apresentacao da aula 15

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CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Aula 15: Métodos de Demonstração
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
AULA 15: Métodos de Demonstração
 Em geral toda demonstração deve:
1º: Hipóteses
2º: Tautologias 
3º: Regras de Inferência necessárias
4º: Regras de Inferência necessárias
 
5º: Conclusão.
Métodos de Demonstração
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Uma prova é um argumento válido que estabelece a verdade de uma declaração matemática.
Teorema: é uma sentença que pode ser provada verdadeira.
Lema: é normalmente um teorema auxiliar utilizado para provar outros teoremas.
Corolário: é um teorema que pode ser estabelecido diretamente do teorema que foi provado.
Conjectura: é uma sentença proposta como verdade, mas que precisa ser provada para virar teorema, ou seja, algo que se admite verdadeiro em geral, em função da sua natureza simples.
Métodos de Demonstração
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 Os principais métodos da teoria da demonstração são:
a) Demonstrações diretas.
b) Demonstrações indiretas.
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Métodos de Demonstração
AULA 15: Métodos de Demonstração
 Prova por Vacuidade
Teorema na forma p  q é provado verdadeiro quando p é falso.
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AULA 15: Métodos de Demonstração
 Prova por Vacuidade
Teorema na forma p  q é provado verdadeiro quando p é falso.
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Métodos de Demonstração
AULA 15: Métodos de Demonstração
Teorema: Seja p(n): se n > 1 então n2 > n para n ∊ Z. Mostre que P(0) é verdadeiro.
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Métodos de Demonstração
AULA 15: Métodos de Demonstração
Teorema: Seja p(n): se n > 1 então n2 > n para n ∊ Z. Mostre que P(0) é verdadeiro.
Prova:
P(0): Se 0 > 1 então 02 > 0
 A hipótese p (0 > 1) é falsa
Logo, a implicação p  q é verdadeira, ou seja, P(0) é verdadeiro.
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AULA 15: Métodos de Demonstração
Teorema: Se o país x é africano e venceu uma copa do mundo no século XX, 
então x fica na Europa.
Prova por vacuidade:
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Métodos de Demonstração
AULA 15: Métodos de Demonstração
Teorema: Se o país x é africano e venceu uma copa do mundo no século XX, 
então x fica na Europa.
Prova por vacuidade:
Não existe país africano que venceu uma copa do mundo no século XX.
Logo, p → q é verdadeiro
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AULA 15: Métodos de Demonstração
Prova por Trivialidade
Teorema na forma p  q é provado verdadeiro quando q é verdadeiro.
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AULA 15: Métodos de Demonstração
Prova por Trivialidade
Teorema na forma p  q é provado verdadeiro quando q é verdadeiro.
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AULA 15: Métodos de Demonstração
Teorema: Seja P(n): se a e b são inteiros positivos com a  b então a n  bn para n
pertencente Z+ . Mostre que P(0) é verdadeiro.
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Teorema: Seja P(n): se a e b são inteiros positivos com a  b então a n  bn para n
pertencente Z+ . Mostre que P(0) é verdadeiro.
Prova por Trivialidade:
P(0) : se a  b então a0  b0
A hipótese q é verdadeira pois a0 = b0 = 1 independente de a e b.
Logo a implicação p  q é verdadeira, ou seja, P(0) é verdadeiro.
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Exemplo: Seja x pertence R. Se x > 0 então x2 + 5 > 0. Prova pelo método Trivial
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Exemplo: Seja x ∊ R. Se x > 0 então x2 + 5 > 0. Prova pelo método Trivial
x2  0 , ∀ x ∊ R
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Exemplo: Seja x ∊ R. Se x > 0 então x2 + 5 > 0. Prova pelo método Trivial
x2  0 , ∀ x ∊ R
b) x2 + 5 > x2 , ∀ x ∊R
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Exemplo: Seja x ∊ R. Se x > 0 então x2 + 5 > 0. Prova pelo método Trivial
x2  0 , ∀ x ∊ R
b) x2 + 5 > x2 , ∀ x ∊R
c) x2 + 5  0 , ∀ x ∊R
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AULA 15: Métodos de Demonstração
Exemplo: Seja x ∊ R. Se x > 0 então x2 + 5 > 0. Prova pelo método Trivial
x2  0 , ∀ x ∊ R
b) x2 + 5 > x2 , ∀ x ∊R
c) x2 + 5  0 , ∀ x ∊R
d) x2 + 5 > 0 , x > 0
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Exemplo: Seja x ∊ R. Se x > 0 então x2 + 5 > 0. Prova pelo método Trivial
x2  0 , ∀ x ∊ R
b) x2 + 5 > x2 , ∀ x ∊R
c) x2 + 5  0 , ∀ x ∊R
d) x2 + 5 > 0 , x > 0
e) A conclusão q é sempre verdadeira
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AULA 15: Métodos de Demonstração
Exemplo: Seja x ∊ R. Se x > 0 então x2 + 5 > 0. Prova pelo método Trivial
x2  0 , ∀ x ∊ R
b) x2 + 5 > x2 , ∀ x ∊R
c) x2 + 5  0 , ∀ x ∊R
d) x2 + 5 > 0 , x > 0
e) A conclusão q é sempre verdadeira
f) Logo a implicação p  q é verdadeira.
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Demonstrações diretas.
Toda demonstração direta deve começar com as premissas, seguidas das tautologias
e regras de inferência necessárias, até chegar à conclusão; cada passo deve estar 
acompanhado de sua respectiva justificativa.
A prova direta consiste em mostrar que p  q é verdadeiro quando:
assume-se p verdadeiro
b) mostra-se que quando p é verdadeiro, q também é verdadeiro
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A dedução de que a verdade de p leva à verdade de q é feita usando:
axiomas e fatos matemáticos
b) Definições
c) Regras de inferência
d) Resultados já provados
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 Definição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k , e n é ímpar se existir 
algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
Teorema: Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar.
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AULA 15: Métodos de Demonstração
 Definição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar se existir algum 
inteiro k tal que n = 2k + 1.
Teorema: Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar.
Prova usando o método direto:
 Assumimos que n é impar
Devido à tabela verdade da implicação, se a proposição p é falsa ( f ), a proposição p  q é verdadeira ( v ), logo não temos nada a demonstrar. Nos estamos interessados no
caso que o antecedente p seja verdadeiro ( v ). 
A partir da verdade de p, deduzir a verdade de q, é fazer uma demonstração direta da condicional p  q;
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Demonstrações indiretas
A demonstração indireta estabelece a verdade de uma afirmativa por revelar a falsidade
da suposição oposta. 
Teoremas na forma p  q também podem ser demonstrados por meio de provas que não
começam com a premissa e terminam com a conclusão (prova indireta).
Usada quando:
A demonstração falha por prova direta mas existe um sentimento de que a afirmação é verdadeira.
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Entre os métodos de demonstrações indiretas, temos os seguintes:
 
Por contraposição.
2) Por casos.
3) Por redução ao absurdo.
4) Por árvore de refutação.
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Demonstração indireta: Por contraposição.
Teorema: Se n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.
Tentativa de Prova Direta.
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AULA 15: Métodos de Demonstração
Demonstração indireta: Por contraposição.
Teorema: Se n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.
Tentativa de Prova Direta.
Assuma que 3n + 2 é um inteiro ímpar.
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Métodos de Demonstração
AULA 15: Métodos de Demonstração
Demonstração indireta: Por contraposição.
Teorema: Se n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.
Tentativa de Prova Direta.
Assuma que 3n + 2 é um inteiro ímpar.
Da definição de paridade, 3n + 2 = 2k + 1 para k ∊ Z
3n + 1 = 2k
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Métodos de Demonstração
AULA 15: Métodos de Demonstração
Demonstração indireta: Por contraposição.
Teorema: Se n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.
Tentativa de Prova Direta.
Assuma que 3n + 2 é um inteiro ímpar.
Da definição de paridade, 3n + 2 = 2k + 1 para k ∊ Z
3n + 1 = 2k
E agora?
A tentativa de prova falha, pois não há forma direta de concluir que n é ímpar. 
Devemos recorrer a um dos métodos de prova indireta.
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AULA 15: Métodos de Demonstração
Método indireto:
A prova por contraposição consiste em mostrar que p  q é verdadeiro, usando
o fato de que (~q  ~p)  (p  q)
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Método indireto:
A prova por contraposição consiste em mostrar que p  q é verdadeiro, usando 
o fato de que (~q  ~p)  (p  q)
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 Vamos aplicar o teorema.
Logo, pela definição de paridade, 3n + 2 é par (~p).
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 Vamos aplicar o teorema.
Prova por Contraposição.
 ~q: n é par, logo n = 2k , k ∊ Z (paridade)
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 Vamos aplicar o teorema.
Prova por Contraposição.
 ~q: n é par, logo n = 2k , k ∊ Z (paridade)
 3n + 2 = 3(2k ) + 2
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 Vamos aplicar o teorema.
Prova por Contraposição.
 ~q: n é par, logo n = 2k , k ∊ Z (paridade)
 3n + 2 = 3(2k ) + 2
 3n + 2 = 6k + 2
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 Vamos aplicar o teorema.
Prova por Contraposição.
 ~q: n é par, logo n = 2k , k ∊ Z (paridade)
 3n + 2 = 3(2k ) + 2
 3n + 2 = 6k + 2
 3n + 2 = 2 (3k + 1), com t = 3k + 1 ∊ Z
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AULA 15: Métodos de Demonstração
 Vamos aplicar o teorema.
Prova por Contraposição.
 ~q: n é par, logo n = 2k , k ∊ Z (paridade)
 3n + 2 = 3(2k ) + 2
 3n + 2 = 6k + 2
 3n + 2 = 2 (3k + 1), com t = 3k + 1 ∊ Z
 3n + 2 = 2t
Logo, pela definição de paridade, 3n + 2 é par (~p).
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Prova por Contradição ou Redução ao Absurdo
Uma prova por contradição mostra (p  q) indiretamente em dois casos:
Teoremas na forma p  q: assumir que ∀x ∊ D (P(x )  Q(x )) é falso.
 Em lógica, (p ^ ~q)
- Partindo de (p ^ ~q), deduzir uma contradição 0
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Métodos de Demonstração
AULA 15: Métodos de Demonstração
Prova por Contradição ou Redução ao Absurdo
Teoremas na forma p: assumir que ∀x ∊ D(P(x )) é falso:
 Em lógica, ~p
- Partindo de ~p, deduzir a contradição (r ^ ~ r ).
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Passo 1: Suponha que a declaração a ser provada é falsa.
Passo 2: Mostre que esta declaração leva logicamente a uma contradição.
Passo 3: Conclua que a afirmação a ser provada é verdadeira.
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Teorema (Forma p)
Não existe um inteiro que seja o maior de todos. Prova por Contradição.
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Prova por Contradição.
 (~ p): N ∊ Z tal que N é o maior de todos.
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Prova por Contradição.
 (~ p): N ∊ Z tal que N é o maior de todos.
 N  n, n ∊ Z
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Prova por Contradição.
 (~ p): N ∊ Z tal que N é o maior de todos.
 N  n, n ∊ Z
 M = N + 1. Pelo fecho aditivo, M ∊ Z
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Prova por Contradição.
 (~ p): N ∊ Z tal que N é o maior de todos.
 N  n, n ∊ Z
 M = N + 1. Pelo fecho aditivo, M ∊ Z
 M > N.
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Prova por Contradição.
 (~ p): N ∊ Z tal que N é o maior de todos.
 N  n, n ∊ Z
 M = N + 1. Pelo fecho aditivo, M ∊ Z
 M > N.
 Contradição: N é o maior de todos os inteiros, e M é maior do que N.
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AULA 15: Métodos de Demonstração
Prova por Contradição.
 (~ p): N ∊ Z tal que N é o maior de todos.
 N  n, n ∊ Z
 M = N + 1. Pelo fecho aditivo, M ∊ Z
 M > N.
 Contradição: N é o maior de todos os inteiros, e M é maior do que N.
 Portanto, (p q) pois [(p ^ ~q) 0]  (p q).
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
1- Provar por vacuidade o Teorema Se x2 + 1 < 0 então x5  4 com D = R
Exercícios Propostos
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Exercícios Propostos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
1- Provar por vacuidade o Teorema Se x2 + 1 < 0 então x5  4 com D = R
Prova:
	 x2 + 1 é sempre positivo, logo p é falso para todo x ∊D . 
	
	Logo, a implicação p  q é verdadeira.
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Exercícios Propostos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
2) Mostre usando o método direto. Teorema: Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar.
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Exercícios Propostos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
2) Mostre usando o método direto. Teorema: Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar.
Prova:
Assumimos que n é ímpar.
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Exercícios Propostos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
2) Mostre usando o método direto. Teorema: Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar.
Prova:
Assumimos que n é ímpar.
Pela definição, n = 2k + 1, para um inteiro k .
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Exercícios Propostos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
2) Mostre usando o método direto. Teorema: Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar.
Prova:
Assumimos que n é ímpar.
Pela definição, n = 2k + 1, para um inteiro k .
Elevando ambos lados de n = 2k + 1 ao quadrado: n 2 = (2k + 1) 2
 n 2 = 4k 2 + 4k + 1 
n 2 = 2 (2k 2 + 2k ) + 1
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Exercícios Propostos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
2) Mostre usando o método direto. Teorema: Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar.
Prova:
Assumimos que n é ímpar.
Pela definição,n = 2k + 1, para um inteiro k .
Elevando ambos lados de n = 2k + 1 ao quadrado: n 2 = (2k + 1) 2
 n 2 = 4k 2 + 4k + 1 
n 2 = 2 (2k 2 + 2k ) + 1
Logo, n 2 = 2t+1. Pela definição se n é impar n2 também é impar.
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Exercícios Propostos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
3) Mostre usando o método de contraposição. Teorema: Para todo número real positivo x e y, se o produto x · y excede 25, então x > 5 ou y > 5.
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Exercícios Propostos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
3) Mostre usando o método de contraposição. Teorema: Para todo número real positivo x e y, se o produto x · y excede 25, então x > 5 ou y > 5.
Solução:
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Exercícios Propostos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
3) Mostre usando o método de contraposição. Teorema: Para todo número real positivo x e y, se o produto x · y excede 25, então x > 5 ou y > 5.
Solução:
 ~q: (0 < x  5) e (0 < y  5)
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Exercícios Propostos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
3) Mostre usando o método de contraposição. Teorema: Para todo número real positivo x e y, se o produto x · y excede 25, então x > 5 ou y > 5.
Solução:
 ~q: (0 < x  5) e (0 < y  5)
 0 · 0 < x · y < 5 · 5
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AULA 15: Métodos de Demonstração
Exercícios Propostos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
3) Mostre usando o método de contraposição. Teorema: Para todo número real positivo x e y, se o produto x · y excede 25, então x > 5 ou y > 5.
Solução:
 ~q: (0 < x  5) e (0 < y  5)
 0 · 0 < x · y < 5 · 5
 0 < x · y  25
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AULA 15: Métodos de Demonstração
Exercícios Propostos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
3) Mostre usando o método de contraposição. Teorema: Para todo número real positivo x e y, se o produto x · y excede 25, então x > 5 ou y > 5.
Solução:
 ~q: (0 < x  5) e (0 < y  5)
 0 · 0 < x · y < 5 · 5
 0 < x · y  25
 Logo, o produto x · y não excede 25 (~p)
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AULA 15: Métodos de Demonstração
Indicação de Leitura Específica
 Recomendamos a leitura do capítulo referente Teoria de Conjuntos no material didático.
 Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de Conjuntos disponíveis.
Sugestão de material:
http://www.otricolor.com/images/noticias/1278/Inicia%E7%E3o%20a%20L%F3gica%20Matem%E1tica.%20Edegard%20Filho.%20Editota%20Nobel%20(1).pdf
https://www.google.com.br/?gfe_rd=cr&ei=TdqhVaOOEeGB8QeEu4DIDA&gws_rd=ssl#q=Proposi%C3%A7%C3%B5es+Simples
http://www.feata.edu.br/downloads/revistas/avessodoavesso/v3_artigo04_logica.pdf
http://uol.iesde.com.br/aprovaconcursos/demo_aprova_concursos/raciocinio_logico_01.pdf
Indicação de Leitura
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Sugestão de leitura:
https://docente.ifrn.edu.br/cleonelima/disciplinas/fundamentos-de-programacao-2.8401.1m/fundamentos-de-logica-e-algoritmos-1.8401.1v/apostila-equivalencias-logicas
Indicação de Leitura
Indicação de Leitura Específica
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VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS?
 
Unidade 7 - Métodos de Demonstração
7.3. Técnicas Adicionais, envolvendo quantificadores.
7.4. Construção dos Números Naturais como Função: Princípio da Indução.
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