aula1 oscilacoes parte1

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Física Geral IV 
1º Sem. 2018 
 
Prof. Oscar Cavichia 
Instituto de Física e Química (IFQ) / UNIFEI 
Sala 13 
 
Horário de atendimento*: 
Terças das 17h30 – 18h30 
Quartas das 11h50-12h50 
 
* confirmar presença com antecedência 
(na aula ou por e-mail). 
Informações da disciplina: 
SIGAA 
•  Ementa 
•  Cronograma (tópicos de aula) 
•  Pdf das aulas 
•  Listas de exercícios 
•  Datas das avaliações 
Ementa 
•  Oscilador harmônico. 
•  Oscilações amortecidas e forçadas. 
•  Ondas mecânicas. 
•  Ondas sonoras. 
•  Ondas eletromagnéticas. 
•  Ótica geométrica. 
•  Ótica física. 
•  Relatividade restrita. 
•  Física quântica. 
Avaliação 
•  Serão três provas: P1, P2 e P3 sendo que: 
•  NF = (P1 + P2 + P3)/3 
•  Se NF >= 60 o aluno é APROVADO. 
•  Se NF < 60 o aluno submete-se à Substitutiva. 
Eventualmente serão aplicados exercícios (E) em aula! 
 
Pontuação dos exercícios: 0,5 pt na NF: 
 
NFE = NF + E 
Bibliografia 
•  Livro Texto 
Oscilações, Ondas sonoras e mecânicas: 
 
•  “Fundamentos da Física, Vol. 2; 8ª, 9ª ou 10ª edição, 
Halliday, Resnick e Walker 
 
Ondas eletromagnéticas, óptica geométrica, óptica física, 
relatividade restrita, física quântica, física nuclear: 
 
•  “Fundamentos da Física, Vol. 4; 8ª, 9ª ou 10ª. edição, 
Halliday, Resnick e Walker 
Bibliografia adicional 
•  “Física”, Paul A. Tipler, vol. 2 e 4. 
 
•  “Princípios de Física – Óptica e Física Moderna” Vol. 4, 
Raymond A. Serway e John W. Jewett Jr. 
 
•  “Curso de Física Básica”, Moisés Nussenzweig, vol. 3 e 
4. 
 
•  “The Feynman Lectures on Physics”, Feynman, Leighton 
e Sands, vol. 1 and 3. 
http://www.feynmanlectures.caltech.edu 
Listas de exercícios 
•  Serão disponibilizadas no SIGAA 
Datas – Turma 1 (46M45) 
Cronograma: Halliday Vol. 2 e 4 -8ª, 9ª, 10a edição 
•  P1: 06 de abril – Cap. 15, 16 e 17 
•  P2: 04 de maio – Cap. 33, 35 e 36 
•  P3: 27 de junho – Cap. 37, 38, 39 e 40 
•  Substitutiva: 06 de julho – Todo o conteúdo 
 
Nas avaliações: 
Trazer documento com foto! 
Atenção: 
 
5.9 ≠ 6.0 
Aula-1 
 Cap. 15 - Oscilações 
θ
d 
Mg 
z-axis 
R 
x CM 
Física Geral IV - FIS503 
1º semestre, 2018 
•  Hélice na água 
•  Asas de abelha 
•  Íons em um sólido 
•  Ondas na água 
•  Ondas sonoras 
•  Ondas de luz 
Vibrações Ondas 
“Variações temporais” “Variações temporais 
 e espaciais” 
Vibrações 
Como podemos descrever as vibrações? 
 
•  Ex.: Massa vibrante, descrita pelas variáveis: 
 
- Deslocamento (x): a partir da posição de equilíbrio; 
- Período (T ): é o tempo necessário para completar um 
ciclo; 
- Frequência (f ): é o número de ciclos por unidade de 
tempo. 
 
Ø  Um ciclo é o movimento de um ponto até outro ponto, 
retornando novamente ao ponto inicial. 
 
Ø  O período (T) é o tempo necessário para completar um 
ciclo e a frequência ( f ) é o número de ciclos por segundo: 
 
 
T
f
f
T 1:ou;1 ==
•  Movimento oscilatório que se repete 
periodicamente… 
 ...resulta em ondas senoidais. 
 
Movimento Harmônico Simples 
(MHS) 
•  Movimento oscilatório que se repete 
periodicamente… 
 ...resulta em ondas senoidais. 
•  Exemplos: 
–  Metrônomo (música) 
–  Massa em uma mola. 
–  Pêndulo. 
Movimento Harmônico Simples 
(MHS) 
O gráfico de um Movimento Harmônico 
Simples é descrito por uma curva senoidal. 
MHS 
MHS 
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/SHO/mass.html 
MHS 
Dinâmica do MHS 
•  Sabemos que a qualquer instante 
 F = ma deve ser válido. 
 
•  Mas neste caso: F = -kx 
 
 e: ma = 
 
•  Portanto: -kx = ma = 
2
2
d xm
dt
2
2
d x k x
dt m
= − Equação diferencial para x(t) ! 
2
2
d xm
dt
k 
x 
m 
a 
F 
2
2
d x k x
dt m
= −
2
2
2
d x x
dt
ω= −
k
m
ω =
Tentando a solução: 
( )sindxv A t
dt
ω ω= = −
( )
2
2 2
2 cos
d xa A t x
dt
ω ω ω= = − = −
definindo: 
Dinâmica do MHS 
x t( ) = Acos ωt( )
Dinâmica do MHS 
E por que não? 
 x t( ) = Asin ωt( )
E por que não? 
 x(t) = A sen(ωt) 
 
x(t) = A sen(ωt+π/2)= A cos(ωt) 
 
 
Dinâmica do MHS 
Velocidade e Aceleração 
k 
x 
m 
0 
Posição: x(t) = A cos(ωt + φ) 
Velocidade: v(t) = - ωA sin(ωt + φ) 
Aceleração: a(t) = - ω2A cos(ωt + φ) 
 pois: 
a t dv t
dt
( ) ( )=
v t dx t
dt
( ) ( )=
xMAX = A 
vMAX = ωA 
aMAX = ω2A 
t 
y(t) 
(a) 
(b) 
(c) 
Exemplo 1 
●  Uma massa oscila para cima e para baixo em uma mola. 
Sua posição em função do tempo é mostrada abaixo. Em 
quais dos pontos assinalados a massa tem uma velocidade 
positiva e uma aceleração negativa ? 
●  A inclinação y(t) nos mostra o sinal da velocidade, pois 
t 
y(t) 
(a) 
(b) 
(c) 
v dy
dt
=
a < 0 
v < 0 
a > 0 
v > 0 
a < 0 
v > 0 
A resposta é: (c) 
Exemplo 1: solução 
●  y(t) e a(t) têm sinais opostos pois a(t) = - ω2 y(t) 
t 
y(t) 
Exemplo 2: 
Como determinar a fase? 
Posição: x(t) = A cos(ωt + φ) 
Velocidade: v(t) = - ωA sin(ωt + φ) 
Aceleração: a(t) = - ω2A cos(ωt + φ) 
k 
x 
m 
vMAX = ωA ω = 1 rad 20
10
2 −== s
cm
sm
A
vMAX
m
kω =também: k = mω 2 
Portanto: k = (2 kg) x (20) 2 = 800 kg/s2 = 800 N/m 
Exemplo 3 
•  Uma massa m = 2 kg oscila em uma mola com amplitude A = 10 cm. 
Em t = 0 sua velocidade é máxima, e vale v = +2 m/s. Calcule: 
 a) A freqüência angular da oscilação ω; 
 b) A constante da mola k. 
Resumo: MHS 
•  onde: A = amplitude (m) 
 ω= frequência angular (rad/s ou s-1) 
 φ = fase inicial 
 T = período (s) 
 ωt + φ = fase do movimento 
 
•  Para uma massa em uma mola: 
Ø  A frequência não depende da amplitude! 
 (Isso é geral para qualquer MHS ! ) 
 
Ø  A oscilação ocorre ao redor do ponto de equilíbrio, 
onde a força resultante é nula! 
k
m
ω =
T
π2
=
k
mT π2=Solução: x(t) = A cos(ωt + φ) 
Java Applet 
 
MHS e Movimento Circular 
Uniforme (MCU) 
•  https://ngsir.netfirms.com/englishhtm/
SpringSHM.htm 
 
MHS e Movimento Circular Uniforme 
A 
θ 
x 
−2 2A x
v0 
v 
θ 
v 
x A 
0
MHS e Movimento Circular Uniforme 
MHS e Movimento Circular Uniforme 
cos /x Aθ = cosx A θ=
tθ ω=
cosx A tω= 2 fω π=
cos2x A ftπ= 2cos tx A
T
π
=
A 
θ 
x 
−2 2A x
v0 
v 
θ 
x 
y 
z 
v 
x A 
ω : velocidade angular 
ou 
0 0 0
2sin sin 2 sin tv v v ft v
T
π
θ π= − = − = −
0a(t) = −a0 cos θ( ) = −a0 cos(ω t)
Ou seja: o MHS pode ser visto como um MCU 
projetado no diâmetro do círculo de raio A (Projetado no eixo x !) 
θ* 
O mesmo para a aceleração: 
Revisão: molas em série e paralelo