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Apostila - Calculo I - Frederico

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x0 e escrevemos 
Lxf
xx
=
→
)(lim
0
 
Essa definição é “informal” porque as expressões “arbitrariamente próximo” e “suficientemente 
próximos” são imprecisas; seu significado depende do contexto. Para um metalúrgico que fabrica um 
pistão, próximo pode significar alguns milésimos de centímetro. Para um astrônomo que estuda 
galáxias distantes, próximo pode significar alguns milhares de anos-luz. Entretanto, a definição é 
suficientemente clara para permitir o reconhecimento e a avaliação dos limites de várias funções 
específicas. 
Exemplo 1: O Valor do Limite Não Depende do Modo como a Função é Definida em 0x 
 
Com efeito, consideremos as seguintes funções: 
a) 1 ,
1
1
 )(
2
≠
−
−
= x
x
x
xf 
b) 





=
≠
−
−
=
1 ,1 
1 ,
1
1
 g(x)
2
x
x
x
x
 
c) 1 )( += xxh 
Note que 2)(
1
)(
1
)(
1
limlimlim =
→
=
→
=
→
xh
x
xg
x
xf
x
 sem que exista )1(f , com 21)1( ≠=g e 
2)1( =h (Veja Figura 1). 
 
Figura 1: Funções do Exemplo 1. 
 167 
Exemplo 2: Os Limites Podem Não Existir 
 
De fato: discutamos o comportamento quando 0→x das seguintes funções: 
(a) A função de salto unitário definida por 



≥
<
=
0 ,1
0 ,0
 )(
x
x
xU 
(b) A função 




=
≠
=
0 ,0
0 ,1)(
x
x
xxg 
(c) A função 





>





≤
=
0 ,1
0 ,0
)(
x
x
sen
x
xf 
Soluções: 
(a) A função de salto unitário )(xU não tem limite quando 0→x porque seus valores “saltam” 
em 0=x . Para valores negativos de x arbitrariamente próximos de zero, 0)( =xU . Para valores 
positivos de x , arbitrariamente próximos de zero, 1)( =xU . Não há um único valor de L do qual 
)(xU se aproxime quando 0→x (Figura 2 (a)). 
(b) A função cresce demais para ter um limite: )(xg não tem um valor limite quando 0→x 
porque g cresce arbitrariamente em valor absoluto quando 0→x e não se mantém próximo de 
nenhum valor real (Figura 2 (b)). 
(c) A função oscila demais para ter um limite: )(xf não tem limite quando 0→x porque os 
valores da função oscilam entre 1 e 1− em cada intervalo aberto que contém 0 . Os valores não 
se mantêm próximos de nenhum número quando 0→x 
(Figura 2 (c)). 
 
 
Figura 2: Funções do Exemplo 2. 
 
 
 
 
 168 
3.1.3 Definição Formal de Limite 
 
Definição:Seja )(xf uma definida em um intervalo aberto em torno de 0x , exceto 
possivelmente em 0x . Dizemos que )(xf tem limite L quando 0xx → e escrevemos 
Lxf
xx
=
→
)(lim
0
, 
se, para cada número 0>ε , existir um número correspondente 0>δ tal que para todos os 
valores de x, 
εδ <−⇒<−< Lxfxx )(0 0 . 
 
Graficamente temos: 
 
 
Exemplo: Testando a Definição 
Mostre que 2)1(
1
lim =+
→
x
x
 
Solução: sejam 10 =x , 1)( += xxf e 2=L na definição de limite. Para qualquer 0>ε , 
precisamos encontrar um 0>δ adequado ( )(εδδ = , isto é, o número real δ depende do número 
real ε fornecido), tal que se 1≠x e x está a uma distância menor do que δ de 10 =x , ou seja, se 
δ<−< 10 x , então )(xf está a uma distância menor do que ε de 2=L , isto é, ε<− 2)(xf . 
Encontraremos δ ao resolvermos a inequação: 
 169 
ε<+=−+ 121 xx .Daí, basta escolher εδ = e verifica-se que 2)1(
1
lim =+
→
x
x
. 
3.1.4 Propriedades dos Limites 
Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e 
potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as 
funções mais elaboradas. 
Teorema 3.1: Unicidade do Limite: O limite de uma função, quando existe, é único, isto é, 
Se Lxf
xx
=
→
)(lim
0
 e Mxf
xx
=
→
)(lim
0
 , então ML = 
 
Teorema 3.2: Se 0,, xML e k são números reais e 
Lxf
xx
=
→
)(lim
0
 e Mxg
xx
=
→
)(lim
0
 
então: 
 1. Regra da Soma: O limite da soma de duas funções é a soma de seus limites, isto é, 
( ) MLxgxf
xx
+=+
→
)()(lim
0
 
 2. Regra da Diferença: O limite da diferença de duas funções é a diferença de seus limites, 
isto é, 
( ) MLxgxf
xx
−=−
→
)()(lim
0
 
 3. Regra do Produto: O limite do produto de duas funções é o produto de seus limites, isto 
é, 
( ) MLxgxf
xx
⋅=⋅
→
)()(lim
0
 
 4. Regra da Multiplicação por Constante: O limite de uma constante multiplicada pela função 
é a constante multiplicada pelo limite da função, isto é, 
 
( ) Lkxfk
xx
⋅=⋅
→
)(lim
0
 
Em particular, 
kk
xx
=
→
lim
0
 
 170 
 5. Regra do Quociente: O limite do quociente de duas funções é o quociente de seus limites, 
desde que o limite do denominador seja diferente de zero, isto é, 
0M ,.)(
)(
 lim
0
≠=
→ M
L
xg
xf
xx
 
 6. Regra da Potenciação: O limite de uma potência racional de uma função é a potência do 
limite da função, desde que a última seja um número real, isto é, 
Se r e s são números inteiros e 0≠s , então ( ) srsr Lxf
xx
=
→
)(lim
0
 desde que srL seja um 
número real. 
Exemplo: Usando as Regras do Limite, calcule 
3
2
5
32
3
12
1
lim 





+
++
→ x
xx
x
 
Solução: 
3
2
5
32
3
12
 
1
lim 





+
++
→ x
xx
x
=
( )
( )
11
4
4
31
1121
3
1
1
1
2
1
3
11
1
1
2
11
3
1
12
1
3
12
1
3
2
3
2
3
2
5
32
3
2
5
32
3
2
5
323
2
5
32
3
2
5
32
lim
limlim
limlim
limlimlim
lim
lim
lim
==





=





+
+⋅+
=
















+








→
+








→
+








→
=












→
+
→
→
+
→
+
→
=












+
→
++
→
=








+
++
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x
 
 
 
 
Observação: A Regra da Soma que vale 
para duas funções, também vale para 
um número finito de funções. Além 
disso, se somente uma das parcelas 
não possui limite, então o limite da 
soma de todas as parcelas não existirá. 
Verifique esta afirmação. 
Observação: O Teorema 3.2 só é 
válido se ambas as funções f e 
g possuírem limites. Verifique 
esta afirmação. 
 171 
Teorema 3.3 (Teorema do Sanduíche): Se valem as desigualdades )()()( xhxgxf ≤≤ para todo 
x em um intervalo aberto contendo x0, exceto talvez em x = x0 e se )()( limlim
00
xh
xx
Lxf
xx →
==
→
 , 
então Lxg
xx
=
→
)(lim
0
 
Definição: Dizemos que uma função f é limitada quando existe uma constante C > 0 tal que 
Cxf ≤)( , para todo Dx ∈ , onde D representa o Domínio da função f . 
 
Corolário 3.3: Se f é uma função limitada e g é uma função tal que 0)(lim
0
=
→
xg
xx
, então 
0)()(lim
0
=⋅
→
xgxf
xx
, mesmo que não exista )(lim
0
xf
xx→
. 
Exemplo: Mostre que 01
0
lim =





→ x
xsen
x
 
Solução: Como 0,11 ≠∀≤





x
x
sen
 e 0
0
lim =
→
x
x
, conclui-se, pelo Corolário 3.3, que 
01
0
lim =





→ x
xsen
x
 
 
3.1.5 Limites Laterais 
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo

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