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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGÍCAS FACULDADE DE ENGENHARIAS, ARQUITETURA E URBANISMO E GEOGRAFIA DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DE VIGA Alberto Saad Coppola Filho Jean Paulo Yamamoto CAMPO GRANDE 2014 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGÍCAS FACULDADE DE ENGENHARIAS, ARQUITETURA E URBANISMO E GEOGRAFIA DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DE VIGA Trabalho de graduação referente à Universidade Federal de Mato Grosso do Sul – UFMS, pelo curso de Engenharia Civil, como parte constituinte da nota da disciplina de Concreto Armado II ministrada pelo Professor Doutor Andrés Batista Cheung. Alberto Saad Coppola Filho Jean Paulo Yamamoto CAMPO GRANDE 2014 Conteúdo 1. Introdução ............................................................................................................................. 6 2. Dados referentes ao projeto ................................................................................................. 6 3. Projeto arquitetônico ............................................................................................................ 7 4. Cálculo de cargas da laje ....................................................................................................... 8 5. Reação da laje nas vigas ...................................................................................................... 10 6. Reação das vigas perpendiculares à V124 .......................................................................... 20 6.1. Reação da viga V104 (15x50) na V124 ............................................................................ 20 6.2. Reação da viga V103 (15x40) na V124 ............................................................................ 22 6.3. Reação da viga V107 (15x40) na V124 ............................................................................ 23 6.4. Reação da viga V111 (15x40) na V124 ............................................................................ 24 6.5. Reação da viga V114 (15x40) na V124 ............................................................................ 25 6.6. Reação da viga V117 (15x50) na V124 ............................................................................ 26 6.7. Reação da viga V118 (15x40) na V124 ............................................................................ 27 7. Carregamento viga V124 ..................................................................................................... 28 7.1. Carregamento do vão 1 ................................................................................................... 28 7.2. Carregamento do vão 2 ................................................................................................... 28 7.3. Carregamento do vão 3 ................................................................................................... 29 7.4. Carregamento do vão 4 ................................................................................................... 29 7.5. Carregamento do vão 5 ................................................................................................... 29 7.6. V124 carregamento total ................................................................................................ 30 8. Cálculo dos momentos máximos negativos ........................................................................ 30 8.1. Cálculo pelo Método de Cross ........................................................................................ 30 8.1.1. Bloqueio dos nós internos ........................................................................................... 30 8.1.2. Coeficientes de rigidez (K) ........................................................................................... 30 8.1.3. Coeficientes de distribuição ........................................................................................ 31 8.1.4. Fator de transporte (Ft) ............................................................................................... 32 8.1.5. MEP devido às cargas permanentes ........................................................................... 32 8.1.6. MEP devido às cargas acidentais................................................................................. 36 8.1.7. Processo Iterativo de Cross (Momentos fletores negativos) ...................................... 39 9. Diagrama das forças cortantes ............................................................................................ 40 9.1. Forças cortantes devido à carga permanente ................................................................. 40 9.2. Forças cortantes devido à carga acidental ...................................................................... 43 9.3. Construção do diagrama a partir das forças cortantes ................................................... 45 10. Momentos máximos positivos ........................................................................................ 46 10.1. Momentos positivos das cargas permanentes ........................................................... 46 10.2. Momentos positivos das cargas acidentais ................................................................. 47 10.3. Diagrama dos momentos fletores permanente e variável ......................................... 48 10.4. Diagrama dos momentos fletores total (apoios rotulados) ........................................ 49 10.5. Diagrama dos momentos fletores com apoios engastados ........................................ 51 10.6. Diagrama dos momentos fletores total (apoios engastados) ..................................... 59 11. Momentos de cálculo da V124 ........................................................................................ 61 12. Cálculo do Momento de Extremidade da viga ................................................................ 63 12.1. Momento de extremidade devido à carga permanente ............................................. 63 12.2. Momento de extremidade devido à carga acidental .................................................. 66 12.3. Momentos totais de extremidade .............................................................................. 68 13. Diagrama do momento fletor V124 ................................................................................ 68 14. Cálculo da armadura longitudinal ................................................................................... 69 14.1. Armadura longitudinal mínima ................................................................................... 69 14.2. Armadura longitudinal positiva ................................................................................... 69 14.3. Armadura longitudinal negativa .................................................................................. 72 15. Seções verticais ............................................................................................................... 75 15.1. Verificação da altura útil ............................................................................................. 75 15.2. Verificação do bw ......................................................................................................... 75 16. Cálculo da armadura transversal ..................................................................................... 7616.1. Armadura transversal mínima ..................................................................................... 76 16.2. Verificação da resistência ao cortante "Asw,mín" .......................................................... 77 16.3. Cálculo da armadura transversal para VSD > VRD3 ........................................................ 77 16.4. Porta-estribo ............................................................................................................... 78 16.5. Detalhamento da armadura transversal ..................................................................... 79 17. Ancoragem nos apoios de extremidade ......................................................................... 79 17.1. Apoio esquerdo ........................................................................................................... 79 17.2. Apoio direito ................................................................................................................ 80 18. Cálculo dos comprimentos de ancoragem ...................................................................... 80 18.1. Positivos ...................................................................................................................... 81 18.2. Armadura Negativa: .................................................................................................... 81 18.3. Extremidade ................................................................................................................ 82 19. Flecha .............................................................................................................................. 83 20. Fissuração ........................................................................................................................ 85 20.1. Definição ..................................................................................................................... 85 20.2. Verificação da abertura de fissuras: ............................................................................ 87 21. Diagrama decalado .......................................................................................................... 90 21.1. Positivos ...................................................................................................................... 90 21.2. Negativos ..................................................................................................................... 91 22. Bibliografia ...................................................................................................................... 95 1. Introdução A estrutura a ser calculada será uma viga retangular de edifício residencial em concreto armado, com lajes treliçadas pré-moldadas, apoiadas sobre vigas que estarão umas apoiadas diretamente na viga em questão e outras em pilares. As cargas consideradas sobre as vigas serão cargas distribuídas provenientes das lajes, concentradas vindas de outras vigas e de paredes de tijolos de oito furos, além de outras especificadas durante o procedimento. Os cálculos resultarão em detalhamento da viga V124, que será composta de armadura longitudinal positiva e negativa e armadura transversal, todas com seus devidos comprimentos, quantidades e detalhes construtivos. 2. Dados referentes ao projeto Classe de Agressividade: II Concreto para a estrutura: Fck > 30 MPa. Módulo de Elasticidade secante: 𝐸𝑐𝑠 = 26.072 MPa. Aço para concreto armado: CA 50 (longitudinal) e CA 60 (transversal) Cobrimento de vigas e pilares: 3 cm Diâmetro do agregado: 19 mm Pé-direito estrutural de 2,80 m. Espessura contrapiso: 3 cm Espessura revestimento inferior: 2cm Espessura da parede: 15cm Peso Específico da alvenaria: 13 kN/m3. Peso Específico contrapiso: 21,00 kN/m3. Peso Específico revestimento inferior: 19,00 kN/m3. Sobrecarga piso: 0,20 kN/m² Carga acidental: 2 kN/m² 3. Projeto arquitetônico A disposição de lajes e vigas está descrita conforme projeto abaixo: 4. Cálculo de cargas da laje Carga acidental: A carga acidental para o edifício comercial dado foi considerada de 2,00 kN/m², seguindo a NBR 6120: 1980. Carga Permanente: Peso próprio Para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios de laje. Considerando o intereixo de 33cm, segue-se a tabela de Souza & Cunha (1994) para dimensionamento de lajes pré-fabricadas convencionais. De acordo com a tabela 23, para os vãos apresentados em projeto, foram adotadas lajes de 12cm para todas as lajes adjacentes à viga V124. E ainda, pela tabela 22, obteve-se o peso próprio de 1,85 kN/m² para o intereixo de 33 cm. 𝑔𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑜 = 0,20 𝑘𝑁/𝑚² Contrapiso Espessura contrapiso: 3 cm Peso Específico contrapiso: 21,00 kN/m3 𝑔𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑖𝑠𝑜 = 0,03 ∗ 21,00 = 0,63 𝑘𝑁/𝑚² Piso Para o piso, foi considerado uma carga de 0,20 kN/m² 𝑔𝑝𝑖𝑠𝑜 = 0,20 𝑘𝑁/𝑚² Revestimento inferior Espessura revestimento inferior: 2cm Peso Específico revestimento inferior: 19,00 kN/m3. 𝑔𝑟𝑒𝑣.𝑖𝑛𝑓. = 0,02 ∗ 19,00 = 0,38 𝑘𝑁/𝑚² 𝑔𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑔𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑜 + 𝑔𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑖𝑠𝑜 + 𝑔𝑝𝑖𝑠𝑜 + 𝑔𝑟𝑒𝑣.𝑖𝑛𝑓. 𝑔𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3,06 𝑘𝑁/𝑚² Alvenaria 𝑔𝑎𝑙𝑣 = 13,00 𝑘𝑁/𝑚² 5. Reação da laje nas vigas As cargas oriundas de lajes maciças são distribuídas nas vigas tanto paralelas como perpendiculares à nervura. Sendo assim, calcular-se-á as resultantes através da seguinte fórmula: Carga paralela às nervuras da laje: R𝑔 = 0,25 ∗ (g𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∗ ly) 2 R𝑞 = 0,25 ∗ (q ∗ ly) 2 Carga perpendicular às nervuras da laje: R𝑔 = (g𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∗ lx) 2 R𝑞 = (q ∗ lx) 2 Sendo: R𝑔 = reação devido à carga permanente R𝑞 = reação devido à carga acidental g𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = carga permanente atuante na laje q = carga acidental atuante na laje ly = maior vão da laje lx = menor vão da laje Laje 2: Na V124: viga paralela às nervuras da laje. R𝑔 = 0,25 ∗ (3,06 ∗ 3,65) 2 = 1,396 𝑘𝑁/𝑚 R𝑞 = 0,25 ∗ (2,00 ∗ 3,65) 2 = 0,913 𝑘𝑁/𝑚 Na V104: viga perpendicular às nervuras da laje. R𝑔 = (3,06 ∗ 3,25) 2 = 4,937 kN/m R𝑞 = (2,00 ∗ 3,25) 2 = 3,250 kN/m Laje 3 LAJES L3 MENOR VÃO 3,05 m MAIOR VÃO 7,96 m ALTURA DA LAJE 12,00 m CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) SOBRECARGA PERMANENTE SOBRECARGA ACIDENTAL SOBRECARGA TOTAL PESO PRÓPRIO 1,21 2 3,21 1,85 CARGA TOTAL (kN/m²) VARIÁVEL PERMANENTE 2 3,06 CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) PERMANENTE VARIÁVEL PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 4,667 3,045 3,050 1,990 Laje 6 LAJES L6 MENOR VÃO 2,9 m MAIOR VÃO 3,2 m ALTURA DA LAJE 12,00 m CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) SOBRECARGA PERMANENTE SOBRECARGA ACIDENTAL SOBRECARGA TOTAL PESO PRÓPRIO 1,21 2 3,21 1,85 CARGA TOTAL (kN/m²) VARIÁVEL PERMANENTE 2 3,06 CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) PERMANENTE VARIÁVEL PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 4,437 1,224 2,900 0,800 Laje 7 LAJES L7 MENOR VÃO 3,2 m MAIOR VÃO 3,65 m ALTURA DA LAJE 12,00 m CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) SOBRECARGA PERMANENTE SOBRECARGA ACIDENTAL SOBRECARGA TOTAL PESO PRÓPRIO 1,21 2 3,21 1,85 CARGA TOTAL (kN/m²) VARIÁVEL PERMANENTE 2 3,06 CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) PERMANENTE VARIÁVEL PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 4,896 1,396 3,200 0,913 Laje 10 LAJES L10 MENOR VÃO 3,53 m MAIOR VÃO 6,85 m ALTURA DA LAJE 12,00 m CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) SOBRECARGA PERMANENTE SOBRECARGA ACIDENTAL SOBRECARGA TOTAL PESO PRÓPRIO 1,21 2 3,21 1,85 CARGA TOTAL (kN/m²) VARIÁVEL PERMANENTE 2 3,06 CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) PERMANENTE VARIÁVEL PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 5,401 2,620 3,530 1,713 Laje 11 LAJES L11 MENOR VÃO 2,52 m MAIOR VÃO 3,05 m ALTURA DA LAJE 12,00 m CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) SOBRECARGA PERMANENTE SOBRECARGA ACIDENTAL SOBRECARGA TOTAL PESO PRÓPRIO 1,21 2 3,21 1,85 CARGA TOTAL (kN/m²) VARIÁVEL PERMANENTE 2 3,06 CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) PERMANENTE VARIÁVEL PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 3,856 1,167 2,520 0,763 Laje 14 LAJES L14 MENOR VÃO 3,23 m MAIOR VÃO 6,85 m ALTURA DA LAJE 12,00 m CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) SOBRECARGA PERMANENTE SOBRECARGA ACIDENTAL SOBRECARGA TOTAL PESO PRÓPRIO 1,21 2 3,21 1,85 CARGA TOTAL (kN/m²) VARIÁVEL PERMANENTE 2 3,06 CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) PERMANENTE VARIÁVEL PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 4,942 2,620 3,230 1,713 Laje 15 LAJES L15 MENOR VÃO 3,05 m MAIOR VÃO 7,35 m ALTURA DA LAJE 12,00 m CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) SOBRECARGA PERMANENTE SOBRECARGA ACIDENTAL SOBRECARGA TOTAL PESO PRÓPRIO 1,21 2 3,21 1,85 CARGA TOTAL (kN/m²) VARIÁVEL PERMANENTE 2 3,06 CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) PERMANENTE VARIÁVEL PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 4,667 2,811 3,050 1,838 Laje 18 Laje 19 LAJES L18 MENOR VÃO 3,2 m MAIOR VÃO 3,2 m ALTURA DA LAJE 12,00 m CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) SOBRECARGA PERMANENTE SOBRECARGA ACIDENTAL SOBRECARGA TOTAL PESO PRÓPRIO 1,21 2 3,21 1,85 CARGA TOTAL (kN/m²) VARIÁVEL PERMANENTE 2 3,06 CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) PERMANENTE VARIÁVEL PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 4,896 1,224 3,200 0,800 LAJES L19 MENOR VÃO 3,5 m MAIOR VÃO 3,65 m ALTURA DA LAJE 12,00 m CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) SOBRECARGA PERMANENTE SOBRECARGA ACIDENTAL SOBRECARGA TOTAL PESO PRÓPRIO 1,21 2 3,21 1,85 CARGA TOTAL (kN/m²) VARIÁVEL PERMANENTE 2 3,06 CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) PERMANENTE VARIÁVEL PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 5,355 1,396 3,500 0,913 Laje 21 LAJES L21 MENOR VÃO 2,65 m MAIOR VÃO 3,65 m ALTURA DA LAJE 12,00 m CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) SOBRECARGA PERMANENTE SOBRECARGA ACIDENTAL SOBRECARGA TOTAL PESO PRÓPRIO 1,21 2 3,21 1,85 CARGA TOTAL (kN/m²) VARIÁVEL PERMANENTE 2 3,06 CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) PERMANENTE VARIÁVEL PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 4,055 1,396 2,650 0,913 6. Reação das vigas perpendiculares à V124 As cargas solicitantes destas vigas são provenientes das reações das lajes calculadas anteriormente adicionada a carga permanente da alvenaria e ao peso próprio da viga. O cálculo da alvenaria estará representado a seguir: Como já dito, o pé direito é de 2,80m e as lajes são de 0,12m. Conforme a figura, a altura da alvenaria será: ℎ𝑎𝑙𝑣 = 2,80 − (ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎 − 0,12) Sendo 13 kN/m² o peso próprio da alvenaria, a carga da alvenaria sobre a viga será: 𝑞𝑎𝑙𝑣 = 𝑏 ∗ ℎ𝑎𝑙𝑣 ∗ 13 O cálculo do peso próprio nada mais será que a área da seção transversal multiplicado pelo peso específico do concreto armado (25 kN/m³). 6.1. Reação da viga V104 (15x50) na V124 Peso próprio: 𝑃𝑝 = 0,15 ∗ 0,50 ∗ 25 = 1,875 𝑘𝑁/𝑚 Peso da alvenaria: 𝑔𝑎𝑙𝑣 = 𝑏 ∗ ℎ𝑎𝑙𝑣 ∗ 13 = 0,15 ∗ (2,80 − (0,50 − 0,12)) ∗ 13 = 4,719 𝑘𝑁 𝑚 As lajes que reagem nesta viga são as L2 e L7 (ambas perpendicularmente). Laje L2: 𝑔𝐿2 = 4,973 𝑘𝑁/𝑚 (Permanente) 𝑞𝐿2 = 3,250 𝑘𝑁/𝑚 (Acidental) Laje L7: 𝑔𝐿7 = 4,896 𝑘𝑁/𝑚 (Permanente) 𝑞𝐿7 = 3,200 𝑘𝑁/𝑚 (Acidental) Solicitação total permanente: 𝑄𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑃𝑝 + 𝑔𝑎𝑙𝑣 + 𝑔𝐿2 + 𝑔𝐿7 𝑄𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 1,875 + 4,719 + 4,973 + 4,896 𝑄𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 16,463 𝑘𝑁/𝑚 Solicitação total acidental: 𝑄𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 𝑞𝐿2 + 𝑞𝐿7 𝑄𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 3,250 + 3,200 𝑄𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 6,45 𝑘𝑁/𝑚 Reação permanente: 𝑅𝑝 = 𝑄𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 ∗ 𝑙 2 = 16,463 ∗ 3,65 2 = 30,05 𝑘𝑁 Reação acidental: 𝑅𝑎 = 𝑄𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 ∗ 𝑙 2 = 6,45 ∗ 3,65 2 = 11,77 𝑘𝑁 Analogamente se calcula as outras vigas perpendiculares à V124. 6.2. Reação da viga V103 (15x40) na V124 V103 15 x 40 LAJE(s) L3 Pp. 1,50 kN/m Galv. 4,91 kN/m ∑LAJES 3,04 kN/m TOTAL PERM. 9,46 kN/m TOTAL ACID. 1,99 kN/m Reação permanente: Reação acidental: 6.3. Reação da viga V107 (15x40) na V124 V107 15 V107 15 x 40 x 40 LAJE(s) L6/L10 LAJE(s) L7/L10 Pp. 1,50 kN/m Pp. 1,50 kN/m Galv. 4,91 kN/m Galv. 4,91 kN/m ∑LAJES 9,84 kN/m ∑LAJES 10,30 kN/m TOTAL PERM. 16,25 kN/m TOTAL PERM. 16,71 kN/m TOTAL ACID. 6,43 kN/m TOTAL ACID. 6,73 kN/m Reação permanente: Reação acidental: 6.4. Reação da viga V111 (15x40) na V124 V111 15 x 40 LAJE(s) L10/L14 Pp. 1,50 kN/m Galv. 4,91 kN/m ∑LAJES 10,34 kN/m TOTAL PERM. 16,76 kN/m TOTAL ACID. 6,76 kN/m Reação permanente: Reação acidental: 6.5. Reação da viga V114 (15x40) na V124 V114 15 V114 15 x 40 x 40 LAJE(s) L18/L14 LAJE(s) L19/L14 Pp. 1,50 kN/m Pp. 1,50 kN/m Galv. 4,91 kN/m Galv. 4,91 kN/m ∑LAJES 9,84 kN/m ∑LAJES 10,30 kN/m TOTAL PERM. 16,25 kN/m TOTAL PERM. 16,71 kN/m TOTAL ACID. 6,43 kN/m TOTAL ACID. 6,73 kN/m Reação permanente: Reação acidental: 6.6. Reação da viga V117 (15x50) na V124 V117 15 x 50 LAJE(s) L19/L21 Pp. 1,88 kN/m Galv. 4,72 kN/m ∑LAJES 9,41 kN/m TOTAL PERM. 16,00 kN/m TOTAL ACID. 6,15 kN/m Reação permanente: Reação acidental: 6.7. Reação da viga V118 (15x40) na V124 V118 15 x 40 LAJE(s) L15 Pp. 1,50 kN/m Galv. 4,91 kN/m ∑LAJES 2,81 kN/m TOTAL PERM. 9,23 kN/m TOTAL ACID. 1,84 kN/m Reação permanente: Reação acidental: 7. Carregamento viga V124 As cargas solicitantes da V124 estarão dispostas conforme seus respectivos vãos de atuação. Estas cargas são provenientes de cargas distribuídas das lajes (item 5) e de cargas concentradas das vigas perpendiculares(item 6), além de seu peso próprio e da carga da alvenaria sobre a mesma, todas dispostas nas tabelas dos itens a seguir. Para o cálculo de seu peso próprio e para os futuros que serão apresentados, foi feito o pré-dimensionamento da viga a partir de 10% do maior vão livre. A partir do projeto tem-se que o maior vão é de 4,55m. Portanto, 4,55 * 0,1 = 0,46. Para melhor e mais prático dimensionamento foi adotado altura de 50 cm e altura útil de 45 cm. 7.1. Carregamento do vão 1 VÃO 1 CARREGAMENTO PERMANENTE CARREGAMENTO VARIÁVEL V118 14,10 kN V118 2,80 kN V117 30,80 kN V117 11,8 kN PESO PRÓPRIO 1,875 kN/m L15 3,05 kN/m ALVERNARIA 4,719 kN/m L19 0,91 kN/m L15 4,67 kN/m L21 0,91 kN/m L19 1,40 kN/m L21 1,40 kN/m 7.2.Carregamento do vão 2 VÃO 2 CARREGAMENTO PERMANENTE CARREGAMENTO VARIÁVEL V114 23,80 kN V114 9,60 kN PESO PRÓPRIO 1,875 kN/m L15 3,05 kN/m PAREDE 4,719 kN/m L19 0,91 kN/m L15 4,67 kN/m L14 1,71 kN/m L19 1,40 kN/m L14 2,62 kN/m 7.3. Carregamento do vão 3 VÃO 3 CARREGAMENTO PERMANENTE CARREGAMENTO VARIÁVEL V111 21,60 kN V111 8,70 kN PESO PRÓPRIO 1,875 kN/m L10 1,71 kN/m PAREDE 4,719 kN/m L11 0,76 kN/m L10 2,62 kN/m L14 1,71 kN/m L11 1,17 kN/m L14 2,62 kN/m 7.4. Carregamento do vão 4 VÃO 4 CARREGAMENTO PERMANENTE CARREGAMENTO VARIÁVEL V107 23,80 kN V107 9,60 kN PESO PRÓPRIO 1,875 kN/m L3 3,05 kN/m PAREDE 4,719 kN/m L7 0,91 kN/m L3 4,67 kN/m L10 1,71 kN/m L7 1,40 kN/m L10 2,62 kN/m 7.5.Carregamento do vão 5 VÃO 5 CARREGAMENTO PERMANENTE CARREGAMENTO VARIÁVEL V103 14,40 kN V103 3,00 kN V104 30,00 kN V104 11,2 kN PESO PRÓPRIO 1,875 kN/m L2 0,91 kN/m PAREDE 4,719 kN/m L3 3,05 kN/m L2 1,40 kN/m L7 0,91 kN/m L3 4,67 kN/m L7 1,40 kN/m Carregamento permanente: Carregamento acidental 7.6. V124 carregamento total 8. Cálculo dos momentos máximos negativos 8.1. Cálculo pelo Método de Cross 8.1.1. Bloqueio dos nós internos 8.1.2. Coeficientes de rigidez (K) 𝐾𝐴𝐵 = 0 𝐾𝐵𝐴 = 3𝐸𝐼 𝐿𝑎𝑏⁄ = 3 𝐿𝑎𝑏⁄ 𝐾𝐴𝐵 = 𝐾𝐵𝐴 = 4𝐸𝐼 𝐿𝑎𝑏⁄ = 4 𝐿𝑎𝑏⁄ Trecho AB 𝐾𝐵𝐴 = 3 4,55 = 0,659 Trecho BC 𝐾𝐵𝐶 = 𝐾𝐶𝐵 = 4 3,28⁄ = 1,219 Trecho CD 𝐾𝐶𝐷 = 𝐾𝐷𝐶 = 4 2,82⁄ = 1,418 Trecho DE 𝐾𝐷𝐸 = 𝐾𝐸𝐷 = 4 3,26⁄ = 1,227 Trecho EF 𝐾𝐹𝐸 = 3 4,55 = 0,659 8.1.3. Coeficientes de distribuição Em torno de B 𝐶𝑩𝑨 = 𝐾𝐵𝐴 𝐾𝐵𝐴 + 𝐾𝐵𝐶 ⁄ = 0,659 0,659 + 1,219⁄ = 0,351 𝐶𝑩𝑪 = 𝐾𝐵𝐶 𝐾𝐵𝐴 +𝐾𝐵𝐶 ⁄ = 1,219 0,659 + 1,219⁄ = 0,649 Em torno de C 𝐶𝑪𝑩 = 1,219 1,418 + 1,219⁄ = 0,462 𝐶𝐶𝐷 = 1,418 1,418 + 1,219⁄ = 0,538 Em torno de D 𝐶𝐷𝐶 = 1,418 1,418 + 1,227⁄ = 0,536 𝐶𝐷𝐸 = 1,227 1,418 + 1,227⁄ = 0,464 Em torno de E 𝐶𝐸𝐷 = 1,227 0,659 + 1,227⁄ = 0,651 𝐶𝐷𝐶 = 0,659 0,659 + 1,227⁄ = 0,349 8.1.4. Fator de transporte (Ft) 𝐹𝑡𝐴𝐵 = 0,5 𝑒 𝐹𝑡𝐵𝐴 = 0 𝐹𝑡𝐴𝐵 = 𝐹𝑡𝐵𝐴 = 0,5 8.1.5. MEP devido às cargas permanentes Trecho AB 𝑀𝑞1 = − 𝑝 . 𝑐2 . (2. 𝑙2 − 𝑐2) 8. 𝑙2 = − 7,99 . 0,762 . (2. 4,552 − 0,762) 8. 4,552 = −1,138 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑞2 = − 𝑝. 𝑐2 . (𝑙 + 𝑎)² 8. 𝑙2 = − 12,66 . 3,792 . (4,55 + 0,76)² 8. 4,552 = − 30,959 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = − 𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎) 2. 𝑙2 = − 14,9 . 0,76.3,79. (4,55 + 0,76) 2. 4,552 = − 5,504 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝2 = − 𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎) 2. 𝑙2 = − 30,8 . 2,65.1,9. (4,55 + 2,65) 2. 4,552 = − 26,966 𝑘𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐵𝐴 = −64,567 𝑘𝑁.𝑚 Trecho BC 𝑀𝐵𝐶: Mq1 = 𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2 = 12,66 . 1,62 . (6. 1,682 + 4.1,68.1,6 + 1,6²) 12. 3,282 Mq1 = 7,593 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑞2 = 𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2 = 13,88 . 1,6². (4 .1,6 . 1,68 + 1,68²) 12. 3,282 𝑀𝑞2 = 3,736 𝐾𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = 𝑃 . 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = 23,8 .1,6 . 1,682 3,282 = 9,99 𝐾𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐵𝐶 = 20,307 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝐶𝐵: 𝑀𝑞1 = − 𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2 = − 12,66 . 1,6². (4 .1,68 . 1,6 + 1,6²) 12. 3,282 𝑀𝑞1 = − 3,342 𝐾𝑁.𝑚 Mq2 = − 𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2 = − 13,88 . 1,682 . (6. 1,62 + 4.1,6.1,68 + 1,68²) 12. 3,282 𝑀𝑞2 = −8,780 𝐾𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = − 𝑃 . 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = − 23,8 .1,68 . 1,62 3,282 = −9,52 𝐾𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐶𝐵 = −21,642 𝑘𝑁.𝑚 Trecho CD 𝑀𝐶𝐷: 𝑀𝑞1 = 𝑞 . 𝑙2 12 = 10,38.2,82² 12 = 6,88 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = 𝑃 . 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = 21,6 .1,25 . 1,572 2,822 = 8,369 𝐾𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐶𝐷 = 15,249 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝐷𝐶: 𝑀𝑞1 = − 𝑞 . 𝑙2 12 = − 10,38.2,82² 12 = − 6,88 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = − 𝑃 . 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = − 21,6 .1,25² . 1,57 2,822 = −6,663 𝐾𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐷𝐶 = −13,543 𝑘𝑁.𝑚 Trecho DE 𝑀𝐷𝐸: Mq1 = 𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2 = 13,88 . 1,662 . (6. 1,62 + 4.1,66.1,6 + 1,66²) 12. 3,262 Mq1 = 8,619 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑞2 = 𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2 = 12,66 . 1,6². (4 .1,66 . 1,6 + 1,6²) 12. 3,262 𝑀𝑞2 = 3,351 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = 𝑃 . 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = 23,8 .1,66 . 1,6² 3,262 = 9,512 𝐾𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐷𝐸 = 21,482 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝐸𝐷: 𝑀𝑞1 = − 𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2 = − 13,88 . 1,66². (4 .1,66 . 1,6 + 1,66²) 12. 3,262 𝑀𝑞1 = − 4,013 𝑘𝑁.𝑚 Mq2 = − 𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2 = − 12,66 . 1,62 . (6. 1,662 + 4.1,66.1,6 + 1,6²) 12. 3,262 𝑀𝑞2 = −7,552 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = − 𝑃 . 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = − 23,8 .1,66² . 1,6 3,262 = −9,874 𝑘𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐸𝐷 = −21,439 𝑘𝑁.𝑚 Trecho EF 𝑀𝑞1 = 𝑝. 𝑐2 . (𝑙 + 𝑎)² 8. 𝑙2 = 12,66 . 3,792 . (4,55 + 0,76)² 8. 4,552 = 30,959 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑞2 = 𝑝 . 𝑐2 . (2. 𝑙2 − 𝑐2) 8. 𝑙2 = 8,73 . 0,762 . (2. 4,552 − 0,762) 8. 4,552 = 1,243 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = 𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎) 2. 𝑙2 = 30,0 . 2,95.1,6. (4,55 + 2,95) 2. 4,552 = 25,649 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝2 = 𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎) 2. 𝑙2 = 14,4 . 0,76.3,79. (4,55 + 0,76) 2. 4,552 = 5,319 𝑘𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐸𝐹 = 63,170 𝑘𝑁.𝑚 8.1.6. MEP devido às cargas acidentais Trecho AB 𝑀𝑞1 = − 𝑝 . 𝑐2 . (2. 𝑙2 − 𝑐2) 8. 𝑙2 = − 0,91 . 0,762 . (2. 4,552 − 0,762) 8. 4,552 = −0,129 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑞2 = − 𝑝. 𝑐2 . (𝑙 + 𝑎)² 8. 𝑙2 = − 3,96 . 3,792 . (4,55 + 0,76)² 8. 4,552 = − 9,684 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = − 𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎) 2. 𝑙2 = − 2,8 . 0,76.3,79. (4,55 + 0,76) 2. 4,552 = − 1,034 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝2 = − 𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎) 2. 𝑙2 = − 11,8 . 2,65.1,9. (4,55 + 2,65) 2. 4,552 = − 10,331 𝑘𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐵𝐴 = −21,18 𝑘𝑁.𝑚 Trecho BC 𝑀𝐵𝐶: Mq1 = 𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2 = 3,96. 1,62 . (6. 1,682 + 4.1,68.1,6 + 1,6²) 12. 3,282 Mq1 = 2,375 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑞2 = 𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2 = 4,76 . 1,6². (4 .1,6 . 1,68 + 1,68²) 12. 3,282 𝑀𝑞2 = 1,412 𝐾𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = 𝑃 . 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = 9,6 .1,6 . 1,682 3,282 = 4,029 𝐾𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐵𝐶 = 7,816 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝐶𝐵: 𝑀𝑞1 = − 𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2= − 3,96 . 1,6². (4 .1,68 . 1,6 + 1,6²) 12. 3,282 𝑀𝑞1 = − 1,045 𝐾𝑁.𝑚 Mq2 = − 𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2 = − 4,76 . 1,682 . (6. 1,62 + 4.1,6.1,68 + 1,68²) 12. 3,282 𝑀𝑞2 = −3,011 𝐾𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = − 𝑃 . 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = − 9,6 .1,68 . 1,62 3,282 = −3,837 𝐾𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐶𝐵 = −7,893 𝑘𝑁.𝑚 Trecho CD 𝑀𝐶𝐷: 𝑀𝑞1 = 𝑞 . 𝑙2 12 = 2,47.2,82² 12 = 1,637 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = 𝑃 . 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = 8,7 .1,25 . 1,572 2,822 = 3,371 𝐾𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐶𝐷 = 5,01 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝐷𝐶: 𝑀𝑞1 = − 𝑞 . 𝑙2 12 = − 2,47.2,82² 12 = − 1,637 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = − 𝑃 . 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = − 8,7 .1,25² . 1,57 2,822 = −2,683 𝐾𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐷𝐶 = −4,32 𝑘𝑁.𝑚 Trecho DE 𝑀𝐷𝐸: Mq1 = 𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2 = 4,76 . 1,662 . (6. 1,62 + 4.1,66.1,6 + 1,66²) 12. 3,262 Mq1 = 2,956 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑞2 = 𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2 = 3,96 . 1,6². (4 .1,66 . 1,6 + 1,6²) 12. 3,262 𝑀𝑞2 = 1,048 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = 𝑃 . 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = 9,6 .1,66 . 1,6² 3,262 = 3,839 𝐾𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐷𝐸 = 7,843 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝐸𝐷: 𝑀𝑞1 = − 𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2 = − 4,76 . 1,66². (4 .1,66 . 1,6 + 1,66²) 12. 3,262 𝑀𝑞1 = − 1,376 𝑘𝑁.𝑚 Mq2 = − 𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2) 12. 𝑙2 = − 3,96 . 1,62 . (6. 1,662 + 4.1,66.1,6 + 1,6²) 12. 3,262 𝑀𝑞2 = −2,362 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = − 𝑃 . 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = − 9,6 .1,66² . 1,6 3,262 = −3,983 𝑘𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐸𝐷 = −7,721 𝑘𝑁.𝑚 Trecho EF 𝑀𝑞1 = 𝑝. 𝑐2 . (𝑙 + 𝑎)² 8. 𝑙2 = 3,96 . 3,792 . (4,55 + 0,76)² 8. 4,552 = 9,684 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑞2 = 𝑝 . 𝑐2 . (2. 𝑙2 − 𝑐2) 8. 𝑙2 = 0,91 . 0,762 . (2. 4,552 − 0,762) 8. 4,552 = 0,129 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = 𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎) 2. 𝑙2 = 11,2 . 2,95.1,6. (4,55 + 2,95) 2. 4,552 = 9,576 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝2 = 𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎) 2. 𝑙2 = 3,0 . 0,76.3,79. (4,55 + 0,76) 2. 4,552 = 1,108 𝑘𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐵𝐴 = 20,497 𝑘𝑁.𝑚 8.1.7. Processo Iterativo de Cross (Momentos fletores negativos) Carga permanente Carga acidental 9. Diagrama das forças cortantes 9.1. Forças cortantes devido à carga permanente Trecho AB ∑𝑀𝐵 = 0 𝑉𝐴. 4,55 = 7,99. 0,76. ( 0.76 2 + 1,89 + 1,90) + 14,1. 3,79 + 12,66. 3,79. ( 3,79 2 ) + 30,8.1,9 𝑉𝐴. 4,55 = 228,2 ∴ 𝑉𝐴 = 50,16𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento 𝑁 𝑙 : 𝑉𝐴 = 50,16 − 10,66 = 39,5 𝑘𝑁 ∑𝐹𝑦 = 0 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 7,99.0,76 + 14,1 + 12,66. 3,79 + 30,80 = 98,96 𝑉𝐵 = 98,96 − 50,16 = 48,79 𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento 𝑁 𝑙 : 𝑉𝐵 = 48,79 + 10,66 = 59,5 𝑘𝑁 Trecho BC ∑𝑀𝐶 = 0 𝑉𝐵. 3,28 = 12,66. 1,60. ( 1,60 2 + 1,68) + 23,8. 1,68 + 13,88. 1,68. ( 1,68 2 ) 𝑉𝐵. 3,28 = 109,81 ∴ 𝑉𝐵 = 33,47𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento (𝑁𝑏−𝑁𝑐) 𝑙 : 𝑉𝐵 = 33,47 + 11,12 = 44,6 𝑘𝑁 ∑𝐹𝑦 = 0 𝑉𝐶 + 𝑉𝐵 = 12,66.1,60 + 23,8 + 13,88.1,68 = 67,37 𝑉𝐶 = 67,37 − 33,47 = 33,9 𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento (𝑁𝑏−𝑁𝑐) 𝑙 : 𝑉𝐶 = 33,9 − 11,12 = 22,8 𝑘𝑁 Trecho CD 𝑉𝐶 = 10,38.2,82 2 = 14,64 𝑘𝑁 𝑉𝐶 = 21,6.1,57 2,82 = 12,02 𝑘𝑁 𝑉𝐶 = 26,66 Com a parcela contribuinte do momento (𝑁𝐶−𝑁𝐷) 𝑙 : 𝑉𝐶 = 26,66 + 0,17 = 26,8 𝑘𝑁 ∑𝐹𝑦 = 0 𝑉𝐷 + 𝑉𝐶 = 10,38. 2,82 + 21,6 = 50,87 𝑘𝑁 𝑉𝐷 = 50,87 − 26,8 = 24,17 𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento (𝑁𝐶−𝑁𝐷) 𝑙 : 𝑉𝐷 = 24,17 − 0,17 = 24 𝑘𝑁 Trecho DE ∑𝑀𝐸 = 0 𝑉𝐷. 3,26 = 13,88. 1,66. ( 1,66 2 + 1,6) + 23,8. 1,6 + 12,66. 1,6. ( 1,6 2 ) 𝑉𝐷. 3,26 = 110,27 ∴ 𝑉𝐷 = 33,82 𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento (𝑁𝐷−𝑁𝐸) 𝑙 : 𝑉𝐷 = 33,82 − 11,13 = 22,7 𝑘𝑁 ∑𝐹𝑦 = 0 𝑉𝐸 + 𝑉𝐷 = 13,88.1,66 + 23,8 + 12,66.1,6 = 67,09 𝑉𝐸 = 67,09 − 33,82 = 33,27 𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento (𝑁𝐷−𝑁𝐸) 𝑙 : 𝑉𝐸 = 33,27 + 11,13 = 44,4 𝑘𝑁 Trecho EF ∑𝑀𝐹 = 0 𝑉𝐸. 4,55 = 12,66. 3,79. ( 3,79 2 + 0,76) + 30,0.2,95 + 7,99.0,76. ( 0,76 2 ) + 14,4.0,76 𝑉𝐸. 4,55 = 229,14 ∴ 𝑉𝐸 = 50,36𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento 𝑁 𝑙 : 𝑉𝐸 = 50,36 + 10,50 = 60,9 𝑘𝑁 ∑𝐹𝑦 = 0 𝑉𝐸 + 𝑉𝐹 = 7,99.0,76 + 14,4 + 12,66. 3,79 + 30,0 = 98,45 𝑉𝐹 = 98,45 − 50,36 = 48,09 𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento 𝑁 𝑙 : 𝑉𝐹 = 48,09 − 10,50 = 37,6 𝑘𝑁 9.2. Forças cortantes devido à carga acidental Trecho AB ∑𝑀𝐵 = 0 𝑉𝐴. 4,55 = 0,91. 0,76. ( 0.76 2 + 1,89 + 1,90) + 2,8. 3,79 + 3,96. 3,79. ( 3,79 2 ) + 11,8.1,9 𝑉𝐴. 4,55 = 64,34 ∴ 𝑉𝐴 = 14,14𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento 𝑁 𝑙 : 𝑉𝐴 = 14,14 − 3,58 = 10,6 𝑘𝑁 ∑𝐹𝑦 = 0 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 0,91.0,76 + 2,8 + 3,96. 3,79 + 11,8 = 30,29 𝑉𝐵 = 30,29 − 14,14 = 16,16 𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento 𝑁 𝑙 : 𝑉𝐵 = 16,16 + 3,58 = 19,7 𝑘𝑁 Trecho BC ∑𝑀𝐶 = 0 𝑉𝐵. 3,28 = 3,96. 1,60. ( 1,60 2 + 1,68) + 9,6. 1,68 + 4,76. 1,68. ( 1,68 2 ) 𝑉𝐵. 3,28 = 38,56 ∴ 𝑉𝐵 = 11,76𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento (𝑁𝑏−𝑁𝑐) 𝑙 : 𝑉𝐵 = 11,76 + 3,66 = 15,4 𝑘𝑁 ∑𝐹𝑦 = 0 𝑉𝐶 + 𝑉𝐵 = 3,96.1,60 + 9,6 + 4,76.1,68 = 23,93 𝑉𝐶 = 23,93 − 11,76 = 12,18 𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento (𝑁𝑏−𝑁𝑐) 𝑙 : 𝑉𝐶 = 12,18 − 3,68 = 8,5 𝑘𝑁 Trecho CD 𝑉𝐶 = 2,47.2,82 2 = 3,48 𝑘𝑁 𝑉𝐶 = 8,7.1,57 2,82 = 4,84 𝑘𝑁 𝑉𝐶 = 8,32 Com a parcela contribuinte do momento (𝑁𝐶−𝑁𝐷) 𝑙 : 𝑉𝐶 = 8,32 + 0,08 = 8,4 𝑘𝑁 ∑𝐹𝑦 = 0 𝑉𝐷 + 𝑉𝐶 = 2,47. 2,82 + 8,7 = 15,7 𝑘𝑁 𝑉𝐷 = 15,7 − 8,32 = 7,38 𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento (𝑁𝐶−𝑁𝐷) 𝑙 : 𝑉𝐷 = 7,38 − 0,08 = 7,3 𝑘𝑁 Trecho DE ∑𝑀𝐸 = 0 𝑉𝐷. 3,26 = 4,76. 1,66. ( 1,66 2 + 1,6) + 9,6. 1,6 + 3,96. 1,6. ( 1,6 2 ) 𝑉𝐷. 3,26 = 39,63 ∴ 𝑉𝐷 = 12,16 𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento (𝑁𝐷−𝑁𝐸) 𝑙 : 𝑉𝐷 = 12,17 − 3,71 = 8,5 𝑘𝑁 ∑𝐹𝑦 = 0 𝑉𝐸 + 𝑉𝐷 = 4,76.1,66 + 9,6 + 3,96.1,6 = 23,84𝑘𝑁 𝑉𝐸 = 23,84 − 12,17 = 11,67 𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento (𝑁𝐷−𝑁𝐸) 𝑙 : 𝑉𝐸 = 11,67 + 3,71 = 15,3 𝑘𝑁 Trecho EF ∑𝑀𝐹 = 0 𝑉𝐸. 4,55 = 3,96. 3,79. ( 3,79 2 + 0,76) + 11,2.2,95 + 0,91.0,76. ( 0,76 2 ) + 3,0. 0,76 𝑉𝐸. 4,55 = 75,43 ∴ 𝑉𝐸 = 16,57𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento 𝑁 𝑙 : 𝑉𝐸 = 16,57 + 3,6 = 20,1 𝑘𝑁 ∑𝐹𝑦 = 0 𝑉𝐸 + 𝑉𝐹 = 0,91.0,76 + 11,2 + 3,96. 3,79 + 3,0 = 29,9 𝑉𝐹 = 29,9 − 16,57 = 13,33 𝑘𝑁 Com a parcela contribuinte do momento 𝑁 𝑙 : 𝑉𝐹 = 13,33 − 3,6 = 9,8 𝑘𝑁 9.3. Construção do diagrama a partir das forças cortantes A partir dos valores cortantes encontrados, constrói-se o diagrama, obtendo, assim, as reações em cada apoio a partir da soma das cortantes – em módulo – no mesmo. Permanente Acidental 10. Momentos máximos positivos 10.1. Momentos positivos das cargas permanentes Trecho AB A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o momento máximo será retirado desta: 39,5.0,76 − 7,99.0,76.0,76 2 = 27,7, 𝑒𝑚 𝑥 = 0 𝑀𝑠(𝑥) = 19,3𝑥 − 12,66 2 . 𝑥² + 27,7 Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico:12,66. 𝑥 = 19,3 ∴ 𝑥 = 1,52 Portanto: 𝑀𝑠(1,52) = 42,43 ≅ 42,5 𝑘𝑁.𝑚 Trecho BC A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o momento máximo será retirado desta: 44,6.1,6 − 12,66.1,60.1,60 2 − 48,5 = 6,7, 𝑒𝑚 𝑥 = 0 𝑀𝑠(𝑥) = 0,6𝑥 − 13,88 2 . 𝑥² + 6,7 Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 13,88. 𝑥 = 0,6 ∴ 𝑥 = 0,04 Portanto: 𝑀𝑠(0,04) = 6,7 𝑘𝑁.𝑚 Trecho CD A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,25𝑚: 𝑀𝑠(𝑥) = 26,8. 𝑥 − 10,38 2 . 𝑥² − 12 Portanto: 𝑀𝑠(1,25) = 13,46 ≅ 13,5 𝑘𝑁.𝑚 Trecho DE A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na primeira seção. Portanto, o momento máximo será retirado desta: 𝑀𝑠(𝑥) = 22,7. 𝑥 − 13,88 2 . 𝑥² − 11,5 Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 13,88. 𝑥 = 22,7 ∴ 𝑥 = 1,64 Portanto: 𝑀𝑠(1,64) = 7,06 ≅ 7,1 𝑘𝑁.𝑚 Trecho EF A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o momento máximo será retirado desta: 60,9.1,60 − 12,66.1,60.1,60 2 − 47,8 = 33,4 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 𝑀𝑠(𝑥) = 10,6𝑥 − 12,66 2 . 𝑥² + 33,4 Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 12,66. 𝑥 = 10,6 ∴ 𝑥 = 0,84 Portanto: 𝑀𝑠(0,84) = 37,8 𝑘𝑁.𝑚 10.2. Momentos positivos das cargas acidentais Trecho AB A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o momento máximo será retirado desta: 10,6.0,76 − 0,91.0,76.0,76 2 = 7,8, 𝑒𝑚 𝑥 = 0 𝑀𝑠(𝑥) = 7,1. 𝑥 − 3,96 2 . 𝑥² + 7,8 Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 3,96. 𝑥 = 7,1 ∴ 𝑥 = 1,785𝑚 Portanto: 𝑀𝑠(1,785) = 14,08 ≅ 14,1 𝑘𝑁.𝑚 Trecho BC A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,60𝑚: 𝑀𝑠(𝑥) = 15,4. 𝑥 − 3,96 2 . 𝑥² − 16,3 Portanto: 𝑀𝑠(1,60) = 3,27 ≅ 3,3 𝑘𝑁.𝑚 Trecho CD A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,25𝑚: 𝑀𝑠(𝑥) = 8,4. 𝑥 − 2,47 2 . 𝑥² − 4,3 Portanto: 𝑀𝑠(1,25) = 4,23 ≅ 4,2 𝑘𝑁.𝑚 Trecho DE A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,66𝑚: 𝑀𝑠(𝑥) = 8,5. 𝑥 − 4,76 2 . 𝑥² − 4,2 Portanto: 𝑀𝑠(1,66) = 3,46 ≅ 3,5 𝑘𝑁.𝑚 Trecho EF A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o momento máximo será retirado desta: 20,1.1,60 − 3,96.1,60.1,60 2 − 15,9 = 11,1 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 𝑀𝑠(𝑥) = 2,5. 𝑥 − 3,96 2 . 𝑥² + 11,1 Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 3,96. 𝑥 = 2,5 ∴ 𝑥 = 0,63 Portanto: 𝑀𝑠(0,63) = 11,88 ≅ 11,9 𝑘𝑁.𝑚 10.3. Diagrama dos momentos fletores permanente e variável Permanente Acidental 10.4. Diagrama dos momentos fletores total (apoios rotulados) Para isso, somam-se as solicitações e reações previamente encontradas e também os momentos máximos negativos. Assim, tem-se o diagrama total da cortante e os momentos totais negativos: Trecho AB A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o momento máximo será retirado desta: 50,1.0,76 − 8,90.0,76.0,76 2 = 35,5, 𝑒𝑚 𝑥 = 0 𝑀𝑠(𝑥) = 26,4. 𝑥 − 16,62 2 . 𝑥² + 35,5 Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 16,62. 𝑥 = 26,4 ∴ 𝑥 = 1,588𝑚 Portanto: 𝑀𝑠(1,588) = 56,4 𝑘𝑁.𝑚 Trecho BC A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,60𝑚: 𝑀𝑠(𝑥) = 60. 𝑥 − 16,62 2 . 𝑥² − 64,8 Portanto: 𝑀𝑠(1,60) = 10,0 𝑘𝑁.𝑚 Trecho CD A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,25𝑚: 𝑀𝑠(𝑥) = 35,2. 𝑥 − 12,85 2 . 𝑥² − 16,3 Portanto: 𝑀𝑠(1,25) = 17,7 𝑘𝑁.𝑚 Trecho DE A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,66𝑚: 𝑀𝑠(𝑥) = 31,3. 𝑥 − 18,64 2 . 𝑥² − 15,7 Portanto: 𝑀𝑠(1,66) = 10,5 𝑘𝑁.𝑚 Trecho EF A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o momento máximo será retirado desta: 80,90.1,60 − 16,62.1,60.1,60 2 − 63,7 = 44,5 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 𝑀𝑠(𝑥) = 13,1. 𝑥 − 16,62 2 . 𝑥² + 44,5 Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 16,62. 𝑥 = 13,1 ∴ 𝑥 = 0,788 Portanto: 𝑀𝑠(0,63) = 49,7 𝑘𝑁.𝑚 Assim, o diagrama será: 10.5. Diagrama dos momentos fletores com apoios engastados Deve ser construído o diagrama dos momentos fletores para apoios intermediários engastados e comparado os momentos positivos dele com os anteriormente calculados. Permanente Trecho AB 𝑀𝐵 = −64,567 𝑘𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐵 = 0 𝑉𝐴. 4,55 = 7,99. 0,76. ( 0.76 2 + 1,89 + 1,90) + 14,1. 3,79 + 12,66. 3,79. ( 3,79 2 ) + 30,8.1,9 − 64,567 𝑉𝐴. 4,55 = 163,63 ∴ 𝑉𝐴 = 36,0 𝑘𝑁 Com a reação, tem-se o diagrama cortante: A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o momento máximo será retirado desta: 36,0.0,76 − 7,99.0,76.0,76 2 = 25,1 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 𝑀𝑠(𝑥) = 15,9𝑥 − 12,66 2 . 𝑥² + 25,1 Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 12,66. 𝑥 = 15,9 ∴ 𝑥 = 1,256 Portanto: 𝑀𝑠(1,256) = 35,0 𝑘𝑁.𝑚 Trecho BC 𝑀𝐵𝐶 = 20,307 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝐶𝐵 = −21,642 𝑘𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐶 = 0 𝑉𝐵. 3,28 = 12,66. 1,60. ( 1,60 2 + 1,68) + 23,8. 1,68 + 13,88. 1,68. ( 1,68 2 ) − 20,307 + 21,642 𝑉𝐵. 3,28 = 111,14 ∴ 𝑉𝐵 = 33,5𝑘𝑁 Com a reação, tem-se o diagrama cortante: A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,60𝑚: 𝑀𝑠(𝑥) = 33,5𝑥 − 12,66 2 . 𝑥² − 21,65 Portanto: 𝑀𝑠(1,60) = 15,7 𝑘𝑁.𝑚 Trecho CD 𝑀𝐶𝐷 = 15,249 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝐶𝐷 = −13,543 𝑘𝑁.𝑚 𝑉𝐶 = 10,38.2,82 2 = 14,64 𝑘𝑁 𝑉𝐶 = 21,6.1,57². (3.1,25 + 1,57) 2,82³ = 12,63 𝑘𝑁 𝑉𝐶 = 27,3 𝑘𝑁 Com a reação, tem-se o diagrama cortante: A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,25𝑚: 𝑀𝑠(𝑥) = 27,3. 𝑥 − 10,38 2 . 𝑥² − 15,2 Portanto: 𝑀𝑠(1,25) = 10,7 𝑘𝑁.𝑚 Trecho DE 𝑀𝐷𝐸 = 21,482 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝐸𝐷 = −21,439 𝑘𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐸 = 0 𝑉𝐷. 3,26 = 13,88. 1,66. ( 1,66 2 + 1,6) + 23,8. 1,6 + 12,66. 1,6. ( 1,6 2 ) − 21,482 + 21,439 𝑉𝐷. 3,26 = 110,22 ∴ 𝑉𝐷 = 33,8 𝑘𝑁 Com a reação, tem-se o diagrama cortante: A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,66𝑚: 𝑀𝑠(𝑥) = 33,8. 𝑥 − 13,88 2 . 𝑥² − 21,482 Portanto: 𝑀𝑠(1,66) = 15,6 𝑘𝑁.𝑚 Trecho EF 𝑀𝐸𝐹 = 63,170 𝑘𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐹 = 0 𝑉𝐸. 4,55 = 12,66. 3,79. ( 3,79 2 + 0,76) + 30,0.2,95+ 7,99.0,76. ( 0,76 2 ) + 14,4.0,76 + 63,170 𝑉𝐸. 4,55 = 292,31 ∴ 𝑉𝐸 = 64,2 𝑘𝑁 Com a reação, tem-se o diagrama cortante: A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o momento máximo será retirado desta: 64,2.1,60 − 12,66.1,60.1,60 2 − 63,17 = 23,5 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 𝑀𝑠(𝑥) = 14,0. 𝑥 − 12,66 2 . 𝑥² + 23,5 Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 12,66. 𝑥 = 14,0 ∴ 𝑥 = 1,11 Portanto: 𝑀𝑠(1,11) = 31,2 𝑘𝑁.𝑚 Assim, o diagrama permanente se configura da seguinte forma: Acidental Trecho AB 𝑀𝐵𝐴 = −21,18 𝑘𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐵 = 0 𝑉𝐴. 4,55 = 0,91. 0,76. ( 0.76 2 + 1,89 + 1,90) + 2,8. 3,79 + 3,96. 3,79. ( 3,79 2 ) + 11,8.1,9 − 21,18 𝑉𝐴. 4,55 = 43,16 ∴ 𝑉𝐴 = 9,5 𝑘𝑁 Com a reação, tem-se o diagrama cortante: A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o momento máximo será retirado desta: 9,5.0,76 − 0,91.0,76.0,76 2 = 6,9, 𝑒𝑚 𝑥 = 0 𝑀𝑠(𝑥) = 6,0. 𝑥 − 3,96 2 . 𝑥² + 6,9 Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 3,96. 𝑥 = 6,0 ∴ 𝑥 = 1,515 𝑚 Portanto: 𝑀𝑠(1,785) = 11,5 𝑘𝑁.𝑚 Trecho BC 𝑀𝐵𝐶 = 7,816 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝐶𝐵 = −7,893 𝑘𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐶 = 0 𝑉𝐵. 3,28 = 3,96. 1,60. ( 1,60 2 + 1,68) + 9,6. 1,68 + 4,76. 1,68. ( 1,68 2 ) + 7,816 − 7,893 𝑉𝐵. 3,28 = 38,63 ∴ 𝑉𝐵 = 11,7𝑘𝑁 Com a reação, tem-se o diagrama cortante: A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,60𝑚: 𝑀𝑠(𝑥) = 11,7. 𝑥 − 3,96 2 . 𝑥² − 7,8 Portanto: 𝑀𝑠(1,60) = 5,9 𝑘𝑁.𝑚 Trecho CD 𝑀𝐶𝐷 = 5,01 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝐷𝐶 = −4,32 𝑘𝑁.𝑚 𝑉𝐶 = 2,47.2,82 2 = 3,48 𝑘𝑁 𝑉𝐶 = 8,7.1,57². (3.1,25 + 1,57) 2,82³ = 5,08 𝑘𝑁 𝑉𝐶 = 8,6 𝑘𝑁 Com a reação, tem-se o diagrama cortante: A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,25𝑚: 𝑀𝑠(𝑥) = 8,6. 𝑥 − 2,47 2 . 𝑥² − 5 Portanto: 𝑀𝑠(1,25) = 3,8 𝑘𝑁.𝑚 Trecho DE 𝑀𝐷𝐸 = 7,843 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝐸𝐷 = −7,721 𝑘𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐸 = 0 𝑉𝐷. 3,26 = 4,76. 1,66. ( 1,66 2 + 1,6) + 9,6. 1,6 + 3,96. 1,6. ( 1,6 2 ) + 7,843 − 7,721 𝑉𝐷. 3,26 = 39,51 ∴ 𝑉𝐷 = 12,2 𝑘𝑁 Com a reação, tem-se o diagrama cortante: A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,66𝑚: 𝑀𝑠(𝑥) = 12,2. 𝑥 − 4,76 2 . 𝑥² − 7,8 Portanto: 𝑀𝑠(1,66) = 5,8 𝑘𝑁.𝑚 Trecho EF 𝑀𝐸𝐹 = 20,497 𝑘𝑁.𝑚 ∑𝑀𝐹 = 0 𝑉𝐸. 4,55 = 3,96. 3,79. ( 3,79 2 + 0,76) + 11,2.2,95 + 0,91.0,76. ( 0,76 2 ) + 3,0. 0,76 + 20,497 𝑉𝐸. 4,55 = 95,93 ∴ 𝑉𝐸 = 21,1 𝑘𝑁 Com a reação, tem-se o diagrama cortante: A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o momento máximo será retirado desta: 21,1.1,60 − 3,96.1,60.1,60 2 − 20,497 = 8,2 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 𝑀𝑠(𝑥) = 3,5. 𝑥 − 3,96 2 . 𝑥² + 8,2 Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 3,96. 𝑥 = 3,5 ∴ 𝑥 = 0,88 Portanto: 𝑀𝑠(0,88) = 9,8 𝑘𝑁.𝑚 Assim, o diagrama permanente se configura da seguinte forma: 10.6. Diagrama dos momentos fletores total (apoios engastados) Para isso, somam-se os momentos que se encontram no mesmo ponto e, através da cortante e dos máximos negativos, calcula-se os de pontos diferentes. Assim: Trecho AB A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o momento máximo será retirado desta: 45,5.0,76 − 8,90.0,76.0,76 2 = 32 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 𝑀𝑠(𝑥) = 21,9. 𝑥 − 16,62 2 . 𝑥² + 32 Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 16,62. 𝑥 = 21,9 ∴ 𝑥 = 1,318𝑚 Portanto: 𝑀𝑠(1,318) = 46,4 𝑘𝑁.𝑚 Trecho EF A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o momento máximo será retirado desta: 85,30.1,60 − 16,62.1,60.1,60 2 − 83,6 = 31,7 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 𝑀𝑠(𝑥) = 17,5. 𝑥 − 16,62 2 . 𝑥² + 31,7 Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 16,62. 𝑥 = 17,5 ∴ 𝑥 = 1,05 Portanto: 𝑀𝑠(1,05) = 40,9 𝑘𝑁.𝑚 Assim, o diagrama será: 11. Momentos de cálculo da V124 Vão 1 𝑀1 = 55,7 𝑘𝑁 𝑀𝑑1 = 55,7 .1,4 = 79,0 𝑘𝑁 Apoio B 𝑀𝐵 = 64,8 𝑘𝑁 𝑀𝑑𝐵 = 64,8 .1,4 = 90,7 𝑘𝑁 Vão 2 𝑀2 = 21,6 𝑘𝑁 𝑀𝑑2 = 21,6 . 1,4 = 30,24 𝑘𝑁 Apoio C 𝑀𝐶 = 16,3 𝑘𝑁 𝑀𝑑𝐶 = 16,3 .1,4 = 22,8 𝑘𝑁 Vão 3 𝑀3 = 17,7𝑘𝑁 𝑀𝑑3 = 17,7 .1,4 = 24,8 𝑘𝑁 Apoio D 𝑀𝐷 = 15,7 𝑘𝑁 𝑀𝑑𝐷 = 15,7 .1,4 = 90,7 𝑘𝑁 Vão 4 𝑀4 = 21,4 𝑘𝑁 𝑀𝑑4 = 21,4 .1,4 = 29,96 𝑘𝑁 Apoio E 𝑀𝐸 = 63,7 𝑘𝑁 𝑀𝑑𝐸 = 63,7 .1,4 = 89,2 𝑘𝑁 Vão 5 𝑀5 = 49,7 𝑘𝑁 𝑀𝑑5 = 49,7 .1,4 = 69,6 𝑘𝑁 12. Cálculo do Momento de Extremidade da viga Têm-se pilares de mesma seção na parte inferior e na parte superior da viga e as extremidades, direita e esquerda, tem mesmo comprimento e mesma seção. Logo: 𝑟𝑖𝑛𝑓 = 𝑟𝑠𝑢𝑝 = 𝑟 = 𝐼𝑖𝑛𝑓 ℎ 2 = 𝐼𝑠𝑢𝑝 ℎ 2 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎,𝐴𝐵 = 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎,𝐸𝐹 = 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝐼 𝑙 𝐼 = 𝑏. ℎ3 12 Então: 𝐼 = 0,4. 0,153 12 = 1,125. 10−4𝑚4 𝑟 = 1,125. 10−4 2.8 2 = 8,04. 10−5𝑚3 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 = 1,125. 10−4 4,55 = 2,47. 10−5𝑚3 12.1. Momento de extremidade devido à carga permanente TRECHO AB 𝑀𝑞1 = 𝑞1. 𝑐2 12. 𝑙2 . [6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2] 𝑀𝑞1 = 7,99. 0,762 12. 4,552 . [6. 3,792 + 4 . 3,79 . 0,76 + 3,792] 𝑀𝑞1 = 2,08 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑞2 = 𝑞2. 𝑐2 12. 𝑙2 . [4. 𝑎. 𝑐 + 𝑐2] 𝑀𝑞2 = 12,66 . 3,792 12 . 4,552 . [4. 0,76 . 3,79 + 3,792] 𝑀𝑞2 = 18,95 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = 𝑝1. 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = 14,1 . 0,76 . 3,792 4,552 𝑀𝑝1 = 7,44 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝2 = 𝑝2. 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = 30,8 . 2,65 . 1,9² 4,55² 𝑀𝑝2 = 14,23 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑒𝑛𝑔 =∑𝑀𝑞1 +𝑀𝑞2 +𝑀𝑝1 +𝑀𝑝2 = 42,70 𝑘𝑁.𝑚 TRECHO EF 𝑀𝑞1 = − 𝑞1. 𝑐2 12. 𝑙2 . [4. 𝑎. 𝑐 + 𝑐2] 𝑀𝑞1 = − 12,66 . 3,792 12. 4,552 . [4 .0,76 . 3,79 + 3,792] 𝑀𝑞2 = −18,95 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑞2 = − 𝑞1. 𝑐2 12. 𝑙2 . [6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2] 𝑀𝑞2 = − 7,99. 0,762 12. 4,552 . [6. 3,792 + 4.3,79.0,76 + 3,792] 𝑀𝑞1 = −2,08 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = − 𝑝1. 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = 30 . 1,6² . 2,95 4,552 𝑀𝑝1 = −10,94 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝2 = − 𝑝2. 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = 14,4 . 0,76 . 3,79² 4,55² 𝑀𝑝2 = −7,59 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑒𝑛𝑔 =∑𝑀𝑞1 +𝑀𝑞2 +𝑀𝑝1 +𝑀𝑝2 = −39,56 𝑘𝑁.𝑚 12.2. Momento de extremidade devido à carga acidental Trecho AB 𝑀𝑞1 = 𝑞1. 𝑐2 12. 𝑙2 . [6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2] 𝑀𝑞1 = 0,91 . 0,762 12. 4,552 . [6. 3,792 + 4 . 3,79 . 0,76 + 3,792] 𝑀𝑞1 = 0,237 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑞2 = 𝑞2. 𝑐2 12. 𝑙2 . [4. 𝑎. 𝑐 + 𝑐2] 𝑀𝑞2 = 3,96 . 3,792 12 . 4,552 . [4. 0,76 . 3,79 + 3,792] 𝑀𝑞2 = 5,93 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = 𝑝1. 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = 2,8 . 0,76 . 3,792 4,552 𝑀𝑝1 = 1,48 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝2 = 𝑝2. 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = 11,8 . 2,65 . 1,9² 4,55² 𝑀𝑝2 = 5,45 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑒𝑛𝑔 =∑𝑀𝑞1 +𝑀𝑞2 +𝑀𝑝1 +𝑀𝑝2 = 13,09 𝑘𝑁.𝑚 Trecho EF 𝑀𝑞1 = − 𝑞1. 𝑐2 12. 𝑙2 . [4. 𝑎. 𝑐 + 𝑐2] 𝑀𝑞1 = − 3,96 . 3,792 12. 4,552 . [4 .0,76 . 3,79 + 3,792] 𝑀𝑞2 = −5,93 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑞2 = − 𝑞1. 𝑐2 12. 𝑙2 . [6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2] 𝑀𝑞2 = − 0,91 . 0,762 12. 4,552 . [6 . 3,792 + 4 . 3,79 . 0,76 + 3,792] 𝑀𝑞1 = −0,237 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝1 = − 𝑝1. 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = 11,2 . 1,6² . 2,95 4,552 𝑀𝑝1 = −4,09 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑝2 = − 𝑝2. 𝑎. 𝑏2 𝑙2 = − 3 . 0,76 . 3,79² 4,55² 𝑀𝑝2 = −1,58 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑒𝑛𝑔 =∑𝑀𝑞1 +𝑀𝑞2 +𝑀𝑝1 +𝑀𝑝2 = −11,84 𝑘𝑁.𝑚 12.3. Momentos totais de extremidade Apoio A 𝑀𝐴 = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑚,𝐴𝐵 + 𝑀𝑎𝑐𝑖𝑑,𝐴𝐵 𝑀𝐴 = 42,7 + 13,09 = 55,79 𝑘𝑁.𝑚 Apoio F 𝑀𝐹 = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑚,𝐸𝐹 + 𝑀𝑎𝑐𝑖𝑑,𝐸𝐹 𝑀𝐹 = 39,56 + 11,84 = 51,40 𝑘𝑁.𝑚 13. Diagrama do momento fletor V124 14. Cálculo da armadura longitudinal 14.1. Armadura longitudinal mínima 𝜌𝑚í𝑛 = 0,173% 𝑨𝒔𝒎í𝒏 = 𝜌𝑚í𝑛. 𝑏𝑤 . ℎ 𝐴𝑠𝑚í𝑛 = 0,173 100 . 15 .50 = 1,2975 𝑐𝑚² 14.2. Armadura longitudinal positiva Vão 1 𝑀𝟏 = 55,7 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐴𝐵 = 1,4 .𝑀1 = 77,98 𝑘𝑁.𝑚 = 7798 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 𝐾𝑀𝐷 = 𝑀𝑑 𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑 = 7798 15 . 45² . 2,14 = 0,119 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 → 𝑘𝑧 = 0,9881 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 = 7798 0,9881 . 45 . 43,48 = 4,03 𝑐𝑚² 4 ∅ 12,5 𝑚𝑚 Vão 2 𝑀𝟐 = 21,6 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐵𝐶 = 1,4 .𝑀2 = 30,24 𝑘𝑁.𝑚 = 3024 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 𝐾𝑀𝐷 = 𝑀𝑑 𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑 = 3024 15 . 45² . 2,14 = 0,047 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 → 𝑘𝑧 = 0,9728 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 = 3024 0,9728 . 45 . 43,48 = 1,59 𝑐𝑚² 2 ∅ 12,5 𝑚𝑚 Vão 3 𝑀𝟑 = 17,7 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐶𝐷 = 1,4 .𝑀3 = 24,78 𝑘𝑁.𝑚 = 2478 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 𝐾𝑀𝐷 = 𝑀𝑑 𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑 = 2478 15 . 45² . 2,14 = 0,038 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 → 𝑘𝑧 = 0,9759 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 = 2478 0,9759 . 45 . 43,48 = 1,298 𝑐𝑚² 2 ∅ 12,5 𝑚𝑚 Vão 4 𝑀𝟒 = 21,4 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐷𝐸 = 1,4 .𝑀4 = 29,96 𝑘𝑁.𝑚 = 2996 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 𝐾𝑀𝐷 = 𝑀𝑑 𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑 = 2996 15 . 45² . 2,14 = 0,046 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 → 𝑘𝑧 = 0,9728 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 = 2996 0,9728 . 45 . 43,48 = 1,57 𝑐𝑚² 2 ∅ 12,5 𝑚𝑚 Vão 5 𝑀𝟓 = 49,7 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐸𝐹 = 1,4 .𝑀5 = 69,58 𝑘𝑁.𝑚 = 6958 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 𝐾𝑀𝐷 = 𝑀𝑑 𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑 = 6958 15 . 45² . 2,14 = 0,107 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 → 𝑘𝑧 = 0,9941 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 = 6958 0,9941 . 45 . 43,48 = 3,58 𝑐𝑚² 4 ∅ 12,5 𝑚𝑚 14.3. Armadura longitudinal negativa Apoio A 𝑀𝑨 = 55,79 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐴𝐵 − = 1,4 .𝑀𝐴 = 78,12 𝑘𝑁.𝑚 = 7812 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 𝐾𝑀𝐷 = 𝑀𝑑 𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑 = 7812 15 . 45² . 2,14 = 0,12 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 → 𝑘𝑧 = 0,9236 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 = 7812 0,9236 . 45 . 43,48 = 4,32 𝑐𝑚² 4 ∅ 12,5 𝑚𝑚 Apoio B 𝑀𝑩 = 64,8 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐵 = 1,4 .𝑀𝐵 = 90,72 𝑘𝑁.𝑚 = 9072 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 𝐾𝑀𝐷 = 𝑀𝑑 𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑 = 9072 15 . 45² . 2,14 = 0,1395 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 → 𝑘𝑧 = 0,9094 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 = 9072 0,9094 . 45 . 43,48 = 5,1 𝑐𝑚² 3 ∅ 16 𝑚𝑚 Apoio C 𝑀𝑪 = 16,3 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐶 − = 1,4 .𝑀𝐶 − = 22,82 𝑘𝑁.𝑚 = 2282 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 𝐾𝑀𝐷 = 𝑀𝑑 𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑 = 2282 15 . 45² . 2,14 = 0,0351 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 → 𝑘𝑧 = 0,9759 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 = 2282 0,9759 . 45 . 43,48 = 1,19 𝑐𝑚² Será utilizada armadura mínima nessa seção: 𝐴𝑠𝑚í𝑛 = 1,2975 𝑐𝑚² 2 ∅ 10 𝑚𝑚 Apoio D 𝑀𝑫 = 15,7 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐷 − = 1,4 .𝑀𝐷 = 21,98 𝑘𝑁.𝑚 = 2198 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 𝐾𝑀𝐷 = 𝑀𝑑 𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑 = 2198 15 . 45² . 2,14 = 0,033 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 → 𝑘𝑧 = 0,9820 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 = 2198 0,982 . 45 . 43,48 = 1,14 𝑐𝑚² Será utilizada armadura mínima nessa seção: 𝐴𝑠𝑚í𝑛 = 1,2975 𝑐𝑚² 2 ∅ 10 𝑚𝑚 Apoio E 𝑀𝑬 = 63,7 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐸 − = 1,4 .𝑀𝐸 = 89,18 𝑘𝑁.𝑚 = 8918 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 𝐾𝑀𝐷 = 𝑀𝑑 𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑 = 8918 15 . 45² . 2,14 = 0,1371 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 → 𝑘𝑧 = 0,913 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 = 8918 0,913 . 45 . 43,48 = 4,99 𝑐𝑚² 3 ∅ 16 𝑚𝑚 Apoio F 𝑀𝑭 = 51,4 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐹 − = 1,4 .𝑀𝐹 = 71,96 𝑘𝑁.𝑚 = 7196 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 𝐾𝑀𝐷 = 𝑀𝑑 𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑 = 7196 15 . 45² . 2,14 = 0,111 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 → 𝑘𝑧 = 0,9305 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 = 7196 0,9305 . 45 . 43,48 = 3,95 𝑐𝑚² 4 ∅ 12,5 𝑚𝑚 15. Seções verticais 15.1. Verificação da altura útil Será verificada a altura útil para a seção mais critica: Apoio E 𝑀𝑬 = 63,7 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐸 = 1,4 .𝑀𝐸 = 89,18 𝑘𝑁.𝑚 = 8918 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 𝐴𝑠 = 4,99 𝑐𝑚² 4 ∅ 16 𝑚𝑚 Sendo: c: cobrimento nominal; bw: largura da base da peça; ev: espaçamento vertical entre barras; eh: espaçamento horizontal entre barras; Øt: bitola do estribo; Øl: bitola da armadura; cg: centro de gravidade da armadura. 𝑒𝑣 ≥ { 2 𝑐𝑚 0,5 . ∅𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 = 0,5 . 1,9 = 0,95 𝑐𝑚 ∅1 = 1,6 ∴ 𝑒𝑣 = 2 𝑐𝑚 𝑑 = ℎ − 𝑥 𝑥 = 𝑐 + ∅𝑡 + ∅1 + 𝑐𝑔 2 = 3 + 1,6 + 0,5 + 2 2 = 6,1 𝑐𝑚 𝑑 = 50 − 6,1 = 43,9 𝑐𝑚 Portanto, como a altura útil utilizada é 𝑑 = 45 𝑐𝑚, o valor é próximo da altura mínima calculado, tornando a seção normalmente armada. 15.2. Verificação do bw Semelhante à verificação da altura útil, a largura será verificada na seção mais critica: Apoio E 𝑀𝑬 = 63,7 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐸 − = 1,4 .𝑀𝐸 = 89,18 𝑘𝑁.𝑚 = 8918 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 𝐴𝑠 = 4,99 𝑐𝑚² 4 ∅ 16 𝑚𝑚 𝑏𝑤 = 𝑛 . ∅1 + (𝑛 − 1). 𝑒ℎ + 2. (𝑐 + ∅𝑡) 𝑒ℎ ≥ { 2 𝑐𝑚 1,2 . ∅𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 = 1,2 . 1,9 = 2,28 𝑐𝑚 ∅1 = 1,6 𝑐𝑚 𝑏𝑤 = 2 .1,6 + (2 − 1). 2,28 + 2. (3 + 0,5) = 12,48 𝑐𝑚 Portanto, como a largura utilizada é menor que a largura mínima encontrada, a vida satisfaz a exigência. 16. Cálculo da armadura transversal 16.1. Armadura transversal mínima 𝜌𝑠𝑤,𝑚í𝑛 = 0,2. (0,3. √𝑓𝑐𝑘2) 3 𝑓𝑦𝑤𝑘 𝜌𝑠𝑤,𝑚í𝑛 = 0,2. (0,3. √302) 3 600 = 9,655 . 10−4 𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑠𝑤,𝑚í𝑛. 𝑏𝑤 𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛 = 9,655 . 10 −4. 15 = 0,01448 𝑐𝑚2 𝑐𝑚 = 1,45 𝑐𝑚²/𝑚 𝜂𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 = 𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛 𝐴𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝜂𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 = 1,45 𝜋. 0,5² 4 . 2 = 3,69 𝑠 = 100 𝜂𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑠 = 100 3,69 = 27,08 𝑐𝑚 Usa-se para armadura transversal mínima: 4 ∅ 5 𝑚𝑚 / 𝑠 = 25 𝑐𝑚 16.2. Verificação da resistência ao cortante "Asw,mín" 𝑉𝑑 ≤ 0,67 . 𝑉𝑅𝑑2, 𝑠𝑚á𝑥 = 0,6 . 𝑑 ≤ 30 𝑐𝑚 𝑠𝑚á𝑥 = 27 𝑐𝑚 (𝑂𝐾!) 𝜂𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 = 100 27 = 3,7 𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛 = 1,45 𝑐𝑚²/𝑐𝑚 𝑉𝑅𝐷3 = 𝑉𝑠𝑤 + 𝑉𝑐 𝑉𝑠𝑤 = 𝐴𝑠𝑤. 0,9 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑤𝑘 = 25,62 𝑘𝑁 𝑉𝐶 = 0,6 . 𝑓𝑐𝑡𝑏 . 𝑏𝑤. 𝑑 = 58,73 𝑘𝑁 𝑉𝑅𝐷3 = 𝑉𝑠𝑤 + 𝑉𝑐 = 84,35 𝑘𝑁 Conclui-se que quaisquer esforços cortantes menores ou iguais ao VRD3, a armadura mínima será suficiente para conter os esforços. 16.3. Cálculo da armadura transversal para VSD > VRD3 Apoio B 𝑉𝑠𝑤,𝐵 = 𝑉𝑠𝑑,𝐵 − 𝑉𝑐𝑉𝑠𝑤,𝐵 = 110,9 − 58,73 = 52,17 𝑘𝑁 𝐴𝑠𝑤 𝑠 = 𝑉𝑠𝑤 0,9 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑤𝑑 𝐴𝑠𝑤 𝑠 = 52,17 0,9 . 45 . 52,174 = 0,0247 𝑐𝑚²/𝑐𝑚 = 2,47 𝑐𝑚2/𝑚 𝜂𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 = 2,47 0,3927 = 6,29 𝑠 = 100 6,29 = 15,89 𝑐𝑚 Apoio E 𝑉𝑠𝑤,𝐸 = 𝑉𝑠𝑑,𝐸 − 𝑉𝑐 𝑉𝑠𝑤,𝐸 = 113,3 − 58,73 = 54,57 𝑘𝑁 𝐴𝑠𝑤 𝑠 = 𝑉𝑠𝑤 0,9 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑤𝑑 𝐴𝑠𝑤 𝑠 = 54,57 0,9 . 45 . 52,174 = 0,0258 𝑐𝑚²/𝑐𝑚 = 2,58 𝑐𝑚2/𝑚 𝜂𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 = 2,58 0,3927 = 6,58 𝑠 = 100 6,58 = 15,20 𝑐𝑚 16.4. Porta-estribo Foi necessária a utilização de porta estribo, para isso fez-se o uso da emenda por transpasse, onde o comprimento é o lb. 𝑓𝑏𝑑 = 2,28 𝑀𝑃𝑎 (má aderência) 𝑙𝑏 = ∅ 4 . 𝑓𝑦𝑑 𝑓𝑏𝑑 = 0,63 4 . 50 1,15 0,228 = 30 𝑐𝑚 16.5. Detalhamento da armadura transversal 𝑙𝑒 = 2. (9 + 44 + 7) = 120 𝑐𝑚 17. Ancoragem nos apoios de extremidade 17.1. Apoio esquerdo 𝑉𝑠𝑑 = 70,1 𝑘𝑁 𝑎𝑙 = 45. [ 70,1 2. (70,1 − 58,73) ] = 138,72 𝑎𝑙 = 𝑑 = 45 𝑐𝑚 𝑅𝑠𝑡 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑑 𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 = 70,1 43,478 = 1,61 𝑐𝑚² 𝑁𝐵𝑅 6118 ≥ { 2 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 → 2 ∅ 12,5 𝑚𝑚 = 2,45 𝑐𝑚² 1 3 . 𝐴𝑠,𝑚á𝑥 𝐴 = 2,45 > 1,61 𝑐𝑚² (𝑂𝐾!) 17.2. Apoio direito 𝑉𝑠𝑑 = 66,4 𝑘𝑁 𝑎𝑙 = 45. [ 66,4 2. (66,4 − 58,73) ] = 186,05 𝑎𝑙 = 𝑑 = 45 𝑐𝑚 𝑅𝑠𝑡 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑑 𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 = 66,4 43,478 = 1,53 𝑐𝑚² 𝑁𝐵𝑅 6118 ≥ { 2 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 → 2 ∅ 12,5 𝑚𝑚 = 2,45 𝑐𝑚² 1 3 . 𝐴𝑠,𝑚á𝑥 𝐴 = 2,45 > 1,53 𝑐𝑚² (𝑂𝐾!) 18. Cálculo dos comprimentos de ancoragem 𝜂1 = 2,25 𝜂2 = { 1,0 ∶ 𝑏𝑜𝑎 𝑎𝑑𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 0,7 ∶ 𝑚á 𝑎𝑑𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝜂3 = 1,0 𝑏𝑜𝑎 → 𝑓𝑏𝑑 = 3,26 𝑀𝑃𝑎 𝑚á → 𝑓𝑏𝑑 = 2,28 𝑀𝑃𝑎 18.1. Positivos Ø 12,5 mm 𝑙𝑏 = ∅ 4 . 𝑓𝑦𝑑 𝑓𝑏𝑑 = 1,25 4 . 50 1,15 0,326 = 41,68 𝑐𝑚 Apoio esquerdo Ø 12,5 mm 𝑙𝑏𝑛𝑒𝑐 = 𝑙𝑏. 𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 𝐴𝑠,𝑒 = 41,68 . 1,61 2,45 = 27,39 𝑐𝑚 Ø 16 mm 𝑙𝑏𝑛𝑒𝑐 = 𝑙𝑏. 𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 𝐴𝑠,𝑒 = 76,28 . 1,53 2,45 = 47,64 𝑐𝑚 18.2. Armadura Negativa: Ø 16 mm 𝑙𝑏 = ∅ 4 . 𝑓𝑦𝑑 𝑓𝑏𝑑 = 1,6 4 . 50 1,15 0,228 = 76,28 𝑐𝑚 𝑥 ≥ { 𝑟 + 5,5. ∅ → 𝑟: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑏𝑟𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (2,5∅) 6 𝑐𝑚 𝑥 = 10 𝑐𝑚 𝑙𝑏𝑛𝑒𝑐 = 𝑙𝑏. 𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 𝐴𝑠,𝑒 = 76,28 . 1,53 2,45 = 47,64 𝑐𝑚 18.3. Extremidade De acordo com a Prática Profissional, tem-se o comprimento de ancoragem pela fórmula: 𝑥𝑜 = 0,20𝑙 + 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 Onde: 𝑥𝑜 = comprimento de ancoragem 𝑙 = comprimento do vão (m) Para 𝑀𝐴𝑒 𝑀𝐹, momentos de extremidade do apoios A e F, temos que: 𝑙 = 4,55𝑚 𝑎𝑙 = 0,45𝑚 𝑙𝑏(∅12,5) = ∅ 4 . 𝑓𝑦𝑑 𝑓𝑏𝑑 = 1,25 4 . 50 1,15 0,228 = 59,59 𝑐𝑚 𝑥𝑜 = 0,20𝑥4,55 + 0,45 + 0,5959 𝑥𝑜 = 1,96𝑚 O comprimento do gancho será de: 𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 7,5∅ + 8∅ + ∅ 𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 7,5𝑥1,25 + 8𝑥1,25 + 1,25 = 20,625𝑐𝑚 19. Flecha Para a verificação do Estado Limite de Deformações Excessivas, deve-se utilizar a combinação quase permanente de ações, considerando os cálculos em estádio II. Nessa combinação admite-se que as ações atuem durante grande parte do período de vida da estrutura. 𝐹𝑑𝑠𝑒𝑟 = ∑𝐹𝑔𝑖,𝑘 +∑0,3. 𝐹𝑞𝑗,𝑘 TRECHO 1 h 50,000 fctm 0,29 d 45,000 fck 30,00 As 6,030 x 14,137 b 15,000 Es 21000,000 Ecs 2607,159 αe 8,055 I2 60390,961 Ic 156250,000 Mr 2715,44 Mserviço 5330,00 Eieq 190496398,576 Eieq/Ecs 73066,649 heq 38,809 TRECHO 2 h 50,000 fctm 0,29 d 45,000 fck 30,00 As 6,030 x 14,137 b 15,000 Es 21000,000 Ecs 2607,159 αe 8,055 I2 60390,961 Ic 156250,000 Mr 2715,439 Mserviço 5330,00 Eieq 190496398,576 Eieq/Ecs 73066,649 heq 38,809 TRECHO 3 h 50,000 fctm 0,29 d 45,000 fck 30,00 As 2,440 x 9,628 b 15,000 Es 21000,000 Ecs 2607,159 αe 8,055 I2 29052,627 Ic 156250,000 Mr 2715,439 Mserviço 1470,00 Eieq 2166069853,011 Eieq/Ecs 830816,050 heq 87,270 TRECHO 4 h 50,000 fctm 0,29 d 45,000 fck 30,00 As 6,030 x 14,137 b 15,000 Es 21000,000 Ecs 2607,159 αe 8,055 I2 60390,961 Ic 156250,000 Mr 2715,439 Mserviço 5260,00 Eieq 191833423,318 Eieq/Ecs 73579,477 heq 38,900 TRECHO 5 h 50,000 fctm 0,29 d 45,000 fck 30,00 As 6,030 x 14,137 b 15,000 Es 21000,000 Ecs 2607,159 αe 8,055 I2 60390,961 Ic 156250,000 Mr 2715,439 Mserviço 5260,00 Eieq 191833423,318 Eieq/Ecs 73579,477 heq 38,900 A partir dos dados, obtém-se o diagrama de deslocamento vertical, constatando todas as flechas obtidas com comprimento menor que L/250: 20. Fissuração 20.1. Definição O tamanho da abertura de fissuras (w), será o menor entre os obtidos pelas duas expressões a seguir, com o 𝜎𝑠𝑖, 𝜙𝑖, 𝐸𝑠𝑖, 𝜌𝑖 definidos para cada área de envolvimento: 𝑤 = 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 { 𝜙𝑖 12,5𝑥Ƞ1 𝑥 𝜎𝑠𝑖 𝐸𝑠𝑖 𝑥 3𝑥𝜎𝑠𝑖 𝑓𝑐𝑡,𝑚 𝜙𝑖 12,5𝑥Ƞ1 𝑥 𝜎𝑠𝑖 𝐸𝑠𝑖 𝑥 ( 4 𝜌𝑟𝑖 + 45) Em que: 𝐴𝑐𝑟𝑖 = área da região de envolvimento protegida pela barra 𝜙𝑖; 𝐸𝑠𝑖= módulo de elasticidade do aço da barra 𝜙𝑖 considerada; 𝜙𝑖 = diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; 𝜌𝑟𝑖= taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que não esteja dentro de bainha) em relação à área da região de envolvimento (𝐴𝑐𝑟𝑖); Ƞ1 = coeficiente de conformação superficial Ƞ1 da armadura passiva considerada (Ƞ1 = 2,25 para CA50); 𝑛1 = número de barras; 𝑛2 = número de barras por fileira; 𝑒ℎ = espaçamento horizontal; 𝑒𝑣 = espaçamento vertical; 𝑋 = distância da borda superior à linha neutra; 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = resistência média do concreto à tração; 𝜎𝑠𝑖 = tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no estádio II. (Considerando 𝛼𝑒 = 15) 𝜌𝑟𝑖= 𝐴𝑐𝑖 𝐴𝑐𝑟 = 𝑛1 𝑥 𝐴𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐴𝑐𝑟 𝜎𝑠𝑖 = 𝛼𝑒 𝑥 𝑀𝑑,𝑒𝑥 𝑥 (𝑑 − 𝑋) 𝐼𝐼𝐼 Para mais de 1 barra na direção vertical, tem-se Acri: 𝐴𝑐𝑟𝑖 = (𝑐 + ∅𝑡 + ∅𝑙 + ( 𝑒ℎ 2⁄ )) 𝑥 ((𝑐 + ∅𝑡 + 𝑒𝑣 + (𝑛2 ∗ ∅𝑙) + (7,5 ∗ ∅𝑙 − ( ∅𝑙 2 ))) Para apenas 1 barra na direção vertical, tem-se Acri: 𝐴𝑐𝑟𝑖 = (𝑐 + ∅𝑡 + ∅𝑙 + ( 𝑒ℎ 2⁄ )) 𝑥 ((𝑐 + ∅𝑡 + 𝑒𝑣 + (𝑛2 ∗ ∅𝑙) + (7,5 ∗ ∅𝑙)) 20.2. Verificação da abertura de fissuras: 𝑀𝑑,𝑒𝑥 = 𝑀𝑔𝑘 + 0,3 .𝑀𝑞𝑘 Seção Momento Permanente Momento Variável Combinação frequente (Md=Mgk+0,4.Mqk) M1 42,50 14,10 46,73 MB 48,50 16,30 53,39 M2 5,90 15,70 10,61 MC 12,00 4,30 13,29 M3 13,50 4,20 14,76 MD 11,50 4,20 12,76 M4 5,80 15,60 10,48 ME 47,80 15,20 52,36 M5 37,80 11,90 41,37 MA 42,79 12,99 46,69 MF 39,31 11,80 42,85 Seção b (cm) c (cm) ɸt (cm) n barras n fileira (cm) ɸl(cm) M1 15 3 0,5 4 2 1,25 MB 15 3 0,5 3 2 1,60 M2 15 3 0,5 2 2 1,25 MC 15 3 0,5 2 2 1,00 M3 15 3 0,5 2 2 1,25 MD15 3 0,5 2 2 1,00 M4 15 3 0,5 2 2 1,25 ME 15 3 0,5 4 2 1,60 M5 15 3 0,5 4 2 1,25 MA 15 3 0,5 4 2 1,00 MF 15 3 0,5 4 2 1,00 A barra (cm²) d (cm) ev eh (cm) Asi (cm²) Acr (cm²) ρri 1,25 44,25 2 5,50 2,50 125,625 0,01990049 8 2,00 43,90 2 4,80 3,20 149,25 0,02144053 6 1,25 45,88 2 5,50 1,25 101,25 0,01234567 9 0,80 46,00 2 6,00 1,00 86,25 0,01159420 3 1,25 44,25 2 5,50 1,25 101,25 0,01234567 9 0,80 44,50 2 6,00 0,80 86,25 0,00927536 2 1,25 45,88 2 5,50 1,25 101,25 0,01234567 9 2,00 45,70 2 4,80 4,00 149,25 0,02680067 1,25 45,88 2 5,50 2,50 125,625 0,01990049 8 0,80 46,00 2 6,00 1,60 108,75 0,01471264 4 0,80 46,00 2 6,00 1,60 108,75 0,01471264 4 x (cm) αe Iii (cm^4) σs (kN/cm²) W1 (mm) W2 (mm) Menor W (mm) 21,3847096 5 15 88108,3722 2 18,1905815 1 0,08206777 2 0,09470652 0,082067772 20,9784237 7 15 93448,2989 4 19,6437436 9 0,12250052 9 0,12322551 6 0,122500529 12,8500814 3 15 51508,5190 6 10,2039738 0,02582368 1 0,07968817 6 0,025823681 11,7113092 15 36248,4528 18,8572200 5 0,07055451 4 0,12451751 7 0,070554514 12,5831031 3 15 47566,4091 3 14,7395002 0,05388215 9 0,11510847 8 0,053882159 10,4399335 5 15 33531,4723 2 19,4417252 4 0,07499616 7 0,15676819 7 0,074996167 12,8500814 3 15 51508,5190 6 10,0789486 7 0,02519474 4 0,07871179 0,025194744 25,4535885 1 15 131645,073 7 12,0790935 3 0,04631888 9 0,06356287 4 0,046318889 21,8982758 2 15 95621,1396 3 15,5601117 6 0,06004887 8 0,08101137 6 0,060048878 18,6950194 3 15 68456,8713 8 27,9326443 6 0,15480806 0,14986085 4 0,149860854 18,6950194 3 15 68456,8713 8 25,6369826 9 0,13040771 5 0,13754444 7 0,130407715 Resultado (Se W < 0,3 => OK) OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK Logo, como as fissuras calculadas são menores que a fissura máxima admitida para classe de agressividade II, 𝑤𝑘 ≤ 0,3𝑚𝑚, a viga atenderá ao estado-limite de fissuração. 21. Diagrama decalado 21.1. Positivos 𝑎𝑙 = 0,45 𝑚 ; 𝑙𝑏 = 0,417 𝑚 Vão 1 𝑀𝑠1 = 50,1. 𝑥 − 8,90𝑥2 2 = 27,85 𝑀𝑠1 = 50,1. 𝑥 − 12,46𝑥2 2 − 27,85 = 0 𝑥1 = 0,59𝑚 𝑀𝑠3 = −47,6. 𝑥 − 16,62𝑥2 2 + 27,85 = 0 𝑥3 = 0,53𝑚 { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,868𝑚 0,83 + 0,45 + 0,125 = 1,405𝑚 (para a direita) { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,868𝑚 1,59 + 0,17 + 0,45 + 0,125 = 2,335𝑚 (para a esquerda) Vão 5 𝑀𝑠1 = 47,4. 𝑥 − 8,90𝑥2 2 − 24,85 = 0 𝑥1 = 0,55𝑚 𝑀𝑠3 = −54,3. 𝑥 − 16,62𝑥2 2 + 44,5 − 24,85 = 0 𝑥3 = 0,34𝑚 { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,868𝑚 1,39 + 0,2 + 0,45 + 0,125 = 2,175 𝑚 (para a direita) { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,868𝑚 0,8 + 0,34 + 0,45 + 0,125 = 1,715 𝑚 (para a esquerda) 21.2. Negativos 𝑎𝑙 = 0,45 𝑚 ; 𝑙𝑏 = 0,763 𝑐𝑚 Apoio B - Lado esquerdo 𝑀𝑠1 = −47,6. 𝑥 − 16,62𝑥2 2 + 21,6 + 55,7 = 0 𝑥0 = 1,00𝑚 𝑥1 = 1,32𝑚 { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚 0,58 + 0,45 + 0,16 = 1,19 𝑚 (primeira barra cortada) { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚 0,9 + 0,45 + 0,125 = 1,51 𝑚 (segundo barra cortada) Apoio B - Lado direito 𝑀𝑠1 = 60. 𝑥 − 16,62. 𝑥2 2 + 21,6 − 64,8 = 0 𝑥1 = 0,81𝑚 { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚 0,81 + 0,45 + 0,16 = 1,42 𝑚 (primeira barra cortada) { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚 1,31 + 0,45 + 0,125 = 1,92 𝑚 (segundo barra cortada) 𝑎𝑙 = 0,45 𝑚 ; 𝑙𝑏 = 0,538 𝑐𝑚 Apoio C - Lado esquerdo 𝑀𝑠1 = − 18,64.𝑥2 2 + 10 = 0 𝑥1 = 1,04 𝑚 { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,93 𝑚 0,64 + 0,45 + 0,10 = 1,19 𝑚 Apoio C - Lado direito 𝑀𝑠1 = − 12,85.𝑥2 2 + 35,2. 𝑥 − 16,3 = 0 𝑥1 = 0,51 𝑚 { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,93 𝑚 0,51 + 0,45 + 0,10 = 1,06 𝑚 Apoio D - Lado esquerdo 𝑀𝑠1 = − 12,85. 𝑥2 2 − 11,2. 𝑥 + 17,7 = 0 𝑥1 = 1,01 𝑚 { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,93 𝑚 0,57 + 0,45 + 0,10 = 1,12 𝑚 Apoio D - Lado direito 𝑀𝑠1 = − 18,64. 𝑥2 2 + 31,3. 𝑥 − 15,7 = 0 𝑥1 = 0,61 𝑚 { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,93 𝑚 0,61 + 0,45 + 0,10 = 1,16 𝑚 Apoio E - Lado esquerdo 𝑀𝑠1 = −33,4. 𝑥 − 16,62𝑥2 2 + 10,5 + 21,23 = 0 𝑥0 = 0,30 𝑚 𝑥1 = 0,79 𝑚 { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚 0,81 + 0,45 + 0,16 = 1,42 𝑚 (primeira barra cortada) { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚 0,81 + 0,49 + 0,45 + 0,16 = 1,91 𝑚 (segundo barra cortada) Apoio E - Lado direito 𝑀𝑠1 = 80,90. 𝑥 − 16,62𝑥2 2 − 63,7 + 21,23 = 0 𝑥0 = 0,86 𝑚 𝑥1 = 0,56 𝑚 { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚 0,56 + 0,45 + 0,16 = 1,17 𝑚 (primeira barra cortada) { 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚 0,86 + 0,45 + 0,16 = 1,47 𝑚 (segundo barra cortada) 22. Conclusão Em anexo ao trabalho, está o detalhamento completo da viga, com todos os cálculos anteriormente feitos confluídos neste arquivo, comprovando a eficiência e a precisão de um cálculo estrutural manual através de softwares. Também, neste anexo está incluso detalhes construtivos como ganchos e emendas, além da relação e resumo do aço. 23. Bibliografia Material Prof. Dr. Andrés Cheung http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto1/Lajes.pdf http://www.tatu.com.br/pdf_novo/laje_ceramica_40.pdf NBR6118 – Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento. NBR6120 – Cargas para o cálculo de estrutura de edificações – Procedimento
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