Oscilacao

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Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Movimento Oscilatório
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Movimento Periódico
Movimento periódico é o movimento de um objecto que se repete periódicamente i.e. o objecto torna a uma dada posição após um intervalo de tempo fixo.
Um tipo especial de movimento periódico ocorre em sistemas mecânicos em que a força que atua no objeto é proporcional à posição do objeto relativamente a uma determinada posição de equilíbrio
Se a força está sempre dirigida para a posição de equilíbrio, o movimento é chamado movimento harmónico simples
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Movimento de um sistema mola-massa 
Um bloco de massa m, ligado a uma mola, é livre de se mover numa superfície horizontal sem atrito
Quando a mola não está esticada nem comprimida, o bloco está na posição de equilíbrio
x = 0
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Lei de Hooke
Lei de Hooke Fs = - kx
Fs é a força restauradora
Está sempre dirigida para o ponto de equilíbrio
Portanto, é sempre oposta ao deslocamento
k é a constante da mola
x é o deslocamento
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Lei de Hooke, cont
O bloco é deslocado para a direita de x = 0
A posição é positiva
A força restauradora é dirigida para a esquerda
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Lei de Hooke, cont
O bloco está na posição de equilíbrio
x = 0
A mola não está nem esticada nem comprimida 
A força é 0
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Lei de Hooke, cont
O bloco é deslocado para a esquerda de 
 x = 0
A posição é negativa
A força restauradora é dirigida para a direita
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Aceleração
A força descrita pela lei de Hooke é a força na segunda lei de Newton
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Aceleração, cont.
A aceleração é proporcional ao deslocamento do bloco
A direção da aceleração é oposta à direção do deslocamento em relação ao equilíbrio
Um objecto move-se com movimento harmónico simples (MHS) sempre que a sua aceleração é proporcional à sua posição e oposta ao deslocamento em relação ao equilíbrio
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Aceleração, final
A aceleração não é constante
Portanto, as equações cinemáticas não podem ser aplicadas
Se o bloco é largado de uma posição x = A, então a aceleração inicial é –kA/m
Quando um bloco passa por um ponto de equilíbrio, a = 0
O bloco continua até x = -A onde a sua aceleração é +kA/m
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Movimento do bloco
O bloco continua a oscilar entre –A e +A
A força é conservativa
Na ausência de atrito, o movimento continua para sempre
Sistemas reais estão sujeitos a atrito, portanto não oscilam indefinidamente
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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MHS:Representação matemática
Trata-se o bloco como uma partícula 
Escolhe-se x como o eixo ao longo do qual a oscilação ocorre
Aceleração
Definimos 
Então a = -w2x
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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MHS:Representação matemática, final
É preciso uma função que satisfaça a equação ou seja é preciso uma função x(t) cuja segunda derivada é igual à função original com um sinal negativo e multiplicado por w2
As funções seno e coseno satisfazem estes requisitos
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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MHS:Representação gráfica
Uma solução é 
 x(t) = A cos (wt + f)
A, w, f são constantes
Uma curva de coseno pode ser usada para dar significado físico a estas constantes
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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MHS: Definições
A é a amplitude do movimento
Esta é a posição máxima
 da partícula quer na 
 direcção positiva quer
 negativa
w é a frequência angular
Unidades são rad/s
f é a fase (constante) ou o ângulo de fase inicial
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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MHS, cont
 x(t) = A cos (wt + f)
Se a partícula está em x = A para t = 0, então f = 0
A fase do movimento é a quantidade (wt + f)
x (t) é períodica e o seu valor é o mesmo cada vez que wt aumenta de 2p radianos
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Uma experiência sobre MHS
A caneta ligada ao objecto oscilante traça uma curva sinusoidal no papel que se move
Isto verifica a curva de coseno encontrada anteriormente
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Período
O período, T, é o intervalo de tempo necessário para que a partícula complete um ciclo completo do seu movimento
Os valores de x e v da partícula no instante t são iguais aos valores de x e v em t + T
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Frequência
O inverso do período é chamada a frequência
A frequência representa o nº de oscilações executadas pela partícula por unidade de tempo
A unidade é o ciclo por segundo = hertz (Hz)
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Equações do Movimento no MHS
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Valores Máximos de v e a
Como as funções seno e coseno oscilam entre ±1, podemos determinar fácilmente os valores máximos da velocidade e da aceleração para um objecto com MHS
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Gráficos
Os gráficos mostram:
(a) o deslocamento como função do tempo
(b) a velocidade como função do tempo
(c ) a aceleração como função do tempo 
A velocidade tem uma diferença de fase de 90o em relação ao deslocamento e a aceleração de 180o com o deslocamento
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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MHS Exemplo 1
As condições iniciais em t = 0 são
x (0)= A
v (0) = 0
Isto implica f = 0
Extremos da aceleração : ± w2A
Extremos da velocidade : ± wA
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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MHS Exemplo 2
Condições iniciais em 
	t = 0 
x (0)=0
v (0) = vi
Portanto f = - p/2
O gráfico está desviado de um quarto de ciclo para a direita comparado com o gráfico de x (0) = A
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Energia no MHS
Assuma que o sistema mola-massa se move numa superfície sem atrito 
A energia total é constante
Energia cinética
K = ½ mv 2 = ½ mw2 A2 sin2 (wt + f)
Energia potencial 
U = ½ kx 2 = ½ kA2 cos2 (wt + f)
A energia total é K + U = ½ kA 2
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Energia no MHS, cont
A energia mecânica total é constante 
A energia mecânica total é proporcional ao quadrado da amplitude
A energia está continuamente a ser transferida entre a energia potencial da mola e a energia cinética do bloco
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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O pêndulo simples
O pêndulo simples também exibe movimento periódico
O movimento ocorre no plano vertical e é impelido pela força gravitacional 
O movimento é muito aproximadamente MHS
Se o ângulo é <10o 
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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O pêndulo simples, cont
As forças que actuam no corpo são T e mg
T é a força exercida no corpo pela corda
mg é a força gravitacional
A componente tangencial da força gravitacional é uma força restauradora
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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O pêndulo simples,cont
Na direcção tangencial,
O comprimento, L, do pêndulo
 é constante e, para pequenos
 valores de q
Isto confirma que o movimento é MHS
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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O pêndulo simples, final
A função q pode ser escrita como 	
 q = qmax cos (wt + f)
A frequência angular é
O período é 
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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O pêndulo físico
Se um objecto pendurado oscila em torno de um eixo fixo que não passa pelo centro de massa e o objecto não pode ser aproximado por uma partícula, o sistema é chamado de pêndulo físico
Não pode ser tratado como um pêndulo simples
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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O pêndulo físico, cont
A força gravitacional proporciona um torque em em relação a um eixo que passa por O
A intensidade do torque é
	mgd sin q
I é o momento de inércia em relação a um eixo que passa por O
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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O pêndulo físico, cont
Da segunda Lei de Newton, 
A força gravitacional produz uma força restauradora 
Assumindo que q é pequeno, temos
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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O pêndulo físico,cont
Esta equação é a de um objeto com MHS
A frequência angular é
O período é
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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O pêndulo físico, final
O pêndulo físico pode ser usado para medir o momento de inércia de um corpo rígido plano
Se soubermos d, podemos determinar I medindo o período
Se I = md o pêndulo físico coincide com o pêndulo simples
A massa está toda concentrada no centro de massa
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Oscilações Amortecidas
Em muitos sistemas realistas, estão presentes forças não conservativas
Neste caso já não temos um sistema ideal (como os que temos lidado até agora)
O atrito é uma força não-conservativa comum
Neste caso, a energia mecânica do sistema diminui no tempo e o movimento é dito amortecido
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Oscilações amortecidas, cont
Num gráfico para uma oscilação amortecida, a amplitude diminui no tempo
As linhas tracejadas a azul representam o envelope da curva
b
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Oscilação amortecidas, exemplo
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Oscilações amortecidas, exemplo, cont
A força restauradora é – kx
Da segunda Lei de Newton
	SFx = -k x – bvx = max
 Quando a força retardadora é pequena comparada com a força restauradora máxima, podemos determinar a expressão de x
Isto ocorre quando b é pequeno
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Oscilações amortecidas, exemplo, cont
Posição
Frequência angular
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Tipos de amortecimentos 
Há três casos de movimento harmônico amortecido:
	- crítico; 
	- subcrítico; 
	- supercrítico. 
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Tipos de amortecimento
O sistema não oscila mais e, ao ser deslocado e liberado, retorna para sua posição de equilíbrio sem oscilar.
frequência natural do sistema
Movimento oscilatório
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Tipos de amortecimento
O sistema oscila com uma amplitude que diminui continuamente.
Amortecimento supercrítico.
Movimento oscilatório
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Tipos de amortecimento
O sistema não oscila, porém retorna para sua posição de equilíbrio mais lentamente do que no caso do amortecimento crítico.
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Tipos de amortecimento, cont
 Gráficos da posição X tempo 
(a) um oscilador sub-amortecido
(b) um oscilador critícamente amortecido 
(c) um oscilador sobre-amortecido
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Oscilações forçadas
É possível compensar 
 a perda de energia de
 um sistema amortecido
 aplicando uma força
 externa
A amplitude do movimento permanece constante se o aumento de energia é igual à diminuição da energia por cada ciclo. 
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Oscilações forçadas, cont
A amplitude de uma oscilação forçada é 
w0 é a frequência natural do oscilador
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Resonância
Quando a frequência da força aplicada é igual à frequência natural (w » w0) ocorre um aumento na amplitude
Chama-se resonância ao aumento espetacular na amplitude 
A frequência natural w0 é também chamada de frequência de resonância do sistema
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Resonância, Final
A resonância (pico maximo) ocorre quando a frequência forçada é igual à natural 
A curva torna-se mais larga à medida que o amortecimento aumenta
A forma da curva de resonância depende de b
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Tacoma bridge
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Tacoma bridge
Movimento oscilatório
Movimento oscilatório
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Movimento oscilatório
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Tacoma bridge
Movimento oscilatório
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Tacoma bridge
Movimento oscilatório
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Tacoma bridge
Movimento oscilatório