12 CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM EM SÉRIE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
FACULDADE DE TECNOLOGIA
ENGENHARIA QUÍMICA
LABORATÓRIO DE ELETRICIDADE – TURMA 02
CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM EM SÉRIE
Manaus – AM
2017
AYRTON DONNINGTON OLIVEIRA DE SOUZA BARROSO
ELITUANY MACIEL SALLET
PAULA SILVA RESENDE
RÁVELLA THUANY CARVALHO RODRIGUES
CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM EM SÉRIE
Duodécimo relatório
 da disciplina de 
Laboratório de 
Eletricidade
 Geral
 apresentado ao curso de Engenharia Química.
PROFESSOR: BRUNO GOMES RODRIGUES
Manaus – AM
2017
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
	 Os circuitos resistivos, indutivos e capacitivos quando associados podem formar os circuitos RC, RL e RLC, e como tais circuitos possuem reatância, podem ser chamados de circuitos reativos. Os circuitos de configuração em série resistor e indutor e resistor e capacitor, são circuitos reativos, a realização desses circuitos são de alta importância para que os equipamentos eletrônicos possam desempenhar suas funções de maneira eficiente, como o rádio, radar, entre outros. O circuito em série RC, é composto por um resistor e um capacitor associados de maneira que a queda de tensão no resistor, Er, está em fase com a corrente, enquanto que a queda de tensão no capacitor, Ec, está atrasada 90º em relação a Er. Enquanto que para o circuito em série RL, há a presença de indutor e um resistor, o indutor atrasa a corrente do resistor em 90º.
	Este experimento tem como objetivo geral verificar experimentalmente o impacto dos elementos armazenadores de energia em regime de corrente alternada na configuração em série. Para a montagem dos circuitos RC e RL foram utilizados dois resistores com 33kΩ e 100Ω cada, um indutor com 25µH e um capacitor com 1µF, assim como o osciloscópio e o gerador de sinais. 
	Este trabalho foi dividido em fundamentação teórica, metodologia, resultados e discussões. A fundamentação teórica retrata o conteúdo geral da teoria que é aplicada na experimentação, com ênfase no funcionamento dos circuitos em série RC e RL em regime de corrente alternada. A metodologia apresenta os materiais e equipamentos utilizados, como: osciloscópio e o gerador de sinais e o procedimento experimental realizado em laboratório. Nos resultados e discussões realizaram-se cálculos específicos para determinação de propriedades do circuito como: tensão eficaz e defasagem, correlacionando com a teoria apresentada. 
Dessa forma procura-se, de maneira geral, uma explanação teórico-prática geral sobre a experimentação realizada, que envolve o estudo da interferência de dispositivos armazenadores de energia, capacitor e indutor, em uma associação em série elétrica. Assim como proporciona a oportunidade de se familiarizar com a utilização de equipamentos de medição eletrônicos, como o osciloscópio, capaz de descrever o comportamento da onda gerada pelo gerador de sinais ao circuito realizado.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
	Um circuito consiste em um número qualquer de elementos unidos por seus terminais, com pelo menos um caminho fechado através do qual a carga possa fluir. Diz-se que um circuito é de primeira ordem quando possui um único elemento armazenador de energia (um capacitor ou um indutor), sendo possível ser descrito por uma equação diferencial de primeira ordem, ordinária, linear e a coeficientes constantes. Apesar de sua simplicidade possui inúmeras aplicações em sistemas de controle, eletrônica e comunicações. (Silva e Pavan, 2015)
De primeira ordem, pois aparece no máximo a primeira derivada da função incógnita;
Ordinária, pois não há derivadas parciais;
Linear, pois não há funções não lineares da incógnita e/ou de suas derivadas; e
A coeficientes constantes, pois consideramos que o resistor e o indutor não variam no tempo.
	Verifica-se que dois elementos estão em série se:
Possuem apenas um terminal em comum;
O ponto comum entre os dois elementos não está conectado a outro elemento percorrido por corrente.
	Um circuito que contém um resistor e um capacitor e um circuito compreendendo um resistor e um indutor, são denominados respectivamente, RC e RL. A análise desses circuitos aplicando as leis de Kirchhoff produz equações diferenciais, essas equações são de primeira ordem e consequentemente os circuitos ficaram conhecidos como circuitos de primeira ordem. (Deaecto, 2012)
Figura X. Circuitos RC e RL
	Considerando um circuito em série com um resistor e um indutor (RL), através da segunda lei de Kirchhoff verifica-se que a soma da queda de tensão no indutor (L di/dt) e da queda de tensão no resistor (iR) é igual a voltagem (E (t)) no circuito. Logo, obtêm-se a equação diferencial linear para a corrente (i (t)). (Deaecto, 2012)
 
 
	L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. Muitas vezes a corrente é chamada de resposta do sistema. 
	Verifica-se que a queda de potencial em um capacitor com capacitância C é dada por q (t)/c, em que q é a carga no capacitor. Constata-se que para um circuito em série RC, a segunda lei de Kirchhoff emite:
 
	Entretanto a corrente i e a carga q estão relacionadas por i = dq/dt, logo, torna-se a equação diferencial linear:
	 
	Pode haver circuitos de primeira ordem com mais de um elemento armazenador de energia, como exemplo um circuito que contém dois capacitores em paralelo é equivalente a um circuito com um único capacitor. Nem todos os circuitos de primeira ordem são descritos por uma equação diferencial desse tipo, no entanto foram considerados apenas circuitos elétricos lineares com parâmetros (R, L, C) constantes e sendo t a única variável independente. (Silva e Pavan, 2015)
Exemplo:
	Um circuito RL tem uma fem de 5 voltes, uma indutância de 1 henry, uma resistência de 80 ohm e não tem corrente inicial. Determinar a corrente no circuito para qualquer instante de tempo t.
Solução:
	A quantidade da corrente i no circuito é:
 
	Sabendo que E= 5 V, L = 1 H, R= 80 Ω, então a equação do circuito será:
	Resolvendo a equação diferencial linear acima, temos:
	Sendo t = 0 e i = 0, então:
	Assim, a corrente em qualquer instante de tempo t, é:
METODOLOGIA
Materiais utilizados 
Parte I
Gerador de sinais
Osciloscópio
Capacitor: C = 0,1μF
Resistor: R1 = 33 KΩ
Placa de circuito
Fonte de alimentação
Parte II
Gerador de sinais
Osciloscópio
Indutor: L = 25 μH
Resistor: R2 = 100 Ω
Placa de circuito
Fonte de alimentação
Procedimento experimental
Parte I – Capacitor
	Montou-se o circuito apresentado no procedimento, com o capacitor e o resisto em série. Em seguida, ajustou-se o gerador para 5VPP, onda senoidal, seguido pelo ajuste da frequência de acordo com a tabela 1, anotando para cada frequência a tensão pico a pico no resistor e no capacitor. Utilizando o mesmo circuito mediu-se os valores de 2a e 2b para os mesmos valores de frequência.
	
Parte II – Indutor
	Procedeu-se da mesma maneira como foi feito na parte I, apenas com a mudança do elemento, sendo, neste caso, o indutor em série com o resistor. Os valores das frequências a serem ajustadas são apresentados na tabela 4.
RESULTADOS E DISCUSSÕES
PARTE I – RESISTOR E CAPACITOR EM SÉRIE
	Montou-se o circuito citado anteriormente com o resistor e o capacitor em série, ajustando o gerador de sinais para 5Vpp com onda senoidal e ajustando a frequência do sinal conforme a tabela 1:
Tabela 1 - Valores Medidos a Tensão Constante
	f (Hz)
	VRpp (V)
	VRef (V)
	VCpp (V)
	VCef (V)
	10
	2,081
	0,7294
	9,761
	3,283
	20
	4,001
	1,366
	8,881
	3,079
	40
	6,361
	2,282
	6,841
	2,455
	60
	7,761
	2,773
	5,921
	2,05
	80
	8,961
	3,141
	5,281
	1,815
	100
	9,601
	3,325
	4,961
	1,639
	Após, a fim de confirmar a teoria que diz que , calculou-se VRef e VCef a partir dos valores de Vpp mostrados no osciloscópio, assim como as porcentagens de diferença entre o valorde cada um mostrado no osciloscópio e o valor calculado.
Tabela 2 - Valores Calculados a Tensão Constante
	f (Hz)
	VRef (V)
	VCef (V)
	∆VRef (%)
	∆VCef (%)
	10
	0,7357
	3,4510
	0,8698
	5,1183
	20
	1,4146
	3,1399
	3,5554
	1,9781
	40
	2,2489
	2,4187
	1,4481
	1,4803
	60
	2,7439
	2,0934
	1,0484
	2,1166
	80
	3,1682
	1,8671
	0,8657
	2,8714
	100
	3,3945
	1,7540
	2,0892
	7,0151
	Notou-se então que os valores de VRef e VCef medidos e calculados são compatíveis, com baixo percentual de diferença, demonstrando então que os valores experimentais batem com o valor calculado para as Tensões. Também foi notado que, conforme a frequência aumenta, maior é o valor de VRef e menor é o valor de VCef, podendo dizer assim que a tensão eficaz no resistor é diretamente proporcional à frequência enquanto que a tensão eficaz no capacitor é inversamente proporcional à mesma.
	Em seguida, mediu-se os valores de 2a e 2b no osciloscópio através da figura de lissajous que o mesmo mostrou e, a partir desses valores encontrados, calculou-se a defasagem entre tensão e corrente no circuito montado, dividindo 2a por 2b e, a partir desse resultado, fez-se arcsen (2a/2b) para o cálculo do ângulo de defasagem no capacitor, obtendo-se a tabela 3 a seguir:
Tabela 3 - Medição de Defasagem a Tensão Constante
	f (Hz)
	2a
	2b
	∆ϴ (°)
	10
	3,6
	4
	64,15806724
	20
	6,4
	7,6
	57,3631025
	40
	4,8
	6,4
	48,59037789
	60
	4,8
	7,8
	37,97987244
	80
	2,4
	4,4
	33,05573115
	100
	2,2
	4,8
	27,27961274
	Observa-se que com o aumento da frequência há a diminuição do ângulo de defasagem no capacitor. Isso acontece devido a impedância de um capacitor diminuir à medida que a sua frequência aumenta. Percebe-se então que a medida do ângulo de defasagem diminui quando a impedância diminui.
Questões
Calcule VRef e VCef preenchendo a tabela 1.
	Calculou-se os valores de tensão eficaz do capacitor e do resistor através da fórmula , encontrando os valores a seguir:
	f (Hz)
	VRpp (V)
	VRef (V)
	VCpp (V)
	VCef (V)
	10
	2,081
	0,7357
	9,761
	3,4510
	20
	4,001
	1,4146
	8,881
	3,1399
	40
	6,361
	2,2489
	6,841
	2,4187
	60
	7,761
	2,7439
	5,921
	2,0934
	80
	8,961
	3,1682
	5,281
	1,8671
	100
	9,601
	3,3945
	4,961
	1,7540
Calcule a defasagem entre tensão e corrente no circuito da figura 1, preenchendo a tabela 3.
	Calculou-se os valores do ângulo de defasagem entre tensão e corrente primeiro através do quociente entre 2a e 2b e depois fazendo um arcsen desse valor, encontrando os valores a seguir:
	f (Hz)
	2a
	2b
	∆ϴ (°)
	10
	3,6
	4
	64,15806724
	20
	6,4
	7,6
	57,3631025
	40
	4,8
	6,4
	48,59037789
	60
	4,8
	7,8
	37,97987244
	80
	2,4
	4,4
	33,05573115
	100
	2,2
	4,8
	27,27961274
Construa o gráfico de defasagem com os valores da tabela 3.
Calcule para a frequência de 400 Hz e amplitude 5 Vpp a tensão no resistor e no capacitor, para o circuito da figura 1. Compare com os valores medidos.
	Reatância Capacitiva:
	Impedância:
	Tensão eficaz da fonte:
	Corrente eficaz:
	Tensão no resistor:
	Tensão no capacitor:
	Nota-se que a tensão no resistor e no capacitor estão de acordo com os valores calculados pois quanto maior a frequência, menor será a tensão no capacitor, e maior será a tensão no resistor, e como 400 Hz é um valor muito maior que a última frequência medida, de 100 Hz e de tensão de 1,745 V para o capacitor e de 3,3945 V para o resistor, esse valor pode diminuir (no caso do capacitor) ao ponto de chegar na tensão calculada para 400 Hz de 0,419 V, e aumentar (no caso do resistor) ao ponto de chegar na tensão calculada de 3,511 V. 
Para o mesmo caso, calcule a defasagem entre tensão e corrente do circuito, comparando com o valor obtido na tabela 2. Esboce o diagrama vetorial.
 	Defasagem:
	
Diagrama vetorial:
V
Ref
 = 1,755 V
ef
 =
V
ef
 = 1,768 V
ef
 =
V
Cef
 = 0,2095 V
ef
 =
ϴ = 7°
Utilizando a ligação ao osciloscópio, conforme o item 4 dos procedimentos, estamos medindo a defasagem entre tensão e corrente do circuito? Por quê?
	Sim. A corrente alternada e a tensão variam em ambos os sentidos durante um determinado intervalo de tempo. Quando o ângulo entre a tensão e corrente é diferente de 0º, ou seja, tensão e corrente estão defasadas, pode ocorrer que a corrente esteja adiantada ou atrasada em relação à tensão. No capacitor existe um adianto da corrente em 90º em relação à tensão e os seus fasores são representados de tal forma que haja um ângulo de 90º entre eles. Por isso medimos a defasagem para saber o ângulo de fase.
PARTE II – RESISTOR E INDUTOR EM SÉRIE
	Montou-se o circuito citado anteriormente com o resistor e o indutor em série, ajustando o gerador de sinais para 5Vpp com onda senoidal e ajustando a frequência do sinal conforme a tabela 4:
Tabela 4 - Valores Medidos a Tensão Constante
	f (kHz)
	VRpp (V)
	VRef (V)
	VLpp (V)
	VLef (V)
	100
	6,721
	2,378
	2,761
	0,955
	200
	6,641
	2,347
	5,481
	1,931
	400
	6,241
	2,217
	7,041
	2,454
	600
	6,161
	2,083
	7,361
	2,509
	800
	5,601
	1,916
	7,601
	2,625
	1000
	5,121
	1,722
	7,761
	2,695
	Após, a fim de confirmar a teoria que diz que , calculou-se VRef e VCef a partir dos valores de Vpp mostrados no osciloscópio, assim como as porcentagens de diferença entre o valor de cada um mostrado no osciloscópio e o valor calculado.
Tabela 5- Valores Calculados a Tensão Constante
	VRef (V)
	VLef (V)
	∆VRef (%)
	∆VLef (%)
	2,376
	0,9762
	0,074
	2,215
	2,348
	1,938
	0,040
	0,3535
	2,206
	2,489
	0,472
	1,441
	2,178
	2,602
	4,572
	3,727
	1,980
	2,687
	3,353
	2,376
	1,810
	2,744
	5,142
	1,815
	Notou-se então que os valores de VRef e VLef medidos e calculados são compatíveis, com baixo percentual de diferença, demonstrando então que os valores experimentais batem com o valor calculado para as tensões. Também foi notado que, conforme a frequência aumenta, menor é o valor de VRef e maior é o valor de VLef, podendo dizer assim que a tensão eficaz no indutor é diretamente proporcional à frequência enquanto que a tensão eficaz no resistor é inversamente proporcional à mesma, nesse caso de indutor e resistor em série.
	Em seguida, mediu-se os valores de 2a e 2b no osciloscópio através da figura de lissajous que o mesmo mostrou e, a partir desses valores encontrados, calculou-se a defasagem entre tensão e corrente no circuito montado, dividindo 2a por 2b e, a partir desse resultado, fez-se arcsen(2a/2b) para o cálculo do ângulo de defasagem no capacitor, obtendo-se a tabela 6 a seguir:
Tabela 6 - Medição de Defasagem a Tensão Constante
	f (kHz)
	2a
	2b
	∆ϴ (°)
	100
	1
	7,2
	7,983556146
	200
	2
	6,8
	17,10463518
	400
	3,2
	6,4
	30
	600
	4
	5,8
	43,60281897
	800
	4
	5,4
	47,7945536
	1000
	4
	4,8
	56,44269024
 	Observa-se que com o aumento da frequência há o aumento do ângulo de defasagem no indutor. Isso acontece devido a impedância de um capacitor aumentar à medida que a sua frequência aumenta. Percebe-se então que a medida do ângulo de defasagem aumenta quando a impedância aumenta.
Questões
Calcule VRef e VLef preenchendo a tabela 4.
	f (kHz)
	VRpp (V)
	VRef (V)
	VLpp (V)
	VLef (V)
	100
	6,721
	2,376
	2,761
	0,9762
	200
	6,641
	2,348
	5,481
	1,938
	400
	6,241
	2,206
	7,041
	2,489
	600
	6,161
	2,178
	7,361
	2,602
	800
	5,601
	1,980
	7,601
	2,687
	1000
	5,121
	1,810
	7,761
	2,744
Calcule a defasagem entre tensão e corrente no circuito da figura 3, preenchendo a tabela 6.
	f (kHz)
	2a
	2b
	∆ϴ (°)
	100
	1
	7,2
	7,983556146
	200
	2
	6,8
	17,10463518
	400
	3,2
	6,4
	30
	600
	4
	5,8
	43,60281897
	800
	4
	5,4
	47,7945536
	1000
	4
	4,8
	56,44269024
Construa o gráfico de defasagem com os valores da tabela 6.
Calculepara a frequência de 60kHz e amplitude 5 Vpp a tensão no resistor e no indutor, para o circuito da figura 3. Compare com os valores medidos.
	Reatância Indutiva:
	
	
	Impedância:
	Tensão eficaz da fonte:
	Corrente eficaz:
	Tensão no resistor:
	Tensão no indutor:
	Nota-se que a tensão no resistor e no indutor estão de acordo com os valores calculados pois quanto maior a frequência, maior será a tensão no capacitor, e menor será a tensão no resistor, e como 60 kHz é um valor abaixo da menor frequência medida, de 100 kHz e de tensão de 0,9762 V para o capacitor e de 2,376 V para o resistor, esse valor pode diminuir (no caso do indutor) ao ponto de chegar na tensão calculada para 60 kHz de 0,332 V, e aumentar (no caso do resistor) ao ponto de chegar na tensão calculada de 3,511 V.
Para o mesmo caso, calcule a defasagem entre tensão e corrente do circuito comparando com o valor obtido na tabela 4. Esboce o diagrama vetorial.
	Ângulo de defasagem:
	
	Diagrama vetorial:
V
ef
 = 1,768 V
ef
 =
ϴ = 7°
V
Cef
 = 0,166 V
ef
 =
V
Ref
 = 1,76 V
ef
 =
Utilizando a ligação ao osciloscópio, conforme o item 4 dos procedimentos, estamos medindo a defasagem entre tensão e corrente do circuito? Por quê?
	Sim. A corrente alternada e a tensão variam em ambos os sentidos durante um determinado intervalo de tempo. Quando o ângulo entre a tensão e corrente é diferente de 0º, ou seja, tensão e corrente estão defasadas, pode ocorrer que a corrente esteja adiantada ou atrasada em relação à tensão. No indutor existe um adianto da corrente em 90º em relação à tensão e os seus fasores são representados de tal forma que haja um ângulo de 90º entre eles. Por isso medimos a defasagem para saber o ângulo de fase. 
CONCLUSÃO
	A partir da realização do experimento foi possível analisar e compreender o funcionamento de circuitos resistivos e suas características, especificamente para duas situações: a primeira, em que os elementos resistor e condutor estão em série, e a segunda, em que se tem o resistor e indutor em série.
	Na primeira parte, os valores da tensão eficaz medidos para o resistor e capacitor foram compatíveis com os calculados, além disso analisou-se o efeito na alteração da frequência para estes dois valores, concluindo que a tensão eficaz no resistor é diretamente proporcional à frequência enquanto aquela no capacitor é inversamente proporcional. Viu-se também que com o aumento da frequência há a diminuição do ângulo de defasagem no capacitor, devido a sua impedância diminuir. 
	Na segunda parte, os valores medidos da tensão eficaz para o resistor e capacitor também foram compatíveis com os calculados, com baixo percentual de diferença; foi observado também que a tensão eficaz no indutor é diretamente proporcional à frequência, enquanto que a tensão eficaz no resistor é inversamente proporcional. Observa-se ainda, que com o aumento da frequência há o aumento do ângulo de defasagem no indutor, devido a impedância do indutor aumentar conforme a frequência aumenta. 
	Desta forma, o experimento apresentou-se de grande relevância, possibilitando verificar na prática o impacto dos elementos armazenadores de energia em regime de corrente alternada na configuração em série.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
SILVA, Magno. T. M.; PAVAN, Flávio, R. M. Circuitos de Primeira Ordem, 2015.
DEAECTO, Grace. S. Eletricidade Aplicada. UNIFESP, 2012.
GUSSOW, Milton. Eletricidade básica. 2ª ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1997.