funções

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RESUMO  Este capítulo aborda as idéias básicas que você precisa co-
nhecer para iniciar o aprendizado do cálculo. Funções são fundamentais 
para o estudo do cálculo, e aqui discutiremos o que elas são, seus gráficos, 
como se combinam e transformam e várias maneiras de classificá-las. Uma 
função pode ser representada por uma equação, uma tabela numérica, um 
gráfico ou, ainda, ser descrita verbalmente. O gráfico de uma função é uma 
maneira particularmente útil de visualizar seus atributos e seu comporta-
mento geral; discutiremos várias maneiras de obter um gráfico, incluindo o 
uso de calculadoras gráficas e software gráfico. Examinaremos os principais 
tipos de função que aparecem em cálculo, com ênfase especial, neste capí-
tulo, para as funções exponenciais e suas inversas, as funções logarítmicas. 
As funções trigonométricas aparecem resumidas no Apêndice B, com vários 
outros assuntos básicos, incluindo o sistema de números reais, as coordena-
das cartesianas no plano, retas, parábolas e círculos.
1.1
 
Funções e seus gráficos
As funções são o elemento-chave para descrever o mundo real em termos 
matemáticos. Nesta seção, são discutidas as idéias básicas das funções, seus 
gráficos e métodos para representá-los.
Funções; domínio e imagem
A temperatura de ebulição da água depende da altitude (o ponto de ebu-
lição diminui quando a altitude aumenta). Os juros pagos sobre um inves-
timento dependem do tempo que o dinheiro permanece investido. A área 
de um círculo depende do raio desse círculo. A distância que um objeto 
percorre a uma velocidade constante, a partir de um ponto inicial, ao longo 
de uma trajetória reta, depende do tempo transcorrido.
Em todos os casos, o valor de uma variável, que podemos chamar y, de-
pende do valor de outra, que podemos denominar x. Uma vez que o valor de 
y é completamente determinado pelo valor de x, dizemos que y é uma função 
de x. Muitas vezes, o valor de y é dado por uma regra ou fórmula que diz como 
calculá-lo a partir da variável x. Por exemplo, a equação A = πr2 é uma regra 
que calcula a área A de um círculo a partir de seu raio r.
Em cálculo, também podemos querer nos referir a uma função não especi-
ficada sem ter qualquer fórmula particular em mente. Uma maneira simbólica 
de dizer “y é função de x” é escrever
y = ƒ(x) (“y é igual a ƒ de x”)
1 Funções
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� Cálculo
Nessa notação, o símbolo ƒ representa a função. A letra x, chamada variá-
vel independente, representa o valor de entrada de f, e y, a variável dependen-
te, representa o valor de saída de f em x.
Definição  Função
Uma função de um conjunto D para um conjunto Y é uma regra que 
associa um único elemento f(x) ∈ Y a cada elemento x ∈ D.
O conjunto D de todas os possíveis valores de entrada chama-se domínio 
da função. O conjunto de todos os valores f(x) enquanto x varia ao longo de D 
denomina-se imagem da função. A imagem não inclui necessariamente todos 
os elementos do conjunto Y.
O domínio e a imagem de uma função podem ser quaisquer conjuntos de 
objetos, mas normalmente, em cálculo, os conjuntos são de números reais. 
(Nos capítulos 13–16, Volume II veremos funções de várias variáveis.)
Pense numa função f como num tipo de máquina que produz um valor 
f(x) em sua imagem sempre que a alimentamos com um valor de entrada x 
oriundo de seu domínio (Figura 1.1). As teclas de função das calculadoras 
nos permitem visualizar uma função como se fosse uma máquina. Por 
exemplo, a tecla x nos retorna um produto (a raiz quadrada) sempre que 
inserimos um número x não negativo e apertamos essa tecla. O resultado 
que aparece no visor geralmente é uma aproximação decimal da raiz qua-
drada de x. Se inserirmos um número x < 0, a calculadora indicará erro, 
pois x < 0 não está no domínio da função e não pode ser aceito como valor 
de entrada. A tecla x da calculadora não é exatamente igual à função 
matemática f definida por f(x) = x , pois se limita a resultados decimais e 
tem apenas uma quantidade grande, porém finita, de resultados.
Entrada
(domínio)
Saída
(imagem)
fx (x)f
FigURa 1.1 Diagrama que mostra a 
função como uma espécie de “máquina”.
Uma função também pode ser ilustrada como um diagrama  de  setas 
 (Figura 1.2). Cada seta associa um elemento do domínio D a um único ele-
mento do conjunto Y. Na Figura 1.2, as setas indicam que f(a) está associada 
a a, f(x) está associada a x e assim por diante.
O domínio de uma função pode ser restrito pelo contexto. Por exemplo, 
o domínio da função área dada por A = πr2 exige que o raio r seja positivo. 
Quando definimos uma função y = f(x) com uma fórmula e o domínio não é 
citado explicitamente ou restrito pelo contexto, considera-se que o domínio 
seja o maior conjunto de valores de x para os quais a fórmula fornece valores 
reais de y, o chamado domínio natural. Se queremos restringir o domínio de 
algum modo, devemos explicitá-lo. O domínio de y = x2 é o conjunto de todos 
os números reais. Por exemplo, para restringirmos a função a valores positi-
vos de x, deveríamos escrever “y = x2, x > 0”.
Se o domínio ao qual aplicamos a fórmula mudar, normalmente a imagem 
também mudará. A imagem de y = x2 é [0, ∞). A imagem de y = x2, x ≥ 2, é 
o conjunto de todos os números obtidos elevando-se ao quadrado números 
maiores ou iguais a 2. Em notação de conjuntos, a imagem será {x2 | x ≥ 2} ou 
{y|y ≥ 4} ou [4, ∞).
x
a f (a) f(x)
D domínio Y conjunto que contém
a imagem
FigURa 1.2  Uma função do conjunto D 
para o conjunto Y associa um único elemento 
de Y a cada elemento de D.
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�Capítulo 1 Funções
Quando a imagem de uma função é um conjunto de números reais, dize-
mos que a função é uma função a valores reais. Os domínios e as imagens 
de muitas funções a valores reais de uma variável real são intervalos ou com-
binações de intervalos. Os intervalos podem ser abertos, fechados ou semi-
abertos, além de finitos ou infinitos.
ExEMplO 1 Identificando domínios e imagens
Verifique os domínios e as imagens destas funções.
Função Domínio (x) imagem (y)
y = x2 (–∞, ∞) [0, ∞)
y = 1/x (–∞, 0)∪(0, ∞) (–∞, 0)∪(0, ∞)
y x= [0, ∞) [0, ∞)
y x= −4 (–∞, 4] [0, ∞)
y x= −1 2 [–1, 1] [0, 1]
SOlUçãO  A fórmula y = x2 fornece um valor real de y para qual-
quer número real x, então o domínio é (–∞, ∞). A imagem de y = x2 é 
[0, ∞), porque o quadrado de qualquer número real é não negativo e 
qualquer número não negativo y é o quadrado da própria raiz quadrada, 
y = ( y )2 para y ≥ 0.
A fórmula y = 1/x fornece um valor real de y para cada valor real de x, 
exceto x = 0. Não podemos dividir qualquer número por 0. A imagem de 
y = 1/x, o conjunto de recíprocos de todos os números reais diferentes de 
zero, é o conjunto de todos os números reais diferentes de zero, uma vez 
que y = 1/(1/y).
A fórmula y = x fornece um valor real de y somente quando x é 
positivo ou zero. A imagem de y = x é [0, ∞), porque qualquer número 
não negativo é a raiz quadrada de algum número (especificamente, é a raiz 
quadrada do próprio quadrado).
Em y = 4 x− , a quantidade 4 – x não pode ser negativa. Ou seja, 
4 – x ≥ 0 ou x ≤ 4. A fórmula fornece valores reais de y para qualquer 
x ≤ 4. A imagem de 4 x− é [0, ∞), o conjunto de todos os números 
não negativos.
A fórmula y = 21 x− fornece um valor real de y para cada valor de 
x no intervalo fechado de –1 a 1. Fora desse intervalo, 1 – x2 é negativo e 
sua raiz quadrada não é um número real. Os valores de 1 – x2 variam de 
0 a 1 no domínio dado, assim como as raízes quadradas desses valores. A 
imagem de 21 x− é [0, 1].
Gráficos de funções
Também é possível visualizar uma função por meio de seu gráfico. Se f é 
uma função com domínio D, seu gráfico é formado pelos pontos do plano 
cartesiano cujas coordenadas sejam os pares “entrada-saída”para f. Em nota-
ção de conjunto, o gráfico é
5sx, ƒsxdd ƒ x H D6 .
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� Cálculo
O gráfico da função f(x) = x + 2 é o conjunto de pontos com coordenadas 
(x, y) para os quais y = x + 2. Seu gráfico é a reta traçada na Figura 1.3.
O gráfico de uma função f é um retrato útil de seu comportamento. Se (x, y) 
é um ponto no gráfico, então y = f(x) é a altura do gráfico acima do ponto x. A 
altura pode ser positiva ou negativa, dependendo do sinal de f(x) (Figura 1.4).
ExEMplO 2  Traçando um gráfico
Trace o gráfico da função y = x2 no intervalo [–2, 2].
SOlUçãO
1.  Faça uma tabela de pares xy que satisfaçam a regra da função, nesse 
caso, a equação y = x2.
2.  Insira no gráfico os pontos 
(x, y) cujas coordenadas apareçam 
na tabela. Use frações quando for 
mais conveniente ao cálculo.
3.  Trace uma curva contínua 
unindo os pontos. Identifique a cur-
va por sua equação.
0 1 2–1–2
1
2
3
4(–2, 4)
(–1, 1) (1, 1)
(2, 4)




3
2
9
4
,
x
y
0 1 2–1–2
1
2
3
4
x
y
y x2
Como sabemos que o gráfico y = x2 não se parece com uma destas curvas?
y x2?
x
y
y x2?
x
y
Para descobrir, podemos inserir mais pontos no gráfico. Mas como 
conseguiríamos uni-los? A pergunta básica permanece: como podemos 
saber com certeza a aparência do gráfico entre os pontos que inserimos? A 
resposta está no cálculo, como veremos no Capítulo 4. Neste capítulo, usa-
remos a derivada para encontrar o formato de uma curva entre os pontos 
do gráfico. Por enquanto, vamos nos limitar a inserir pontos no gráfico e 
uni-los da melhor maneira possível.
ExEMplO 3  Avaliando uma função a partir de seu gráfico
 A Figura 1.5 mostra o gráfico de uma população p de moscas-das-frutas.
FigURa 1.3  O gráfico de f(x) = x + 2 é 
o conjunto de pontos (x, y) para os quais 
y tem o valor x + 2.
x
y
–2 0
2
y x 2
FigURa 1.4  Se (x, y) está no gráfico 
de f, então o valor y = f(x) é a altura do 
gráfico acima do ponto x (ou abaixo de x, 
se f(x) for negativo).
y
x
0 1 2
x
f(x)
(x, y)
f (1)
f (2)
x
4
1
0 0
1 1
2 4
9
4
3
2
-1
-2
y x2
Computadores e calculadoras gráficas cons-
troem gráficos de funções basicamente des-
sa maneira — unindo pontos —, e a mesma 
pergunta surge.
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�Capítulo 1 Funções
(a) Determine as populações após 20 e 45 dias.
(b) Qual é a variação (aproximada) da função da população no intervalo 
de tempo 0 ≤ t ≤ 50?
SOlUçãO
(a) Vimos, na Figura 1.5, que o ponto (20, 100) encontra-se no gráfico, 
portanto o valor da população p em 20 é p(20) = 100. Da mesma ma-
neira, p(45) é aproximadamente 340.
(b) A imagem da função da população em 0 ≤ t ≤ 50 é aproximadamente 
[0, 345]. Observamos também que a população parece aproximar-se 
cada vez mais do valor p = 350, à medida que o tempo corre.
Representando numericamente uma função
Já vimos que uma função pode ser representada algebricamente por uma 
fórmula (a função área) e visualmente por um gráfico (exemplos 2 e 3). É pos-
sível, ainda, representar uma função numericamente, por meio de uma tabela 
de valores. Em geral, representações numéricas são usadas por engenheiros e 
cientistas aplicados. A partir de uma tabela de valores apropriada, é possível 
obter um gráfico da função usando o método ilustrado no Exemplo 2, possi-
velmente com a ajuda de um computador. O gráfico que representa apenas os 
pontos tabelados é chamado gráfico de dispersão.
ExEMplO 4 Uma função definida por uma tabela de valores
Notas musicais são ondas de pressão no ar e podem ser registradas. 
Os dados da Tabela 1.1 registram o deslocamento da pressão versus tempo 
em segundos de uma nota musical produzida por um diapasão. A tabela 
fornece uma representação da função pressão ao longo do tempo. Se pri-
meiro fizermos um gráfico de dispersão e, depois, unirmos os pontos (t, p) 
dados pela tabela, obteremos o gráfico mostrado na Figura 1.6.
–0,6
–0,4
–0,2
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
t (s)
p (pressão)
0,001 0,002 0,004 0,0060,003 0,005 0,007
Dados
FigURa 1.6  Uma curva contínua unindo os pon-
tos forma o gráfico da função pressão representada 
na Tabela 1.1.
TabEla 1.1 Dados do diapasão
Tempo TempoPressão Pressão
712,026300,019000,0
0,00108 0,200 0,00379 0,480
0,00125 0,480 0,00398 0,681
0,00144 0,693 0,00416 0,810
0,00162 0,816 0,00435 0,827
0,00180 0,844 0,00453 0,749
0,00198 0,771 0,00471 0,581
0,00216 0,603 0,00489 0,346
0,00234 0,368 0,00507 0,077
0,00253 0,099 0,00525
34500,017200,0
26500,098200,0
97500,070300,0
89500,052300,0
0,00344 – 0,041
– 0,035– 0,248
– 0,248– 0,348
– 0,354– 0,309
– 0,320– 0,141
– 0,164
– 0,080
0
50
100
150
200
250
300
350
10 20 30 40 50
Tempo (dias)
t
p
FigURa 1.5 Gráfico de uma popu-
lação de moscas-das-frutas versus tem-
po (Exemplo 3).
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� Cálculo
O teste da reta vertical
Nem toda curva que você traçar será o gráfico de uma função. Uma função 
f pode ter apenas um valor f(x) para cada x em seu domínio, portanto nenhu-
ma reta vertical poderá cruzar a curva da função mais de uma vez. Conse-
qüentemente, o gráfico de uma função não pode ter forma de círculo, já que 
algumas retas verticais cruzam o círculo duas vezes (Figura 1.7a). Se a estiver 
no domínio de uma função f, a reta vertical x = a vai cruzar a curva de f em 
um único ponto, (a, f(a)).
O círculo da Figura 1.7a, no entanto, contém os gráficos de duas funções de 
x: o semicírculo superior, definido pela função ƒsxd = 21 - x2, e o semicír-
culo inferior, definido pela função gsxd = -21 - x2 (figuras 1.7b e 1.7c).
–1 10
x
y
(a) x2 y2 1
–1 10
x
y
–1 1
0
x
y
(b) y 1 x2 (c) y – 1 x2
FigURa 1.7  (a) Um círculo não pode ser o gráfico de uma função; ele não passa no teste da reta vertical. (b) O semicírculo 
superior é o gráfico de uma função 2( ) 1f x x= × − .
 
(c) O semicírculo inferior é o gráfico de uma função gsxd = -21 - x2 .
Funções definidas em partes
Às vezes, descrevemos uma função aplicando fórmulas diferentes a partes 
diferentes de seu domínio. Um exemplo é a função do valor absoluto
ƒ x ƒ = e
x, x Ú 0 
-x, x 6 0,
cujo gráfico é dado na Figura 1.8. Veja outros exemplos.
ExEMplO 5  Fazendo gráficos de funções definidas em partes
A função
ƒsxd = •
-x, x 6 0
 x2, 0 … x … 1
 1, x 7 1
é definida em toda reta real, mas apresenta valores dados por diferentes 
fórmulas, conforme a posição de x. Os valores de f são dados por y = – x 
quando x < 0, y = x2 quando 0 ≤ x ≤ 1 e y = 1 quando x > 1. Entretanto, a 
função é apenas uma função cujo domínio é o conjunto todo de números 
reais (Figura 1.9).
x
y
 
x
y x
y –x
y
–3 –2 –1 0 1 2 3
1
2
3
FigURa  1.8 A função valor 
absoluto tem domínio (–∞, ∞) 
e imagem [0, ∞).
FigURa  1.9 Para fazer o 
gráfico da função y = f(x) mos-
trada aqui, aplicamos diferen-
tes fórmulas a diferentes partes 
do domínio (Exemplo 5).
–2 –1 0 1 2
1
2
x
y
y –x
y x2
y 1
y f (x)
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�Capítulo 1 Funções
ExEMplO 6 A função maior inteiro
A função cujo valor em qualquer número x é o maior inteiro menor ou 
igual a x é chamada função maior inteiro ou função piso. É denotada por 
x   ou, em alguns livros, [x], [[x]] ou int x. A Figura 1.10 mostra seu gráfico. 
Observe que
:2, 4; = 2, :1, 9; = 1, :0; = 0, : -1, 2; = -2,
:2; = 2, :0, 2; = 0, :-0, 3; = -1 : -2; = -2
ExEMplO 7 A função menor inteiro
A função cujo valor em qualquer número x é o menor inteiro maior ou 
igual a x é denominada de função menor inteiro ou função teto. É deno-
tada por x   . A Figura 1.11 mostra seu gráfico. Para valorespositivos de x, 
essa função pode representar, por exemplo, o custo versus horas passadas 
em um estacionamento que cobra 1 dólar por hora ou fração de hora.
ExEMplO 8  Escrevendo fórmulas para funções definidas em partes
Escreva uma fórmula para a função y = f(x) cujo gráfico é formado 
pelos dois segmentos de reta da Figura 1.12.
SOlUçãO  Encontramos fórmulas para os segmentos de (0, 0) a (1, 1) e 
de (1, 0) a (2, 1) e as colocamos juntas como no Exemplo 5.
Segmento de (0, 0) a (1, 1)  A reta que passa por (0, 0) e (1, 1) tem 
coeficiente angular m = (1 – 0)/(1 – 0) = 1 e coeficiente linear b = 0. Sua 
equação reduzida é y = x. O segmento de (0, 0) a (1, 1), que inclui o ponto 
(0, 0), mas não o ponto (1, 1), é o gráfico da função y = x restrita ao inter-
valo semi-aberto 0 ≤ x < 1, isto é,
y = x 0 ≤ x < 1
Segmento de (1, 0) a (2, 1)  A reta que passa por (1, 0) e (2, 1) tem 
coeficiente angular m = (1 – 0)/(2 – 1) = 1 e passa pelo ponto (1, 0). A 
equação reduzida correspondente para a reta é
y = 0 + 1(x – 1) ou y = x – 1
O segmento de (1, 0) a (2, 1) que inclui os dois pontos finais é o gráfico 
da função y = x – 1 restrita ao intervalo fechado 1 ≤ x ≤ 2, isto é,
y = x – 1 1 ≤ x ≤ 2
Fórmula em partes  Combinando as fórmulas para as duas partes do 
gráfico, obtemos
ƒsxd = e x , 0 … x 6 1
x - 1, 1 … x … 2.
1
–2
2
3
–2 –1 1 2 3
y x
y x
x
y
FigURa  1.10  O gráfico da 
função maior inteiro y = [[x]] 
(ou y = x   ) fica na reta y = x ou 
abaixo dela, proporcionando um 
“piso” inteiro para x (Exemplo 6).
x
y
1– 1–2 2 3
–2
–1
1
2
3 y x
y x
FigURa  1.11  O gráfico da 
função menor inteiro y = x   
fica na reta y = x ou acima dela, 
proporcionando um “teto” in-
teiro para x (Exemplo 7).
FigURa  1.12 O segmento 
da esquerda contém (0, 0), mas 
não (1, 1). O segmento da direi-
ta contém as duas extremidades 
(Exemplo 8).
x
y
1
1
0 2
(1, 1) (2, 1)
y f (x)
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� Cálculo
Exercícios  1.1
Funções
Nos exercícios 1–6, encontre o domínio e a imagem de 
cada função.
.2.1
.4.3
5. 6. g szd = 1
24 - z2
g szd = 24 - z2
F std = 1
1 + 2t
F std = 1
2t
ƒsxd = 1 - 2xƒsxd = 1 + x2
Nos exercícios 7 e 8, quais dos gráficos são gráficos de fun-
ções de x e quais não são? Justifique suas respostas.
7. (a) (b)
8. (a) (b)
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
9.  Considere a função y = 2s1>xd - 1.
(a) x pode ser negativo?
(b) x pode ser igual a 0?
(c) x pode ser maior que 1?
(d) Qual é o domínio da função?
10. Considere a função y = 22 - 1x .
(a) x pode ser negativo?
(b) x pode ser maior que 2?
(c) Qual é o domínio da função?
Encontrando fórmulas para funções
11. Expresse a área e o perímetro de um triângulo eqüilátero 
em função do comprimento x do lado do triângulo.
12. Expresse o comprimento do lado de um quadrado em fun-
ção do comprimento d da diagonal do quadrado. Depois 
expresse a área do quadrado em função do comprimento 
da diagonal.
13. Expresse o comprimento da aresta de um cubo em função 
do comprimento da diagonal d. Depois expresse a área da 
superfície e o volume do cubo em função do comprimen-
to da diagonal.
14. Um ponto P do primeiro quadrante está no gráfico da 
função ƒsxd = 2x. Expresse as coordenadas de P em fun-
ção do coeficiente angular da reta que liga P à origem.
Funções e gráficos
Faça o gráfico das funções nos exercícios 15–20.
.61.51
.81.71
.02.91 G std = 1> ƒ t ƒF std = t> ƒ t ƒ
g sxd = 2-xg sxd = 2ƒ x ƒ
ƒsxd = 1 - 2x - x2ƒsxd = 5 - 2x
21. Faça o gráfico das equações a seguir e explique por que 
não são gráficos de funções de x.
(a) |y| = x (b) y2 = x2
22. Faça o gráfico das equações a seguir e explique por que 
não são gráficos de funções de x.
(a) |x| + |y| = 1 (b) |x + y| = 1
Funções definidas em partes
Faça o gráfico das funções nos exercícios 23–26.
23.
24.
25.
26. G sxd = e1>x , x 6 0
x , 0 … x
F sxd = e 3 - x , x … 1
2x , x 7 1
g sxd = e 1 - x , 0 … x … 1
2 - x , 1 6 x … 2
ƒsxd = e x, 0 … x … 1
2 - x, 1 6 x … 2
27. Encontre uma fórmula para cada função representada.
(a) (b)
t
y
0
2
41 2 3
x
y
0
1
2
(1, 1)
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�Capítulo 1 Funções
28. (a) (b)
29. (a) (b)
30. (a) (b)
t
y
0
A
T
–A
T
2
3T
2
2T
x
y
0
1
T T
2
(T, 1)
x
y
1
2
(–2, –1) (3, –1)(1, –1)
x
y
3
1
(–1, 1) (1, 1)
–1
x
y
3
21
2
1
–2
–3
–1 (2, –1)
x
y
52
2 (2, 1)
T
T
31. (a) Faça o gráfico das funções f(x) = x/2 e g(x) = 1 + (4/x) 
juntas e identifique os valores de x para os quais
x
2
7 1 + 4x .
(b) Confirme algebricamente sua resposta ao item (a).
T
32. (a) Faça o gráfico das funções f(x) = 3/(x – 1) e g(x) = 
2/(x + 1) juntas e identifique os valores de x para os 
quais
3
x - 1 6
2
x + 1 .
(b) Confirme algebricamente sua resposta ao item (a).
Funções maior e menor inteiro
33.  Para quais valores de x
(a) x   = 0? (b)  x  = 0?
34. Quais números reais x satisfazem a equação x   = x  ?
35.  − x = – x   para todos os x reais? Justifique sua resposta.
36.  Faça o gráfico da função
ƒsxd = e :x; , x Ú 0<x= , x 6 0
Por que f(x) é chamada parte inteira de x?
Teoria e exemplos
37.  Uma caixa sem tampa será feita com um pedaço retangu-
lar de papelão medindo 14 × 22 polegadas. Em cada can-
to, serão cortados quadrados iguais de lado x e, depois, as 
laterais serão levantadas como mostra a figura. Expresse o 
volume V da caixa em função de x.
x
x
x
x
x
x
x
x
22
14
38.  A figura a seguir mostra um retângulo inscrito num triân-
gulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem 2 unidades 
de comprimento.
(a) Expresse a ordenada y, de P em função de x. (Você pode 
começar escrevendo uma equação para a reta AB.)
(b) Expresse a área do retângulo em função de x.
x
y
–1 0 1x
A
B
P(x, ?)
39. O problema do cone Comece com um pedaço de papel 
com 4 polegadas de raio, como está esquematizado no ítem 
(a). Corte um setor com um comprimento de arco x. Junte as 
duas extremidades da parte remanescente para formar um 
cone com raio r e altura h, como está indicado no ítem (b).
x
h
r
4 pol
4 pol
(a) (b)
(a) Explique por que o comprimento da circunferência 
da base do cone é 8π – x.
(b) Expresse o raio r em função de x.
(c) Expresse a altura h em função de x.
(d) Expresse o volume V do cone em função de x.
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10 Cálculo
40. Custos industriais A Dayton Power and Light, Inc. tem 
uma usina conversora no rio Miami no lugar onde a lar-
gura do rio é de 800 pés. Os custos para passar um cabo 
novo da usina até um ponto na cidade localizado 2 milhas 
rio abaixo, no lado oposto do rio, são: 180 dólares por pé 
de cabo que passar sobre o rio e 100 dólares por pé de 
cabo estendido por terra.
x QP
Usina da Power
Dayton
800 pés
2 milhas
(Fora de escala)
(a) Suponha que o cabo saia da usina e chegue ao ponto Q, no 
lado oposto, que fica x pés distante do ponto P na margem 
oposta à usina. Escreva uma função C(x) que forneça o 
custo para passar o cabo em função da distância x.
(b) Gere uma tabela com valores para determinar se a distân-
cia PQ de menor custo é maior ou menor que 2.000 pés.
41. Para uma curva ser simétrica em relação ao eixo x, o ponto 
(x, y) deverá estar na curva se e somente se o ponto (x, –y) 
estiver na curva. Explique por que uma curva que é simé-
trica em relação ao eixo x não é o gráfico de uma função, 
a menos que a função seja y = 0.
42. Um truque Você já deve ter ouvido falar sobre um tru-
que quefunciona assim: escolha um número. Some 5. Do-
bre o resultado. Subtraia 6. Divida por 2. Subtraia 2. Agora, 
diga o resultado e eu direi o número que você escolheu. 
Você vai entender o que acontece se considerar seu número 
original como x e seguir os passos até montar uma fórmula 
f(x) para o número final.
1.2   identificando funções; modelos matemáticos
Existe uma série de tipos importantes de funções freqüentemente encon-
trados em cálculo. Vamos identificá-los e resumi-los brevemente nesta seção.
FUnçõES linEaRES Uma função com a forma f(x) = mx + b, para 
constantes m e b, é chamada função linear. A Figura 1.13 mostra um conjunto 
de retas f(x) = mx onde b = 0, de modo que todas passam pela origem. Funções 
constantes ocorrem quando o coeficiente angular m = 0 (Figura 1.14).
0 x
y
m –3 m 2
m 1
m –1
y –3x
y –x
y 2x
y x
y x12
m 
1
2
FigURa 1.13  O conjunto de retas y = 
mx tem coeficiente angular m e todas as 
retas passam pela origem.
x
y
0 1 2
1
2 y 
3
2
FigURa 1.14  Uma função cons-
tante tem coeficiente angular 
m = 0.
FUnçõES DE pOTênCia Uma função f(x) = xa, onde a é uma constante, é 
chamada função de potência. Existem vários casos importantes a considerar.
(a) a = n, um inteiro positivo
Os gráficos de f(x) = xn, para n = 1, 2, 3, 4, 5, são mostrados na Figura 1.15. 
Essas funções são definidas para todos os valores reais de x. Observe que, à 
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