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GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO 
SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO 
CAMPUS UNIVERSITÁRIO “DEP. EST. RENE BARBOUR” 
CURSO. DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
AGROINDUSTRIAL 
 
 
 
 
 
DAYANE INGRID FERREIRA DE MORAES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATRIZ DEFINIÇÃO, SUAS PROPRIEDADES E 
APLICAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BARRA DO BUGRES-MT 
2017 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Desde os primórdios a Matemática é uma ciência muito antiga, sempre esteve 
presente no dia-a-dia das pessoas. Estudamos Matemática desde os primeiros anos 
escolares, ao mesmo tempo em que dizemos que esta disciplina é muito importante em 
nossas vidas, devido a sua aplicabilidade, não mostramos muitas vezes suas aplicações. 
Por este motivo será apresentado definições sobre matrizes, suas aplicações e 
propriedades, onde seu principal objetivo seria mostrar algumas aplicações de um 
determinado conteúdo matemático a própria Matrizes e as suas propriedades pois é um 
dos assuntos que não conhecemos suas aplicações. Os estudos sobre métodos de 
resolução ou discussão de um sistema de equações levaram os matemáticos a criar um 
novo ente – a matriz -, que a curiosidade humana passou a explorar. Com as matrizes, 
surge um novo universo matemático. Agora não operamos apenas com números reais, 
mas também com matrizes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATRIZ 
 
Definição: Uma matriz A é um agrupamento retangular de elementos dispostos 
em linhas (horizontais) e colunas (verticais), geralmente entre colchetes ou parênteses. 
Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos ou até mesmo 
expressões algébricas, e são chamados de entradas da matriz. 
 
 
Uma matriz é real se os seus elementos são números reais ou expressões que 
assumem valores reais. Neste trabalho vamos trabalhar apenas com matrizes reais Uma 
matriz A com m linhas e n colunas pode ser escrita da seguinte forma: 
 
DEFINIÇÃO: MATRIZ COLUNA 
Dizemos que A é uma matriz coluna quando A for de ordem m x 1. Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO: MATRIZ QUADRADA 
 
Seja A uma matriz m x n. Sem n, A é uma matriz quadrada. Ou seja, uma matriz 
quadrada é uma matriz que tem o mesmo número de linhas e de colunas. 
 Os números a11, a22..., ann formam a diagonal principal de A. 
 
DEFINIÇÃO: MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR E MATRIZ TRIANGULAR 
INFERIOR 
Uma matriz quadrada A = [aij] é dita triangular superior se aij= O quando i > j, ou seja, 
os elementos abaixo da diagonal principal são todos nulos. 
Exemplo: 
 
Podemos também afirmar simplesmente que A é triangular se A for triangular superior 
ou inferior. Deve ser observado que urna matriz triangular pode ter zeros na diagonal. 
 
DEFINIÇÃO: MATRIZ DIAGONAL 
 
Uma matriz quadrada A = [ay] em que todos os elementos fora da diagonal principal 
são nulos, isto é, aij = 0 para i diferente de j, é denominada matriz diagonal. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
MATRIZES ESPECIAIS 
 
Definição: Matriz Identidade 
 Uma matriz de ordem n, A = [aij] em que todos os elementos fora da diagonal principal 
são nulos e os elementos da diagonal são todos iguais a urn, isto é, aij = 0 para i 
diferente de j= 1 para i =j, é denominada matriz identidade. 
 Notação: l ou In. 
Exemplo: 
 
 
Definição: Matriz Nula 
 
 Seja A = [ali] uma matriz de ordem m x n. A é uma matriz nula se todos os seus 
elementos nulos, isto é, se aij= 0, para i =1,... m e j=1,... n. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALGUMAS PROPRIEDADES DE MATRIZ 
 
Adição de Matrizes 
A soma de duas matrizes A e B do tipo m x n é uma matriz C do mesmo tipo, em que 
cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B. O número de colunas 
da matriz A (1° fator) deve ser, obrigatoriamente, igual ao número de linhas da matriz B 
(2° fator), para que o produto exista. 
 
O produto C tem m linhas e p colunas. 
Propriedades da multiplicação de matrizes 
Sejam A, B e C matrizes conformes para a multiplicação e adição. O produto C tem m 
linhas e p colunas. 
Propriedades da multiplicação de matrizes 
Sejam A, B e C matrizes conformes para a multiplicação e adição. 
 
1a. Propriedade – associativa: ABC = (AB)C = A(BC) 
2a Propriedade – distributiva: A(B + C) = AB + AC 
3a. Propriedade – iguais 
4a. Propriedade – elemento neutro – matriz identidade (ou unidade de ordem n) 
5a. Propriedade – anticomutativa – De um modo geral, AB ^ BA. Há casos especiais, 
que estudaremos, em que AB = BA. Nesse caso, dizemos que A e B comutam. 
6a. Propriedade – O produto de duas matrizes não-nulas poderá ser uma matriz nula 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROPRIEDADES DA SOMA 
 
Na tabela abaixo, A, B e C são matrizes de dimensões iguais. 
 
Propriedade Exemplo 
Propriedade 
comutativa da adição 
{A}+{B}={B}+{A}A+B=B+A 
Propriedade 
associativa da adição 
{A}+({B}+{C})=({A}+{B})+{C}A+(B+C)=(A+B)+CA, 
Propriedade do 
elemento neutro da 
adição 
Para qualquer matriz A, existe uma única matriz O de tal 
modo A+O=A 
Propriedade da 
inversa aditiva 
Para cada A, existe uma única matriz O , A de tal 
modo A+O=AA+O=A 
Propriedade do 
fechamento da adição 
A+B é uma matriz de mesma dimensão de A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES DE MULTIPLICAÇÃO ESCALAR DE MATRIZE 
Na tabela abaixo, Ae B são matrizes de dimensões iguais, c e d são escalares, e O é a 
matriz nula. 
Propriedade Exemplo 
Propriedade associativa da 
multiplicação 
(cd)A=c(dA)(cd)A=c(dA) 
Propriedades distributivas c(A+B)=cA+cBc(A+B)=cA+cB, 
 (c+d)A=cA+dA(c+d)A=cA+Da 
Propriedade da identidade 
multiplicativa 
1 A=A1A=A1 
Propriedades multiplicativas de zero 0⋅A=0 
Propriedade de fechamento da 
multiplicação 
cA, é uma matriz de mesmas dimensões 
que A. 
 
FIXAÇÃO DE MATRIZES E MULTIPLICAÇÃO ESCALAR 
Uma matriz é um arranjo retangular de números em linhas e colunas. 
Quando trabalhamos matrizes, chamamos os números reais de escalares. 
O termo multiplicação escalar refere-se ao produto de um número real com uma 
matriz. Em multiplicações escalares, cada elemento da matriz é multiplicado pelo 
escalar determinado. 
 
 
 
 
 
 
 
ADIÇÃO DE MATRIZES E ADIÇÃO DE NÚMEROS REAIS 
 
Como a adição de matrizes se apoia muito na adição de números reais, muitas das 
propriedades da adição que sabemos serem verdadeiras para números reais, também o 
são para matrizes. 
Vamos analisar cada propriedade individualmente. 
 
PROPRIEDADE COMUTATIVA DA ADIÇÃO: 
 A+B=B+A+B=B+A, 
Esta propriedade afirma que você pode somar duas matrizes em qualquer ordem e obter 
o mesmo resultado. 
Isto se equipara à propriedade comutativa da adição para números reais. Por 
exemplo, 3+5=5+33+5=5+33. 
O exemplo a seguir ilustra essa propriedade das matrizes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADE ASSOCIATIVA DA ADIÇÃO: 
 (A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C) 
Essa propriedade afirma que você pode alterar o agrupamento em uma adição de 
matrizes e obter o mesmo resultado. Por exemplo, você pode somar a matriz AAA à 
matriz B primeira, e depois somar a matriz C, ou, você podesomar a matriz B à 
matriz C, e então somar esse resultado à matriz A. 
Esta propriedade se equipara à propriedade associativa da adição para números reais. 
Por exemplo, (2+3)+5=2+(3+5)(2+3)+5=2+(3+5) Vamos legitimar essa propriedade das 
matrizes com um exemplo. 
 
 
Em cada coluna simplificamos um lado da identidade em uma única matriz. As duas 
matrizes resultantes são equivalentes graças à propriedade associativa da adição de 
números reais. Por exemplo, 
(5+3)+1=5+(3+1) 
Devido a essa propriedade, podemos escrever uma expressão como A+B+C, C e tê-la 
completamente definida. Não precisamos de parênteses para indicar qual adição calcular 
primeiro, já que isso não importa. 
 
 
 
 
PROPRIEDADE DO ELEMENTO NEUTRO DA ADIÇÃO: 
 A+O=A 
Uma matriz nula, denominada O, é uma matriz em que todos os elementos são iguais 
a 0. 
Observe que, quando uma matriz nula é somada a qualquer matriz A, o resultado é 
sempre A. 
 
Esses exemplos ilustram o significado da propriedade do elemento neutro; o de que a 
soma de qualquer matriz A à matriz nula apropriada é a matriz A. 
A matriz nula pode ser comparada ao número zero do conjunto dos números reais. Para 
todos os números reais a, sabemos que a +0=a O número 0 é o elemento neutro do 
conjunto dos números reais, assim como O é o elemento neutro das matrizes. 
 
 PROPRIEDADE DA INVERSA ADITIVA: 
 
A+(-A)=O 
A oposta de uma matriz A é a matriz -A, em que cada elemento nessa matriz é 
o oposto do elemento correspondente na matriz A, Por exemplo, se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se somarmos A a -A, obteremos uma matriz nula, o que demonstra a propriedade da 
inversa aditiva. 
 
 
 
 
A soma de um número real e seu oposto é sempre 0, então a soma de qualquer matriz e 
sua oposta resulta em uma matriz nula. Em decorrência disso, nos referimos a matrizes 
opostas como inversas aditivas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALGUMAS APLICAÇÕES DE MATRIZ NO DIA-A-DIA 
 
 
Serão apresentadas algumas aplicações simples de matrizes Matrizes que são 
amplamente utilizadas em muitas áreas, como Economia, Física, Engenharia, Biologia, 
entre outras. Porém existem dois problemas que dificultam trabalhar com aplicações de 
matrizes, pois para modelar certos problemas é necessário um maior conhecimento 
matemático e mesmo nos problemas que silo fáceis de modelar, suas soluções na maior 
pane das vezes exige conhecimento de teorias mais sofisticadas sobre matrizes. 
A construção de uma tabela onde são apresentados os resultados do 
aproveitamento escolar de 4 turmas diferentes pode ser apresentada em uma tabela, com 
as respectivas disciplinas e o aproveitamento de cada turma por disciplina, como no 
exemplo do esquema a seguir: 
 
Matemática Português Engenharia Geografia 
Turma A 8 9 8 9 
Turma B 7 5 6 6 
Turma C 8 7 7 7 
Turma D 7 8 8 9 
 
A identificação de uma determinada nota procurada pode ser feita da seguinte 
maneira: Quando quisermos saber o aproveitamento da turma C em engenharia de 
produção, por exemplo, basta nos orientarmos na linha da turma C e na coluna onde 
estão as notas de engenharia, logo encontramos a nota 7. 
Agora repetindo a coluna apenas considerando os números dispostos em linhas e 
colunas como na tabela anterior, porém colocados entre parênteses ou colchetes, veja: 
 
Em tabelas dispostas como essa, os números são chamados de elementos. As 
colunas são enumeradas da esquerda para a direita e as linhas de cima para baixo. Esse 
tipo de tabela disposta com linhas e colunas é classificado da seguinte forma mxn, onde 
 
 
m são as linhas e n as colunas com m e n diferentes de 0;essa tabela é chamada 
de matriz. 
Representamos geralmente uma matriz por letras maiúsculas e seus respectivos 
elementos por letras minúsculas que são os índices já apresentados, linha e colunas 
(mxn). 
As matrizes nos ajudam bastante em vários direcionamentos de assuntos e 
estudos que fazemos no dia a dia, as aplicações dessas "tabelas" nos auxiliam, por 
exemplo, no ensino da matemática aplicada à informática. As usuais transformações de 
tabelas que usamos como instrumento de estudo das matrizes podem ser feitas através 
de estudos realizados nos campos da economia, engenharia, matemática, física, 
informática. 
Na informática temos os exemplos clássicos de matrizes, em programas onde 
elas aparecem no auxilio dos cálculos matemáticos, editores de imagem, o próprio 
teclado onde sua configuração é realizada por um sistema de matrizes, entre outros 
tantos. 
Na economia, por exemplo, as matrizes auxiliam como grande ferramenta na 
interpretação de gráficos que também podem ser originados de tabelas que usamos as 
matrizes. Junto com a economia temos as organizações comerciais que fazem uso da 
tabela, ou seja, trabalham com matrizes. 
Engenheiros civis fazem constantemente o uso das matrizes, que são de extrema 
importância para a divisão dos metros e distribuição de material na construção de uma 
estrutura de sustentação (lajes). Na Física é feito o uso das matrizes a partir de tabelas 
relacionando o deslocamento e o tempo. Entre tantos outros exemplos, esse é o uso da 
matemática no dia a dia relacionando ao estudo de matrizes. 
 
MATRIZES E CRIPTOGRAFIA 
 
 Descrevemos abaixo um método bastante simples, para codificar e decodificar 
mensagens, que envolve apenas um par de matrizes de ordem n, A e A-1 , cujos 
elementos devem ser números inteiros_ Primeiramente ilustraremos o método utilizando 
uma matriz A e a sua inversa A-1. 
A matriz A é apropriada, pois seus elementos são números inteiros, assim como 
os da matriz A-1. O remetente vai usar a matriz A para codificar a mensagem, e o 
destinatário vai usar a matriz A para decodifica-la. O objetivo deste método é que a 
 
 
mensagem seja codificada utilizando pares de caracteres, de modo que tabelas de 
frequência de letras e alternativas não ajudem em nada a um decodificador não 
amigável. Dada uma mensagem para ser codificado, o primeiro passo será convertê-la 
da forma alfabética para a forma numérica. Para isso usamos a seguinte correspondência 
entre letras e números: 
 
 
MATRIZES E MODELOS POPULACIONAIS 
 
A Algebra Matricial é um instrumento importante para a análise do crescimento 
populacional. Uma dada população de indivíduos pode ser subdividida em grupos 
etários ou raças diferentes, e assim buscaremos determinar como a população se 
modifica ano a ano. Ocaso mais simples é o da população homogénea, com inicio no 
tempo t = 0, com Po indivíduos crescendo ou decrescendo a uma taxa anual constante. 
 
CADEIAS DE MARKOV 
Descrevemos aqui um modelo geral de um sistema que, em cada instante, está ern 
apenas um entre um número finito de estado. Ern seguida aplicamos o modelo a vários 
problemas concretos. Suponha que um sistema físico ou matemático está sofrendo 
mudanças tais que a cada momento ele pode ocupar um dentre um número finitos de 
estados. 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO 
 
 
Muitas vezes, para designar com clareza certas situações, é necessário formar 
um grupo ordenado de números que se apresentam dispostos em linhas e colunas numa 
tabela. Em Matemática, essas tabelas são chamadas de matrizes. Com o surgimento da 
computação e a crescente necessidade de guardar muita informação, as matrizes 
adquiriram uma grande importância. Para termos uma ideia dessa importância, basta 
saber que o que vemos na tela do computador é uma enorme matriz e cada valor 
guardado nas linhas e colunas da matriz representa um ponto coloridomostrado na tela . 
A importância não se situa somente ai, em aplicação de bancos de dados, tão 
importantes na organização de qualquer empresa ou residência, são largamente 
utilizadas. Quando você preenche um cadastro em uma página da internet, seus dados 
vão imediatamente para um banco de dados, que nada mais é do que uma matriz que 
relaciona as informações, suas e de todos os outros cadastrados, às respectivas pessoas 
de forma coerente e recuperável, então concluo que é de grande importância o estudo 
quanto esse grupo de ordenadas que tanto vemos por ai. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
Disponível em:< https://www.resumoescolar.com.br/matematica/matrizes-definicao-
caracteristicas-e-propriedades/>Acesso em 28 Julho 2017 
 
Disponível 
em:<https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96804/Cristini_Kuerten.PD
F?sequ/>Acesso em 28 Julho 2017 
 
Disponível em:< https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-
matrices/properties-of-matrix-addition-and-scalar-multiplication/a/properties-of-matrix-
scalar-multiplication>Acesso em 29 Julho 2017 
 
Disponível em:<https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-
matrices/properties-of-matrix-addition-and-scalar-multiplication/a/properties-of-matrix-
addition>Acesso em 29 Julho 2017 
 
Disponível em:<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/matriz-
determinantes.htm>Acesso em 29 Julhos 2017 
 
Disponível em:<http://www.infoescola.com/matematica/matrizes-no-dia-a-dia/>Acesso 
em 01 Agosto 2017