJUNTOS NUMERICOS

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1. NÚMEROS REAIS 
1.1. Introdução 
Em geral, os cursos de Cálculo começam por um breve estudo dos números 
reais. A razão é simples. No Cálculo, estuda-se o comportamento de funções 
reais. 
Nosso objetivo é a apresentação das principais propriedades dos números 
reais, para compreender as funções de uma variável real. 
 
1.2. Conjuntos Numéricos 
1.2.1. Números Naturais ( ) 
Os números naturais são: 
 
O conjunto de todos os naturais é representado pela letra , ou seja, 
 = {1, 2, 3, 4, 5,...} 
1.2.2 Números inteiros ( ) 
Os números inteiros são: 
 
O conjunto de todos os inteiros é representado pela letra , ou seja, 
 
 
1.2.2.1. Representação dos números inteiros na reta 
 
Destacam-se os subconjuntos dos números inteiros: 
 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
 
(5) 
 
 
 
1.2.3 Números Racionais ( ) 
Os números racionais são os números da forma 
 
 
, sendo e inteiros e 
O conjunto de todos os números racionais é representado pela letra ou seja, 
 {
 
 
 } 
Sejam 
 
 
 e 
 
 
 dois racionais quaisquer. A soma e o produto destes racionais são 
da forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os números racionais podem ser representados geometricamente por pontos 
de uma reta. Para isto, escolhem dois pontos distintos da mesma, um 
representando o 0 e o outro o 1. Tomando-se o segmento de extremidades e 
 como unidade de medida, marcam-se os representantes dos demais 
números racionais. 
 
Se o ponto for representante do número racional , diremos que é abscissa 
do ponto . Na figura acima, 
 
 
 é abscissa do ponto e 
 
 
 é abscissa do ponto 
 . 
1.2.4. Números Irracionais 
São os números que não podem ser representados na forma 
 
 
, sendo e 
inteiros e , tais como √ . 
PROBLEMA: Mostre que a equação não admite solução em . 
Solução: Suponhamos por absurdo que exista uma fração irredutível 
 
 
 tal que 
(
 
 
)
 
 Assim, 
 
Sendo um número par, temos que será da forma inteiro. 
Portanto: 
 
{ 
 
 
 
Assim, é par e portanto, também o é. O que é um absurdo, pois 
 
 
 seria 
redutível. 
Conclusão: não é um número racional. Dizemos que é um número 
irracional. 
Consideremos a figura seguinte na qual temos um triângulo retângulo isósceles 
cujos catetos medem 1. Usando esse triângulo e um compasso, é fácil marcar 
na reta numérica um segmento cujo comprimento é representado por um 
número irracional que é o conhecido por √ . 
 
1.2.5. Números Reais 
O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto 
dos números reais. 
O conjunto dos números reais será indicado por . 
O conjunto dos números reais é um conjunto não vazio, caracterizado por 
alguns axiomas.(Axiomas são propriedades aceitas como verdadeiras, sem 
demonstração). 
Ao primeiro conjunto de axiomas que caracterizam , denominamos 
de axiomas de corpo. Isto significa que é um conjunto não vazio onde se 
pode definir duas operações fechadas, denominadas 
 
Adição (+) : 
 
 
Multiplicação ( ) : 
 
 
Em estão definidas duas operações. A adição que a cada par ordenado 
 de números reais associa um número real ,chamado soma de e , 
e a multiplicação, que a cada par ordenado de números reais associa 
um único número real , chamado produto de e . 
Regra da Balança: Se , então e . 
 
 
1.2.5.1. Axiomas da Adição e da Multiplicação 
 
A1) Associatividade: Quaisquer que sejam , e em , tem-se: 
 
 
A2) Comutatividade: Quaisquer que sejam e em , tem-se: 
 
 
A3) Elemento neutro: Existe em (denominado "zero"), tal que para todo 
em : 
 
 
A4) Simétrico: Todo elemento de possui um simétrico em (também 
denominado oposto), tal que: 
 
 
M1) Associatividade: Quaisquer que sejam , e em , tem-se: 
 
 
M2) Comutatividade: Quaisquer que sejam e em , tem-se: 
 
 
M3) Elemento neutro: Existe 1 em (denominado "um"), tal que para todo 
de , vale: 
 
 
M4) Inverso multiplicativo: Todo diferente de zero em , possui um inverso 
 em tal que: 
 
 
1.2.5.2. Axioma da Distributividade 
 Quaisquer que sejam , e em , tem-se: 
 
Uma consequência muito importante dos axiomas dos números reais é 
conhecida como a regra dos sinais. 
1.2.5.3. Regra dos Sinais 
Um desafio para o professor do curso Fundamental é ensinar e tentar justificar 
a intrigante regra dos sinais. 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO: Mostre que o simétrico de é , isto é, 
 , para todo . 
DEMONSTRAÇÃO: 
De fato: 
 
Somando a ambos os membros da igualdade e usando o 
axioma A1, obtemos: 
[ ] 
ou seja: 
 
ou ainda, 
 
 Tomando, em particular, , na igualdade acima, temos: 
 
EXERCÍCIOS: 
1. Mostre que para todo . 
2. Mostre que quaisquer que sejam e pertencentes a , tem-se: 
 e 
Tomando, em particular, na igualdade temos: 
 
3. (Lei do cancelamento) Quaisquer que sejam os reais , mostre que: 
 
 
1.2.5.4. Axiomas da relação de ordem 
Um segundo conjunto de axiomas caracteriza o conjunto dos números reais 
como um corpo ordenado. 
Sejam e dois números reais; dizemos que é estritamente menor que (ou 
que é estritamente maior que ) e escrevemos (respectivamente ) 
se existe um real positivo tal que A notação (leia: menor ou 
igual a ) é usada para indicar a afirmação ou . A notação 
(leia maior ou igual a ) é equivalente a Observe que positivo 
equivale a . Se , dizemos que é negativo. 
Axiomas: Para todo e tem-se: 
O1) Reflexiva: 
 
O2) Antissimétrica: Se e , então: 
 
O3) Transitiva: Se e , então: 
 
O4) Tricotomia: Dados vale uma, e somente uma, das alternativas 
seguintes: 
 ou 
OA) Compatibilidade de ordem com a adição: Se então, para todo 
 , tem-se: 
 
OM) Compatibilidade de ordem com a multiplicação: Se então, para 
todo , tem-se: 
 
OBSERVAÇÃO: Seja um conjunto qualquer com pelo menos dois elementos 
e suponhamos que em estejam definidas duas operações indicadas por e 
 ; se a terna satisfizer as propriedades a ( ), a e , 
diremos que é um corpo. Se além disso, em estiver definida uma 
relação de modo que a quádrupla satisfaça todas as 15 
propriedades citadas acima, então é um corpo ordenado. 
EXERCÍCIOS: 
4. Quaisquer que sejam os reais e {
 
 
, mostre que: 
 
 
5. Quaisquer que sejam os reais e {
 
 
. Mostre que: 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO: Se então, para todo , então: 
 
 
1º caso: Se em a relação é verdadeira. 
2º caso: Se , a relação é verdadeira. 
3º caso: Se considerarmos e , teremos: 
 
Pela propriedade OM, temos:ou seja: 
 
 
OUTRAS PROPRIEDADES 
a) 
b) 
c) ou 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO 
 
EXERCÍCIOS 
6. Estude o sinal da expressão 
 
 
. 
 
Dica: Estudar o sinal de uma expressão é determinar para que valores de , a 
expressão é nula, positiva ou negativa. 
 
7. Resolva a inequação 
 
 
 
 
8. Verifique se cada passo na solução das inequações abaixo está correto: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
9. Resolva a inequação 
 
 
 
 
1.2.5.5. Módulo de um número real 
O módulo (valor absoluto) de um número real ,indicado pela notação é 
definido como sendo o maior valor entre e , isto é: 
 
ou ainda por: 
 {
 
 
 
 
Portanto, de acordo com as definições acimas, para todo , 
EXEMPLOS: 
 e 
 {
 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO: Mostre que, para todo real, 
 . 
SOLUÇÃO: 
 Se 
 . 
 Se 
 
Portanto, lembrando que √ indica a raiz quadrada positiva de , segue 
do exemplo anterior que: 
 √ 
 
Nas questões que envolvem valor absoluto é necessário fazer as 
“considerações de casos”, analisando separadamente as situações conforme o 
sinal de cada expressão que ocorre no interior das barras verticais . Algumas 
vezes isto pode ser evitando usando-se esta caracterização de valor absoluto: 
 √ . 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
9. Supondo , resolva a equação 
 
10. Resolva a equação 
 
1.2.5.6. Distância entre números reais 
O conceito de módulo de um número real permite introduzir o conceito 
de distância entre dois números reais e caracterizar o conceito de proximidade 
entre dois números reais. 
Dados e , define-se a distância entre e como: 
 
 
De , segue que é a distância de a 0. 
 
EXEMPLO: 
EXEMPLO: A igualdade significa que o número está a uma distância 
do número 2. Logo, deve ser (se estiver à direita de 2) ou (se estiver 
à esquerda de 2). 
 
EXERCÍCIOS: 
11. Suponha . Mostre que . 
12. Suponha . Mostre que ou 
PROPRIEDADES: Quaisquer que sejam e , tem-se que: 
1. 
2. ou 
3. 
4. 
5. 
6. (Desigualdade triangular) 
7. 
8. 
EXERCÍCIOS: 
13. Demonstre as propriedades (4), (6) e (8). 
14. Elimine o módulo da expressão 
 
1.2.5.7. Intervalos reais 
 
1.2.5.7.1. Intervalos finitos: 
 
( ) = { }, [ { } 
 ] { }, [ ] { } 
Geometricamente, podemos visualizar os quatro tipos de intervalos com 
extremidades finitas, pondo-se um círculo vazio onde não vale a igualdade e 
um círculo preenchido onde vale a igualdade. 
 
1.2.5.7.1. Intervalos infinitos: 
 { } 
[ 
 { } 
 ] { } 
 
Observação: não é um número, é apenas um símbolo. 
Os intervalos ( ), e são denominados intervalos 
abertos; [ ] denomina-se intervalo fechado de extremidades e 
EXERCÍCIO 15: Expresse o conjunto em notação de 
intervalo.