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Senoides, Fasores e Números Complexos A.C. FÓRMULAS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PROF. VIVIANA RAQUEL ZURRO 1 Sumário SENOIDES E FASORES ................................................................................................................ 2 Fórmulas ..................................................................................................................................... 2 Relações trigonométricas ......................................................................................................... 2 Senoides .................................................................................................................................. 2 Números complexos ................................................................................................................ 2 Fasores .................................................................................................................................... 2 Exercícios Resolvidos ................................................................................................................. 3 Como reduzir um ângulo maior que 360o ao seu equivalente menor ou igual a 360o ............... 3 Senoides e fasores .................................................................................................................. 3 Operações com números complexos ....................................................................................... 9 Exercícios Propostos ................................................................................................................. 13 Referências ................................................................................................................................... 16 2 SENOIDES E FASORES Fórmulas Relações trigonométricas • cos α = sen (α + 90°) • sen α = cos (α – 90°) • sen (-α) = -sen α • cos (-α) = cos α • -sen α = sen (α ± 180°) • -cos α = cos (α ± 180°) Senoides • 𝑣(𝑡) = �̂�𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) • 𝜔 = 2𝜋𝑓 • 𝑇 = 2𝜋 𝜔 = 1 𝑓 • �̂�, 𝑉𝑚 ou 𝑉𝑝: Valor de pico, valor máximo da forma de onda. • 𝑣(𝑡): Valor instantâneo, amplitude da forma de onda em um instante qualquer. • 𝑉𝑝𝑝: Valor pico a pico, diferença entre os valores de pico positivo e negativo. • 𝑇: Período, intervalo de tempo entre repetições sucessivas. • ω: Frequência angular em radianos/segundos. • f: Frequência em Hz. Números complexos • 𝑗 = √−1, 𝑗2 = −1, −𝑗 = 1 𝑗 , em engenharia o número imaginário i é chamado de j para não confundir com a corrente i. • 𝑗 = 1∠90𝑜, −𝑗 = 1∠−90𝑜 • 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 • 𝑧 = 𝑟∠𝜑 = 𝑟𝑒𝑗𝜑 • 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 e 𝜑 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑦 𝑥 • 𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜑 e 𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜑 • 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 = 𝑟∠𝜑 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑗𝑟𝑠𝑒𝑛𝜑 Fasores • 𝑽 = �̂�. 𝑒𝑗𝜑 = �̂�∠𝜑 • 𝑰 = 𝐼∠𝜑 3 Exercícios Resolvidos Como reduzir um ângulo maior que 360o ao seu equivalente menor ou igual a 360o 𝛼 > 360𝑜 𝛼 360 = 𝑁, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑁, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝑁 = 0, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝛼 = 0, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛. 360 𝛼 ≤ 360𝑜 Exemplo: 𝛼 = 1285𝑜 1285 360 = 3,56944 3,56944 − 3 = 0,56944 𝛼 = 0,56944.360 = 205𝑜 𝛼 = 1285𝑜 ≡ 205𝑜 Senoides e fasores 1. Transforme as seguintes senoides em fasores: a. 𝑣(𝑡) = −4𝑠𝑒𝑛(30𝑡 + 50 𝑜) Para poder trabalhar com fasores deveremos transformar o seno em cosseno. -sen α = sen (α +180°) 𝑣(𝑡) = 4𝑠𝑒𝑛(30𝑡 + 50 𝑜 + 180𝑜) = 4𝑠𝑒𝑛(30𝑡 + 230𝑜) [𝑉] sen α = cos (α – 90°) 𝑣(𝑡) = 4𝑐𝑜𝑠(30𝑡 + 230 𝑜 − 90𝑜) = 4𝑐𝑜𝑠(30𝑡 + 140𝑜) [𝑉] 𝑽 = 4∠140𝑜 [𝑉] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b. 𝑖(𝑡) = 6 cos(50𝑡 − 40 𝑜) 𝑰 = 6∠−40𝑜 [𝐴] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- c. 𝑣(𝑡) = −7 cos(2𝑡 + 40 𝑜) -cos α = cos (α ±180°) 4 𝑣(𝑡) = 7𝑐𝑜𝑠(2𝑡 + 40 𝑜 − 180𝑜) = 7𝑐𝑜𝑠(2𝑡 − 140𝑜) [𝑉] 𝑽 = 7∠−140𝑜 [𝑉] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- d. 𝑖(𝑡) = 4 sen(10𝑡 − 420 𝑜) sen α = cos (α – 90°) 𝑖(𝑡) = 4𝑐𝑜𝑠(10𝑡 − 420 𝑜 − 90𝑜) = 4𝑐𝑜𝑠(10𝑡 − 510𝑜) [𝐴] 𝐼 = 4∠−510𝑜 Como: −510𝑜 = −510𝑜 + 360𝑜 = −150𝑜 Então: 𝑰 = 4∠−150𝑜 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Determine as senoides representadas pelos seguintes fasores: a. 𝑽 = 𝑗8𝑒−𝑗20 𝑜 𝑗 = 1∠90𝑜 8𝑒−𝑗20 𝑜 = 8∠−20𝑜 𝑽 = 1∠90𝑜. 8∠−20𝑜 = 1.8∠(−20𝑜 + 90𝑜) = 8∠70𝑜 [𝑉] 𝑣(𝑡) = 8𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 70 𝑜) [𝑉] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b. 𝑰 = −3 + 𝑗4 Figura 1: Transformação de coordenadas retangulares para coordenadas polares (INTMATH, 2016). 5 |𝑰| = √(−3)2 + 42 = 5 Como a parte real é negativa: 𝜑𝐼 = 𝑡𝑔 −1 4 −3 ± 180𝑜 = 126,9𝑜 = −233,13𝑜 𝑰 = 5∠126,9𝑜 [𝐴] 𝑖(𝑡) = 5𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 126,90 𝑜) [𝐴] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- c. 𝑽 = −10∠30𝑜 𝑽 = 10∠(30𝑜 + 180𝑜) = 10∠210𝑜 [𝑉] 𝑣(𝑡) = 10𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 210 𝑜) [𝑉] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- d. 𝑰 = 𝑗 ∗ (5 − 𝑗2) 𝑗 = 1∠90𝑜 5 − 𝑗2 = 𝑛 |𝑛| = √52 + (−2)2 = 5,38 𝜑𝑛 = 𝑡𝑔 −1 −2 5 = −21,8𝑜 𝑛 = 5,38∠−21,8𝑜 𝑰 = 1∠90𝑜. 5,38∠−21,8𝑜 = 1.5,38∠(90𝑜 − 21,8𝑜) = 5,38∠68,2𝑜[𝐴] 𝑖(𝑡) = 5,38𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 68,2 𝑜) [𝐴] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- e. 𝑽 = −2 − 𝑗4 |𝑽| = √(−2)2 + (−4)2 = 4,47 Como a parte real é negativa: 𝜑𝑉 = 𝑡𝑔 −1 −4 −2 ± 180𝑜 = 243,43𝑜 = −116,56𝑜 𝑽 = 4,47∠243,43𝑜 = 4,47∠ − 116,56𝑜 [𝑉] 243,43𝑜 e 116,56𝑜 são ângulos replementares: |243,43𝑜| + |−116,56𝑜| = 360𝑜 6 Figura 2: A posição final do fasor é a mesma tanto para o ângulo positivo (sentido de giro para a esquerda: 243,43𝑜) quanto para o ângulo negativo (sentido de giro para a direita: −116,56𝑜). 𝑣(𝑡) = 4,47𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 243,43 𝑜) = 4,47𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 116,56𝑜) [𝑉] ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Determine a defasagem entre os pares de senoides e verifique qual está adiantada. a. 𝑣(𝑡) = −4𝑠𝑒𝑛(30𝑡 + 50 𝑜) e 𝑖(𝑡) = 6 cos(30𝑡 − 40 𝑜) -sen α = sen (α +180°) 𝑣(𝑡) = 4𝑠𝑒𝑛(30𝑡 + 50 𝑜 + 180𝑜) = 4𝑠𝑒𝑛(30𝑡 + 230𝑜) sen α = cos (α – 90°) 𝑣(𝑡) = 4𝑐𝑜𝑠(30𝑡 + 230 𝑜 − 90𝑜) = 4𝑐𝑜𝑠(30𝑡 + 140𝑜)[𝑉] 𝑖(𝑡) = 6 𝑐𝑜𝑠(30𝑡 − 40 𝑜) 𝜑𝑣 = 140 𝑜 𝜑𝑖 = −40 𝑜 𝜑 = 𝜑𝑣 − 𝜑𝑖 = 140 𝑜 − (−40𝑜) = 180𝑜 A tensão adianta a corrente em 180o. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b. 𝑣(𝑡) = 10𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 50 𝑜) e 𝑖(𝑡) = −0,5 sen(𝜔𝑡 − 40 𝑜) -sen α = sen (α +180°) 𝑖(𝑡) = 0,5𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 40 𝑜 + 180𝑜) = 0,5𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 140𝑜) sen α = cos (α – 90°) 𝑖(𝑡) = 0,5𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 140 𝑜 − 90𝑜) = 0,5𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 50𝑜)[𝐴] 𝑣(𝑡) = 10𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 50 𝑜)[𝑉] 𝜑𝑣 = 𝜑𝑖 = 50 𝑜 7 A corrente e a tensão estão em fase. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. A corrente consumida por um motor monofásico que aciona uma bomba de água é igual a: 𝑖𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = −8 cos(500𝜋𝑡 − 30 𝑜) [𝐴] -cos α = cos (α +180°) 𝑖𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 8 cos(500𝜋𝑡 − 30 𝑜 + 180𝑜) [𝐴] 𝑖𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 8 cos(500𝜋𝑡 + 150 𝑜) [𝐴] Equação geral: 𝑖(𝑡) = 𝐼 cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖) [𝐴] a. Qual é a amplitude da corrente? 𝐼 = 8[𝐴] b. Qual é a frequência angular ω? 𝜔 = 500𝜋 [ 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ] c. Qual é a frequência f do motor? 𝑓 = 𝜔 2𝜋 = 500𝜋 2𝜋 = 250[ 𝐻𝑧] d. Qual é o período T da corrente? 𝑇 = 1 𝑓 = 1 250[𝐻𝑧] = 4[𝑚𝑠] e. Qual é o ângulo inicial da corrente do motor? 𝜑𝑖 = 150 𝑜 f. Qual é o valor da corrente em t=2ms? (Dica: deixar os dois ângulos na mesma unidade: 𝜋 ≡ 180𝑜) ATENÇÃO: O ângulo da função está em duas unidades DIFERENTES!!! ωt está em radianos e φi em graus. Em 2ms: cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖) 𝛼 = 𝜔𝑡|𝑡=2𝑚𝑠 = 500𝜋 [ 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ] . 2[𝑚𝑠] = 𝜋[𝑟𝑎𝑑] Conversão de radianos para graus 𝜋 ⟶ 180𝑜 𝜋 ⟶ 𝛼 8 𝛼 = 𝜋. 180𝑜 𝜋 = 180𝑜 𝑖𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 |𝑡=2𝑚𝑠 = 8 cos(180 𝑜 + 150𝑜) = 8 cos(330𝑜) = 6,92[𝐴] ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. Calcular o valor da função no tempo especificado para cada opção: Como não serão usados fasores, para fazer este cálculo não é necessário transformar a senoide. a. Qual é o valor da corrente em t=2ms? 𝑖 = 4 sen(50𝑡 − 30𝑜) [𝐴] Em 2ms: sen(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖) 𝛼 = 𝜔𝑡|𝑡=2𝑚𝑠 = 50 [ 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ] . 2[𝑚𝑠] = 100𝑒−3[𝑟𝑎𝑑] Conversão de radianos para graus 𝜋 ⟶ 180𝑜 100𝑒−3 ⟶ 𝛼 𝛼 = 100𝑒−3. 180𝑜 𝜋 = 5,72𝑜 𝑖|𝑡=2𝑚𝑠 = 4 sen(5,72 𝑜 − 30𝑜) = 4 sen(−24,28𝑜) = −1.64[𝐴] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b. Qual é o valor da corrente em t=25ms? 𝑖 = 5 cos(120𝜋𝑡 + 120𝑜) [𝐴] Em 25ms: cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖) 𝛼 = 𝜔𝑡|𝑡=25𝑚𝑠 = 120𝜋 [ 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ] . 25[𝑚𝑠] = 3𝜋[𝑟𝑎𝑑] Conversão de radianos para graus 𝜋 ⟶ 180𝑜 3𝜋 ⟶ 𝛼 𝛼 = 3𝜋. 180𝑜 𝜋 = 540𝑜 ≡ 180𝑜 𝑖|𝑡=25𝑚𝑠 = 5 cos(180 𝑜 + 120𝑜) = 5 cos(300𝑜) = 2,5[𝐴] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- c. Qual é o valor da tensão em t=1m? 9 𝑣 = −10 cos(4𝑡 − 30𝑜) [𝑉] Em 1m = 60s: cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑣) 𝛼 = 𝜔𝑡|𝑡=60𝑠 = 4 [ 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ] . 60[𝑠] = 240[𝑟𝑎𝑑] Conversão de radianos para graus 𝜋 ⟶ 180𝑜 240 ⟶ 𝛼 𝛼 = 240. 180𝑜 𝜋 = (13,751𝑒3)𝑜 ≡ 70,98𝑜 𝑣|𝑡=60𝑠 = −10 cos(70,98 𝑜 − 30𝑜) = −10 cos(40,98𝑜) = −7,54[𝑉] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Operações com números complexos Considerando os números complexos a seguir (MATH IS FUN, 2015) 𝑎 = 3 − 𝑗2 𝑏 = 5∠30𝑜 𝑐 = −6 + 𝑗3 𝑑 = −5 − 𝑗5 6. Calcular as seguintes expressões: a. 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 = 3 − 𝑗2 𝑏 = 5∠30𝑜 Em operações de soma e subtração é conveniente trabalhar com coordenadas retangulares então o número complexo b vai ter que ser transformado. 𝑏 = |𝑏|∠𝜑𝑏 = 𝑥 + 𝑗𝑦 𝑥 = |𝑏| cos(𝜑𝑏) = 5𝑐𝑜𝑠(30 𝑜) = 4,33 𝑦 = |𝑏| sen(𝜑𝑏) = 5𝑠𝑒𝑛(30 𝑜) = 2,5 𝑏 = 5∠30𝑜 = 4,33 + 𝑗2,5 𝑧 = (3 − 𝑗2) + (4,33 + 𝑗2,5) = 3 − 𝑗2 + 4,33 + 𝑗2,5 𝑧 = 3 + 4,33 − 𝑗2 + 𝑗2,5 𝑧 = 7,33 + 𝑗0,5 = 7,34∠3,9𝑜 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 b. 𝑧 = 𝑐 𝑑 𝑐 = −6 + 𝑗3 𝑑 = −5 − 𝑗5 Método 1 (mais difícil): 𝑧 = −6 + 𝑗3 −5 − 𝑗5 Multiplicando e dividindo pelo complexo conjugado (trocar o sinal da parte imaginária) do denominador (número d): 𝑑∗ = −5 + 𝑗5 𝑧 = −6 + 𝑗3 −5 − 𝑗5 . −5 + 𝑗5 −5 + 𝑗5 = (−6 + 𝑗3). (−5 + 𝑗5) (−5 − 𝑗5). (−5 + 𝑗5) = 𝑁 𝐷 (1) 𝑁 = (−6 + 𝑗3). (−5 + 𝑗5) = (−6). (−5) + (−6). (𝑗5) + (𝑗3). (−5) + (𝑗3). (𝑗5) 𝑁 = 30 − 𝑗30 − 𝑗15 + (𝑗3). (𝑗5) (𝑗3). (𝑗5) = 𝑗2. 3.5 = (−1). 15 = −15 𝑁 = 30 − 𝑗30 − 𝑗15 − 15 𝑁 = 15 − 𝑗45 𝐷 = (−5 − 𝑗5). (−5 + 𝑗5) = (−5). (−5) + (−5). (𝑗5) + (−𝑗5). (−5) − (𝑗5). (𝑗5) 𝐷 = 25 − 𝑗25 + 𝑗25 − (𝑗5)2 (𝑗5)2 = 𝑗2. 52 = −25 𝐷 = 25 − (−25) = 25 + 25 = 50 Substituindo na equação (1): 𝑧 = 𝑁 𝐷 = 15 − 𝑗45 50 = 15 50 − 𝑗 45 50 𝑧 = 0,3 − 𝑗0,9 = 0,95∠−71,5𝑜 Método 2: 𝑧 = −6 + 𝑗3 −5 − 𝑗5 Transformando os números c e d para coordenadas polares: 𝑐 = −6 + 𝑗3 = |𝑐|∠𝜑𝑐 |𝑐| = √(−6)2 + 32 = 6,7 Como a parte real é negativa devemos somar ou subtrair 180O ao cálculo em algumas calculadoras. 𝜑𝑐 = 𝑡𝑔 −1 ( 3 −6 ) + 180𝑜 = 153,43𝑜 𝑐 = 6,7∠153,43𝑜 11 Proceder da mesma maneira com o número d 𝑑 = −5 − 𝑗5 = |𝑑|∠𝜑𝑑 |𝑑| = √(−5)2 + (−5)2 = 7,07 Como a parte real é negativa devemos somar ou subtrair 180o ao cálculo em algumas calculadoras. 𝜑𝑑 = 𝑡𝑔 −1 ( −5 −5 ) + 180𝑜 = −135𝑜 𝑑 = 7,07∠−135𝑜 𝑧 = 𝑐 𝑑 = 6,7∠153,43𝑜 7,07∠−135𝑜 = |𝑧|∠𝜑𝑧 |𝑧| = 6,7 7,07 = 0,95 𝜑𝑧 = 𝜑𝑐 − 𝜑𝑑 = 153,43 𝑜 − (−135𝑜) = 288,43𝑜 = 288,43𝑜 − 360𝑜 = −71,57𝑜 𝑧 = 0,95∠−71,5𝑜 = 0,3 − 𝑗0,9 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- c. 𝑧 = 𝑏. 𝑐 𝑏 = 5∠30𝑜 𝑐 = −6 + 𝑗3 𝑧 = (5∠30𝑜). (−6 + 𝑗3) Neste caso é conveniente trabalhar com coordenadas polares. 𝑐 = −6 + 𝑗3 = |𝑐|∠𝜑𝑐 |𝑐| = √(−6)2 + 32 = 6,7 Como a parte real é negativa devemos somar ou subtrair 180O ao cálculo em algumas calculadoras. 𝜑𝑐 = 𝑡𝑔 −1 ( 3 −6 ) + 180𝑜 = 153,43𝑜 𝑐 = 6,7∠153,43𝑜 Calculando: 𝑧 = |𝑧|∠𝜑𝑧 = (5∠30 𝑜). (6,7∠153,43𝑜) |𝑧| = 5.6,7 = 33,5 𝜑𝑧 = 𝜑𝑏 + 𝜑𝑐 = 30 𝑜 + 153,43𝑜 = 183,43𝑜 = −176,56𝑜 𝑧 = 33,5∠183,43𝑜 = −33,48 − 𝑗2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12 d. 𝑧 = 𝑐 − 𝑑 𝑐 = −6 + 𝑗3 𝑑 = −5 − 𝑗5 Neste caso é conveniente trabalhar com coordenadas retangulares. 𝑧 = (−6 + 𝑗3) − (−5 − 𝑗5) = −6 + 𝑗3 + 5 + 𝑗5 𝑧 = −6 + 𝑗3 + 5 + 𝑗5 = −6 + 5 + 𝑗3 + 𝑗5 𝑧 = −1 + 𝑗8 = 8,06∠97,12𝑜 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- e. 𝑧 = 𝑎 𝑏 𝑎 = 3 − 𝑗2 𝑏 = 5∠30𝑜 𝑧 = 3 − 𝑗2 5∠30𝑜 Neste caso é conveniente trabalhar em coordenadas polares: 𝑎 = 3 − 𝑗2 = |𝑎|∠𝜑𝑎 |𝑎| = √32 + (−2)2 = 3,6 𝜑𝑎 = 𝑡𝑔 −1 ( −2 3 ) = −33,7𝑜 𝑎 = 3,6∠−33,7𝑜 𝑧 = 𝑎 𝑏 = 3,6∠−33,7𝑜 5∠30𝑜 = |𝑧|∠𝜑𝑧 |𝑧| = 3,6 5 = 0,72 𝜑𝑧 = 𝜑𝑎 − 𝜑𝑏 = −33,7 𝑜 − 30𝑜 = −63,7𝑜 𝑧 = 0,72∠−63,7𝑜 = 0,32 − 𝑗0,64 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- f. 𝑧 = 𝑎. 𝑏 + 𝑐 𝑎 = 3 − 𝑗2 𝑏 = 5∠30𝑜 𝑐 = −6 + 𝑗3 𝑧 = (3 − 𝑗2). (5∠30𝑜) + (−6 + 𝑗3) (2) 13 Neste exercício será resolvido primeiro o produto a.b, passando o número a para coordenadas polares. 𝑎 = 3 − 𝑗2 = |𝑎|∠𝜑𝑎 |𝑎| = √32 + (−2)2 = 3,6 𝜑𝑎 = 𝑡𝑔 −1 ( −2 3 ) = −33,7𝑜 𝑎 = 3,6∠−33,7𝑜 𝑝 = 𝑎. 𝑏 = (3,6∠−33,7𝑜). (5∠30𝑜) 𝑝 = |𝑝|∠𝜑𝑝 |𝑝| = 3,6.5 = 18 𝜑𝑝 = 𝜑𝑎 + 𝜑𝑏 = −33,7 𝑜 + 30𝑜 = −3,7𝑜 𝑝 = 18∠−3,7𝑜 = 𝑥 + 𝑗𝑦 𝑥 = |𝑝| cos(𝜑𝑝) = 18𝑐𝑜𝑠(−3,7 𝑜) = 17,96 𝑦= |𝑝| sen(𝜑𝑝) = 18𝑠𝑒𝑛(−3,7 𝑜) = −1,16 𝑝 = 17,96 − 𝑗1,16 Da equação (2) 𝑧 = 𝑝 + (−6 + 𝑗3) 𝑧 = (17,96 − 𝑗1,16) + (−6 + 𝑗3) = 17,96 − 𝑗1,16 − 6 + 𝑗3 𝑧 = 11,96 + 𝑗1,84 = 12,13∠8,7𝑜 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios Propostos 1. Transforme as seguintes senoides em fasores: a. (1,5p) 𝑖 = − sen(120𝜋𝑡 + 80𝑜) [𝐴] Resposta: 𝑰 = 1∠170𝑜 b. (1p) 𝑣 = 4 cos(1000𝑡 − 30𝑜) [𝑉] Resposta: 𝑽 = 4∠−30𝑜 c. (1p) 𝑣 = −20 sen(120𝜋𝑡) [𝑉] Resposta: 𝑽 = 20∠90𝑜 d. 𝑖 = − cos(120𝜋𝑡 − 50𝑜) [𝐴] Resposta: 𝑰 = 1∠ 130𝑜 [𝐴] 14 e. 𝑣 = −4 sen(120𝜋𝑡 + 50𝑜) [𝑉] Resposta: 𝑽 = 4∠140𝑜[𝑉] f. 𝑣 = 10 sen(120𝜋𝑡 + 150𝑜) [𝑉] Resposta: 𝑽 = 10∠60𝑜[𝑉] 2. Para a tensão 𝑣 = 10 sen(1000𝑡 + 30𝑜) [𝑉] determine: a. Qual é a frequência f? Resposta: 𝑓 ≅ 160𝐻𝑧 b. Qual é o valor da tensão em t=4ms? (Dica: transformar ωt em graus. 𝜋 ≡ 180𝑜). Resposta: 𝑣 = −9,8[𝑉] 3. Para a seguinte tensão determine: 𝑣 = −8 sen(120𝜋𝑡 − 30𝑜) [𝑉] a. Qual é a amplitude da tensão? Resposta: 𝑉 = 8[𝑉] b. Qual é a frequência f? Resposta: 𝑓 = 60𝐻𝑧 c. Qual é o valor da tensão em t=4ms? (Dica: transformar ωt em graus. 𝜋 ≡ 180𝑜). Resposta: 𝑣 = −6,66[𝑉] 4. Para os números complexos seguintes calcule as seguintes expressões: 𝑎 = −4 + 𝑗8 𝑏 = 3 − 𝑗4 𝑐 = 5∠ − 30𝑜 𝑑 = 10∠60𝑜 a. 𝑧 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑑 Resposta: 𝑧 = 5,33 + 𝑗14,16 = 15,13∠69,37𝑜 b. 𝑧 = 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 Resposta: 𝑧 = 3,67 + 𝑗7.16 = 8,04∠62,86𝑜 c. 𝑧 = 𝑐. 𝑑 Resposta: 𝑧 = 43,3 + 𝑗25 = 50∠30𝑜 15 d. 𝑧 = 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑑 Resposta: 𝑧 = −1,76 − 𝑗0,180 = 1,77∠−174,16𝑜 e. 𝑧 = 𝑏+𝑐 𝑑 Resposta: 𝑧 = −0,196 − 𝑗0,96 ≅ 1∠−101,5𝑜 16 Referências INTMATH. Polar to Rectangular Online Calculator. Interactive Mathematics, 31 maio 2016. Disponivel em: <http://www.intmath.com/complex-numbers/convert-polar-rectangular- interactive.php>. MATH IS FUN. Complex Number Calculator. Math is Fun, 2015. Disponivel em: <https://www.mathsisfun.com/numbers/complex-number-calculator.html>.
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