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Aula 01: Números Complexos
Prof.: Fábio Augusto Nogueira
Automação I
Introdução
A resolução de circuitos elétricos consiste
basicamente no cálculo de correntes, tensões e
potencias, portanto necessitamos de instrumentos
matemáticos que tornem possível a melhor
compreensão do assunto.
Sendo assim, primeiramente vamos estudar a
teoria do número complexo, que será o instrumento
matemático vital para a resolução de circuitos em
corrente alternada.
Números Complexos
O conceito de número complexo ou número
imaginário foi introduzido com o intuito de representar
raízes quadradas de números negativos, cujos
resultados não fazem parte do conjunto dos números
reais. ?4 
Números Complexos
Denomina-se unidade imaginária o número j, tal
que:
É possível representar a raiz quadrada de um
número negativo pelo número imaginário da seguinte
forma:
ou
1j
12 j xjxjx  ².
Números Complexos
Deduções:
jjjjj  ).(. 123
111224  )).((. jjj
jjjjjj  ).).((.. 11225
11112226  )).().((.. jjjj
Representação dos Números 
Complexos
Um número complexo possui três formas diferentes de
representação:
- Forma cartesiana;
- Forma Polar;
- Forma Trigonométrica.
Cada uma dessas formas pode ser utilizada,
dependendo das operações matemáticas envolvidas nos
cálculos.
Forma Cartesiana
Genericamente, todo numero complexo z pode ser
representado na forma cartesiana por:
Sendo: a e b números reais
j representa a unidade imaginária.
Forma Cartesiana
O plano cartesiano utilizado para representar um
numero complexo z é formado por um eixo real (abcissa).
Onde se localiza a quantidade a, e um eixo imaginário
(ordenada), onde se localiza a quantidade b, conforme a figura
abaixo:
Forma Polar
Seja o número complexo z = a + jb, representado
no plano cartesiano conforme a figura abaixo:
Forma Polar
Na forma polar, o segmento de reta oz = Z
representa o módulo do número complexo z e φ (fi)
representa o argumento (ângulo ou fase) de z,
tomando como referência a parte positiva do eixo real.
Assim, a forma polar de representar um número
complexo é a seguinte:
Transformação da Forma Cartesiana 
em Polar
Para transformar a forma cartesiana em polar,
valem as expressões:
Dependendo do quadrante em que está localizado
o segmento oz, o cálculo do ângulo φ precisa ser
corrigido para que o seu valor tenha como referência
sempre a parte positiva do eixo real.
Transformação da Forma Polar em 
Cartesiana
Obtém-se por trigonometria as seguintes expressões:
Estas expressões podem ser utilizadas para transformar
a forma polar em cartesiana.
Forma Trigonométrica
Portanto, um numero complexo pode também ser
representado na forma trigonométrica como segue:
Operações com Números Complexos
Soma e Subtração: para somar ou subtrair dois
números complexo, utiliza-se a forma cartesiana,
somando ou subtraindo as partes real e imaginária
correspondentes.
Operações com Números Complexos
Assim, considerando os seguintes números
complexos genéricos:
As operações podem ser realizadas conforme segue:
Operações com Números Complexos
Para multiplicar ou dividir dois números
complexos, utiliza-se a forma polar da seguinte
maneira:
- Multiplicação: multiplicam-se os módulos e
somam-se os argumentos (ângulos).
- Divisão: dividem-se os módulos e subtraem-se os
argumentos (ângulos).
Operações com Números Complexos
Assim, considerando os seguintes números
complexos genéricos:
As operações podem ser realizadas conforme segue:
Referências Bibliográficas
ALBUQUERQUE, R.O. Análise de Circuitos em Corrente 
Alternada. 2ª Ed. São Paulo: Érica, 2007.