Apos_fernando_matriz_1

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MATERIAL DE APOIO PARA UNIVERSITÁRIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. MS FERNANDO TOSINI 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 RESUMO DA UNIDADE 
 
 
Nesta unidade, abordaremos um assunto importante da Álgebra Linear chamado 
de matrizes. Primeiramente, apresentamos a importância, aplicabilidade e um pouco da 
historicidade do surgimento das matrizes. Na sequência, definiremos o que é uma matriz 
e alguns dos diferentes tipos especiais de matrizes que são utilizadas comumente dentro 
das ciências. Logo após, apresentaremos as três operações básicas entre matrizes, 
definidas como soma de matrizes, produto de um escalar por uma matriz e produto entre 
matrizes. 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Capitulo 1 
 
ESTUDO DE MATRIZES 
 
 
 Porque estudar matrizes? 
 Porque é comum no dia-dia nos depararmos com conjunto de números que são 
operados especificamente da mesma maneira. Isto sugere tratá-los, em bloco, de forma 
única. Esta forma de tratamento é possível através do uso de elementos matemáticos 
chamados Matrizes. 
As matrizes são usadas fartamente em diferentes áreas da Matemática, Física, 
Engenharia, Computação. Por exemplo, dentro da Matemática são usadas em larga 
escala nas disciplinas de Álgebra Linear e Análise Numérica na resolução de sistemas 
de equações lineares e não lineares, enquanto na Física se apresentam em meios aos 
conteúdos relacionados Mecânica Clássica, Quântica e Relativística. Já nas engenharias, 
são usadas para determinar a solução de muitas aplicações práticas, como por exemplo, 
na área da Engenharia Química ou de Alimentos, são usadas dentro das disciplinas de 
Mecânica dos Fluidos ou Fenômenos de Transporte, para representar a matriz tensorial 
dentro de um campo de distribuição de velocidade ou pressão. Na Engenharia Elétrica é 
usada dentro da disciplina de Circuitos Elétricos, para representar as matrizes de 
resistências, das tensões e das correntes de um circuito, obtidas a partir da aplicação da 
lei de Ohm, da lei das Tensões de Kirchhoff e a Lei das malhas. Na área da Engenharia 
Mecânica, são utilizadas para determinar a frequência natural do eixo traseiro de um 
automóvel, por envolver grande número de variáveis a serem testadas e analisadas, 
assim, faz-se necessária a utilização de métodos numéricos simples e precisos, como, o 
Método das Matrizes de Transferência. Por sua vez, o projeto de uma estrutura 
composta por vigas metálicas dentro da Engenharia Civil, exige a resolução de um 
sistema de equações lineares, no qual o número de equações e variáveis cresce à medida 
que se torna mais complexa a estrutura. A forma matricial do sistema é, então, utilizada, 
analisando-se a singularidade da matriz dos coeficientes do sistema e a matriz coluna 
das forças externas, para se encontrar a matriz coluna das forças que atuam sobre as 
4 
 
 
vigas. O Método dos Elementos Finitos, que tem grande aplicação em problemas de 
Engenharia, particularmente em problemas de Engenharia Civil e Mecânica, utiliza-se 
de sistemas lineares que envolvem grande número de variáveis, os quais são resolvidos 
computacionalmente, trabalhando-se com as matrizes dos sistemas. Também em outras 
áreas, como, a Ciência da Computação por exemplo, na disciplina de Pesquisa 
Operacional, a teoria das matrizes e os sistemas lineares são largamente utilizados. 
 
 
 
 CONTEXTO HISTÓRICO 
 
 A referência mais antiga a matrizes, se deu aproximadamente no ano 2500 a.C, 
no livro chinês Chui-Chang Suan-Chu (Nove capítulos sobre a arte da matemática). Este 
livro apresentava problemas sobre a mensuração de terras, cálculos referentes a 
agricultura e cobrança de impostos. Os problemas eram resolvidos com cálculos 
efetuados sobre tabelas, tais como efetuamos hoje com as matrizes. 
 Historicamente, as matrizes surgiram em meados do século XIX, onde sua 
importância foi detectada e saíram da sombra dos determinantes. 
O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Augustin-Louis Cauchy, por 
volta de 1826, que as chamava de tableau (tabelas). Mas, o nome “matriz” só veio com 
James Joseph Sylvester (1814-1897), em 1850. Sylvester ainda via as matrizes como 
mero ingrediente dos determinantes. Somente com Arthur Cayley, elas passaram a ter 
vida própria e, gradativamente, começaram a suplantar os determinantes em 
importância. Cayley (1821-1895) foi um dos pioneiros no estudo das matrizes e, por 
volta de 1850, divulgou esse nome e passou a demonstrar sua aplicação. As matrizes, 
inicialmente, eram aplicadas quase que exclusivamente na resolução de sistemas 
lineares e apenas há pouco mais de 150 anos tiveram sua importância detectada. No 
entanto, o primeiro uso implícito da noção de matriz se deve a Joseph Louis Lagrange 
(1736-1813), em 1790. 
 
 
 
 
5 
 
 
 CONCEITO DE MATRIZES 
 
As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da 
ciência e da engenharia para organizar ou representar dados numéricos. Pensemos, por 
exemplo, em como um professor preenche uma planilha que apresenta as medidas 
referente ao peso, a idade e a altura de uma turma de 5 alunos: 
 
Nome Peso (kg) Idade (anos) Altura (m) 
Ricardo 70 23 1,70 
José 60 42 1,60 
João 55 21 1,65 
Pedro 50 18 1,72 
Augusto 66 30 1,68 
 
Lendo as informações, por linha, vemos que na primeira linha estão dispostas as 
medidas referentes ao peso, a idade e altura do aluno Ricardo; na segunda, medidas do 
aluno José, e seguindo assim até o último aluno. Acessando às informações por coluna, 
podemos achar, na primeira coluna, os pesos em kg dos 5 alunos da turma; na segunda 
coluna, as idades em anos, e na terceira e última as alturas em metros. Se nós 
restringimos só aos valores numéricos da tabela acima, eles podem ser escritos da 
seguinte maneira: 
70 23 1,70
60 42 1,60
55 21 1,65
50 18 1,72
66 30 1,68
 
 
 
 
 
 
 
 
 ou 
70 23 1,70
60 42 1,60
55 21 1,65
50 18 1,72
66 30 1,68
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando os dados estão ordenados na forma acima é dito que eles estão 
ordenados em forma de matriz ou, ainda, que eles formam uma matriz, e cada valor 
numérico que compõe esses dados é chamado elemento da matriz. No caso da planilha 
de medidas de nosso exemplo, vemos que se trata de uma matriz de 5 linhas e 3 colunas 
ou, expresso de uma maneira mais compacta, uma matriz de 5 x 3 (lê-se: cinco por três). 
Note que, sempre escrevemos matriz de “número de linhas x número de 
colunas” e representamos seus elementos entre parênteses, ou entre colchetes, ou duas 
barras. 
 
6 
 
 
Exemplos: 
a) 





8
1
6
3
7
2
, representa uma matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas) 
b) 
2 5
4 3
1 1 5
0 2
i
i
−
−
−
 , representa uma matriz do tipo 4 x 2 (4 linhas e 2 colunas) 
c) 
1 3 3
0 2 4
4 5 0
− − 
 
 
 − 
, representa uma matriz do tipo 3 x 3 (3 linhas e 3 colunas) 
d) ( )314 , representa uma matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas) 
e) 
5
3
0,4
, representa uma matriz do tipo 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna) 
 
 DEFINIÇÃO GERAL DE MATRIZES 
 
As Matrizes são tabelas retangulares formadas por m ∙ n elementos dispostos em 
m linhas e n colunas, onde seus elementos são representados por letras minúsculas e a 
matriz de elementos por letras maiúsculas. 
 
 Representação Algébrica ou Genérica de uma matriz 
 
Em geral, uma matriz com m linhas e n coluna, é representada na seguinte 
forma: 
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
, com e
n
n
m n n
m m m mn
a a a a
a a a a
A a a a a m n
a a a a


 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
Essa matriz pode ser representada de forma abreviada, ou compacta por: 
 
( )ij m nA a = 
7 
 
 
 Onde, os índices, i, representa a posição do elemento nas linhas, i ϵ {1, 2, 3, 4,..., m}, e j, a posição nas colunas, j ϵ {1, 2, 3, 4, ..., n}. Como exemplo, consideremos o 
elemento a42 = 18 (lê-se: a quatro dois é igual a dezoito), da tabela a cima. Através da 
posição, referente a quarta linha (i = 4) e segunda coluna (j = 2), este elemento nos traz 
a informação de que o aluno Pedro tem 18 anos. 
Exemplos: Achar os elementos das matrizes, referente a condição dada: 
a) 4 2( )ijA a = , definida por 
( )
( )
( )
1
1
1
i
i j
ij
j
, se i j
a , se i j
, se i j
+
 − 


= − =

− 

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 2 2( )ijB b = , definida por
(3 )
 , se 
2
( )
cos , se 
3
ij
π i j
sen i j
b =
π i j
i j
 − 
  
  

+     
. 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
Atividades 
 
1) Achar os elementos das matrizes, referente a condição dada: 
 a) 3 3( )ijA a = , em que 
2 2
ija i j= + . b) 3 3( )ijB b = , definida por 
( )1 ,
0 ,
i+ j
ij
se i j
b
se i = j
 − 
= 

. 
c) 4 2( )ijC c = , em que ij
i+ j , se i j
c =
i j , se i > j


−
. d) 4 3( )ijD d = , definida por 
2 2
3
1
2
ij
i j , se i j
d , se i j
i j , se i j
 + 

= =

− 
. 
 Respostas: a) 
2 5 10
5 8 13
10 13 18
A
 
 
=
 
  
 b) 
0 1 1
1 0 1
1 1 0
B
− 
 
= − −
 
 − 
 
 c) 
2 3
1 4
2 1
3 2
C
 
 
 =
 
 
 
 d) 
1 5 10
6 1 13
25 23 1
62 60 58
D
 
 
 =
 
 
 
 
2) Escreva os elementos da matriz 3 3( )ijC c = , definida por 
2 2
( )
1
j
ij
i j , se i j
c i , se i j
tg , se i j
i


 + 

= − =

   
 + 
. 
 Resposta: 
1 5 10
3 4 13
1 1 27
C
 −
 
=  
 
−  
 
3) Observando o quadrado, com lado medindo 1, da figura, construa 
uma matriz de ordem 4, tal que ija é a distância entre os vértices i e j. 
 Resposta: 
0 1 2 1
1 0 1 2
2 1 0 1
1 2 1 0
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Uma rede é composta por cinco lojas, numeradas de 1 a 5. 
A tabela ao lado representa o faturamento, em reais, de cada 
loja nos quatro primeiros dias de janeiro: 
 
a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2? R: 2800 
 
b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3? R: 10580 
 
c) Qual o faturamento da loja 1 nos 4 dias? R: 7730 
9 
 
 
 MATRIZES ESPECIAIS 
 
Existem matrizes que, por apresentarem características notáveis, recebem nome 
especial. Vejamos alguns tipos de matrizes. 
 
 Matriz Linha 
 
 Uma matriz que possui apenas uma linha, ou seja, uma matriz de ordem 1 n , 
representada por: 
 ( )1 11 12 13 1n nA a a a a = 
 
 Exemplos: 
 
 1 1 (23)A = 1 5 [ 1 0 4 7 2]B  = − 
 
 
 Matriz Coluna 
 
 Uma matriz que possui apenas uma coluna, ou seja, uma matriz de ordem 1m , 
representada por: 
 
11
21
1 31
1
m
m
a
a
A a
a

 
 
 
 =
 
 
 
 
 
 
 Exemplos: 
 1 1 (23)A = 5 1
1
1
1
1
1
B 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
 
 Nota: Em geral, uma matriz coluna também é denominada vetor coluna e uma matriz 
linha também é denominada vetor linha. 
10 
 
 
 Matriz Real 
 
Uma matriz m nA  é dita real, quando todos os seus elementos são números reais, 
ou seja, , {1,2,..., } e {1,2,..., }ija i m j n  =  = . 
Exemplos: 
2 4 2
1 3 ln(2) 1/ 6
0 4,333 0.7
A
e

 −
=  
 − 
 
3
4 4
1,2
10 36 tan(60 ) / 2
7 / 3 log(5) 2,5555 13
cos( ) 0 1/ 3 0.4
100 2 1
B
e



 −
 
 −
=  
− 
 
 
 
 
 Matriz Complexa 
 
Uma matriz m nA  é dita complexa, quando apresenta pelo menos um número 
complexo em seus elementos, ou seja, algum , {1,2,..., } e {1,2,..., }ija i m j n  =  = . 
 Exemplos: 
 
 6 4
5 10 3
2 / 3 4 3 5 1
0 2 2
2 6 5 7
1/ 5 2 3 2 0.3 3
6 12 0 1/ 2
i
i
i i
A
i i i
i i
i

 − −
 
− − − 
 +
 =
− − 
 
+ − 
 − 
 1 1 1 5B i = − 
 
 
 Matriz Conjugada 
 
Dada uma matriz complexa m nA  de elementos ija , definimos a matriz conjugada 
da matriz m nA  (que denotamos por m nA  ) tal que ( ) , {1,..., } e {1,..., }m n ij
ij
A a i m j n =  = = . 
Essa matriz, é obtida fazendo a troca sinal da parte imaginária dos elementos 
complexos. Considerando os exemplos da definição anterior, temos, as seguintes 
matrizes conjugadas. 
 
Exemplos: 
11 
 
 
6 4
5 10 3
2 / 3 4 3 5 1
0 2 2
2 6 5 7
1/ 5 2 3 2 0.3 3
6 12 0 1/ 2
i
i
i i
A
i i i
i i
i

 −
 
− − − − 
 − −
 =
− − − + 
 
− 
 
 
 1 1 1 5B i = + 
 
 Matriz Quadrada 
 
Dizemos que uma matriz ( )ij m nA a = é quadrada se m = n, isto é, se possui o 
número de linhas é igual ao número de colunas. Neste caso, dizemos simplesmente que 
A é uma matriz de ordem n. 
Genericamente: 
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
, com 
n
n
n n n
n n n nn
a a a a
a a a a
A a a a a n
a a a a


 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
I) Os elementos de uma matriz quadrada, em que (i = j), formam uma 
diagonal denominada diagonal principal. A outra diagonal é chamada 
diagonal secundária (i + j = m + 1). Assim, na matriz genérica a cima os 
elementos 11 22 33, , , , nna a a a , constituem a diagonal principal e os 
elementos 1 1, ,n na a , constituem a diagonal secundária. 
II) O traço de uma matriz quadrada A de ordem n, que denotamos por tr( )A , é 
a soma dos elementos da diagonal principal, isto é: 
 
11 22 33
1
tr( )
n
nn ii
i
A a a a a a
=
= + + + + = 
 
 Exemplos: 3 3
4 2 5
3 2 4 10 2
0 1 3 3
i i i
A i i i
i i

− + 
 
= + + + 
 + − 
 4 4
1 34 14 3
0 2 30 9
0 2 5 23
100 19 7 3
M 
− 
 
 =
 −
 
− 
 
12 
 
 
 Nota: As matrizes 1
0 1
1 0

 
=  
 
 , 2
0
0
i
i

− 
=  
 
e 3
1 0
0 1

 
=  
− 
 são conhecidas como 
Matrizes de Pauli. Elas são três matrizes quadradas de ordem 2. São utilizadas em 
Mecânica Quântica Relativística e são muito importantes na descrição de algumas 
partículas elementares como o elétron e a sua antipartícula, o pósitron. 
 
 Matriz Diagonal 
 
É uma matriz quadrada, em que todos os elementos que não pertencem a 
diagonal principal são iguais a zero. Isso quer dizer que, se i j , então, 0ija = . 
Genericamente: 
11
22
33
0 0 0
0 0 0
0 0 0 , com 
0 0 0
n n
nn
a
a
A a n
a


 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
3
1 0
0 1

 
=  
− 
 3 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
D 
 
 
=  
 
 
 3 3
2 0 0
0 8 0
0 0 6
P 
 
 
= − 
 
 
 
 Nota: A matriz 4 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
G 
−
=
−
−
 é uma representação matricial do Tensor 
Métrico do Espaço de Minkovski. Essa matriz é muito usada na Teoria da 
Relatividade. 
 
 Matriz Nula 
 
Uma matriz m nA  é dita matriz nula, quando todos os seus elementos são nulos. 
Isso quer dizer que 0, {1,2,..., } {1,2,..., }ija i m e j n=  = = . Geralmente é denotada por m nO  
ou simplesmente O . 
Exemplos: 
 3 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O 
 
 
=  
 
 
 3 5
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
O 
 
 
=
 
  
 
13 
 
 
 Matriz Unidade ou Matriz Identidade 
 
Uma matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal 
principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0, é denominada matriz 
unidade ou matriz identidade.Isso quer dizer que, 
1 ,
0,
ij
se i j
a
se i j
=
= 

 . Como esta matriz 
é muito importante, ela é denotada como n nI  ou simplesmente nI . 
Exemplos: 
 ( )1 1I = 2
1 0
0 1
I
 
= 
 
 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
= 
 
 
 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
 
 
 =
 
 
 
 
 
Matriz Triangular Superior 
 
 Uma matriz quadrada m mA  é dita triangular superior, se todos os elementos 
que ficam abaixo da diagonal são nulos, isto é, se i j , então 0ija = . 
Exemplos: 
 3 3
1 1 6
0 3 5
0 0 7
A 
− 
 
= 
 
 
 4 4
1 2 7 5
0 3 2 8
0 0 0 6
0 0 0 4
T 
− 
 
 =
 
 
− 
 
 
Matriz Triangular Inferior 
 
 Uma matriz quadrada m mA  é dita triangular inferior, se todos os elementos 
que ficam acima da diagonal são nulos, isto é, se i j , então 0ija = . 
Exemplos: 
 3 3
4 0 0
9 3 0
0 7
A
i

 
 
= − 
 
 
 4 4
4 0 0 0
7 3 0 0
3 5 10 0
1 2 2 4
Q 
− 
 
 =
 −
 
− − 
 
 
14 
 
 
 Matriz Transposta 
 
 Chama-se transposta de ( )ij m nA a = , a matriz 
'( )t ij n mA a = tal que 
'
ji ija a= , para 
todo i e j , ou seja, a transposta de A é a matriz obtida de A , trocando-se 
ordenadamente, suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas. Representa-se a 
matriz transposta de A , por tA . 
Exemplo: Seja 3 2
2 5
1 3
0 7
A 
 
 
= −
 
  
 , a sua transposta é 2 3
2 1 0
5 3 7
tA 
− 
=  
 
 . 
 
Propriedades da Transposta 
 
 Sejam ( )ij m nA a = e ( )m nB b = matrizes de mesma ordem e  um escalar. Então: 
 
• 
tt BABA == 
• ( ) AA
tt = 
• ( )
t tA A  =  ( real) 
• ( )
ttt BABA +=+ 
• ( )
t t tA B = B A  (No produto de A B , inverte a ordem) 
 
Matriz Simétrica 
 
 Uma matriz quadrada m mA  é dita simétrica, se ela é igual a sua transposta, ou 
seja, satisfaz a relação tm m m mA A = , isto é, , , {1, 2, 3, ..., }ij jia a i j m=   . 
 Exemplo: A matriz 3 3
10 3 1
3 2 0
1 0 6
A 
− 
 
=  
 − 
, é uma matriz simétrica, isto é, 
t
m m m mA A = . 
 
15 
 
 
Matriz Anti-Simétrica 
 
 Uma matriz quadrada m mA  é dita anti-simétrica, se ela possuir os elementos da 
diagonal principal nulos, e sua oposta é igual a sua transposta, ou seja, satisfaz a relação 
t
m m m mA A = − , isto é, , , {1, 2, 3, ..., }ij jia a i j m= −   . 
 Exemplo: A matriz 3 3
0 3 1
3 0 2
1 2 0
A 
− 
 
= − 
 − 
, é uma matriz anti-simétrica, isto é, 
t
m m m mA A = − . 
 
 Matriz Hermitiana 
 
 Uma matriz quadrada e complexa m mA  é dita Hermitiana, se ela é igual a sua 
transposta conjugada, ou seja, satisfaz a relação ( )
t
m mm mA A  = , isto é, , ,jiija a i j=  
{1, 2, 3, ..., }m . Geralmente indicamos m m m mA A

 = para denotar uma matriz Hermitiana. 
 
 Exemplo: A matriz complexa 3 3
1 1 2
1 3
2 0
i
A i i
i

− 
 
= + 
 − 
, é uma matriz Hermitiana, 
isto é, ( )
t
m mm mA A  = . 
 
 
 Igualdade de Matrizes 
 
 Duas Matrizes de mesma ordem ( )m n ij m nA a = e ( )m n ij m nB b = , são iguais 
quando, ij ija b= , para todo, {1, 2, 3, ..., }i m e para todo {1, 2, 3, ..., }j n . 
De outra forma, a definição acima afirma que: Duas matrizes A e B são iguais, 
se somente se, têm a mesma ordem e os elementos correspondentes a mesma 
posição são iguais, isto é: 
 
 m n ij ijm nA = B a = b   
16 
 
 
 Propriedades 
 
➢ Reflexiva: A A= ; 
➢ Simétrica: Se A B= , então B A= ; 
➢ Transitiva: Se A B= e B C= , então A C= ; 
 
Exemplo 1: Dadas as matrizes 
2 5
10 1
A
 
=  
 
 e 
5
3 1
x y
B
x y
+ 
=  
− 
, calcular x e y para 
que A B= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 : Determine x , com x , de modo que 
2
2
7 13 0
3 4 1
x x
A
x x
 − +
=  
 − − 
 , seja 
igual a matriz identidade de mesma ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
Atividades 
 
1) Classifique cada afirmação como verdadeiro (V) e falso (F). 
 
a) ( ) Toda matriz identidade é necessariamente quadrada; 
b) ( ) Existe matriz identidade que não é quadrada; 
c) ( ) Toda matriz nula é necessariamente quadrada; 
d) ( ) Existe matriz nula que não é quadrada; 
e) ( ) ( )t tA A= , qualquer que seja a matriz A ; 
f) ( ) tA A , qualquer que seja a matriz A ; 
g) ( ) Se a matriz A é do tipo p q , então tA é do tipo q p . 
 
2) Determine , ,a b x e y , sabendo que 
2 3 1
2 0 7
x y a b
x y a b
+ + −   
=   
− −   
. 
Resposta: 1 , 2 , 2 x y a= = = e 5b = − 
3) Dada as matrizes 
0 2 4
6 3
5 1 2
A y
 
 
= − 
 
 
 e 
0 6 5
3 1
4 8
B x
z
− 
 
=  
 
 
, calcule ,x y e z para que tB A= . 
Resposta: 2, 8 x y= = e z 2= 
4) Sejam 
2
3
1/16
27 log (1/ 81)
a
A
 
=   − 
 e 
3 22 6
3
2 9b b b
B
a c
+ − − 
 =
 
 
 , calcule ,a b e c para que A B= . 
 Resposta: 3, 1a b= − =  ou 2b = − e 4c = − 
5) Sejam 
2
2
2 2
4 2
a a
A
a a
 − −
=  
 − − 
 e 2 2( )ijB b = tal que 
2 ,
( ) ,
ij j
se i j
b
i j se i j
=
= 
 
, calcule a tal que 
A B= . 
 Resposta: 2a = − 
6) Determine x , com x , de modo que 
3 2
2
5 6 0
0 6 8
x x x
A
x x
 − +
=  
 − + 
 , seja igual a 
matriz identidade de mesma ordem. 
 Resposta: 2x= 
 
 
 
18 
 
 
 OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
Adição e Subtração 
 
A soma ou subtração duas matrizes do mesmo tipo ( )ij m nA a = e ( )ij m nB b = , que 
se indica por A B , é a matriz ( )ij m nC c = , tal que: 
 , , ,ij ij ijc a b i j= +  com 1 i m  e 1 j n  
Em outras palavras, na adição e subtração de duas matrizes do mesmo tipo, é 
efetuada somando-se ou subtraindo-se os seus elementos correspondentes. 
 
 Exemplo: Sejam 2
1 3 5
sin ( ) 1 0
3 4 1
A x
 
 
=  
 −
 
 e 2
2 1 7
cos ( ) 1 3
5 2 1
B x
 
 
= − 
 
 
 , determine: 
 a) A B+ b) B A− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades da Adição: 
 
 Considere as matrizes ,A B e C de mesma ordem, então: 
➢ Comutativa: A B B A+ = + 
➢ Associativa: ( ) ( )A B C A B C+ + = + + 
➢ Elemento Neutro: 0 0A A A+ = + = 
➢ Elemento Oposto: ( ) ( ) 0A A A A+ − = − + = 
19 
 
 
Exemplo1: Dadas as matrizes 





=




 −
=





−
=
16
03
52
10
,
43
12
CeBA , calcule: 
 a) =B+A b) =CBA t −− 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo2: Dadas as matrizes 










−
−
=










−=
2
4
1
5
2
3
BeA , calcular a matriz X tal que 
0=+− BAX 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
Atividades 
 
1) Dada a matriz 










−
−
=
210
432
011
A , obtenha a matriz X tal que 
tAAX += 
Resp: 










−
=
450
561
012
A 
2) Sendo A = (aij)1x3 tal que jiaij −= 2 e B = (bij)1x3 tal que 1++−= jibij , calcule A+B. 
 
Resp:  222 
3) Ache m, n, p e q, de modo que: 





=





−
−
+





51
87
3
2
qq
nn
pp
mm
 
 
Resp: 12,2,5 −==== qepnm 
 
4) Calcule a matriz X, sabendo que ( ) BAXeBA
T
=+





−
=










−=
2
3
0
1
2
5
,
3
0
2
4
1
1
 
 
Resp: 










−
−
− 1
0
4
1
2
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 Multiplicação de um número real por uma matriz 
 
Para multiplicar um número real por uma matriz multiplicamos o número por 
todos os elementos da matriz, e o resultado é uma matrizdo mesmo tipo. 
Exemplo1: Sendo 





−
−
=
450
123
A e 





−−
−
=
113
024
B , Determine a matriz X. 
a) 02 =−+ BAX b) 023 =+− BAX 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo2: Resolva o sistema 
4
2 2
X + Y = A+ B
X Y = A B


− −
, sendo 
1 0 2 4
2 3 3 0
A= e B =
−   
   
   
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 Atividades 
 
1) Para 





−
−
=
450
123
A e 





−−
−
=
113
024
B . Calcule a matriz X, tal que 
02 =−+ BAX . Resp: 





−−
−−
9113
262
 
2) Para 





−
−
450
123
=A , 





−−
−
=
113
024
B . Calcule a matriz X, tal que 
BA
X
=+ 2
3
 Resp: 





−+−
+−−
27339
6186
 
3) Resolva o sistema 



−− BA=YX
B+A=Y+X
2
, sendo 




−
=





−
=
5
1
2
3
BeA . 
 Resp: 







−
=








−
=
6
2
5
3
2
9
YeX 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 Multiplicação de Matrizes 
 
Não é uma operação tão simples como as anteriores; não basta multiplicar os 
elementos correspondentes. Vejamos a seguinte situação: 
Durante a 1ª fase da Copa do Mundo de 1998 (França), o grupo do Brasil era 
formado também pela Escócia, Marrocos e Noruega. Os resultados estão registrados 
abaixo em uma tabela, de ordem 4 x 3. 
País Vitória Empate Derrota 
Brasil 2 0 1 
Escócia 0 1 2 
Marrocos 1 1 1 
Noruega 1 2 0 
 
Então, matricialmente temos: 
 












=
0
1
2
1
2
1
1
0
1
1
0
2
A
A pontuação pode ser descrita pela tabela, de ordem 3 x 1. 
Número de Pontos 
Vitória 3 
Empate 1 
Derrota 0 
 
Então, matricialmente temos: 










=
0
1
3
B
Terminada a 1ª fase a pontuação é obtida com o total de pontos feitos por cada país. 
Essa pontuação pode ser registrada numa matriz que é representada por BA  (produto de A 
por B). Veja como é obtida a classificação: 
 
5001231:
4011131:cos
1021130:
6011032:
=++Noruega
=++Marro
=++Escócia
=++Brasil




 













5
4
1
6
=BA 
24 
 
 
Esse exemplo, sugere como deve ser feita a multiplicação de matrizes. Observe a 
relação que existe entre as ordens das matrizes: 
 141334 xxx ABBA = 
Observe que definimos o produto BA  de duas matrizes, quando o número de 
colunas de A for igual ao de linhas de B; além disso, notamos que o produto BA  possui o 
número de linhas de A e o número de colunas de B. 
 pmpnnm AB=BA   
Exemplo 1: Calcule os produtos: BA  e AB  , se possível? 
 
32
232
121
x
A 





−
= e 
23
12
41
32
x
B










−
−= 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Dada as matrizes: 





=
12
01
A 





=
10
12
B 





=
20
02
C . Calcule: 
 
a) BA  
 
b) AB  
 
 
c) CA  
 
d) AC  
25 
 
 
Observação: Em Geral, a propriedades Comutativa ABBA  . Caso, ABBA = , 
dizemos que as matrizes são A e B comutáveis. 
Exemplo 3: Seja 





=
11
11
A e 





−−
=
11
11
B . Calcule BA  . 
 
 
 
Observação: Se A e B são matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), não podemos 
garantir que uma delas (A ou B) seja nula. 
 
Exemplo 4: Seja 










−
=
041
011
021
A , 










−=
222
111
321
B e 










−=
111
111
321
C , Determine: 
a) BA  b) CA  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Propriedades: 
➢ - Distributiva: A∙(B + C) = A∙B + A∙C 
➢ - Associativa: A∙(B∙C) = (A∙B)∙C 
➢ - Elemento neutro: A∙In = A 
26 
 
 
 
Atividades 
 
1) Efetue: 
a) 





−






−
−
2
3
41
35
 Resp: 





−11
21
 b)  











3
0
2
531 Resp: [17] 
c) 




 −






− 30
12
41
25
 Resp: 





− 132
110
 
2) Dada a matriz 









 −
=
100
001
012
A , calcule A2. Resp: 










−
−
100
012
023
 
3) Sabendo que 





=





=
11
02
10
21
NeM , calcule MNNM − Resp: 





−
−
20
22
 
4) Sendo A = 





43
21
e B = 





21
02
, mostre que ( )
ttt ABBA .. = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
Lista de Exercícios de Matrizes 
 
1. Construa a matriz real quadrada A de ordem 3, definida por: 




− ji+ji
j<i
=a
j+i
ij
 se, 1
 se , 2
2
 
Resposta: 










789
3234
1681
 
 
2. Sendo 










−
−−=
534
201
321
M , 










=
100
010
001
N e 










−
−
−
=
023
102
110
P , calcule: 
a) N – P + M 
b) 2M – 3N – P 
c) N – 2(M – P) 
Resposta: a) 










65-7
3-11
232
 b) 










78-11
5-3-0
551-
 c) 










9-10-14-
612-
4-6-1-
 
 
3. Calcule a matriz X, sabendo que 










−=
34
01
21
A , 





−
=
202
315
B e ( ) BAX
t
=+ . 
 
Resposta: 










=
1-1-
02
4-4
X 
 
4. Dadas as matrizes 





=
a
a
A
0
0
 e 





=
1
1
b
b
B , determine a e b, de modo que AB = I, em que I é a 
matriz identidade. 
 
Resposta: a = 1 e b = 0 
 
5. Dadas as matrizes 




 −
=
30
21
A e 




 −
=
02
31
B . Calcule: 
a) A² 
b) A³ 
c) A²B 
d) A² + 3B 
Resposta: a) 





90
8-1
 b) 





270
26-1
 c) 





018
3-15
 d) 





96
17-4
 
28 
 
 
6. Dadas as matrizes 




−
=
13
21
A e 




 −
=
34
12
B , calcule AB +
tB 
 
Resposta: 





39
118
 
 
7. Resolva a equação: 





−−
−
=





−






−
−
1122
3211
1
2
1
32
yx
y²x
y
x
.
yx
x
 
 
Resposta: V = {(2,3),(2,-3)} 
 
8. Sendo 





−
=
20
03
A , 




 −
=
53
12
P e 





=
b
a
B
75
10
13
1
, determine os valores de a e b, tais 
que 
1−= P.A.PB . 
 
Resposta: a = 24 e b = -11 
 
9. Determine os valores de x, y e z na igualdade abaixo, envolvendo matrizes reais 2 x 2: 






−
−
+




 −
=











0
00
00
0
0
00
zy
yz
zx
yxx
.
x
 
 
Resposta: x = 0, y = 0 e z = 0 ou x = 3, y = 6, z = 9 
 
10. Dada a matriz ( ) 22xijaA = , tal que 
( )










j iπj
j = ii
π
sen
=aij
 se cos
 se 
2 , determine: 
a) 
tA b) A² c) 1−A 
 
Resposta: a) 




 −
01
11
 b) 





−− 11
10
 c) 




 −
11
10
 
 
Testes: 
 
11. A é uma matriz m x n e B é uma matriz m x p. A afirmação falsa é: 
a) A + B existe se, e somente se, n = p. 
b) 
tAA = implica m = n 
c) A.B existe se, e somente se, n = p 
d) 
tB.A existe se, e somente se, n = p. 
e) B.A
t
 sempre existe. 
29 
 
 
Resposta: letra C 
 
12. Seja ( )ijaA = a matriz real quadrada de ordem 2, definida por 




 ji+i
j<i
=a
j+i
ij
 para 1
 para2
2
. Então: 
a) 





=
55
82
A b) 





=
65
82
A c) 





=
58
42
Ad) 





=
52
82
A e) n.d.a. 
Resposta: letra A 
 
13. Dadas as matrizes 





−
=
31
02
A e 






 −
=
13
2
12
B , então a matriz -2AB é igual a: 
a) 




 −
714
28
 b) 




 −−
714
28
 c) 





−−
−−
714
28
 d) 





714
28
 e) 





−−
−
714
28
 
Resposta: letra E 
 
14. Considere as matrizes: 
( )
ijaA = , 4 x 7 onde jiaij −= 
( )
ijbB = , 7 x 9 onde ibij = 
( )
ijcC = , tal que C = AB. 
O elemento 63C : 
a) é -112. 
b) é -18. 
c) é -9. 
d) é 112. 
e) não existe. 
Resposta: letra E 
 
15. Dadas as matrizes 





=
00
11
A e 





−
=
10
10
B , para A.B temos: 
a) 





00
10
 b) 





00
00
 c) 





−10
10
 d) 





00
20
 e) 





1
1
 
Resposta: letra B 
 
16. O produto M.N da matriz 










=
1
1
1
M pela matriz ( )111=N ; 
a) não se define. 
b) É a matriz identidade de ordem 3 
c) É uma matriz de uma linha e uma coluna. 
30 
 
 
d) É uma matriz quadrada de ordem 3. 
e) Não é uma matriz quadrada. 
Resposta: letra D 
 
 
17. A inversa da matriz 





11
34
 é: 
a) 







11
3
1
4
1
 b) 





−
−
41
31
 c) Inexistente. d) 







−
−
11
3
1
4
1
 e) 





−
−
11
34
 
Resposta: letra B 
 
18. Se 





=











−
−
3
9
21
12
y
x
. , então: 
a) x = 5 e y = -7 
b) x = -7 e y = -5 
c) x = -5 e y = -7 
d) x = -7 e y = 5 
e) x = 7 e y = -5 
Resposta: letra B 
 
19. Sendo 





−
−
=
42
71
A e 




 −
=
04
13
B , então a matriz X, tal que 
3
2
2
BXAX +
=
−
, é igual a: 
a) 




−
73
41
 b) 





−
−
80
97
 c) 




−
94
21
 d) 





1210
179
 e) 




 −−
129
87
 
Resposta: letra D 
20. Se A e B são matrizes tais que: 










=
x
A 1
2
 e 










=
1
2
1
B , então a matriz B.AY
t= será nula para: 
a) x = 0 
b) x = -1 
c) x = -2 
d) x = -3 
e) x = -4 
Resposta: letra E 
21. A Matriz 





1
1
x
x
, na qual x é um número real, é inversível se, e somente se: 
a) 0x b) 1x c)
2
1
x d)
2
1
 e 
2
1
− xx e) 1 e 1 − xx 
Resposta: letra E 
 
31 
 
 
22. A solução da equação matricial 










=




















−
−
−
3
2
1
101
210
121
z
y
x
. é a matriz: 
a) 










1
2
3
 b) 










0
2
3
 c)










2
0
3
 d)










0
3
2
 e)










3
0
2
 
Resposta: letra B 
 
23. Considere as seguintes matrizes: 










−−
−
−−
=
45
100
734 xx
A , 









 −
=
22
05
43
B , 





−
+
=
11
1
x
xx
C e 










=
41
510
100
D . O valor de x para que se tenha: A + BC = D é: 
a) 1 
b) -1 
c) 2 
d) -2 
Resposta: letra C 
 
24. As matrizes abaixo comutam, 





2a
aa
 e 





33
30
. O valor de a é: 
a) 1 
b) 0 
c) 2 
d) -1 
e) 3 
Resposta: letra A