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Bases Matemáticas para Engenharia Camila Pereira CONTEÚDO DESTA AULA BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Frações Potenciação Radiciação Expressões Algébricas BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Frações Representação das partes de um todo. Divisão de uma pizza em partes iguais Contagem de alunos conforme o desempenho em matemática em uma turma BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Representação de Frações b a Numerador: indica quantas partes são tomadas do inteiro. Denominador: indica em quantas partes dividimos o inteiro. 8 1 Números de partes Nome da parte 2 Meio 3 Terço 4 Quarto 5 Quinto 6 Sexto 7 Sétimo 8 Oitavo Números de partes Nome da parte 9 Nono 10 Décimo 11 Onze avos 12 Doze avos 13 Treze avos 100 Centésimo 1000 Milésimo (um oitavo) 11 3 Três onze avos 100 1 Um centésimo BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Tipos de Frações 10 9 ; 15 3 ; 16 4 Fração própria O numerador é menor que o denominador. 2 3 ; 9 12 ; 12 20 Fração imprópria O numerador é maior ou igual ao denominador. 1000 2 ; 100 25 ; 10 5 Fração decimal O denominador é uma potência de base 10, ou seja, o denominador é 10, 100, 1000,... 10 0 ; 8 0 ; 3 0 Fração aparente O numerador é múltiplo do denominador BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Tipos de Frações Frações equivalentes Duas ou mais frações que representam a mesma porção da unidade. É obtida quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número (diferente de zero). 10 5 6 3 18 9 2 1 4 3 3:12 3:9 2:24 2:18 Fração irredutível Não pode ser mais simplificada. Simplificação de frações: significa transformar a fração em uma fração equivalente com os menores termos. BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Tipos de Frações Frações mistas (ou numerais mistos) Um número inteiro junto de uma fração. Para transformar uma fração em um número misto: Para transformar um número misto em uma fração: 7 5 2 7 19 19 7 2 5 -14 é equivalente à fração imprópria 7 19 7 5 2 7 5 2 ou 7 5 2 2 7 5 7 19 BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Comparação de Frações Frações com o mesmo denominador A maior fração é a que tem maior numerador. Frações com o mesmo numerador A maior fração é a que tem menor denominador. 3 1 3 5 3 7 3 10 8 8 6 8 4 8 2 8 6, 12 3, 6 1, 3 1, 1 BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Comparação de Frações Frações com o mesmo numerador e denominadores diferentes Reduzir ao mesmo denominador 12 9 6 8 1° - Encontrar o MMC (mínimo múltiplo comum) que será o denominador comum 2 2 3 12 2° - Divide-se o MMC pelos denominadores 3° - Multiplica-se o quociente encontrado pelo numerador da respectiva fração. O produto encontrado é o novo numerador. 12 9 6 8 2 1 12 9 12 16 BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Adição ou Subtração de Frações Frações com o mesmo denominador Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e repete-se o denominador. 3 17 3 7 3 10 4 3 4 6 4 3 Frações com denominadores diferentes Primeiro se reduzem as frações para o mesmo denominador e depois faz a operação. 12 29 12 21 12 8 4 7 3 2 18 13 18 2 18 15 18 2 6 5 BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Multiplicação e Divisão de Frações Multiplicação de frações O numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores. 9 70 3 7 3 10 4 1 24 6 6 3 4 2 Divisão de frações Multiplica a primeira fração pelo inverso da segunda 21 8 7 4 3 2 4 7 3 2 3 20 6 40 2 8 3 5 8 2 3 5 BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Potenciação Potência de grau “n” de um número “a” é o produto de n fatores iguais a “a”. ...aaaan “n” vezes 822223 1)1()1()1()1( 3 9 4 3 2 3 2 3 2 2 49 9 7 3 7 3 7 3 2 a) b) c) d) 25)55(52 Base da potência Expoente BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Regras de Potenciação nnn mnmn n n baba aaa a a aa a 1 1 1 0 m nm n mnmn n nn mnmn aa aa b a ba aaa 120 221 2 1 2 1 532 222 222 5252 222 23 2 22 5 2 52 623 22 33 1 88 BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Potenciação 01,0 100 1 10 04,0 100 4 2,0 11 11 27 1 3 1 110 2 2 9 6 3 33 0 1 22 999 333 0 3 275 20432 18 3 23 325 927 xx xxx EXERCÍCIO - Calcule as potências. 10 10 2 105 523 1 x xxx xxx EXERCÍCIO - Reduza a uma só potência. a) b) c) d) e) f) a) b) c) d) e) f) BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Potenciação EXERCÍCIO Qual é a metade de 222? 21122 22 22 2 2 a) BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Potenciação EXERCÍCIO - Calcule o valor da expressão. 27 5 27 4 4 5 4 27 4 5 4 281 4 94 7 4 1 4 9 1 18 2 1 2 3 1 522 3 2 1 2 2 2 2 032 2 6 b) BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Radiciação abba nn Radicando Radical Índice Raiz 216 5125 24 4 3 , pois 2 2=4 , pois 53=125 , pois 24=16 BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Regras de Radiciação nnnn pnn p n p pn nn cbacba aa aa aa n p n p n nn n n n a a baba b a b a 1 33 33 63 2 88 9494 3 12 3 12 9494 2 2 1 2 2 1 44 3 3 EXERCÍCIO - Calcule o valor da expressão. Radiciação 0 22223 22232 2818 22 18 9 3 1 2 3 3 232 8 4 2 1 2 2 2 222 a) BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Radiciação EXERCÍCIO - Calcule o valor da expressão. 32 321248168 2148814826148 46148 2 33 3 b) BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Radiciação Racionalização: processo de retirar as raízes do denominador das frações. uuuuuua n nn knkn knkn knn k Multiplicamos o denominador e o numerador por um termo para eliminar o radical do denominador. BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA RadiciaçãoEXERCÍCIOS – Racionalize as expressões. 3 6 3 3 3 2 3 2 3 2 a) b) 5 5 4 5 4 5 5 5 4 5 4 5 4 5 5 16 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Radiciação EXERCÍCIOS – Racionalize as expressões. y yx y yx y y y x y x y x 5 22 5 5 5 22 5 2 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 5 3 2 c) BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Expressões Algébricas São todas as expressões formadas por uma parte numérica e outra, literal. Uma pessoa ganha R$ 30,00 por dia de trabalho. EXEMPLOS Salário = 30x Sendo x = dias trabalhados Uma mulher é 5 anos mais nova do que seu marido. Se a soma do casal é 69 anos, qual é a idade de cada um? Idade do mulher = x Idade da marido = x + 5 69)5( xx Valor Numérico de uma Expressão Algébrica São atribuídos valores para as incógnitas (letras). EXERCÍCIO: Determine o valor numérico da expressão 3x2 – 2xy + y3 para x = 2 e y = - 3. 3 271212 271243 332223 23 32 32 yxyx BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Expressões Algébricas Polinômios Monômios: um termo xy zxy 4 10 32 Binômios: dois termos xxy x 3 2 10 123 xxyx xx 23 2 2 13 Trinômios: Três termos 01 1 1 ... axaxaxa n n n n , sendo 0a BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Adição e Subtração de Polinômios Agrupar e combinar os termos semelhantes. EXERCÍCIO 3521432 2323 xxxxxx a) 23 3154232 22 2233 xxx xxxxxx BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Adição e Subtração de Polinômios Agrupar e combinar os termos semelhantes. EXERCÍCIO 22434 232 xxxxx b) 6432 24342 23 223 xxx xxxxx BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Multiplicação de Polinômios Usar a propriedade distributiva. EXERCÍCIO 5423 xx a) 1081512 52425343 542543 2 xxx xxxx xxx BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Multiplicação de Polinômios Pode-se usar a forma vertical. EXERCÍCIO 5434 22 xxxx b) 54 34 2 2 xx xx 234 34 xxx xxx 12164 23 15205 2 xx 15880 234 xxxx 1588 24 xxx BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Sistemas de 2 equações Método da adição Somam-se as equações no intuito de eliminar uma incógnita. c EXERCÍCIO: Na compra dos dois produtos foi gasto R$ 64,00. Apesar dos produtos terem a mesma função, o de maior valor foi R$ 20 reais mais caro. Quais os valores de cada produto? x = produto mais caro y = produto mais barato 20 64 yx yx 20 64 yx yx 842 x 42 2 84 842 x x x 22 4264 6442 64 y y y yx BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Sistemas de 2 equações c EXERCÍCIO: Na compra dos dois produtos foi gasto R$ 64,00. Apesar dos produtos terem a mesma função, o de maior valor foi R$ 20 reais mais caro. Quais os valores de cada produto? x = produto mais caro y = produto mais barato 20 64 yx yx Método da substituição Isola-se uma incógnita em uma equação e substitui-se na outra equação. 20 64 64 yx yx yx 22 442 442 64202 2064 y y y y yy 42 2264 64 x x yx BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Representação Gráfica de um Sistema A solução de um sistema de equações do 1º grau com 2 incógnitas será o ordenado (x,y). x y x + y = 2 Par ordenado 0 2 0 + 2 = 2 (0, 2) 2 0 2 + 0 = 2 (2, 0) x y x - y = 0 Par ordenado 0 0 0 - 0 = 0 (0, 0) 2 2 2 - 2 = 0 (2, 2) 0 2 yx yx O ponto de interseção representa a solução do sistema 1 22 x x 1 21 y y -1 0 1 2 3 4 5 -1 0 1 2 3 4 5 y x x – y = 0 x + y = 2
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