3 variaveis bidimensionais

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Variáveis aleatórias bidimensionais
Função de probabilidade de uma única variável aleatória →→→→
função univariada
� peso e altura de crianças
� quantidade de água na irrigação do trigo e o tamanho da planta
� espaço destinado para o produto na prateleira e sua venda mensal
Duas variáveis conjuntamente (X, Y) →→→→ variável bidimensional
Função de probabilidade →→→→ conjunta ou bivariada
Consideração simultânea ou conjunta de duas variáveis 
aleatórias:
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•[X(s),Y(s)]
•X(s)
•Y(s)
(X,Y)• s
X
Y
S
SX
SY
SXY
Na maioria das vezes, ao se descrever os resultados de um 
experimento, se atribui a um mesmo ponto amostral os 
valores de duas ou mais variáveis aleatórias. Olharemos 
aqui somente o caso de variáveis aleatórias discretas
Variáveis aleatórias discretas bidimensionais
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O espaço amostral SXY é formado pelo produto cartesiano
de todos os elementos de SX e de SY.
SXY = SX ×××× SY
SX = {0, 1} e SY = {0, 1, 2}
Exemplo:
Cada par (x, y) corresponde a 
uma ocorrência da variável (X,Y)
SXY = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2)}
p(X=0,Y=0) p(X=1,Y=0) 
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Exemplo 1: Estamos estudando a composição de famílias
com 3 filhos, quanto ao sexo. Então definimos as seguintes
variáveis de interesse:
X = número de meninos
Z = número de vezes que houver variação do sexo entre 
um nascimento e outro, dentro de uma mesma família.
1, se o primeiro filho for menino
Y =
0, se o primeiro filho for menina
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Com estas informações, e supondo que os sexos ocorram
com mesma probabilidade, obtém-se a Tabela 1, onde, por
exemplo, o evento MFM indica que o primeiro filho é
menino, o segundo é menina e o terceiro é menino.
Tabela 1
Eventos Prob. X Y Z
MMM 1/8 3 1 0
MM F 1/8 2 1 1
M FM 1/8 2 1 2
F MM 1/8 2 0 1
M F F 1/8 1 1 1
F M F 1/8 1 0 2
F F M 1/8 1 0 1
F F F 1/8 0 0 0
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Para cada uma das variáveis X, Y, Z, têm-se as respectivas
distribuições de probabilidade, também chamadas de
distribuições marginais.
Eventos Prob. X Y Z
MMM 1/8 3 1 0
MM F 1/8 2 1 1
M FM 1/8 2 1 2
F MM 1/8 2 0 1
M F F 1/8 1 1 1
F M F 1/8 1 0 2
F F M 1/8 1 0 1
F F F 1/8 0 0 0
y 0 1
p(y) 4/8 4/8
x 0 1 2 3
p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8
z 0 1 2
p(z) 2/8 4/8 2/8
Distribuições marginais e conjuntas
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A Tabela 2 apresenta as probabilidades associadas aos 
pares de valores das variáveis aleatórias X e Y.
Nesta tabela, p(x, y) = P(X = x , Y = y) denota a probabilidade 
do evento (X = x e Y = y). 
A Tabela 2 é denominada distribuição conjunta de X e Y, que 
é uma distribuição bidimensional, isto é, de duas variáveis. 
Tabela 2
(x,y) (0,0) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) (3,1)
p(x,y) 1/8 2/8 1/8 1/8 2/8 1/8
Eventos Prob. X Y Z
MMM 1/8 3 1 0
MM F 1/8 2 1 1
M FM 1/8 2 1 2
F MM 1/8 2 0 1
M F F 1/8 1 1 1
F M F 1/8 1 0 2
F F M 1/8 1 0 1
F F F 1/8 0 0 0
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Uma maneira mais cômoda de representar a distribuição conjunta
é através de uma tabela de duas entradas (Tabela 3).
Eventos Prob. X Y Z
MMM 1/8 3 1 0
MM F 1/8 2 1 1
M FM 1/8 2 1 2
F MM 1/8 2 0 1
M F F 1/8 1 1 1
F M F 1/8 1 0 2
F F M 1/8 1 0 1
F F F 1/8 0 0 0
Tabela 3
Y
X
p(y)0 1 2 3
0 1/8 2/8 1/8 0 1/2
1 0 1/8 2/8 1/8 1/2
p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
A primeira e a última colunas dão a distribuição de Y, enquanto que a 
primeira e a última linhas dão a distribuição de X. 
Estas distribuições são chamadas distribuições marginais.
Observa-se, pelo exemplo, que:
P(X = 1) = P(X = 1, Y = 0) + P(X = 1, Y = 1) = 2/8 + 1/8 = 3/8
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As distribuições marginais referem-se às probabilidades
individuais de ocorrência de cada variável.
A distribuição marginal de X expressa as probabilidades de
ocorrência dos valores de X, independente dos valores Y.
A distribuição marginal de Y expressa as probabilidades de
ocorrência dos valores de Y, independente dos valores de X.
As distribuições marginais são importantes quando as
variáveis são independentes entre si.
Quando as variáveis são dependentes, devemos considerar
a distribuição conjunta das duas variáveis, pois elas não
podem ser estudadas separadamente
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Variáveis aleatórias independentes
Exemplo 2: Consideremos agora a distribuição conjunta das
variáveis Y e Z, definidas no exemplo 1. Da Tabela 1, obtém-se:
Eventos Prob. X Y Z
MMM 1/8 3 1 0
MM F 1/8 2 1 1
M FM 1/8 2 1 2
F MM 1/8 2 0 1
M F F 1/8 1 1 1
F M F 1/8 1 0 2
F F M 1/8 1 0 1
F F F 1/8 0 0 0
Tabela 4
Y
Z
p(y)
0 1 2
0 1/8 2/8 1/8 1/2
1 1/8 2/8 1/8 1/2
P(x) 1/4 2/4 1/4 1
Para a Tabela 4, observa-se que: 
para quaisquer z = 0, 1, 2 e y = 0, 1. 
O que mostra que P(Z = z, Y = y) = P(Z = z) . P(Y = y), isto é, a probabilidade 
de cada casela é igual ao produto das respectivas probabilidades marginais.
z)P(Z
y)P(Y
y)Y, zP(Zy)z/YP(Z ==
=
==
===
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Por exemplo:
P(Z = 1, Y = 1) = P(Z = 1) . P(Y = 1) = 2/4 . 1/2 = 1/4
Também é verdade que P(Y = y / Z = z) = P(Y = y) para todos os 
valores de Y e Z. Logo, Y e Z são independentes.
Definição: Duas variáveis aleatórias discretas X e Y são 
independentes quando a ocorrência de uma não altera a 
probabilidade de ocorrência da outra. 
Exemplo:
X e Y são 
independentes
X e Y são independentes ⇔ y),P(Y x) P(X y) Y x, P(X =×====
∀∀∀∀ (x, y) ∈∈∈∈ SXY





=×====
====
1)P(Y 0) P(X 1) Y 0, P(X
0) P(X 1) / Y 0 P(X
ou
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Retomemos à Tabela 3
(distribuição conjunta de X e Y).
Vamos considerar as variáveis
aleatórias (X+Y) e (XY),
construindo a Tabela 5.
Funções de variáveis aleatórias
Tabela 3
Y
X
p(y)
0 1 2 3
0 1/8 2/8 1/8 0 1/2
1 0 1/8 2/8 1/8 1/2
p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
Tabela 5
(x, y) x + y xy p(x, y)
(0, 0) 0 0 1/8
(0, 1) 1 0 0
(1, 0) 1 0 2/8
(1, 1) 2 1 1/8
(2, 0) 2 0 1/8
(2, 1) 3 2 2/8
(3, 0) 3 0 0
(3, 1) 4 3 1/8
Tabela 6
x + y 0 1 2 3 4
p(x+y) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8
Tabela 7
xy 0 1 2 3
p(xy) 4/8 1/8 2/8 1/8
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Calculando as esperanças das variáveis X e Y da Tabela 3,
obtém-se:
Tabela 3
Y
X
p(y)
0 1 2 3
0 1/8 2/8 1/8 0 1/2
1 0 1/8 2/8 1/8 1/2
p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
= 0.1/8 + 1.3/8 + 2.3/8 + 3.1/8 = 12/8 = 3/2 = 1,5
= 0.1/2 + 1.1/2 = 1/2 = 0,5
∑
∈
=
XSx
p(x)xE(X)
∑
∈
=
YSy
p(y)yE(Y)
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Da Tabela 6, obtém-se: Tabela 6
x + y 0 1 2 3 4
p(x+y) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8
∑∑ ++=+
x y
y)y).p(x(xY)E(X
E(X + Y) = 0.1/8 + 1.2/8 + 2.2/8 + 3.2/8 + 4.1/8 = 16/8 = 2
Nota-se que E(X + Y) = E(X) + (Y) = 1,5 + 0,5
Teorema 1: Se X e Y, duas variáveis aleatórias, então:
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Isto é sempre verdade, quer seja X e Y independentes ou não.
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Da Tabela 7, obtém-se:
∑∑=
x y
(xy).p(xy)E(XY)
E(XY) = 0.4/8 + 1.1/8 + 2.2/8 + 3.1/8 = 8/8 = 1,0
Neste caso, observa-se que:
E(XY) = 1,0 ≠ E(X) . E(Y) = 1,5 . 0,5
ou seja, de um modo geral, a esperança de um produto não 
é o produto das esperanças.
Teorema 2: Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, 
então:
E(XY) = E(X) . E(Y)
Tabela 7
xy 0 1 2 3
p(xy) 4/8 1/8 2/8 1/8
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Isto pode ser mostrado a partir 
do exemplo 2 da Tabela 4, onde 
as variáveis aleatórias Y e Z são 
independentes. 
Sendo
Tabela 4
Y
Z
p(y)
0 1 2
0 1/8 2/8 1/8 1/2
1 1/8 2/8 1/8 1/2
P(x) 1/4 2/4 1/4 1E(Z) = 0.1/4 + 1.2/4 + 2.1/4 = 1 
E(Y) = 0.1/2 + 1.1/2 = 1/2
E(ZY) = 0.1/8 + 0.2/8 + 0.1/8 + 0.1/8 + 1.2/8 + 2.1/8 = 2/8 + 2/8 
= 4/8 = 1/2
então, E(ZY) = E(Z) . E(Y)
A recíproca do Teorema 2 não éverdadeira, ou seja, 
E(XY) = E(X) . E(Y) pode ser válida e X e Y não serem independentes.
Teorema 2: Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então:
E(XY) = E(X) . E(Y)
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Exemplo 3: Sejam X e 
Y variáveis aleatórias 
com a seguinte 
distribuição conjunta:
Y
X
p(y)0 1 2
1 3/20 3/20 2/20 8/20
2 1/20 1/20 2/20 4/20
3 4/20 1/20 3/20 8/20
p(x) 8/20 5/20 7/20 1
Observe que X e Y não são independentes, pois:
P(X = 0, Y = 1) = 3/20 ≠ P(X = 0) . P(Y = 1) = 8/20 . 8/20 = 4/25
No entanto, têm-se que:
E(X) = 0 . 8/20 + 1 . 5/20 + 2 . 7/20 = 0,95
E(Y) = 1 . 8/20 + 2 . 4/20 + 3 . 8/20 = 2,00
E(XY) = 0 . 3/20 + 1 . 3/20 + 2 . 2/20 + 0 . 1/20 + 2 . 1/20 + 4 . 2/20 
+ 0 . 4/20 + 3 . 1/20 + 6 . 3/20 = 38/20 = 1,9
logo, E(XY) = E(X) . E(Y)
1,9 = 2,00 . 0,95 = 1,9
A recíproca do Teorema 2 
não é verdadeira
Tabela 8
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Medida numérica da variação conjunta de duas variáveis
aleatórias.
Definição: Se X e Y são duas variáveis aleatórias, a covariância 
é definida pela média dos produtos dos desvios de X e Y 
O sinal e a magnitude da covariância refletem, respectivamente, 
a direção e a intensidade da relação linear entre X e Y, de modo 
que a covariância pode ser positiva ou negativa e teoricamente 
pode variar de -∞ a +∞.
Covariância de duas variáveis aleatórias
[ ])μ).(Y μ (XE Y), Cov(X YX −−= Fórmula de definição
E(X).E(Y)E(X.Y) Y), Cov(X −= Fórmula prática
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E(X).E(Y)E(X.Y) Y), Cov(X −=
onde:
∑∑=
x y
y)(x.y).p(x,E(X.Y)














= ∑∑
∈∈ yX SySx
p(y)y.p(x)xE(X).E(Y)
Média do produto
Produto das médias
Fórmula prática
A covariância pode assumir valores positivos 
(indicando relação positiva entre X e Y) ou 
negativos (indicando relação negativa).
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Exemplo 4: Para as variáveis X e Y da Tabela 3, obteve-se:
Tabela 3
Y
X
p(y)0 1 2 3
0 1/8 2/8 1/8 0 1/2
1 0 1/8 2/8 1/8 1/2
p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
Cov(X,Y) = E(XY) – E(X) . E(Y) 
Cov(X,Y) = 1,0 – (1,5)(0,5) = 0,25
Definição: Quando Cov(X,Y) = 0, diz-se que X e Y são não-
correlacionadas linearmente.
E(X) = 1,5
E(Y) = 0,5
E(XY) = 1,0
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Exemplo 5: Retornemos à Tabela 4, onde foi verificado que as
variáveis aleatórias Y e Z são independentes.
Tabela 4
Y
Z
p(y)0 1 2
0 1/8 2/8 1/8 1/2
1 1/8 2/8 1/8 1/2
P(x) 1/4 2/4 1/4 1
E(Z) = 1 E(Y) = 1/2 E(YZ) = E(Z).E(Y) = 1/2
Cov(Y, Z) = E(YZ) – E(Y) . E(Z) = 1/2 – 1 . 1/2 = 0
Proposição 1: Se X e X Y são duas variáveis aleatórias 
independentes, então E(X.Y) = E(X).E(Y) e Cov(X,Y) = 0.
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Exemplo 6: Considerando a distribuição conjunta de X e Y dada 
no exemplo 3 (Tabela 8):
Cov(X,Y) = E(XY) – E(X) . E(Y) 
Cov(X,Y) = 1,90 – (0,95)(2,00) = 0
Y
X
p(y)
0 1 2
1 3/20 3/20 2/20 8/20
2 1/20 1/20 2/20 4/20
3 4/20 1/20 3/20 8/20
p(x) 8/20 5/20 7/20 1
Tabela 8
E(X) = 0,95
E(Y) = 2,00
E(XY) = 1,90
Conclusão: se X e Y são independentes, isto implica X e Y não-
correlacionadas. A recíproca não é verdadeira, isto é, Cov(X,Y) = 0 não
implica X e Y independentes.
De fato, para as variáveis aleatórias X e Y do exemplo 3 (Tabela 8),
Cov(X,Y) = 0, mas como foi verificado, X e Y não são independentes.
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Resultados: Para as duas variáveis aleatórias X e Y,
� Se Z = X + Y, vale que µZ = µX + µY , e
V(Z) = V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y) 
� Se Z = X - Y, vale que µZ = µX - µY , e
V(Z) = V(X+Y) = V(X) + V(Y) - 2Cov(X,Y) 
� Se X e Y são independentes, então: 
V(X ± Y) = V(X) + V(Y)
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Outras propriedades da covariância
Considerando X, Y e Z variáveis aleatórias e a, b, c e d
constantes, têm-se as seguintes propriedades:
Cov (X, a) = 0
Cov (X, -Y) = - Cov (X, Y)
Cov (aX, Y) = a Cov (X, Y)
Cov (aX+b, cY+d) = ac Cov (X, Y)
Cov (X+Y, Z) = Cov (X, Z) + Cov (Y, Z)
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� A covariância isoladamente não é conveniente como uma 
medida da relação entre duas variáveis, pois depende da 
unidade na qual X e Y são medidos. 
� Se estivermos estudando a dependência entre as variáveis 
X: peso do pai em kg e Y: peso do filho em kg, ao calcularmos a 
covariância, teremos uma medida ao quadrado (kg2). 
� Além disso, o campo de variação é muito amplo, isto é, 
-∞ < Cov (X, Y) < + ∞ , o que dificulta a interpretação.
Definição: O coeficiente de correlação de X e Y é definido por:
Coeficiente de Correlação
 V(Y). V(X)
 Y), Cov(X
ρ = , sendo -1 ≤≤≤≤ ρ ≤≤≤≤ 1
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Exemplo 7: 
(a) Para as variáveis X e Y do exemplo 3 (Tabela 8) 
Cov (X, Y) = 0 ⇒ ρ(X, Y) = 0.
(b) Para as variáveis X e Y do exemplo 1 (Tabela 3), têm-se:
Tabela 3
Y
X
p(y)0 1 2 3
0 1/8 2/8 1/8 0 1/2
1 0 1/8 2/8 1/8 1/2
p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
V(X) = (0 – 3/2)2.1/8 + (1– 3/2)2.3/8 + (2 – 3/2)2.3/8 + (3 – 3/2)2 .1/8 = 0,75
V(Y) = ( 0 – 1/2 )2 .1/2 + ( 1 – 1/2 )2 .1/2 = 0,25
Cov (X,Y) = 0,25
E(X) = 3/2 E(Y) = 1/2
∑
∈
=
XSx
2 p(x)E(X)]-[xV(X)
 V(Y). V(X)
 Y), Cov(X
ρ =logo, 0,58
5)(0,75)(0,2
0,25
==
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Propriedades do coeficiente de correlação
O coeficiente de correlação é uma quantidade adimensional e 
tem as seguintes propriedades:
� -1 ≤ ρ (X,Y) ≤ 1 
� ρ (X, Y) = ρ (Y, X) 
� ρ (X, X) = 1 ρ (X,-X) = -1
Quando ρ (X,Y) = ±1, existe uma correlação perfeita entre X e Y, 
isto é, Y = a + bX; se ρ (X,Y) = 1, b > 0, e se ρ (X,Y) = -1, b < 0. 
O grau de associação linear entre X e Y varia à medida que ρ
(X,Y) varia entre –1 e +1.
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três bolas,
(com reposição)Experimento: Numa urna existem quatro bolas
verdes, três azuis e três pretas. Retiram-se,
com reposição, três bolas. As variáveis X e Y
indicam, respectivamente, o número de bolas
verdes e o número de bolas azuis retiradas.
Como as retiradas são com reposição, são todas independentes entre si. 
# S = 103 = 1000
S = {(V1V1V1), (V1V1V2), (V1V2V1), (V2V1V1), (V1V1V3), ..., (P3P3P3)}
X = número de bolas verdes retiradas SX = { 0, 1, 2, 3}
Y = número de bolas azuis retiradas SY = { 0, 1, 2, 3}
O espaço amostral da variável bidimensional (X,Y):
SXY = {(0,0), (0,1), (0,2), (0,3) (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (3,0)}
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O par (X =0, Y =1) corresponde ao seguinte evento:
0 bola verde, 1 bola azul e, consequentemente, 2 bolas pretas 
retiradas independentes ⇒ probabilidades as mesmas nas 3 retiradas
P(verde) = 0,4 P(azul) = 0,3 P(preta) = 0,3
Como o evento (APP), um dos que correspondem ao par (X =0, Y =1), 
consiste da intersecção de três eventos independentes: bola azul na 
primeira retirada, bola preta na segunda retirada e bola preta na terceira 
retirada, sua probabilidade pode ser obtida por:
P(APP) = P(azul) × P(preta) × P(preta)
P(APP) = 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,027
 Y 
X 0 1 2 3 Σ 
0 
1 
2 
 
3 
Σ 1 
 
três bolas,
(com reposição)
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30
Devemos considerar que existem três maneiras de se obter o evento 
desejado: 0 bola verde, 1 bola azul e 2 bolas pretas. 
(APP) (PAP) (PPA) 
Deste modo, o probabilidade P(X =0, Y =1) será a soma das 
probabilidades destes três eventos, ou seja,
P(X = 0, Y =1) = P(APP) + P(PAP) + P(PPA).
Como as probabilidades dos três eventos são iguais
P(APP) = P(PAP) = P(PPA) = 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,027
temos
P(X =0, Y =1) = 3 × 0,027 = 0,081
 Y 
X 0 1 2 3 Σ 
0 
1 
2 
 
3 
Σ 1 
 
três bolas,
(com reposição)
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31
Esses três eventos (APP, PAP, PPA) são grupos que diferem apenaspela ordem e que podem estar repetidos, uma vez que as retiradas são 
feitas com reposição. Sendo assim, o número de diferentes maneiras de 
ocorrência do par (X =0, Y =1) pode ser obtido calculando-se :
3
2! 1! 0!
3!P0,1,23 =
××
=
0,0810,30,30,4P 1) Y 0, P(X 2102 1, 0,3 =×××===
y-x-3yxy-x-3 y,x,
3 0,30,30,4P y) Y x, P(X ×××===
Generalizando...
 Y 
X 0 1 2 3 Σ 
0 
1 
2 
 
3 
Σ 1 
 
três bolas,
(com reposição)
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 Y 
X 0 1 2 3 Σ 
0 0,027 0,081 0,081 0,027 0,216 
1 0,108 0,216 0,108 0 0,432 
2 0,144 0,144 0 0 0,288 
3 0,064 0 0 0 0,064 
Σ 0,343 0,441 0,189 0,027 1 
 
Marginal 
de XP(X=1,Y=1)
P(X=1,Y=2)
Marginal 
de Y
Distribuição 
conjunta
P(X=2)
P(Y=1)
yx3yxyxy,3x,
3 0,30,30,4Py)Yx,P(X −−−−===
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33
X e Y são independentes?
P(X = 0, Y = 0)
P(X = 0) ×××× (Y = 0) =
= 0,027
0,216 ×××× 0,343 = 0,074
0,740,27 
0)P(Y 0) P(X 0) Y 0, P(X 
 ≠
=×=≠==
Concluímos que o número de bolas verdes retiradas (X)
depende do número de bolas azuis (Y).
Para provar a independência entre X e Y é necessário que 
o produto das probabilidades individuais seja igual à 
probabilidade conjunta para todos os pares (x, y).
 Y 
X 0 1 2 3 Σ 
0 0,027 0,081 0,081 0,027 0,216 
1 0,108 0,216 0,108 0 0,432 
2 0,144 0,144 0 0 0,288 
3 0,064 0 0 0 0,064 
Σ 0,343 0,441 0,189 0,027 1 
 
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34
a) E(X)
b) E(Y)
c) E(X+Y)
d) E(X-Y)
e) E(XY)
f) V(X)
g) V(Y)
h) Cov(X,Y)
i) V(X+Y)
j) V(X-Y)
k) O coeficiente de correlação linear
Exercício proposto:
Para o experimento da retirada de três bolas, determine:
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35
Respostas:
a) E(X) 1,20
b) E(Y) 0,90
c) E(X+Y) 2,1
d) E(X-Y) 0,3
e) E(XY) 0,7
f) V(X) 0,72
E(X2) = 2,16
g) V(Y) 0,63
E(Y2) = 1,44
h) Cov(X,Y) -0,36
i) V(X+Y) 0,63
E((X+Y)2) = 5,04
j) V(X-Y) 2,07
E((X-Y)2) = 2,16
k) O coeficiente de correlação linear.
-0,5345
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36
Exercício proposto: Para o exemplo da composição das
famílias com 3 filhos, utiliza as variáveis X e Z criadas e:
X = número de meninos
Z = número de vezes que houver variação do sexo entre 
um nascimento e outro, dentro de uma mesma família.
Eventos Prob. X Y Z
MMM 1/8 3 1 0
MM F 1/8 2 1 1
M FM 1/8 2 1 2
F MM 1/8 2 0 1
M F F 1/8 1 1 1
F M F 1/8 1 0 2
F F M 1/8 1 0 1
F F F 1/8 0 0 0
a) Obtenha a distribuição 
conjunta e marginais.
b) Verifique se X e Z são 
variáveis independentes.
c) Calcule o coeficiente de 
correlação entre X e Z.
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