Experimentos Aleatórios e Probabilidade

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Probabilidade
Experimento Aleatório 
	Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, da afirmação “é provável que meu time ganhe a partida hoje” pode resultar: 
a) Que, apesar do favoritismo, ele perca; 
b) Que, como pensamos, ele ganhe; 
c) Que empate. 
	Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esse são chamados de fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios. 
	Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. 
Espaço Amostral 
	A cada experimento correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Assim, ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa. Já ao lançarmos um dado há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. 
	Ao conjunto desses resultados possíveis damos o nome de espaço amostral ou conjunto universo, representados por . 
	Os dois experimentos citados anteriormente têm os seguintes espaços amostrais: 
lançamento de uma moeda: = {Cara, Coroa};
lançamento de um dado: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
	Do mesmo modo, como em dois lançamentos sucessivos de uma moeda podemos obter cara nos dois lançamentos, ou cara no primeiro e coroa no segundo, ou coroa no primeiro e cara no segundo, ou coroa nos dois lançamentos, o espaço amostral é: 
 = {(Cara, Cara), (Cara, Coroa), (Coroa, Cara), (Coroa, Coroa)}. 
	Cada um dos elementos de que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. Assim: 
{(Cara, Cara)} (Cara, Cara) é um ponto amostral de .
Eventos 
	Chamamos de eventos a qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. 
Operações com Eventos 
Interseção 
	O evento interseção de dois eventos A e B equivale à ocorrência de ambos. Ela contém todos os pontos do espaço amostral comum a A e a B. Denota-se por A ∩ B (ou às vezes, por AB). A interseção é ilustrada pela área hachurada do diagrama abaixo.
A ∩ B
Exemplo: Seja A o conjunto de alunos de uma instituição que frequentam o curso secundário, e B o conjunto dos que frequentam um curso facultativo de interpretação musical. A interseção A ∩ B é o conjunto dos alunos que fazem o curso secundário e frequentam o curso facultativo. 
Exclusão 
	Dois eventos A e B dizem-se mutuamente exclusivos ou mutuamente excludentes quando a ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro. Os eventos não têm nenhum elemento em comum. Exprime-se isto escrevendo A ∩ B = ∅. O diagrama a seguir ilustra esta situação. 
Exemplo: Na jogada de um dado, seja A o evento “aparecer número par” e B o evento “aparecer número ímpar”. A e B são mutuamente excludentes; A ∩ B = ∅; nenhum número pode ser par e ímpar ao mesmo tempo. 
União 
	O evento união de A e B equivale à ocorrência de A, ou de B, ou de ambos. Contém os elementos do espaço amostral que estão em pelo menos um dos dois conjuntos. Denota-se por A ∪ B. A área hachurada do diagrama ilustra a situação. 
	Nota-se que à interseção está associada à conjunção e, enquanto que à união está associada à conjunção ou. 
Exemplo: Se A é o conjunto dos alunos de um estabelecimento que frequentam o curso de ciências contábeis e B é o conjunto de aluno do mesmo estabelecimento que fazem administração de empresas, então A ∪ B é o conjunto dos alunos que fazem pelo menos um daqueles dois cursos. 
Negação (Complementar) 
	A negação do evento A, denotada por é chamada de evento complementar de A. É ilustrada na parte hachurada. 
Exemplo: Se, na jogada de um dado, o evento consiste no aparecimento das faces 1, ou 2, ou 5, ou 6. Então: e 
Probabilidade 
	Não é possível fazer inferências estatísticas sem utilizar alguns resultados da teoria das probabilidades. Esta teoria, embora intimamente associada à estatística, tem suas características próprias. Ela procura quantificar as incertezas existentes em determinada situação, ora usando um número, ora uma função matemática. 
Definimos probabilidade clássica como: 
	Suponha o lançamento de um dado. Qual a probabilidade da face superior ser 6? O nº de resultados favoráveis é 1, uma vez que existe somente um 6. O nº total de resultados possíveis são 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Então a probabilidade é 1/6. 
	Outra definição de probabilidade é da frequência relativa de ocorrência de um evento em um grande nº de repetições. Utilizando o caso do dado, calculamos a probabilidade de aparecer 6 lançando o dado um grande número de vezes e então observando a proporção de vezes que o número 6 apareceu, esta proporção nos dará a probabilidade do nº da face superior ser 6.
Regras de Probabilidade 
	Independente do ponto de vista de probabilidade (clássico ou frequentista) as regras para o cálculo de probabilidade são as mesmas. Antes das regras precisamos de algumas definições. Eventos , , ,... são ditos mutuamente exclusivos se, quando um ocorre os outros não ocorrem. 	
	Podemos escrever P(A ∪ B) como a probabilidade de que os eventos A ou B ou ambos ocorram, a isto denominamos união de eventos, neste caso união de A e B.
	Escrevemos P(A ∩ B) como a probabilidade da ocorrência conjunta de A e B, e denominamos de interseção dos eventos A e B.
Propriedades da Probabilidade 
Sendo A um evento qualquer. 
 P(A) = 1 – P()
 0 ≤ P(A) ≤ 1
Sendo A e B dois eventos quaisquer, temos:
 P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ )
 Se A ⊂ B então P(A) ≤ P(B)
 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Exemplo: Sejam os eventos 
A: O dado mostra 1, 3 ou 5 
B: O dado mostra 3 
Então 
A ∪ B: O dado mostra 1, 3 ou 5 
A ∩ B: O dado mostra 3 
	A regra de adição de probabilidade afirma que 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Se A e B são mutuamente exclusivos não podem ocorrer conjuntamente, assim P(A ∩ B) = 0. Então para eventos mutuamente exclusivos 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 
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Teorema da Probabilidade Total 
	Inicialmente, consideremos n eventos , , ..., . Diremos que eles formam uma partição do espaço amostral Ω, quando: 
Isto é, os eventos , , ..., são dois a dois mutuamente exclusivos (sua união é Ω). 
Seja um espaço amostral, A um evento qualquer de Ω e , , ..., uma partição de Ω. 
É válida a seguinte relação: 
A = ( ∩ A) ∪ ( ∩ A) ∪ ( ∩ A) ∪ ... ∪ ( ∩ A). 
Nesse caso:
A = (∩ A) ∪ (∩ A) ∪ (∩ A) ∪ ... ∪ (∩ A). 
Notemos que ( ∩ A) ∪ ( ∩ A) ∪ ... ∪ ( ∩ A) são dois a dois mutuamente exclusivos, portanto: 
P(A) = P(∩ A) + P(∩ A) + ... + P(∩ A).
Exemplo: Na tabela abaixo temos dados referentes a alunos matriculados em quatro cursos de uma universidade em dado ano. 
Tabela: Distribuição de alunos segundo sexo e escolha de curso. 
Vamos indicar por M o evento que ocorre quando, escolhendo-se ao acaso um aluno do conjunto desses quatro cursos, ele for estudante de Matemática Pura. A, E, C, H e F têm significados análogos. Dessa maneira, vemos que P(E) = 30/200, ao passo que P(H) = 115/200.
Dados os eventos A e H, podemos considerar dois novos eventos: 
A ∪ H, chamado a reunião de A e H, quando pelo menos um dos eventos ocorre; 
A ∩ H, chamado a intersecção de A e H, quando A e H ocorrem simultaneamente. 
É fácil ver que P(A ∩ H) = 15/200, pois o aluno escolhido terá de estar, ao mesmo tempo, matriculado no curso de matemática Aplicada e ser homem. 
Vemos que P(A) = 30/200 e P(H) = 115/200 ; suponha que nosso cálculo para P(A ∪ H) fosse: 
P(A ∪ H) = P(A) + P(H) 
P(A ∪ H) = 
	Se assim o fizéssemos, estaríamos contando duas vezes os alunos que são homens e estão matriculados no curso de Matemática Aplicada, como destacado na Tabela. Portanto a resposta correta é
P(A ∪ H) = P(A) + P(H) - P(A ∩ H)
P(A ∪ H) = 
	No entanto, considerando-se os eventos A e C, vemos que P(A) = 30/200, P(C) = 30/200 e P(A ∪ C) = 60/200 = P(A) + P(C). Neste caso, os eventos A e C são disjuntos ou mutuamente exclusivos, pois se A ocorre, então C não ocorre e vice-versa.
Exemplo: 	
	Uma urna contém 100 bolinhas numeradas, de 1 a 100. Uma bolinha é escolhida e observa-se seu número. Admitindo probabilidades iguais a paratodos os eventos elementares, qual a probabilidade de: 
a) Observarmos um múltiplo de 6 e de 8 simultaneamente? 
b) Observarmos um múltiplo de 6 ou de 8? 
c) Observarmos um número não múltiplo de 5? 
Solução:
Temos Ω = {1, 2, 3, ..., 99, 100} 
a) Um múltiplo de 6 e 8 simultaneamente terá que ser múltiplo de 24; portanto, o evento que nos interessa é: A = {24, 48, 72, 96}. 
b) Sejam os eventos: 
B: o número é múltiplo de 6. 
C: o número é múltiplo de 8. 
O evento que nos interessa é B ∪ C , então: 
B = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96 } e 
C = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96} e 
Portanto: P(B ∪ C) = P(B) + P(C) – P(B ∩ C)
Ora, B ∩ C nada mais é do que o evento A (do item a). 
Logo, 
Segue-se então que: 
c) Seja D o evento, o número é múltiplo de 5. Temos: 
D = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100} e P(D) = 
O evento que nos interessa é . Logo, 
Probabilidade Condicional e Regra Da Multiplicação 
	Às vezes, nós restringimos nossa obtenção ao subconjunto de todos os eventos possíveis. Por exemplo, suponha que ao lançarmos um dado, os casos 1, 2 e 3 não sejam levados em consideração; considere o evento B o dado mostrar 4, 5 ou 6. Considere o evento A de que o dado mostre 6. A probabilidade de A é agora 1/3 porque o número total de resultados é 3 e não 6. A probabilidade condicional é definida como segue: A probabilidade de um evento A dado que outro evento B ocorreu, é denotada por P(A|B) e é definido por 
No caso acima, 
	Definiremos agora eventos independentes. A e B são ditos independentes se, a probabilidade de ocorrência de um não depende se o outro ocorreu ou não. 
	Então se A e B são independentes, as probabilidades condicional e não-condicional são as mesmas, isto é, P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B). Porque e P(A|B) = P(A) temos a regra da multiplicação, que diz que: P(A∩B) = P(A)P(B) se A e B são independentes. 
Como exemplo, suponha o lançamento do dado duas vezes: 
A = evento de que o 1º lançamento mostre um 6 
B = evento de que o 2º lançamento mostre um 6 
Claramente, A e B são eventos independentes. Então a probabilidade (de conseguirmos duplo 6 ) é 
Exemplo: Existem 100 baterias em uma caixa, 60 delas são baterias de 12 volts e 40 delas com menos de 12 volts. 20 das baterias de 12 volts têm conexões duplas; 5 das baterias com menos de 12 volts têm conexões duplas. 
Qual é a probabilidade que uma bateria selecionada ao acaso da caixa seja de 12 volts? p = 60/100 = 0,6 
Qual é a probabilidade que uma bateria selecionada de 12 volts também tenha conector duplo? p = 20/60 = 1/3 
Qual é a probabilidade que uma bateria selecionada seja de 12 volts e tenha conector duplo? p = 20/100 = 1/5 
Exemplo: Uma urna I contém 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 6 vermelhas e 2 brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e nela é escolhida uma bola, também ao acaso. 
a) Qual probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha? 
b) Qual probabilidade de observarmos bola vermelha? 
c) Se a bola observada foi vermelha, qual probabilidade que tenha vindo da urna I? 
Solução: 
Sejam o evento sair urna I, o evento sair urna II e V o evento sair bola vermelha; 
Então temos: 
Estamos interessados em . Por definição 
Usando os resultados dos itens a e b,
 
Distribuições de probabilidade	
	Faremos a combinação dos métodos da estatística descritiva apresentada nas primeiras aulas com os métodos de probabilidade. Através de uma distribuição de probabilidades será possível prever qual é a probabilidade de obter um dado evento após um particular número de ocorrências
O resultado do lançamento de uma moeda pode ser utilizado para tomar decisões, por exemplo:
O árbitro de uma partida de futebol sorteia quem inicia o primeiro tempo do jogo e ainda o ganhador do sorteio escolhe a metade do campo onde sua equipe iniciará o jogo.
Outras vezes, o resultado da moeda é para realizar uma tarefa agradável ou não etc.
Embora o resultado do sorteio possa ser utilizado com diferentes finalidades, o experimento aleatório lançamento de uma moeda permanece o mesmo, mantendo os mesmos resultados.
Cada vez que o experimento for repetido, seu resultado pertencerá a esse espaço amostral, sendo cada resultado denominando ponto amostral
Em vez de operar com o espaço amostral, agora utilizaremos um conceito mais amplo denominado variável aleatória, que adota valores de acordo com os resultados de um experimento aleatório. 
Um experimento é aleatório se não for possível antecipar seu resultado, apesar de conhecer todos os resultados possíveis que definem o espaço amostral do experimento.
Tipos de Variáveis Aleatórias, Função de Probabilidade e Função Densidade de Probabilidade
Definição 1: Uma variável aleatória (v.a.) é discreta se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado. Variáveis aleatórias discretas (v.a.d.) são determinadas por uma contagem. Por exemplo, o número de peças rejeitadas por lote numa linha de produção é uma VA discreta. 
Definição 2: Seja X uma variável aleatória discreta. Portanto, o contradomínio de X será formado por um número finito ou enumerável de valores ; ; ... . A cada possível resultado xi, associaremos um número p(xi) = P(X =), i = 1; 2; 3; ..., denominado probabilidade de . Os números p() devem satisfazer às seguintes condições:
p() ≥0 ∀ 
 = 1
A função p, definida acima, é denominada função de probabilidade da variável aleatória X. A coleção de pares [xi; p(xi)] i = 1; 2; ... , é denominada distribuição de probabilidade de X.
Exemplo:
Lançam-se dois dados. Seja a v.a. X: soma das faces. Determinar a distribuição de probabilidade da variável aleatória X
Definição 3: Uma variável aleatória é contínua se pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo. O número de resultados possíveis não pode ser listado. Variáveis aleatórias contínuas (v.a.c.) são determinadas por uma medição. Por exemplo, o lucro líquido mensal de uma empresa é uma VA contínua. 
Definição 4: Seja X uma variável aleatória contínua. A função densidade de probabilidade f, indicada abreviadamente por f.d.p., é uma função f que satisfaz às seguintes condições:
a) f(x) ≥ 0, 
b) 
Dessa maneira, para que a probabilidade de uma variável X assuma os valores no intervalo (c,d), com c<d, é:
P(c≤ x ≤d) = .
Gráfico de f.d.p. de f
Exemplo: 
Seja X a duração de vida (em horas) de um certo tipo de lâmpada. Admitindo que X seja uma variável aleatória contínua, suponha que a f.d.p. f de X seja dada por:
Para calcular a constante a, recorre-se à condição que significa, neste caso , obtendo-se a = 7.031.250.
A probabilidade de que a v. a. X assuma valores menores ou iguais a c é frequentemente escrita como F(c) = P(X≤c). A função F(x) representa, para diferentes valores de x a probabilidade acumulada e é chamada de função distribuição acumulada. Assim, 
No caso discreto: 
F(c) = P(X≤c)=
No caso contínuo: 
P(X≤c) = 
Esperança de Uma Variável Aleatória
A esperança, valor esperado ou valor médio, de uma variável aleatória X é dada por:
1 – E(X) = = se X é uma variável aleatória discreta.
2 – E(X) = = se X é uma variável aleatória contínua.
Propriedades
Sejam X e Y variáveis aleatórias definidas em um mesmo espaço amostral , k um número real. Então:
P1: E(kX ) = kE(X ) P2: E(X + k) = E( X ) + k P3: E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) P4: E(XY) = E(X)E(Y)
Exemplo 1:
Um lote contém 20 unidades de um componente, sendo quatro defeituosas. São retiradas quatro peças e X representa o número de unidades defeituosas entre as quatro retiradas. Neste caso a variável X assume seus valores no conjunto = {0 , 1 , 2 , 3 , 4}.
Então a sua esperança é calculada como:
Exemplo 2:
Suponha que a f.d.p. de uma v:a: X com uma distribuição contínua seja:
Então,
Variância de uma Variável Aleatória
A variância de uma variável aleatória X é dada por:
1 – Var [X] = = se X é uma variável aleatória discreta.
2 -Var [X] = = se X é uma variável aleatória contínua.
Propriedades:
Sejam X e Y variáveis aleatórias definidas em um mesmo espaço amostral , k um número real. Então:
P1: Var(X + k) = Var(X) P2: Var(kX) = Var(X)
variância também pode ser calculada através da fórmula:
Var [X] = 
Na fórmula: 
 para v.a.d. 
 para v.a.c.
Exemplo 3:
Seja X a variável aleatória do exemplo 1 . Então a sua variância é calculada como:
Então: Var[X] = 1,1787 – = 0,5389.
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Exemplo 4:
Seja X a variável aleatória do exemplo 2. Então a sua variância é calculada como:
MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
	Certos problemas práticos são bastante adequados à utilização de variáveis aleatórias discretas. Em tais situações, a compreensão da natureza destas variáveis é requisito fundamental para a formulação de modelos probabilísticos associados a este tipo de variável. Os principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas, também chamados distribuições, são apresentados na sequência.
Distribuição de Bernoulli
	Para definir este modelo é conveniente apresentar um experimento aleatório conhecido como experimento de Bernoulli. Este experimento consiste na observação de sucessivos eventos, que apresentam as seguintes propriedades: 
1. Apenas dois resultados são admitidos: sucesso ou insucesso.
2. A probabilidade p, de sucesso, é constante ao longo do experimento.
3. Cada evento é independente.
	Seja X uma variável aleatória discreta que assume os valores 0 (zero) ou 1 (um), conforme o resultado de um evento em um experimento de Bernoulli seja insucesso ou sucesso, sendo p a probabilidade de sucesso. Nestas condições, diz-se que X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p. O modelo de probabilidade correspondente é dado por:
 , 
Notação:
Aqui denota-se:
Temos que: p + q = 1 → q = 1 – p 
X ~ Bernoulli (P)
Lê – se: X segue uma dist. Bernoulli com parâmetro P.
Propriedade: 
Média = P e Variância = P(1 - P)
	X	0	1	𝚺
	P(X=x)	1 – p = q	p	1
Distribuição Binomial
Para que tenha distribuição binomial é necessário que:
Experimento ser realizado em repetições (repetitivo);
Em cada Repetição ser um Experimento de Bernoulli;
Repetir uma quantia fixa de vezes, denotada por n;
Estas repetições serem independentes;
Ter uma variável aleatória, digamos X, cuja lei de formação é a quantia de sucessos nas n repetições.
Notação:
Nas condições acima diz ter:
 “Uma distribuição binomial de parâmetros n e p”, 
 Ao qual denota: X  B(n,p) 
O símbolo: ~ lê-se: “Segue uma Distribuição”
Propriedades:
Se X  b(n,p) , então:
1 - Cálculo de probabilidade – Usa a Fórmula:
P x = 0, 1, 2, ..., n.
2 – Média: 
3 – Variância: 
Exemplo 1:
Suponhamos que lançamos uma moeda 3 vezes, tendo como variável aleatória X sair a face cara:
Encontre a Distribuição de Probabilidade
Encontre Média e Variância
Solução:
a) 
 
b)Podemos utilizar a Distribuição Binomial, pois são eventos independentes e n > 1.
X ~ Bin (n = 3 , p = ½)
 
	X	0	1	2	3	∑
	P(X = x)					1
Exemplo 2:
	Ao jogar uma moeda cinco vezes de forma consecutiva, ache a probabilidade de que a face cara ocorra:
a) Duas vezes; 
b) Nenhuma vez.
Solução:
Característica do experimento:
Jogar 5 vezes: Experimento Repetitivo;
Moeda possui 2 faces: É Experimento de Bernoulli;
Número de Repetições 5: Quantia fixa;
Qualquer face que ocorra em uma repetição, na próxima a moeda permanece nas mesmas características: Repetições Independentes;
 Nota: As características acima designam um Experimento Binomial
Variável Aleatória X: “número de caras nas 5 repetições”
Pela definição da variável aleatória, Sucesso é ocorrer Cara em um lançamento.
 Assim X  b(n,p) 
onde n = 5 e
Cálculo de Probabilidade:
a) Cara duas vezes
Desenvolvendo:
b) Nenhuma Cara:
P
Interpretação:
a) Existe 31,25% de chance de que ocorrerá face cara duas vezes;
b) Existe 3,125% de chance de que ocorrerá face cara em nenhuma vezes;
Exemplo 2:
	Numa criação de coelhos, 40% são machos. Qual a probabilidade de que nasçam pelo menos 2 coelhos machos num dia em que nasceram 20 coelhos? 
Solução: 
X: Número de coelhos machos 
X = 0, 1, 2,..., 20 → P(X) = p = 0,4 → X ~ (20; 0,4)
 
Exemplo 3: Na linha de produção de uma fábrica, em condições normais de funcionamento cada uma das peças pode ser considerada como produzida independentemente das demais. Se retirarmos uma amostra de n peças da linha de produção e se chamarmos de p a fração de peças defeituosas que são produzidas, então X, o número de peças defeituosas na amostra, é uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros n e p. Para n = 5 e p = 0,1 calculemos as probabilidades que haja: 
a) Uma peça defeituosa: 
b) Duas peças defeituosas: 
c) Pelo menos uma peça defeituosa: 
Solução:
MODELOS DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS CONTÍNUAS
	Assim como as variáveis aleatórias discretas, as variáveis aleatórias contínuas podem ser de grande utilidade na abordagem de problemas práticos. Os principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas são apresentados na sequência. Estes modelos também são denominados funções densidades de probabilidades, e podem envolver mais de um parâmetro.
Detalhes da Função de Densidade de Probabilidade
Não pode ser negativa;
Para calcular probabilidade é necessário traçar o seu gráfico, a área delimitada pelo eixo horizontal e os valores desejados é o valor procurado;
A área total sobre a curva vale 1.
Distribuição Normal 
	A distribuição normal é uma distribuição em forma de sino que é usado muito extensivamente em aplicações estatísticas em campos bem variados. Sua função densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por: 
Em que: μ é a média, σ2 é a variância e uma função exponencial.
	
Características: 
Há uma família inteira de distribuições normais de probabilidade. Elas são diferenciadas por suas médias () e desvios-padrões ();
A distribuição normal é unimodal e simétrica em torno de sua média μ: P(X<μ) = P(X>μ).
O ponto mais alto na curva normal está na média, que também é a mediana e a moda da distribuição;
A área total sob a curva é igual a 1, 50% à esquerda e 50% à direita da média.
	
	
	Portanto, a área sob a curva entre os pontos a e b, em que a < b, representa a probabilidade da variável X assumir um valor entre a e b (área escura), como observamos a seguir.
Desse modo, você pode associar que, no caso das distribuições contínuas, a área do gráfico corresponde a probabilidades.
	Então, veja a notação utilizada para a distribuição normal:
	
	Para calcularmos as probabilidades via distribuição normal, é necessário o conhecimento de cálculo integral. Assim, procuramos tabelar os valores de probabilidade que seriam obtidos por meio da integração da função densidade de probabilidade normal em um determinado intervalo.
	A dificuldade para se processar esse tabelamento se prendeu na infinidade de valores que  (média) e  (desvio padrão) poderiam assumir. Nessas condições, teríamos que dispor de uma tabela para cada uma das infinitas combinações de  e , ou seja, em cada situação que se quisesse calcular uma probabilidade.
	Para facilitar esse problema, pode-se obter uma nova forma para a distribuição normal, que não seja influenciada por  e . O problema foi solucionado mediante emprego de uma nova variável definida por:
	Essa variável transforma todas as distribuições normais em uma distribuição normal reduzida ou padronizada, de média 0 e desvio padrão 1. Então, temos: .
	Assim, utilizamos apenas uma tabela para o cálculo de probabilidades para qualquer que seja a curva correspondente a uma distribuição normal.
	
	Portanto, para um valor de x =  em uma distribuição normal qualquer, corresponde o valor:
 na distribuição normal reduzida.
Para , tem-se:
 
Exemplo: Considere a arrecadação como um tributo de uma pequena cidade. Verificamos que essa arrecadação seguia uma distribuiçãonormal com duração média de R$ 60.000,00 e desvio padrão de R$ 10.000,00. Procuramos, então, responder os seguintes questionamentos:
Qual a probabilidade de uma arrecadação ser maior do que R$ 75.000,00?
Solução:
	Como a variável arrecadação apresenta distribuição aproximadamente normal com média e variância de [] e procura-se calcular a 
Primeiramente, precisamos transformar a variável em e, depois, substituindo na expressão, teremos:
 
Olhando esse valor na Tabela Z, z = 1,50 (1,5 na primeira coluna e o zero na primeira linha), encontraremos no meio da tabela o valor de 0,4332 que corresponde à probabilidade de z estar entre zero e 1,5, como podemos pode observar a seguir.
A área escura da figura corresponde a P(X>75000), que é a mesma coisa que: P(z > 1,50). Então:
 
 
 
 
	Retirou-se a probabilidade encontrada de 0,5, pois esse valor corresponde à probabilidade de zero até o infinito.
b) Qual a probabilidade da arrecadação estar entre R$ 50.000,00 e R$ 70.000,00?
 
Primeiramente, precisamos transformar a variável em e, depois, substituindo na expressão de , teremos valores de e , relacionados aos valores de e :
 
 
Pode-se verificar que:
 
c) Qual a probabilidade da arrecadação estar entre R$ 63.000,00 e R$ 70.000,00?