Material de aula cinemática

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
FÍSICA MECÂNICA 
Adaptado de Halliday & Resnick 10ª Edição, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1, LTC, 2016. 
 
ESTUDO SOBRE CINEMÁTICA 
 
Medidas na Física 
 
MEDIÇÕES NA FÍSICA: 
A física se baseia na medição das grandezas físicas e das mudanças nessas 
grandezas físicas que ocorrem em nosso universo. Certas grandezas físicas, como o comprimento, 
o tempo e a massa, foram escolhidas como grandezas fundamentais, definidas em termos de um 
padrão e medidas por uma unidade, como o metro, o segundo e o quilograma. Outras grandezas 
físicas, como a velocidade, são definidas em termos das grandezas fundamentais e seus padrões. 
 
UNIDADES DO SI: 
O sistema de unidades adotado internacionalmente é o Sistema Internacional de 
Unidades (SI). Os padrões que devem ser ao mesmo tempo acessíveis e invariáveis definem as 
unidades das grandezas fundamentais e são estabelecidos por acordos internacionais. Esses pa-
drões servem de base para todas as medições da física, tanto das grandezas fundamentais quanto 
das grandezas derivadas. 
 
CONVERSÃO DE UNIDADES: 
A conversão de unidade de um sistema para outro (de milhas por hora para quilô-
metros por segundo, por exemplo) pode ser realizada pelo método da conversão em cadeia, em 
que as unidades são consideradas como grandezas algébricas e os dados originais são multiplica-
dos sucessivamente por fatores de conversão equivalentes a 1, até que a grandeza seja expressa 
na unidade desejada. 
 
O METRO: 
O metro (unidade de comprimento) foi definido inicialmente em termos da distân-
cia entre o Polo Norte e o Equador. Atualmente o metro é definido como sendo o comprimento do 
trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo 
(unidade de base ratificada pela 17ª CGPM - 1983). 
 
O SEGUNDO: 
O segundo (unidade de tempo) foi definido inicialmente em termos da rotação da 
Terra. Os egípcios, por exemplo, subdividiam o dia e a noite em períodos de doze horas cada um 
desde pelo menos 2000 AC. Este procedimento fazia com que a duração de uma hora variasse com 
as estações do ano. Os astrônomos gregos Hiparco (150 AC) e Ptolemeu (150 DC) subdividiram o 
dia de maneira sexagesimal e usaram a hora média como (
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 dia), frações de hora (
1
4
, 
2
3
, etc) e 
tempo-graus (
1
360
 dia ou quatro segundos modernos), mas não minutos modernos ou segundos.Atu-
almente, o segundo é definido em termos da radiação característica de um átomo de Cs133 (Césio 
133), que é empregado em relógio atômico. "O segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da 
radiação correspondente à transição entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo 
de césio 133." 
 
O QUILOGRAMA: 
O quilograma (unidade de massa) é definido em termos de um padrão de platina 
e irídio mantido no Museu Internacional de Pesos e Medidas na cidade de Sèvres, França desde 
1889. Ele é um cilindro equilátero de 39 mm de altura por 39 mm de diâmetro. Para medições em 
escala atômica é usada em geral a unidade de massa atômica (u – antigamente simbolizada por 
uma), definida em termos do átomo de carbono-12. 
 
 
 2 
Prefixos das Unidades de Medida do SI 
Fator Prefixo Símbolo Fator Prefixo Símbolo 
1024 iota Y 10-24 iocto y 
1021 zeta Z 10-21 zepto z 
1018 exa E 10-18 ato a 
1015 peta P 10-15 fento f 
1012 tera T 10-12 pico p 
109 giga G 10-9 nano n 
106 mega M 10-6 micro  
103 quilo k 10-3 mili m 
102 hecto h 10-2 centi c 
101 deca da 10-1 deci d 
Os prefixos mais comumente usados aparecem em negrito 
 
1. Use os prefixos da tabela acima para expressar: 
(a) 106 fones; (b) 10-6 fontes; (c) 10-18móveis; (d) 10-2 pitados; (f) 10-3 tares. 
 
2. Calcule quantos quilômetros tem 20 milhas (mi), utilizando apenas os seguintes fatores de 
conversão: 1 mi = 5 280 ft; 1 ft = 12 in; 1 in = 2,54 cm; 1 jarda = 3 ft; 1 m = 100 cm; 1km = 1 
000 m. 
 
3. O Cord é um volume de madeira cortada equivalente a uma pilha de 8 ft de comprimento, 4 ft 
de largura e 4 ft de altura. Quantos cords têm um metro cúbico de madeira? 
 
4. Enrico Fermi uma vez observou que o tempo de uma aula é aproximadamente igual a 1 mi-
crosséculo. Qual é a duração de 1 microsséculo em minutos? 
 
5. Uma unidade de tempo usada na física microscópica é o shake. Um shake é igual a 10-8 s. 
(a) Existem mais shakes em um segundo que segundos em um ano? (b) O homem existe há 
cerca de 106 anos, enquanto o universo tem cerca de 1010 anos de idade. Se a idade do 
universo é tomada como sendo 1 “dia”, há quantos “segundos” o homem começou a existir? 
 
6. Uma molécula de água (H2O) contém dois átomos de hidrogênio e um átomo de oxigênio. Um 
átomo de hidrogênio tem massa de 1,0 u e um átomo de oxigênio tem massa de 16,0 u, 
aproximadamente. (a) Qual é a massa em quilogramas (kg) de uma molécula de água? (b) 
Quantas moléculas de água existem nos oceanos da Terra, que possuem uma massa total 
estimada em 1,4 x 1021 kg? 
 
7. Os grãos de areia de uma praia do Ceará têm um raio médio de 50 m e são feitos de dióxido 
de silício, 1 m³ do qual possui massa de 2 600 kg (suponha os grãos de areia esféricos). Que 
massa de grãos de areia teria uma área superficial total igual à superfície de um cubo com 1 
m de lado? 
 
 
Posição, Deslocamento e Velocidade 
 
Para começar a estudar o movimento de corpos é fundamental definirmos e en-
tendermos a palavra movimento. Como podemos afirmar que algum objeto está em repouso ou em 
movimento? Esta parece ser uma pergunta fácil de responder, mas é preciso um cuidado especial 
para evitar equívocos indesejados. 
Vamos começar a responder essa pergunta com um conceito anterior, o conceito 
de REFERENCIAL. Um ponto de referência é alguma coisa escolhida, de forma aleatória, porém 
admite-se que este ponto de referência está em completo repouso. Assim, diz-se que, qualquer 
objeto que não modificar sua posição em relação ao ponto de referência, está em repouso. Caso 
sua posição sofra alguma modificação em relação ao ponto de referência, o objeto está em movi-
mento. 
 3 
Para estabelecer se a posição do objeto não mudou, também é comum admitirmos 
um sistema de coordenadas. Existe vários sistemas de coordenadas, cartesianas, polares, cilíndri-
cas, esféricas, elípticos, parabólicos, geográficas, etc. Comumente, para os exercícios de física, 
adotamos o sistema de coordenadas cartesiano que consiste em um esquema reticulado necessá-
rio para especificar pontos em duas ou três dimensões. A ideia para este sistema foi desenvolvida 
em 1637 pelo matemático e filósofo francês René Descartes. O sistema consiste de duas ou três 
retas perpendiculares entre si, chamadas eixos cartesianos que se interceptam em suas origens. 
A posição de um objeto será indicada em relação a este sistema de coordenadas 
marcada em unidades de comprimento (metros, centímetros, etc) que se estende indefinidamente 
em uma, duas ou três dimensões, dependendo da necessidade da situação. Por exemplo, quando 
trabalhamos com apenas uma dimensão, é comum escolhermos o eixo “x”, também chamado de 
abscissa, como nosso eixo referencial. 
Um objeto pode se deslocar em cima desse sistema de referência. Por exemplo, 
quando um objeto sai de uma posição x1 e passa a ocupar uma posição x2 neste mesmo sistema 
de referência, diz-se que ele sofreu um deslocamento. Veja o exemplo abaixo: 
 
O objeto redondo passa da posição inicial xi = – 12 m para a posição final xf = 2 m, isso significa 
que o objeto está deslocando-se no sentido positivo da trajetória, também chamado de movimento 
progressivo, e o valor total do deslocamento (x) sofrido foi: 
 
∆x = xf − xi = (2) − (−12) = 14 m 
 
O objeto quadrado passa da posição inicial xi = 13 m para a posição final xf = – 3 m, isso significa 
que o objeto está deslocando-seno sentido negativo da trajetória, também chamado de movimento 
retrógrado ou regressivo, e o valor total do deslocamento (x) sofrido foi: 
 
∆x = xf − xi = (−3) − (13) = −16 m 
 
No entanto, sabe-se que, pelo menos na mecânica clássica, é impossível o objeto 
estar nas posições inicial e final ao mesmo tempo. Isto significa que ele levará um intervalo de tempo 
(t) para passar de uma posição para outra. Também podemos pensar que, em determinado ins-
tante (ti) o objeto estará na posição inicial (xi) e em outro instante final (tf) ele ocupará a posição final 
(xf). A razão entre essas grandezas irá expressar a rapidez com que o objeto sofreu este desloca-
mento. A essa ideia de rapidez damos o nome de velocidade média. De uma forma mais genérica, 
quando não estamos interessados que a trajetória percorrida pelo objeto seja retilínea, podemos 
falar em velocidade escalar média. Assim podemos escrever: 
 
vm =
∆S
∆t
=
Sf − Si
tf − ti
 
 
Onde: vm = velocidade média do objeto ; S = distância percorrida ou o espaço percorrido pelo 
objeto ao longo de uma trajetória (costuma-se utilizar a letra S, pois não é necessário que a 
trajetória percorrida seja somente sobre um dos eixos, x, y ou z, do sistema de coordenadas 
cartesianas) ; t = intervalo de tempo 
 
Pode-se observar que a velocidade escalar média de um objeto será positiva para um movimento 
progressivo e negativa para um movimento retrógrado. 
 
Movimento Progressivo v ( + ) 
Movimento Retrógrado (Regressivo) v ( – ) 
 
–14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x (m) 
xi xf xi xf 
 4 
Quando estivermos interessados em saber com que rapidez o objeto está se des-
locando em determinado instante, precisaremos determinar a velocidade instantânea (v) (ou sim-
plesmente velocidade) do objeto. Para isso, lançaremos mão da ideia matemática de limite, assim: 
v = lim
∆t→0
∆S
∆t
=
dS
dt
 
 
Admitindo que o instante inicial (ti) do movimento é igual a zero (cronometro ze-
rado), a primeira expressão matemática básica, conhecida como a equação horária para a posição 
do movimento uniforme, pode ser escrita da seguinte forma: 
 
v = vm =
∆S
∆t
=
Sf − Si
tf − ti
=
S − So
t − 0
 
 
𝐒 = 𝐒𝐨 + 𝐯 ∙ 𝐭 
 
8. Você sai de sua casa e depois de dirigir seu carro em uma estrada retilínea por 8,4 km a 70 
km/h, você para por falta de combustível. Nos 30 minutos seguintes, você caminha mais 2,0 
km ao longo da estrada até chegar a um posto de combustíveis. 
a) Qual foi o seu deslocamento total, do início da viagem até chegar ao posto de combus-
tíveis? 
b) Qual é o intervalo de tempo (t) entre o início da viagem e o instante em que você chega 
ao posto? 
c) Qual é a velocidade média (vm) do início da viagem até a chegada ao posto de combus-
tíveis? 
d) Suponha que, para encher um bujão de combustível, pagar pela mercadoria e caminhar 
de volta para o carro, você leva ao todo 45 minutos. Qual é a velocidade escalar média 
do início da viagem até o momento em que você chega de volta ao lugar onde deixou o 
carro? 
e) Represente todo o movimento, desde a sua saída de casa até o momento que você 
retorna ao carro do posto de combustíveis, em um gráfico S = f(t). 
 
 
Aceleração 
 
Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que ela sofreu uma acelera-
ção. Para os movimentos ao longo de um eixo, a aceleração média (am) em um intervalo de tempo 
é dada, matematicamente, por: 
 
am =
∆v
∆t
=
vf − vi
tf − ti
 
 
A aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração) é dada por: 
 
a = lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
 
 
a =
dv
dt
=
d
dt
(
dS
dt
) =
d2S
dt2
 
 
Quando os sinais da velocidade e da aceleração de uma partícula são iguais, a 
velocidade escalar da partícula aumenta, dizemos que o movimento é acelerado. Se os sinais são 
opostos, a velocidade escalar diminui, dizemos que o movimento é retardado. 
 
Movimento Acelerado v ( + ) a ( + ) v ( – ) a ( – ) 
Movimento Retardado v ( – ) a ( + ) v ( + ) a ( – ) 
 
 5 
Um caso especial ocorre quando a aceleração de um movimento é constante. 
Neste caso dizemos que o movimento é retilíneo uniformemente variado. Admitindo que o instante 
inicial (ti) do movimento é igual a zero (cronometro zerado), a primeira expressão matemática bá-
sica, conhecida como a equação horária para a velocidade do movimento variado, pode ser escrita 
da seguinte forma: 
 
a = am =
∆v
∆t
=
vf − vi
tf − ti
=
v − vo
t − 0
 
 
𝐯 = 𝐯𝐨 + 𝐚 ∙ 𝐭 
 
Utilizando as equações da velocidade média já trabalhadas, podemos chegar em: 
 
vm =
S − So
t
 
 
Para uma função onde a aceleração linear do objeto é constante, a velocidade média (vm) pode ser 
expressa pela média das velocidades inicial e final. 
 
vm =
1
2
(vo + v) 
 
Igualando as duas expressões anteriores, e depois de poucas manipulações algébricas, obtém-se 
a segunda expressão matemática básica, também conhecida como equação horária para a posição 
do movimento variado. Assim: 
 
𝐒 = 𝐒𝐨 + 𝐯𝐨 ∙ 𝐭 +
𝟏
𝟐
∙ 𝐚 ∙ 𝐭𝟐 
 
Unindo essas duas equações anteriores e isolando o tempo, ainda conseguimos chegar numa ter-
ceira equação, conhecida como equação de Torricelli para o movimento variado. 
 
𝐯𝟐 = 𝐯𝐨
𝟐 + 𝟐 ∙ 𝐚 ∙ ∆𝐒 
 
9. A figura ao lado mostra um gráfico S = f(t) de um elevador 
que, depois de passar algum tempo parado, começa a se 
mover para cima (que tomaremos como o sentido posi-
tivo de x) e depois para novamente. 
a) Plote o gráfico v = f(t). 
b) Plote o gráfico a = f(t). 
 
 
 
10. A posição de uma partícula em um eixo x de um sistema 
cartesiano é dada por 
x = 4 − 27 ∙ t + t3 
com x em metros e t em segundos. Como a posição x varia com o tempo t, a partícula está 
em movimento. Determine: 
a) A função horária para a velocidade v(t); 
b) A função horária para a aceleração a(t) 
c) Em que instante a partícula muda o sentido do seu movimento? 
d) Qual a posição da partícula quando ela muda o sentido do movimento? 
e) Se o movimento é acelerado ou retardado no instante t = 2 segundos. 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t 
 S 
 
 
25 
 
20 
 
15 
 
10 
 
 5 
 6 
11. Um carro e uma moto irão apostar uma corrida, como toda a 
segurança possível, no Velopark em Nova Santa Rita. Admi-
tindo que ambos saíram do repouso ao mesmo tempo, a mo-
tocicleta assume inicialmente a liderança porque sua acelera-
ção (constante) de am = 8,40 m/s², é maior que a aceleração 
(constante) do carro ac = 5,60 m/s², mas é ultrapassado pelo 
carro porque sua velocidade máxima vm = 58,8 m/s é menor 
que a velocidade do carro vc = 106 m/s. 
a) Quanto tempo, aproximadamente, deve durar a corrida 
para que o carro consiga ultrapassar a motocicleta? 
b) Sabendo que a pista de arrancada do Velopark em Nova Santa Rita tem um quarto do 
milha, isto é, 402 m, caso essa corrida fosse realizada nesta pista de arrancada, você 
deveria apostar no carro ou na moto para ganhar a aposta? 
 
 
Aceleração em Queda Livre 
 
Para um objeto que se desloca em linha reta com aceleração constante, subindo 
ou descendo em queda livre, numa trajetória vertical, nas proximidades da superfície da Terra, deve-
se admitir que ele estará submetido apenas a uma aceleração provocada pelo campo gravitacional 
terrestre. As equações para este tipo de movimento são as mesmas do movimento uniformemente 
variado visto anteriormente, porém é importante observar uma nova convenção nas notações: (1) o 
movimento deve ser descrito em relação a um eixo vertical y, com sentido positivo para cima; (2) a 
aceleração a⃗ deve ser substituídapor – g⃗ , em que |g⃗ | = 9,8 m/s² quando a queda acontecer próximo 
a superfície da Terra. 
 
𝐯 = 𝐯𝐨 + 𝐠 ∙ 𝐭 
 
𝐲 = 𝐲𝐨 + 𝐯𝐨 ∙ 𝐭 +
𝟏
𝟐
∙ 𝐠 ∙ 𝐭𝟐 
 
𝐯𝟐 = 𝐯𝐨
𝟐 + 𝟐 ∙ 𝐠 ∙ ∆𝐲 
 
12. Um jogador de futebol chuta uma bola de futebol para cima ao longo de um eixo y, com uma 
velocidade inicial de 12 m/s. 
a) Quanto tempo a bola leva para chegar ao ponto mais alto da trajetória? 
b) Qual é a altura máxima alcançada pela bola em relação ao ponto de lançamento? 
c) Quanto tempo a bola leva para atingir um ponto 5,0 m acima do ponto inicial? 
 
13. Um balão de ar quente está subindo, com uma velocidade de 12 m/s, e se encontra 80 m 
acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote. 
a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo? 
b) Com que velocidade o pacote atinge o solo? 
 
 
VETORES 
 
ESCALARES E VETORES: Os escalares, como a temperatura, são especificados apenas por nú-
meros e uma unidade (20 ºC) e obedecem às regras da álgebra comum. Os vetores, como o des-
locamento, são especificados por um módulo e uma orientação (5 m, norte) e obedecem às regras 
especiais da álgebra vetorial. 
 
SOMA GEOMÉTRICA DE VETORES: Dois vetores a e b podem ser somados geometricamente. 
Para isso, basta desenhá-los na mesma escala e fazer com que a origem do segundo vetor coincida 
com a extremidade do primeiro. Nesse caso, o vetor soma, s, é o vetor que liga a origem do primeiro 
à extremidade do segundo. Para subtrair b de a, basta inverter o sentido de b para obter – b e em 
seguida somar – b a a. A soma e subtração de vetores são comutativas e obedecem à lei associa-
tiva. 
 
 7 
 
COMPONENTES DE UM VETOR: As componentes ax e ay de um vetor a são determinadas, tra-
çando-se perpendiculares aos eixos do sistema de coordenadas a partir da extremidade do vetor. 
As componentes são dadas por: 
 
ax = a . cos  e ay = a . sen  
 
onde  é medido em relação ao sentido positivo dos x. O sinal da compo-
nente indica o seu sentido em relação ao eixo. Dadas as componentes, po-
demos reconstruir o vetor usando as expressões: 
 
2
y
2
x aaa 
 e 
x
y
a
a
tg 
 
 
onde novamente  é medido em relação ao sentido positivo de x. 
 
VETORES UNITÁRIOS: É possível definir vetores unitários i, j, k, que possuem 
módulo unitário e cujas direções são as dos eixos dos x, dos y e dos z de um 
sistema de coordenadas destrógiro. Em termos dos vetores unitários, um vetor 
a pode ser escrito na forma: 
 
a= axi + ayj + azk 
 
axi, ayj e azk são as componentes vetoriais e ax, ay e az, são as componentes 
escalares de a. 
 
SOMA DE VETORES USANDO AS COMPONENTES: Para somarmos vetores através das com-
ponentes, usamos as equações: 
 
rx = ax + bx ; ry = ay + by ; rz = az + bz 
 
VETORES E LEIS FÍSICAS: Qualquer situação física que envolva vetores pode ser descrita em um 
número infinito de diferentes sistemas de coordenadas. Em geral, escolhemos um sistema que torne 
o nosso trabalho mais simples, entretanto, a relação entre as grandezas vetoriais não depende do 
sistema escolhido. As leis físicas são independentes do sistema de coordenadas. 
 
PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETOR: O produto de um escalar s por um vetor v é um 
novo vetor cujo módulo é sv e cuja direção é a mesma de v. O sentido é o mesmo de v se s for 
positivo e o sentido é contrário ao de v se s for negativo. Para dividir v por s, basta multiplicar v pelo 
inverso do escalar (1/s). 
 
PRODUTO ESCALAR: O produto escalar de dois vetores, representado pela expressão a  b, é 
uma grandeza escalar dada por: 
 
a  b = a . b . cos  
 
onde  é o ângulo entre as direções de a e b. 
b 
s 
a a 
b 
b 
a 
a + b 
b + a 
Partida Chegada 
a 
– b 
a – b = d 
 
 
 
y 
x 
z 
ay 
ax 
a 
 
x 
y 
0 
 
 8 
O produto escalar pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do valor de . O produto esca-
lar pode ser considerado como o produto do módulo de um dos vetores pela componente do se-
gundo vetor na direção do primeiro. Em termos dos vetores unitários, o produto escalar é dado 
pela equação: 
 
a  b = (axi + ayj + azk) . (bxi + byj + bzk) 
 
que obedece à lei distributiva. 
Observe que a  b = b  a 
 
 
 
PRODUTO VETORIAL: O produto vetorial de dois vetores, representado pela expressão a x b, é 
um vetor e cujo módulo é dado por: 
 
c = a . b . sen  
 
onde  é o menor dos dois ângulos entre as direções de a e b. O vetor c é perpendicular ao plano 
definido por a e b e seu sentido é dado pela regra da mão direita. Em termos dos vetores unitá-
rios, o produto vetorial é dado pela equação: 
 
a x b = (axi + ayj + azk) x (bxi + byj + bzk) 
 
que obedece à lei distributiva. Observe que a x b = – b x a. 
 
14. Em um teste de campo, você recebe a tarefa de se afastar o máximo 
possível de um acampamento por meio de três deslocamentos retilí-
neos. Você pode usar os seguintes deslocamentos, em qualquer or-
dem: (a) a⃗ = 2,0 km para leste; (b) b⃗ = 2,0 km 30o ao norte do leste; (c) 
c = 1,0 km para oeste. Você pode também substituir b⃗ por − b⃗ e c por 
− c . Qual é a maior distância que você pode atingir após o terceiro des-
locamento? (A direção do deslocamento total fica a seu critério.) 
 
15. Um pequeno avião decola de um aeroporto em um dia nublado e é avis-
tado mais tarde a 215 km de distância, em um curso que faz um ângulo 
de 22o a leste do norte. A que distância a leste e ao norte do aeroporto 
está o avião no momento em que é avistado? 
 
16. Três vetores d⃗ 1, d⃗ 2 e d⃗ 3, possuem módulos d1 = 6,00 m, d2 = 8,00 e d3 = 5,00 m e inclinações 
com a horizontal 1 = 40º, 2 = 30º e 3 = 0º. Determine o vetor d⃗ correspondente ao somatório 
dos vetores d⃗ 1, d⃗ 2 e d⃗ 3. 
 
17. Qual é a soma r = a⃗ + b⃗ + c , sendo: 
a⃗ = (4,2 m)î − (1,5 m)j ̂
b⃗ = (− 1,6 m)î + (2,9 m)j ̂
c = (− 3,7 m)j ̂
a 
b 
 
A componente de b na dire-
ção de a é b . cos  
A componente de a na dire-
ção de b é a . cos  
c = a x b c = a x b 
c = b x a c = b x a 
b 
a 
b 
b b 
a 
a a 
  
  
22o 
y 
x 0 
 9 
18. Qual é o ângulo  entre os vetores a⃗ = 3,0 î − 4,0 j ̂e b⃗ = −2,0 î + 3,0 k̂. 
 
19. A figura ao lado mostra um vetor a⃗ no plano xy, com módulo igual a 18 unidades e uma orien-
tação que faz um ângulo de 250º com o semieixo x positivo. Já o vetor b⃗ tem um módulo de 
12 unidades e está orientado ao longo do semieixo z positivo. Qual é o resultado do produto 
vetorial c = a⃗ × b⃗ ? 
 
 
Movimento em Duas e Três Dimensões 
 
A localização de uma partícula em relação à origem de um sistema de coordena-
das é dada por um vetor posição r que, na notação dos vetores unitários, pode ser expresso na 
forma: 
r = x î + y ĵ + z k̂ 
 
em que x î, y ĵ e z k̂ são as componentes vetoriais do vetor posição r e x, y e z são as componentes 
escalares (e, também, as coordenadas da partícula). 
 
O vetor posição pode ser representado por um módulo e um ou dois ângulos, ou 
por suas componentes vetoriais ou escalares. 
Se uma partícula se move de tal forma que seu vetor posição muda de r 1 para r 2, 
o deslocamento ∆r da partícula é dado por: 
 
∆r = r 2 − r 1 
 
Já o deslocamento pode ser expresso na forma vetorial: 
 
∆r = (x2 − x1) î + (y2 − y1) ĵ + (z2 − z1) k̂ = ∆x î + ∆y ĵ + ∆z k̂ 
 
A direção da velocidade instantânea v⃗ de uma partícula é sempre tangente à tra-
jetória da partícula na posição da partícula. Assim: 
 
v⃗ média =
∆r 
∆t
 
 
v⃗ =
dr 
dt
 
 
v⃗ = vx î + vy ĵ + vz k̂ 
 
vx =
dx
dt
 , vy =
dy
dt
 , vz =
dz
dt
 
 
A associação feita para a velocidade vetorial é também válida para a aceleraçãovetorial a⃗ , de tal forma que: 
 
a⃗ média =
∆v⃗ 
∆t
 
 
a⃗ =
dv⃗ 
dt
 
 
a⃗ = ax î + ay ĵ + az k̂ 
 
ax =
dvx
dt
 , vy =
dvy
dt
 , vz =
dvz
dt
 
 
 10 
20. Uma galinha é solta em um grande estacionamento de um shopping em Novo Hamburgo, no 
qual, por algum motivo desconhecido, um conjunto de eixos de coordenadas cartesianas foi 
desenhado. As coordenadas da posição da franguinha, em metros, em função do tempo (t), 
em segundos, são dadas por: 
x = − 0,31 t2 + 7,2 t + 28 
y = 0,22 t2 − 9,1 t + 30 
a) No instante t = 15 s, qual é o vetor posição r da galinha na notação dos vetores unitá-
rio e na notação módulo-ângulo? 
b) Desenhe o gráfico da trajetória percorrida pela galinha no estacionamento, entre os 
instantes to = 0 s e t5 = 25 s. 
c) Qual a velocidade v⃗ da galinha no instante t = 15 s? 
d) Qual a aceleração a⃗ da galinha no instante t = 15 s? 
 
Movimento Balístico 
 
No movimento balístico, o movimento horizontal e o movimento vertical são inde-
pendentes, ou seja, um não afeta o outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na representação anterior, pode-se observar na primeira coluna de gráficos, o 
movimento composto do lançamento de um objeto. 
 
Movimento Vertical: 
A segunda coluna de gráficos mostra o mesmo movimento, porém observando 
apenas o comportamento da velocidade do objeto no eixo y, sujeito apenas a aceleração gravitaci-
onal (– g). Neste caso a velocidade em y diminui até sumir (enquanto estiver subindo), isto é, o 
objeto para de subir, a partir desse momento a velocidade volta a aumentar (enquanto estiver des-
cendo), haja vista que a aceleração gravitacional é uma grandeza vetorial que aponta para baixo. 
 11 
Dessa forma, para este movimento, o objeto obedece as equações já estabelecidas para o movi-
mento de queda livre, isto é: 
 
𝐯 = 𝐯𝐨 + 𝐠 ∙ 𝐭 
 
𝐲 = 𝐲𝐨 + 𝐯𝐨 ∙ 𝐭 +
𝟏
𝟐
∙ 𝐠 ∙ 𝐭𝟐 
 
𝐯𝟐 = 𝐯𝐨
𝟐 + 𝟐 ∙ 𝐠 ∙ ∆𝐲 
 
Movimento Horizontal: 
Já, na terceira coluna de gráficos, pode-se observar o comportamento da veloci-
dade do objeto no eixo x. Note que, neste caso, não há aceleração, isto é, o movimento neste eixo 
é uniforme, portanto sua velocidade em x é constante. Dessa forma, para este movimento, o objeto 
obedece as equações já estabelecidas para o movimento uniforme, isto é: 
 
𝐯𝐦 =
∆𝐒
∆𝐭
 
 
𝐒 = 𝐒𝐨 + 𝐯 ∙ 𝐭 
 
Além dessas equações também podemos utilizar duas outras equações, que sur-
gem basicamente da manipulação algébrica das equações anteriores, que expressam a trajetória 
em função de x e de y, e o alcance horizontal, desde que as posições inicial e final no eixo y (vertical) 
do objeto, sejam a mesma (yinicial = yfinal). 
 
Equação da trajetória: 
y = (tan θo) ∙ x −
g ∙ x2
2 ∙ (vo ∙ cosθo)2
 
 
Equação do alcance horizontal: 
R =
2 ∙ vo
2
g
∙ sin(2 ∙ θo) 
 
onde R é o alcance linear horizontal máximo. 
 
 
21. Na figura ao lado, um avião de salvamento voa a 
198 km/h, a uma altura constante de 500 m, rumo 
a um ponto diretamente acima da vítima de um 
naufrágio, para deixar cair uma balsa. 
a) Qual deve ser o ângulo  da linha de visada 
do piloto para a vítima no instante em que o 
piloto deixa cair a balsa? 
b) No momento em que a balsa atinge a água, 
qual é a sua velocidade v na notação dos 
vetores unitários e na notação módulo-ân-
gulo? 
 
 
 
 
v⃗ 
 
O 
h 
 12 
22. Um escorregador aquático é capaz de lançar um homem para cima, sob um ângulo  com a 
horizontal, conforme mostra a figura ao lado. Vamos admitir alguns valores típicos para esta 
situação. A distância D entre a saída do escorregador e a borda da piscina colocada imedia-
tamente abaixo e a frente do escorregador 
vale 20,0 m. O ângulo  de saída do homem 
do escorregador é 40,0o. O tempo total que o 
homem leva para sair da extremidade do es-
corregador e a entrada na água é de 2,50 s. 
Calcule: 
a) O módulo da velocidade com que o ho-
mem parte na extremidade inferior do 
escorregador. 
b) O módulo da velocidade com que o ho-
mem entra na água. 
 
 
Movimento Relativo 
 
Quando dois referenciais A e B estão se movendo um em relação ao outro com 
velocidades constantes, a velocidade de uma partícula P medida por um observador do referencial 
A é, em geral, diferente da velocidade medida por um observador do referencial B. A relação entre 
as duas velocidades é dada por: 
 
v⃗ PA = v⃗ PB + v⃗ BA 
 
onde vBA é a velocidade escalar do referencial B em relação ao referencial A. A aceleração da 
partícula é a mesma para os dois observadores: 
 
a⃗ PA = a⃗ PB 
 
 
23. Bárbara está em um carro vermelho cor de sangue deslocando-se por uma estrada. Alexandre 
está em um carro azul celeste deslocando-se pela mesma estrada. Suponha que a velocidade 
da Bárbara em relação ao Alexandre é vBA = 52 km/h. Um caminhão amarelo desespero passa 
pelos dois e Alexandre mede a velocidade do caminhão e encontra o valor vCA = – 78 km/h. 
a) Qual a velocidade do caminhão amarelo medido por Bárbara? 
b) Suponha que o caminhão amarelo freia com aceleração constante até parar em relação 
a Alexandre (e, portanto, em relação ao solo também) em 10 s, qual é a aceleração aCA 
em relação a Alexandre? 
c) Qual a aceleração aCB do caminhão amarelo em relação a Bárbara durante a frenagem? 
 
24. Um avião se move para o leste enquanto o piloto dire-
ciona o avião ligeiramente para o sul do leste, de modo 
a compensar um vento constante que sopra para nor-
deste. O avião tem uma velocidade v⃗ AV em relação ao 
vento, com uma velocidade do ar (velocidade escalar 
em relação ao vento) de 215,0 km/h e uma orientação 
que faz um ângulo  ao sul do leste. O vento tem uma 
velocidade v⃗ VS em relação ao solo, com uma veloci-
dade escalar de 65,0 km/h e uma orientação que faz 
Referencial A 
Referencial B 
P v⃗ PB 
v⃗ BA 
v⃗ A v⃗ PB v⃗ BA 
v⃗ PA 
D 
Borda da 
piscina lançamento 
y 
x  
v⃗ o 
N 
orientação do avião 
 
v⃗ AV 
v⃗ AS 
L 
 13 
um ângulo de 20º a leste do norte. Qual é o módulo da velocidade v⃗ AS do avião em relação 
ao solo e qual é o valor de ? 
 
 
Gabarito: 
 
1. a) megafones (Mfones) 
b) microfontes (fontes) 
c) atomóveis (amóveis) 
d) centipitados (cpitados) 
e) militares (mtares) 
2.  32,19 km 
3. V = 3,62 m³ 
4. t = 52,596 min 
5. a) Sim 
b) t = 8,64 s 
6. a) m = 2,82 x 10-26 kg 
b) N = 4,96 x 1046 moléculas 
7. m = 3,27 kg 
8. a) S = 10,4 km 
b) t = 0,62 h 
c) vm  16,8 km/h 
d) vm  9,1 km/h 
e) Gráfico 
9. a) Gráfico 
b) Gráfico 
10. a) v = -27 + 3 t2 
b) a = 6 t 
c) t = 3 s 
d) x = - 50 m 
e) Retardado 
11. a) 16,6 s 
b) Moto 
12. a) t = 1,2 s 
b) 7,3 m 
c) t’ = 0,53 s e t” = 1,9 s 
13. a) t = 5,4 s 
b) v = 41 m/s 
14. 4,8 km 
15. Dx  81 km 
Dy  200 km 
16. |d⃗ | = 13,9 m e θ = −12,7o 
17. r = (2,6 m)î − (2,3 m)j ̂
18.   110o 
19. c = −12 î − 9 ĵ − 8 k⃗ 
20. a) r = (66 m)î − (57 m)j ̂
 |r | = 87 m  = – 41º 
b) Gráfico 
c) v⃗ = (− 2,1 m/s) î + (− 2,5 m/s) j ̂
 |v⃗ | = 3,3 m/s  = – 130º 
21. a)  = 48,0o 
b) 
22. a)  10,4 m/s 
b) 19,5 m/s 
23. a) vCB = – 130 km/h 
b) 2,2 m/s² 
c) 2,2 m/s² 
24. v⃗ AS = 228 𝑘𝑚/ℎ ;  = 16,5º