4. APOSTILA DE MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA 
 
 
 
MATEMÁTICA 
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Número de Elementos da União e da 
Intersecção de Conjuntos 
 
Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, 
podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de 
elementos. 
 
 
 
 
 
Note que ao subtrairmos os elementos comuns 
evitamos que eles sejam contados duas vezes. 
 
Observações: 
 
a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um 
deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será 
verdadeira. 
b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para 
três ou mais conjuntos com a mesma eficiência. 
 
Observe o diagrama e comprove. 
Conjuntos 
Conjuntos Primitivos 
Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são 
primitivos, ou seja, não são definidos. 
Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção 
de livros são todos exemplos de conjuntos. 
Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. 
Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou 
um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser 
elemento de algum outro conjunto. 
Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de 
retas é um conjunto onde cada elemento (reta) é também conjunto 
(de pontos). 
Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, 
B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y, 
..., embora não exista essa obrigatoriedade. 
Em Geometria, por exemplo, os pontos são indicados por 
letras maiúsculas e as retas (que são conjuntos de pontos) por 
letras minúsculas. 
Outro conceito fundamental é o de relação de pertinência que 
nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto. 
 
Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos xA 
Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A. 
 
Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x 
A 
Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A. 
 
Como representar um conjunto 
 
Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos 
entre chaves, separando os por vírgula. 
 
Exemplos 
 
- {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 
6, 7 e 8. 
{a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, b 
e m. 
{1; {2; 3}; {3}} indica o conjunto cujos elementos são 1, {2; 
3} e {3}. 
 
Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma 
propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, este 
fica bem determinado. 
P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um 
conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer temos: 
Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a 
propriedade P é indicado por: 
{x, tal que x tem a propriedade P} 
 
Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou | ou ainda 
:, podemos indicar o mesmo conjunto por: 
{x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda, 
{x : x tem a propriedade P} 
 
CONJUNTOS: LINGUAGEM BÁSICA, 
PERTINÊNCIA; INCLUSÃO; IGUALDADE; 
REUNIÃO E INTERSEÇÃO. 
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Exemplos 
 
- { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u} 
- {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que 
{0, 1, 2, 3} 
- {x : x em um número inteiro e x2 = x } é o mesmo que {0, 1} 
 
Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler 
consiste em representar o conjunto através de um “círculo” de tal 
forma que seus elementos e somente eles estejam no “círculo”. 
 
Exemplos 
- Se A = {a, e, i, o, u} então 
 
 
- Se B = {0, 1, 2, 3 }, então 
 
 
Conjunto Vazio 
 
Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa- 
se pela letra do alfabeto norueguês 0 ou, simplesmente { }. 
Simbolicamente:  x, x 0

Exemplos 
 
- 0 = {x : x é um número inteiro e 3x = 1} 
- 0 = {x | x é um número natural e 3 – x = 4} 
- 0 = {x | x ≠ x} 
 
Subconjunto 
 
Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também 
elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou A é a 
parte de B ou, ainda, A está contido em B e indicamos por A  B. 
Simbolicamente: A  B  (  x)(x   xB) 
Portanto, A  B significa que A não é um subconjunto de B 
ou A não é parte de B ou, ainda, A não está contido em B. 
Por outro lado, A  B se, e somente se, existe, pelo menos, 
um elemento de A que não é elemento de B. 
Simbolicamente: A  B  (  x)(xA e xB) 
Exemplos 
 
- {2 . 4}  {2, 3, 4}, pois 2  {2, 3, 4} e 4  {2, 3, 4} 
- {2, 3, 4}  {2, 4}, pois 3 {2, 4} 
- {5, 6}  {5, 6}, pois 5 {5, 6} e 6 {5, 6} 
 
Inclusão e pertinência 
 
A definição de subconjunto estabelece um relacionamento 
entre dois conjuntos e recebe o nome de relação de inclusão (  ). 
A relação de pertinência () estabelece um relacionamento entre 
um elemento e um conjunto e, portanto, é diferente da 
relação de inclusão. 
Simbolicamente 
xA  {x}  A 
xA  {x}  A 
Igualdade 
 
Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e 
indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B é 
também subconjunto de A. 
Simbolicamente: A = B  A  B e B  A 
Demonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, 
segundo a definição, a demonstrar que A  B e B  A. 
Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e somente 
se, possuem os mesmos elementos. 
Portanto A ≠ B significa que A é diferente de B. Portanto A ≠ B 
se, e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto 
de A. Simbolicamente: A ≠ B  A  B ou B  A 
Exemplos 
 
- {2,4} = {4,2}, pois {2,4}  {4,2} e {4,2}  {2,4}. Isto 
nos mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve 
ser levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto 
fica determinado pelos elementos que o mesmo possui e não pela 
ordem em que esses elementos são descritos. 
- {2,2,2,4} = {2,4}, pois {2,2,2,4}  {2,4} e {2,4} 
{2,2,2,4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é 
desnecessária. 
- {a,a} = {a} 
- {a,b = {a}  a= b 
- {1,2} = {x,y}  (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1) 
Conjunto das partes 
 
Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto 
formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo 
conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) de A 
e é indicado por P(A). 
Simbolicamente: P(A)={X | X  A} ou X  P(A)  X 
A 
 
Exemplos 
 
a) = {2, 4, 6} 
P(A) = { 0 , {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A} 
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A 
A 
A B 
A B 
A 
b) = {3,5} 
P(B) = { 0 , {3}, {5}, B} 
 
c) = {8} 
P(C) = { 0 , C} 
d) = 0
P(D) = { 0 } 
 
Propriedades 
 
Seja A um conjunto qualquer e 0 o conjunto vazio. Valem as 
seguintes propriedades 
 
0 ≠( 0 ) 0  0 0  0 0 { 0 } 
0  A  0 P(A) A  A  AP(A) 
 
 
Se A tem n elementos então A possui 2n subconjuntos e, 
portanto, P(A) possui 2n elementos. 
 
União de conjuntos 
 
A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado 
por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Representa-se 
por A  B. 
Simbolicamente: A  B = {X | XA ou XB} 
Exemplos 
 
- {2,3,4}  {3,5}={3} 
- {1,2,3}  {2,3,4}={2,3} 
- {2,3}  {1,2,3,5}={2,3} 
- {2,4}  {3,5,7}=
Observação: Se A  B= , dizemos que A e B são conjuntos 
disjuntos. 
 
 
Subtração 
 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado 
por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. 
Representa-se por A – B. Simbolicamente: A – B = {X | X A e 
XB} 
 
 
 
O conjunto A – B é também chamado de conjunto 
complementar de B em relação a A, representado por C B. 
Simbolicamente: C B = A - B{X |XA e XB} 
Exemplos 
 
 
Exemplos 
 
- {2,3}  {4,5,6}={2,3,4,5,6} 
- {2,3,4}  {3,4,5}={2,3,4,5} 
- {2,3}  {1,2,3,4}={1,2,3,4} 
- {a,b}   {a,b} 
- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} 
C B = A – B = {1,3} e C A = B – A =
- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} 
C B = A – B = {1} e C A = B – A = {14} 
 
- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} 
C B = A – B = {0,2,4} e C A = B – A = {1,3,5} 
A B 
Intersecção de conjuntos 
 
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por 
todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. 
Representa-se por A  B. Simbolicamente: A  B = {X | XA 
ou XB} 
Observações: Alguns autores preferem utilizar o conceito de 
completar de B em relação a A somente nos casos em que B  A. 
- Se B  A representa-se por B o conjunto complementar 
de B em relação a A. Simbolicamente: B  A  B = A – B = 
C B` 
 
 
MATEMÁTICA 
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Exemplos 
 
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então: 
 
a) A = {2, 3, 4}  A = {0, 1, 5, 6} 
b) B = {3, 4, 5, 6 }  B = {0, 1, 2} 
c) C =   C = S 
Número de elementos de um conjunto 
 
Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, 
representa-se por n(X) o número de elementos de X. Sendo, ainda, 
A e B dois conjuntos quaisquer, com número finito de elementos 
temos: 
n(A  B)=n(A)+n(B)-n(A  B) 
A  B=  n(A  B)=n(A)+n(B) 
n(A -B)=n(A)-n(A  B) 
B  A  n(A-B)=n(A)-n(B) 
Exercícios 
 
1. Assinale a alternativa a Falsa: 
a)  {3} 
b)(3)  {3} 
c) {3} 
d)3{3} 
e)3={3} 
 
2. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {3}, {4}, {2, 5}}. Classifique 
as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). 
a) 2  A 
b) (2) A 
c) 3A 
d) (3) A 
e) 4A 
 
3. Um conjunto A possui 5 elementos . Quantos subconjuntos 
(partes) possuem o conjunto A? 
 
4. Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos, 
quantos elementos possui o conjunto A? 
 
5. 12 - Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6}, B = {3; 4 ; 5; 7} e 
C = {4; 5; 6; 8 } pede-se: 
a) A  B 
b) A  B 
c) A  C 
d) A  C 
 
6. Considere os conjuntos: S = {1,2,3,4,5} e A={2,4}. 
Determine o conjunto X de tal forma que: X  A= e X  A = S. 
7. Seja A e X conjuntos. Sabendo-se que A  X e A 
X={2,3,4}, determine o conjunto X. 
 
8. Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número 
de elementos de A  (B  C), sabendo-se: 
a) A  B tem 29 elementos 
b) A  C tem 10 elementos 
c) A  B tem 7 elementos. 
9. Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 
13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-se 
a) quantas crianças existem na escola? 
b) quantas crianças são meninas ou são ruivas? 
 
10. USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa 
que: 
- Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; 
- Quando chove de manhã não chove à tarde; 
- Houve 5 tardes sem chuva; 
- Houve 6 manhãs sem chuva. 
 
Podemos afirmar então que n é igual a: 
a)7 
b)8 
c)9 
d)10 
e)11 
 
Respostas 
 
1) Resposta “E”. 
Solução: A ligação entre elemento e conjunto é estabelecida 
pela relação de pertinência () e não pela relação de igualdade 
(=). Assim sendo, 3{3} e 3≠{3}. De um modo geral, x ≠ {x}, 
 x. 
 
2) Solução: 
a) Verdadeira, pois 2 é elemento de A. 
b) Falsa, pois {2} não é elemento de A. 
c) Verdadeira, pois 3 é elemento de A. 
d) Verdadeira, pois {3} é elemento de A. 
e) Falsa, pois 4 não é elemento de A. 
 
3) Resposta “32”. 
Solução: Lembrando que: “Se A possui k elementos, então 
A possui 2k subconjuntos”, concluímos que o conjunto A, de 5 
elementos, tem 25 = 32 subconjuntos. 
 
4) Resposta “10”. 
Solução: Se k é o número de elementos do conjunto A, então 
2k é o número de subconjuntos de A. 
Assim sendo: 2k=1024  2k=210  k=10. 
 
5) Solução: Representando os conjuntos A, B e C através do 
diagrama de Venn-Euler, temos: 
a) 
 
 
A B={1,3,4,5,6,7} 
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s 
b) 
 
 
 
 
 
 
A B={3,4} 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
A C={1,3,4,5,6,8} 
 
d) 
9) Solução: 
 
 
Sejam: 
A o conjunto dos meninos ruivos e n(A) = x 
B o conjunto das meninas ruivas e n(B) = 9 
C o conjunto dos meninos não-ruivos e n(C) = 13 
D o conjunto das meninas não-ruivas e n(D) = y 
De acordo com o enunciado temos: 
 
n(B  D)  n(B)  n(D)  9  y  42  y  33 

n( A  D)  n( A)  n(B)  x  9  24  x  15 
 
Assim sendo 
a) O número total de crianças da escola é: 
 
A C={4,6} 
 
6) Resposta “X={1;3;5}”. 
n( A  B  C  D)  n( A)  n(B)  n(C)  n(D)  15  9  13  33  70 
 
 
 b) O número de crianças que são meninas ou são ruivas é: 
Solução: Como X  A= e X  A=S, então X= A 
=S-A=C A  X={1;3;5} 
 
 
7) Resposta “X = {2;3;4} 
Solução: Como A  X, então A  X = X = {2;3;4}. 
 
8) Resposta “A”. 
Solução: De acordo com o enunciado, temos: 
 
n(A  B  C) = 7 
n(A  B) = a + 7 = 26  a = 19 
n(A  C) = b + 7 = 10  b = 3 
 
Assim sendo: 
 
 
 
e portanto n[A  (B  C)] = a + 7 + b = 19 + 7 + 3 
Logo: n[A  (B  C)] = 29. 
 
n[( A  B)  (B  D)]  n( A)  n(B)  n(D)  15  9  33  57 
 
10) Resposta “C”. 
Solução: 
Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o 
conjunto dos dias que choveu à tarde. Chamando de M’ e T’ os 
conjuntos complementares de M e T respectivamente, temos: 
n(T’) = 5 (cinco tardes sem chuva) 
n(M’) = 6 (seis manhãs sem chuva) 
n(M Ç T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à 
tarde) 
 
Daí: 
n(M È T) = n(M) + n(T) – n(M Ç T) 
7 = n(M) + n(T) – 0 
Podemos escrever também: 
n(M’) + n(T’) = 5 + 6 = 11 
Temos então o seguinte sistema: 
n(M’) + n(T’) = 11 
n(M) + N(T) = 7 
Somando membro a membro as duas igualdades, vem: 
n(M) + n(M’) + n(T) + n(T’) = 11 + 7 = 18 
Observe que n(M) + n(M’) = total dos dias de férias = n 
Analogamente, n(T) + n(T’) = total dos dias de férias = n 
Portanto, substituindo vem: 
n + n = 18 
2n = 18 
n = 9 
 
Logo, foram nove dias de férias, ou seja, n = 9 dias. 
MATEMÁTICA 
6 
 
 
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. 
a) O antecessor do número m é m-1. 
b) O antecessor de 2 é 1. 
c) O antecessor de 56 é 55. 
d) O antecessor de 10 é 9. 
 
 
 
Números Naturais 
 
O conjunto dos números naturais é representado pela letra 
maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como 
algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a 
Índia, difundindo o seu sistema numérico. 
Embora o zero não seja um número natural no sentido que 
tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos 
considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as 
mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na 
verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema 
posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. 
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com 
o número zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, ...} 
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra 
N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem 
fim. N é um conjunto com infinitos números. 
 
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto 
será representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} 
 
A construção dos Números Naturais 
 
- Todo número natural dado tem um sucessor (número que 
vem depois do número dado), considerando também o zero. 
Exemplos: Seja m um número natural. 
a) O sucessor de m é m+1. 
b) O sucessor de 0 é 1. 
c) O sucessorde 1 é 2. 
d) O sucessor de 19 é 20. 
 
- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois 
números juntos são chamados números consecutivos. 
Exemplos: 
a) 1 e 2 são números consecutivos. 
b) 5 e 6 são números consecutivos. 
c) 50 e 51 são números consecutivos. 
 
- Vários números formam uma coleção de números naturais 
consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro 
é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim 
sucessivamente. 
Exemplos: 
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. 
b) 5, 6 e 7 são consecutivos. 
c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. 
 
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um 
antecessor (número que vem antes do número dado). 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números 
naturais pares. Embora uma sequência real seja outro objeto 
matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos 
a denominação sequência dos números naturais pares para 
representar o conjunto dos números naturais pares: P = { 0, 2, 4, 
6, 8, 10, 12, ...} 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números 
naturais ímpares, às vezes também chamados, a sequência dos 
números ímpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} 
 
Igualdade e Desigualdades 
 
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e 
somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto 
B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for 
satisfeita, escreveremos A = B (lê-se: A é igual a B) e quando não 
for satisfeita denotaremos tal fato por: A ≠ B (lê-se: A é diferente 
de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é 
importante a ordem dos elementos no conjunto. 
 
Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos 
que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do 
conjunto B. Neste caso, A = B. 
 
 
Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos 
conjuntos A e B serão distintos. 
Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Nem todos os elementos 
do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do 
conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar 
que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, 
afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B. 
 
Operações com Números Naturais 
 
Na sequência, estudaremos as duas principais operações 
possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a 
Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e 
multiplicação. 
 
A adição de números naturais 
 
A primeira operação fundamental da Aritmética tem por 
finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou 
mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as 
adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com 
o auxílio de pedras ou por meio de ábacos. 
 
NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, 
RACIONAIS E REAIS: ADIÇÃO, 
SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO E 
POTENCIAÇÃO. 
MATEMÁTICA 
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Propriedades da Adição 
 
- Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais 
é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um 
número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N 
é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de 
composição interna no conjunto N. 
- Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é 
associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números 
naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer 
modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro 
com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, 
obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a 
soma do segundo e o terceiro. (A + B) + C = A + (B + C) 
- Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe 
o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural 
qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será 
o próprio número natural. 
- Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição 
é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou 
seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos 
o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a 
primeira parcela. 
 
Multiplicação de Números Naturais 
 
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro 
número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas 
são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. 
 
Exemplo 
4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9 + 9 + 9 
+ 9 = 36 
O resultado da multiplicação é denominado produto e os 
números dados que geraram o produto, são chamados fatores. 
Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação. 
 
Propriedades da multiplicação 
 
- Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N 
dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais 
números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de 
multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto 
como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto 
N. 
- Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais 
fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro 
fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro 
número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o 
terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. (m . n) . p = m .(n 
. p) → (3 . 4) . 5 = 3 . (4 . 5) = 60 
- Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um 
elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja 
o número natural n, tem-se que: 1 . n = n . 1 = n → 1 . 7 = 7 . 1 = 7 
- Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais 
quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, 
multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos 
o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo 
primeiro elemento. m . n = n . m → 3 . 4 = 4 . 3 = 12 
Propriedade Distributiva 
 
Multiplicando um número natural pela soma de dois números 
naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das 
parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos. m . (p + q) = m 
. p + m . q → 6 x (5 + 3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48 
 
Divisão de Números Naturais 
 
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber 
quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro 
número que é o maior é denominado dividendo e o outro número 
que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado 
quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos 
o dividendo. 
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, 
pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro 
número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata. 
 
Relações essenciais numa divisão de números naturais 
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve 
ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5 
- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o 
produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7 
- A divisão de um número natural n por zero não é possível 
pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos 
escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não 
é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é 
dita impossível. 
 
Potenciação de Números Naturais 
 
Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto 
de n fatores iguais ao número m, ou seja: mn = m . m . m ... m . m 
→ m aparece n vezes 
O número que se repete como fator é denominado base que 
neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado 
expoente que neste caso é n. O resultado édenominado potência. 
Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores 
iguais, como por exemplo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 → 43 = 4 × 4 × 4 = 64 
 
Propriedades da Potenciação 
 
- Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, 
denotada por 1n, será sempre igual a 1. 
Exemplos: 
a- 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1 
b- 13 = 1×1×1 = 1 
c- 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1 
 
- Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1. 
Por exemplo: 
 
- (a) nº = 1 
- (b) 5º = 1 
- (c) 49º = 1 
 
- A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de 
sentido no contexto do Ensino Fundamental. 
MATEMÁTICA 
8 
 
 
- Qualquer que seja a potência em que a base é o número 
natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao 
próprio n. Por exemplo: 
 
- (a) n¹ = n 
- (b) 5¹ = 5 
- (c) 64¹ = 64 
 
- Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 
seguido de n zeros. 
Exemplos: 
a- 103 = 1000 
b- 108 = 100.000.000 
c- 10o = 1 
 
Exercícios 
 
1. O consecutivo e o antecedente de um número natural n 
serão respectivamente: 
 
2. Se n é par, o consecutivo par de n será? Se n é ímpar, o 
consecutivo ímpar de n será? 
 
3. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. 
Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado? 
 
3cm 
 
 
4. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3²? 
 
5. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro 
cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de 
comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura? 
 
6. Faça a potenciação dos seguintes números: 
a) 2³ 
b) 5³ 
c) 2² 
d) 64 
 
7. Qual é o valor do número natural b, tal que 64 = b × b × b? 
 
8. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é 
divisor de todos os números? 
 
9. Realize a divisão nos seguintes números naturais: 
a) 125 : 5 
b) 36 : 6 
c) 49 : 7 
 
10. Calcule: 
a) -8 + 5 
b) -5 – 7 
c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17) 
d) –(-5) + (-10) - 14 
Respostas 
 
1) Solução: O antecedente de um número n será n – 1, pois é 
aquele que antecede o n. 
Já o consecutivo é n + 1. 
 
2) Solução: Sendo n par, o seu consecutivo será n + 2, e sendo 
impar o consecutivo sendo impar o n será n + 2. 
 
3) Resposta “9 quadradinhos”. 
Solução: Temos 9 quadradinhos, então basta apenas fazermos: 
9 x 1 = 9 quadradinhos 
 
4) Resposta “9”. 
Solução: Basta apenas multiplicarmos o 3 duas vezes: 
3 x 3 = 9. 
 
5) Resposta “27”. 
Solução: Para construirmos um cubo, basta apenas 
multiplicarmos os lados: 
3 x 3 x 3 = 27 cubinhos. 
 
6) Solução: 
a) 2 x 2 x 2 = 
= 8 
 
b) 5 x 5 x 5 = 
= 125 
 
c) 2 x 2 = 
= 4 
 
d) 6 x 6 x 6 x 6 = 
= 1296 
 
7) Resposta “4”. 
Solução: R³[64] = 4, pois 64 = b × b × b, ou seja, 64 = b³. Esta 
é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O 
número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b 
= 4. 
 
8) Resposta “1”. 
Solução: O número 1, pois se dividirmos um número natural n 
por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 
3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante. 
 
9) Solução: 
a) 125 : 5 = 
= 25 
 
b) 36 : 6 = 
= 6 
 
c) 49 : 7 = 
= 7 
 
10) Solução: 
a) -8 + 5 = 
= -3 
MATEMÁTICA 
9 
 
 
+ 
+ 
b) -5 – 7 = 
= -12 
 
c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17) = 
= 10 + 8 – 12 + 17 = 
= 35 – 12 = 
= 23 
 
d) –(-5) + (-10) – 14 = 
= 5 – 10 – 14 = 
= 5 – 24 = 
= -19 
 
Números Inteiros - Z 
 
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião 
do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o 
conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto 
é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto 
pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos 
notáveis: 
 
- O conjunto dos números inteiros não nulos: 
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; 
Z* = Z – {0} 
 
- O conjunto dos números inteiros não negativos: 
Z = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
Adição de Números Inteiros 
 
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos 
números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros 
negativos a ideia de perder. 
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8) 
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7) 
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3) 
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3) 
 
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas 
o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado. 
 
Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto 
Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros 
ainda é um número inteiro. 
 
Associativa: Para todos a,b,c em Z: 
a + (b + c) = (a + b) + c 
2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7 
 
Comutativa: Para todos a,b em Z: 
a + b = b + a 
3 + 7 = 7 + 3 
 
Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em 
Z, proporciona o próprio z, isto é: 
z + 0 = z 
7 + 0 = 7 
Z é o próprio conjunto dos números naturais: Z = N 
+ + 
 
- O conjunto dos números inteiros positivos: 
Z* = {1, 2, 3, 4,...} 
 
- O conjunto dos números inteiros não positivos: 
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
- O conjunto dos números inteiros negativos: 
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} 
 
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância 
ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. 
Representa-se o módulo por | |. 
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é 
sempre positivo. 
 
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos 
um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que 
os representam distam igualmente da origem. 
Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 
2 + (-2) = (-2) + 2 = 0 
 
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e 
vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero. 
Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que 
z + (–z) = 0 
9 + (–9) = 0 
 
Subtração de Números Inteiros 
 
A subtração é empregada quando: 
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas 
tem a mais que a outra; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a 
uma delas para atingir a outra. 
 
A subtração é a operação inversa da adição. 
Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9 
diferença 
subtraendo 
minuendo 
 
Considere as seguintes situações: 
 
1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de 
+3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura? 
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 
 
2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, 
era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a 
temperatura registrada na noite de terça-feira? 
MATEMÁTICA 
10 
 
 
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) 
é o mesmo que (+6) + (–3). 
Temos: 
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 
 
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o 
mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo. 
 
Multiplicação de Números Inteiros 
 
A multiplicação funciona como uma formasimplificada de 
uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar 
tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente 
alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 
vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição 
pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 
+ ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 
 
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + 
(–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 
 
Observamos que a multiplicação é um caso particular da 
adição onde os valores são repetidos. 
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser 
indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as 
letras. 
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos 
obedecer à seguinte regra de sinais: 
(+1) x (+1) = (+1) 
(+1) x (-1) = (-1) 
(-1) x (+1) = (-1) 
(-1) x (-1) = (+1) 
 
Com o uso das regras acima, podemos concluir que: 
 
Sinais dos números Resultado do produto 
Iguais Positivo 
Diferentes Negativo 
 
Propriedades da multiplicação de números inteiros: O 
conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação 
de dois números inteiros ainda é um número inteiro. 
 
Associativa: Para todos a,b,c em Z: 
a x (b x c) = (a x b) x c 
2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7 
 
Comutativa: Para todos a,b em Z: 
a x b = b x a 
3 x 7 = 7 x 3 
 
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z 
em Z, proporciona o próprio z, isto é: 
z x 1 = z 
7 x 1 = 7 
Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe 
um inverso z–1=1/z em Z, tal que 
z x z–1 = z x (1/z) = 1 
9 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1 
 
Distributiva: Para todos a,b,c em Z: 
a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 
3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5) 
 
Divisão de Números Inteiros 
 
Sabemos que na divisão exata dos números naturais: 
40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 40 
36 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36 
 
Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão 
exata de números inteiros. Veja o cálculo: 
 
(–20) : (+5) = q (+5) . q = (–20) q = (–4) 
 
Logo: (–20) : (+5) = - 4 
 
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para 
efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número 
inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo 
módulo do divisor. Daí: 
 
- Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o 
quociente é um número inteiro positivo. 
- Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o 
quociente é um número inteiro negativo. 
- A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por 
exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem 
ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro. 
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa 
e não tem a propriedade da existência do elemento neutro. 
1- Não existe divisão por zero. 
Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um 
número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15. 
2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de 
zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é 
igual a zero. 
Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 
 
Potenciação de Números Inteiros 
 
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto 
de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número 
n é o expoente. 
an = a x a x a x a x ... x a 
a é multiplicado por a n vezes 
Dividendo divisor dividendo: 
Divisor = quociente 0 
Quociente . divisor = dividendo 
MATEMÁTICA 
11 
 
 
Exemplos: 
33 = (3) x (3) x (3) = 27 
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 
(-7)² = (-7) x (-7) = 49 
(+9)² = (+9) x (+9) = 81 
 
- Toda potência de base positiva é um número inteiro 
positivo. 
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 
 
- Toda potência de base negativa e expoente par é um 
número inteiro positivo. 
Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64 
 
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um 
número inteiro negativo. 
Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 
 
Propriedades da Potenciação: 
 
Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base 
e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 
 
Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se 
a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = 
(+13)2 
 
Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se 
os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10 
 
Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 (–
13)1 = –13 
 
Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual 
a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1 
 
 
Radiciação de Números Inteiros 
 
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a 
operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que 
elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da 
raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal 
do radical). 
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a 
operação que resulta em outro número inteiro não negativo que 
elevado ao quadrado coincide com o número a. 
 
Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro 
negativo no conjunto dos números inteiros. 
 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos 
e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de: 
√9 = ±3 
mas isto está errado. O certo é: 
√9 = +3 
Observamos que não existe um número inteiro não negativo 
que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo. 
Araiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação 
que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual 
ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente 
aos números não negativos. 
 
Exemplos 
 
(a) 3 8 = 2, pois 2³ = 8. 
(b) 3  8 = –2, pois (–2)³ = -8. 
(c) 3 27 = 3, pois 3³ = 27. 
(d) 3  27 = –3, pois (–3)³ = -27. 
 
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de 
números inteiros, concluímos que: 
(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número 
inteiro negativo. 
(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de 
qualquer número inteiro. 
 
Exercícios 
 
1. Qual é o maior quadrado perfeito que se escreve com dois 
algarismos? 
 
2. Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + 
(90 – 7 + 82) + 101. Qual é esse número inteiro? 
 
3. Calcule: 
a) (+12) + (–40) 
b) (+12) – (–40) 
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) 
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) 
 
4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças 
verdadeiras: 
a) x + (–12) = –5 
b) x + (+9) = 0 
c) x – (–2) = 6 
d) x + (–9) = –12 
e) –32 + x = –50 
f) 0 – x = 8 
 
5. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí 
e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as 
informações? 
Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul. 
Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul. 
Máxima prevista 37° no Piauí. 
 
6. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em 
que o maior deles é –10? 
 
7. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é 
+99. Determine o produto desses três números. 
MATEMÁTICA 
12 
 
 
8. Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros 
de modo que elas se mantenham: 
a) (–140) : x = –20 
b) 144 : x = –4 
c) (–147) : x = +21 
d) x : (+13) = +12 
e) x : (–93) = +45 
f) x : (–12) = –36 
 
9. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a 
soma por –3, obtém-se +324. Que númeroé esse? 
 
10. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira 
parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com 
o total? 
6) Resposta “-1320”. 
Solução: 
(x) . (x+1) . (x+2) = ? 
 
x+2 = -10 
x= -10 -2 
x = -12 
 
(-12) . (-12+1) . (-12+2) = 
-12 . -11 . -10 = - 1320 
 
7) Resposta “999900”. 
Solução: 
(x) . (x+1) . (x+2) = ? 
 
 
1) Resposta “9²”. 
Respostas x= 99 
 
(99) . (99+1) . (99+2) = 
Solução: Basta identificar os quadrados perfeitos. 
Os números quadrados perfeitos são: 
1² = 1 (menor que dois algarismos) 
2² = 4 
3² = 9 
4² = 16 (dois algarismos) 
5² = 25 
6² = 36 
7² = 49 
8² = 64 
9² = 81 
10² = 100 (mais que dois algarismos) 
 
Logo, o maior quadrado perfeito é o 9² = 81 
 
2) Resposta “270”. 
Solução: 
(53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101 
55 – 51 + 165 + 101 = 270 
 
Portanto, o número inteiro é 270. 
 
3) Solução: 
a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28 
b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52 
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0 
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 = 
6 – 24 = -18 
 
4) Solução: 
a) x + (–12) = –5 → x = -5 + 12 → x = 7 
b) x + (+9) = 0 → x = -9 
c) x – (–2) = 6 → x = 6 – 2 → x = 4 
d) x + (–9) = –12 → x = -12 + 9 → x = -3 
e) –32 + x = –50 → x = -50 + 32 → x = -18 
f) 0 – x = 8 → x = -8 
 
5) Resposta “40˚”. 
Solução: 
A diferença está entre -3º e +37º. Se formos ver... -3º, -2º, -1º, 
0º, 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º... será +40º. 
99 . 100 . 101 = 999900 
 
8) Solução: 
a) (–140) : x = –20 
-20x = -140 
x = 7 
 
b) 144 : x = –4 
-4x = 144 
x = -36 
 
c) (–147) : x = +21 
21x = -147 
x = -7 
 
d) x : (+13) = +12 
x = 12 . 13 
x = 156 
 
e) x : (–93) = +45 
x = 45 . -93 
x = -4185 
 
f) x : (–12) = –36 
x = -36 . -12 
x = 432 
 
9) Resposta “738”. 
Solução: 
x + (-846) . -3 = 324 
x – 846 . -3 = 324 
-3 (x – 846) = 324 
-3x + 2538 = 324 
3x = 2538 – 324 
3x = 2214 
x = 
 
x = 738 
MATEMÁTICA 
13 
 
 
q 
+ 
+ 
10) Resposta “3”. 
Solução: Seja t o total da adição inicial. 
Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 
8 unidades: t + 8 
Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido 
de 5 unidades: Temos: 
 
t + 8 - 5 = t + 3 
 
Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades. 
 
Conjunto dos Números Racionais – Q 
m 
Representação Fracionária dos Números Decimais 
 
Trata-se do problema inverso: estando o número racional 
escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de 
fração. Temos dois casos: 
 
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador 
é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto 
pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas 
decimais do número decimal dado: 
0,9 = 9 
10 
57 
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
n
 
5,7 = 
10 
, onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente 
de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de 
m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obti- 
dos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o 
conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, 
0,76 = 76 
100 
3,48 = 348 
100 
0,005 = 5 = 1 
é comum encontrarmos na literatura a notação: 
1000 200 
m 
Q = { 
n 
: m e n em Z, n diferente de zero} 
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: 
 
- Q* = conjunto dos racionais não nulos; 
- Q = conjunto dos racionais não negativos; 
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, 
vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos: 
 
Exemplo 1 
 
Seja a dízima 0, 333... . 
- Q* = conjunto dos racionais positivos; 
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos; 
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos. 
 
Representação Decimal das Frações 
Tomemos um número racional 
p 
, tal que p não seja múltiplo 
de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do 
numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 
 
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um 
número finito de algarismos. Decimais Exatos: 
 2 
= 0,4 
5 
1 = 0,25 
4 
35= 8,75 
4 
153 = 3,06 
50 
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos 
algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. 
Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 
 1 
= 0,333... 
3 
Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros 
por 10: 10x = 0,333 
Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da 
segunda: 
10x – x = 3,333... – 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9 
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 3 . 
9 
Exemplo 2 
 
Seja a dízima 5, 1717... 
 
Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... . 
Subtraindo membro a membro, temos: 
99x = 512 ⇒ x = 512/99 
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 512 . 
99 
Exemplo 3 
 
Seja a dízima 1, 23434... 
 
Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... . 
Subtraindo membro a membro, temos: 
990x = 1234,34... – 12,34... ⇒ 990x = 1222 ⇒ x = 1222/990 
Simplificando, obtemos x = 611 , a fração geratriz da dízima 
 1 
= 0,04545... 
22 
1, 23434... 495 
167 
66 
= 2,53030... Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que 
representa esse número ao ponto de abscissa zero. 
MATEMÁTICA 
14 
 
 
0 
3 
Exemplo: Módulo de - 3 
2 
é 3 
2 
. Indica-se - 3 = 3 
2 2 
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o 
mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais 
diferentes é negativo. 
Módulo de + 
3
 é 3 . Indica-se + 3 = 3 
2 2 2 2 Propriedades da Multiplicação de Números Racionais 
 
Números Opostos: Dizemos que – 3 e 
3
 são números O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto 
2 2 
racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do de dois números racionais ainda é um número racional. 
outro. As distâncias dos pontos – 3 e 3 ao ponto zero da reta são - Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × 2 2 
iguais. 
 
Soma (Adição) de Números Racionais 
b ) × c 
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a 
- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo 
q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito - Elemento inverso: Para todo q = 
a
 em Q, q diferente de 
b -1 b a b 
na forma de uma fração, definimos a adição entre os números zero, existe q-1 = em Q: q × q = 1 x = 1 
racionais 
a 
e 
c 
, da mesma forma que a soma de frações, 
a b a
 
através de: 
b d
 - Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × 
b ) + ( a × c ) 
a 
+ c 
b d 
= 
ad + bc 
bd 
 
Divisão de Números Racionais 
 
Propriedades da Adição de Números Racionais 
 
O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a 
soma de dois números racionais ainda é um número racional. 
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + 
b ) + c 
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a 
- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em 
Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q 
- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que 
q + (–q) = 0 
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação 
de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = 
p × q-1Potenciação de Números Racionais 
 
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores 
iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente. 
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) 
 
Exemplos: 
3 
a) 
 2  
 
 2   2   2  8 
Subtração de Números Racionais 
 
A subtração de dois números racionais p e q é a própria 
operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: 
 5 


b) 
 5 
 . 5 
 . 5 
  
125
 
p – q = p + (–q) 
 
Multiplicação (Produto) de Números Racionais 
 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito 
na forma de uma fração, definimos o produto de dois números 
c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25 
 
d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25 
 
Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 
0 é igual a 1. 
racionais a 
através de: b 
e c , da mesma forma que o produto de frações, 
d   
2  
= 1
 
a 
x 
c 
= 
ac 
 5 

b d bd 
- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base. 
O produto dos números racionais a e b também pode ser 
indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre   
9 
= - 
9 
as letras. 
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos 
obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática: 
 
(+1) × (+1) = (+1) 
(+1) × (-1) = (-1) 
 4 
 
4 
 
- Toda potência com expoente negativo de um número racional 
diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao 
inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente 
anterior. 
(-1) × (+1) = (-1) 
(-1) × (-1) = (+1) 
2 
 
 

.
 
 
5 
 
25 
 5 
  3
 
9 
1 
2 
MATEMÁTICA 
15 
 
 
9 
 
2 
2 
6 
3 
- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da 
base. 
3 
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o 
número zero ou um número racional positivo. Logo, os números 
 2   2   2   2  8 racionais negativos não têm raiz quadrada em Q. 
 3 
   3 
 . 3 
 . 3 
  
27
 O número -100 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto -10 
 
- Toda potência com expoente par é um número positivo. como 
+10 , 
3 
quando elevados ao quadrado, dão 100 .
 3
 
9 
 
 
1 
 
 
 
1   1  1 
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto 
dos números racionais se ele for um quadrado perfeito. 
 5 
  5 
 . 
 
5 
  
25 O número 
2
 
3 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe 
- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto 
de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a 
base e somamos os expoentes. 
número racional que elevado ao quadrado dê 2 . 
3 
Exercícios 
 2   2   2 2   2 2 2   2  23  2  1. Calcule o valor das expressões numéricas: 
 5 
 .
 5 

 
 5 
. 
5 
 . 5 
. 
5 
. 
5 
   5 

   5 

a) 
7 
 
 5 
 
1  
 
 
 
7 
 
3  
- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir 
um quociente de potências de mesma base a uma só potência, 
conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
24 
 
12 8 
  6
 
4 
 


 3  b)  
 1  5   9 7   

 16 
 :  
 
12 
  
2   4
 
2 



  2 . 
 
- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência 
a uma potência de um só expoente, conservamos a base e 
2. Escreva o produto 
 3 
 
 3 

12 
como uma só potência. 
 
 
4 
multiplicamos os expoentes 3. Escreva o quociente   
16 
: 
 
 
16  como uma só 
potência. 
 25 


 25 





Radiciação de Números Racionais 
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores 
iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns 
exemplos: 
 
Exemplo 1 
4. Qual é o valor da expressão 
 
 
5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 
1 
6 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das figurinhas 
3 . Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram? 
4 
6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 
1
 do livro e no 
4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada 
de 4. Indica-se √4= 2. 
dia seguinte leu 
1
 
6 
4 
do livro. Então calcule: 
Exemplo 2 a) A fração do livro que ela já leu. 
1 
Representa o produto 
1 
. 
1
 ou  1  . Logo, 
1
 é a raiz b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura. 
9 3 3 
 
3 
 3 
quadrada de 
1 
.Indica-se 1 = 
1
 
9 9 3 7. Em um pacote há 
4 
1 5 
de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote 
Exemplo 3 
0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 
há 
3 
. Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que 
o segundo? 
é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 
Assim, podemos construir o diagrama: 
= 0,6. 8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 
5
 
9 
já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar? 
da rua 
9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1 3 
desses apartamentos foi vendido e 
1
 foi reservado. Assim: 
 
a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada? 
b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não 
foram vendidos ou reservados? 
3 0, 216 
N Z Q 
2 
2 3 5 
7 
MATEMÁTICA 
16 
 
 
 
 


   
10. Transforme em fração: 
a) 2,08 
b) 1,4 
c) 0,017 
6) Solução: 
 
a) 1 + 
4 
d) 32,17 b) 1- 
5
 = 
12 
- 
5 
= 7 
12 12 12 12 
Respostas 
7) Respostas 
7
 
1) Soluçã
o 
Solução: 15 
 7  5 1 
a)  
 7 
 
3   7  10  3  14  9   4 
24 
 
12 
8 
   
 
6
 
4 
   24 

 24 

  



12 
- 1 = 12 - 
5 
= 7 
5 3 15 15 15 
 7 
 
 7 
 
5  7 
 
 7  10  7 
 
17 
  
10 
  
 5 
24 
 
24 12 
  
24 
 24 
  
24 24 24 12 8) Resposta 
4 
Solução: 9 
b) 1 - 
5
 
9 
= 
9 
- 
5 
= 4 
9 9 9 
9) Solução: 
a) 
1 
3 
+ 
1 
= 
2
 
6 6 
+ 
1 
= 
3 
= 
1
 
6 6 2 
 
mmc:(4;2)=4 
 
2) Solução: 
10 
b) 1- 
1
 
2 
= 2 - 
1 
= 1 
2 2 2 
 
 
2  10) Solução: 
 3 
 
a) 2,08 → 208  
52 
100 25 
3) Solução: 
8 14 7 
 
 
16  b) 1,4 → 
10 
 
5
 
 25 


17 
4) Solução: 
3 
c) 0,017 → 
1000
 
 13   1   3 
   :   3217 
24  2   4  d) 32,17 → 
 
 
100 
 13   1   3 
   :  
24  8   4  Números Reais 
 13   1   4 
  .  O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto 
24 
 13 
 8   3 
  4 
dos números racionais que engloba não só os inteiros e os 
fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números 
   irracionais. 
24 
 13 


24 
 24 
4 
 
 
24 
Os números reais são números usados para representar uma 
quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se 
pensar num número real como uma fração decimal possivelmente 
infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma 
correspondência biunívoca com os pontos de uma reta. 
 9 
 
 324 8 
 
5) Resposta 11 
Solução: 12 
Denomina-se corpo dos números reais a coleção dos 
elementos pertencentes à conclusão dos racionais, formado pelo 
corpo de frações associado aos inteiros (números racionais) e a 
norma associada ao infinito. 
Existem também outras conclusões dos racionais, uma para 
cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos 
1 
+ 
3 
6 4 
= 
2 
+ 
9
 
12 12 
= 11 
12 
números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada 
a p! 
 
1 = 3 + 2 = 
5 
6 12 12 12 
 
MATEMÁTICA 
17 
 
 
Propriedade 
O conjunto dos números reais com as operações binárias 
de soma e produto e com a relação natural de ordem formam um 
corpo ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, R 
tem a seguinte propriedade: Se R for dividido em dois conjuntos 
(uma partição) A e B, de modo que todo elemento de A é menor que 
todo elemento de B, então existe um elemento x que separa os dois 
conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e menor 
ou igual a todo elemento de B. 
 
 
Ao conjunto formado pelos números Irracionais e pelos 
números Racionais chamamos de conjunto dos números Reais. Ao 
unirmos o conjunto dos números Irracionais com o conjunto dos 
números Racionais, formando o conjunto dos números Reais, todas 
as distâncias representadas por eles sobre uma reta preenchem-na 
por completo; isto é, ocupam todos os seus pontos. Por isso, essa 
reta é denominada reta Real. 
 
 
Podemos concluir que na representação dos números Reais 
sobre uma reta, dados uma origem e uma unidade, a cada ponto da 
reta corresponde um número Real e a cada número Real corresponde 
um ponto na reta. 
 
 
Ordenação dos números Reais 
A representação dos números Reais permite definir uma relação 
de ordem entre eles. Os números Reais positivos são maiores que 
zero e os negativos, menores. Expressamos a relação de ordem da 
seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b, 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 
 
Exemplo: -15 ≤ ↔ 5 – (-15) ≥ 0 
5 + 15 ≥ 0 
 
Propriedades da relação de ordem 
- Reflexiva: a ≤ a 
- Transitiva: a ≤ b e b ≤ c → a ≤ c 
- Anti-simétrica: a ≤ b e b ≤ a → a = b 
- Ordem total: a < b ou b < a ou a = b 
 
Expressão aproximada dos números Reais 
 
 
Os números Irracionais possuem infinitos algarismos decimais 
não-periódicos. As operações com esta classe de números sempre 
produzem erros quando não se utilizam todos os algarismos decimais. 
Por outro lado, é impossível utilizar todos eles nos cálculos. Por isso, 
somos obrigados a usar aproximações, isto é, cortamos o decimal em 
algum lugar e desprezamos os algarismos restantes. Os algarismos 
escolhidos serão uma aproximação do número Real. Observe como 
tomamos a aproximação de e do número nas tabelas. 
 
 Aproximação por 
Falta Excesso 
Erro menor que 
 
 π 
 
 π 
1 unidade 1 3 2 4 
1 décimo 1,4 3,1 1,5 3,2 
1 centésimo 1,41 3,14 1,42 3,15 
1 milésimo 1,414 3,141 1,415 3,142 
1 décimo de 
milésimo 
1,4142 3,1415 1,4134 3,1416 
 
Operações com números Reais 
 
Operando com as aproximações, obtemos uma sucessão de 
intervalos fixos que determinam um número Real. É assim que 
vamos trabalhar as operações adição, subtração, multiplicação e 
divisão. Relacionamos, em seguida, uma série de recomendações 
úteis para operar com números Reais: 
- Vamos tomar a aproximação por falta. 
- Se quisermos ter uma ideia do erro cometido, escolhemos o 
mesmo número de casas decimais em ambos os números. 
MATEMÁTICA 
18 
 
 
- Se utilizamos uma calculadora, devemos usar a aproximação máxima admitida pela máquina (o maior número de casas decimais). 
- Quando operamos com números Reais, devemos fazer constar o erro de aproximação ou o número de casas decimais. 
- É importante adquirirmos a ideia de aproximação em função da necessidade. Por exemplo, para desenhar o projeto de uma casa, basta 
tomar medidas com um erro de centésimo. 
- Em geral, para obter uma aproximação de n casas decimais, devemos trabalhar com números Reais aproximados, isto é, com n + 1 casas 
decimais. 
Para colocar em prática o que foi exposto, vamos fazer as quatro operações indicadas: adição, subtração, multiplicação e divisão com dois 
números Irracionais. 
 
 
Valor Absoluto 
Como vimos, o erro pode ser: 
- Por excesso: neste caso, consideramos o erro positivo. 
- Por falta: neste caso, consideramos o erro negativo. 
 
Quando o erro é dado sem sinal, diz-se que está dado em valor absoluto. O valor absoluto de um número a é designado por |a| e coincide 
com o número positivo, se for positivo, e com seu oposto, se for negativo. 
Exemplo: Um livro nos custou 8,50 reais. Pagamos com uma nota de 10 reais. Se nos devolve 1,60 real de troco, o vendedor cometeu um 
erro de +10 centavos. Ao contrário, se nos devolve 1,40 real, o erro cometido é de 10 centavos. 
 
MATEMÁTICA 
19 
 
 
 
 
Múltiplos e Divisores 
 
Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30. 
Podemos dizer então que: 
 
“30 é divisível por 6 porque existe um numero natural (5) que 
multiplicado por 6 dá como resultado 30.” 
Um numero natural a é divisível por um numero natural b, 
não-nulo, se existir um número natural c, tal que c . b = a. 
 
Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que: 
30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30. 
Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido 
multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 
Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, 
multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos 
naturais: 
 
7 x 0 = 0 
7 x 1 = 7 
7 x 2 = 14 
7 x 3 = 21 
7 x 4 = 28 
7 x 5 = 35 
 
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o 
conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, 28,...}. 
 
Observações: 
 
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo. 
- Todo número natural é múltiplo de 1. 
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos 
múltiplos. 
- O zero é múltiplo de qualquer número natural. 
- Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, 
e a fórmula geral desses números é 2 k (kN). Os demais são 
chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números 
é 2 k + 1 (k N). 
 
Critérios de divisibilidade: São regras práticas que nos 
possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem 
efetuarmos a divisão. 
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando 
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele é par. 
 
Exemplos: 
 
a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6. 
b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1. 
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a 
soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. 
 
Exemplos: 
 
a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é 
divisível por 3. 
b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 
17 não é divisível por 3. 
 
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando 
seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4. 
 
Exemplos: 
 
a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00. 
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é 
divisível por 4. 
c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não 
é divisível por 4. 
 
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando 
termina em 0 ou 5. 
 
Exemplos: 
a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0. 
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5. 
c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4. 
 
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quandoé 
divisível por 2 e por 3. 
 
Exemplos: 
 
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 
3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18). 
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 
0 + 5 + 3 + 0 = 16). 
c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2. 
 
Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando a 
diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado 
pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7 
 
Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos confe- 
rir: 9+9=18 4190-18=4172 2+2=4 417-4=413 3+3=6 41-6=35 que 
dividido por 7 é igual a 5. 
 
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando 
seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número 
divisível por 8. 
 
Exemplos: 
 
a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos 
são 000. 
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos 
formam o número 24, que é divisível por 8. 
c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos 
formam o número 125, que não é divisível por 8. 
 
MÚLTIPLOS E DIVISORES, FATORAÇÃO, 
MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO 
MÚLTIPLO COMUM. 
MATEMÁTICA 
20 
 
 
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a 
soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um número 
divisível por 9. 
 
Exemplos: 
a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 
é divisível por 9. 
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 
não é divisível por 9. 
 
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando 
termina em zero. 
 
Exemplos: 
a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero. 
b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero. 
 
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a 
diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma dos 
algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11. 
Exemplos: 
a) 1º 3º 5º  Algarismos de posição ímpar.(Soma dos 
algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15.) 
4 3 8 1 3 
2º 4º  Algarismos de posição par.(Soma dos algarismos 
de posição par:3 + 1 = 4) 
 
15 – 4 = 11  diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível 
por 11. 
 
b) 1º 3º 5º 7º  (Soma dos algarismos de posição 
ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19) 
8 3 4 1 5 7 2 1 
2º 4º 6º 8º  (Soma dos algarismos de posição 
par:3 + 1 + 7 + 1 = 12) 
 
19 – 12 = 7  diferença que não é divisível por 11. Logo 
83415721 não é divisível por 11. 
 
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é 
divisível por 3 e por 4. 
 
Exemplos: 
a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 2 
+ 4 = 24) e por 4 (termina em 24). 
b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 
(termina em 11). 
c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8 + 
6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22). 
 
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é 
divisível por 3 e por 5. 
 
Exemplos: 
a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 + 
4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0). 
b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 
(termina em 2). 
c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6 + 
7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25). 
Exercícios 
 
1. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 5 
menores que 30. 
 
2. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 8 
compreendidos entre 30 e 50. 
 
3. Qual é o menor número que devemos somar a 36 para obter 
um múltiplo de 7? 
 
4. Como são chamados os múltiplos de 2? 
 
5. Verifique se os números abaixo são divisíveis por 4. 
a) 23418 
b) 65000 
c) 38036 
d) 24004 
e) 58617 
6. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 7 
maiores que 10 e menores que 20. 
 
7. Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você 
contar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 42? Pode 
ser 72? Por quê? 
 
8. Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9. 
 
9. Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12. 
 
10. Responda sim ou não: 
a) 24 é múltiplo de 2? 
b) 52 é múltiplo de 4? 
c) 50 é múltiplo de 8? 
d) 1995 é múltiplo de 133? 
 
Respostas 
 
1) Resposta “0, 5, 10, 15, 20, 25”. 
Solução: 
5 x 0 = 0 
5 x 1 = 5 
5 x 2 = 10 
5 x 3 = 15 
5 x 4 = 20 
5 x 5 = 25 
 
2) Resposta “32, 40, 48”. 
Solução: 
8 x 4 = 32 
8 x 5 = 40 
8 x 6 = 48 
 
3) Resposta “6”. 
Solução: 36 + 6 = 42. Pois, o número 42 é divisível por 7. 
 
4) Resposta “Pares”. 
Os Múltiplos de 2 são chamados de pares: 2 k (kN) 
MATEMÁTICA 
21 
 
 
1 2 
5) Resposta “Divisíveis: b, c, d”. 
Solução: 
a) 23418: Termina em 18, e 18 não é divisível por 4. 
b) 65000: Termina em 00, e logo, é divisível por 4. 
c) 38036: Termina em 36, portanto é divisível por 4. 
d) 24004: Termina em 4, e assim é divisível por 4. 
e) 58617: Termina em 17, e 17 não é divisível por 4. 
 
6) Resposta “14”. 
Solução: 
7 x 2 = 14. 
 
7) Resposta “72”. 
Solução: Sabemos que um automóvel tem 4 rodas. Então, o 
número que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode 
ser o resultado, pois ele não é múltiplo de 4. Já o 72 pode ser. 
 
8) Resposta “0, 9, 18, 27, 36”. 
Solução: 
9 x 0 = 0 
9 x 1 = 9 
9 x 2 = 18 
9 x 3 = 27 
9 x 4 = 36 
 
9) Resposta “0, 24, 48, 72, 96”. 
Solução: Nesse caso todos são os divisores comuns de 8 e 12. 
 
10) Solução: 
a) Sim, pois 24 termina em 4, que é um número par 
b) Sim, pois se dividirmos 52 por 4, dará um número inteiro. 
c) Não, pois se dividirmos 50 por 8, não dará um número 
inteiro. 
d) Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dará um número 
inteiro. 
 
Fatoração 
 
Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de 
soma algébrica para produto; fatorar uma expressão é obter outra 
expressão que: 
Agrupamento 
 
Devemos dispor os termos do polinômio de modo que 
formem dois ou mais grupos entre os quais haja um fator comum, 
em seguida, colocar o fator comum em evidência. Observe: 
 
ax + ay + bx + by = 
= a (x + y) +b (x + y) = 
= (a + b) (x + y) = 
 
Diferença de Quadrados 
 
Utilizamos a fatoração pelo método de diferença de quadrados 
sempre que dispusermos da diferença entre dois monômios cujas 
literais tenham expoentes pares. A fatoração algébrica de tais 
expressões é obtida com os seguintes passos: 
 
- Extraímos as raízes quadradas dos fatores numéricos de cada 
monômio; 
- Dividimos por dois os expoentes das literais; 
- Escrevemos a expressão como produto da soma pela 
diferença dos novos monômios assim obtidos. 
 
Por exemplo, a expressão a2 – b2 seria fatorada da seguinte 
forma: 
a2 – b2 = (a = b) (a – b) 
 
Trinômio Quadrado Perfeito 
 
Uma expressão algébrica pode ser identificada como trinômio 
quadrado perfeito sempre que resultar do quadrado da soma ou 
diferença entre dois monômios. 
Por exemplo, o trinômio x4 + 4x2 + 4 é quadrado perfeito, uma 
vez que corresponde a (x2 + 2)2. 
São, portanto, trinômios quadrados perfeitos todas as 
expressões da forma a2 ± 2ab + b2, fatoráveis nas formas seguintes: 
 
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 
 
Trinômio Quadrado da Forma ax2 + bx + c 
Supondo sejam x e x as raízes reais do trinômio, ax2 + bx + 
- Seja equivalente à expressão dada; c (a ≠ 0), dizemos 
1 2 
que: 
- Esteja na forma de produto. Na maioria dos casos, o resultado ax2 + bx + c = a (x – x )(x – x ) 
de uma fatoração é um produto notável. 
 
Há diversas técnicas de fatoração, supondoa, b, x e y 
Lembre-se de que as raízes de uma equação de segundo grau 
podem ser calculadas através da fórmula de Bhaskara: ( x = -b +- √Δ 
expressões não fatoráveis. 
 
Fator Comum 
, onde ∆ = b2 – 4ac) 
 
Soma e Diferença de Cubos 
2.a 
 
Devemos reconhecer o fator comum, seja ele numérico, literal 
ou misto; em seguida colocamos em evidência esse fator comum, 
simplificamos a expressão deixando em parênteses a soma 
algébrica. Observe os exemplos abaixo: 
 
ax + ay = a (x + y) 
12x2y + 4 xy3 = 4xy (3x + y2) 
Se efetuarmos o produto do binômio a + b pelo trinômio a² – 
ab + b², obtemos o seguinte desenvolvimento: 
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 
 
Analogamente, se calcularmos o produto de a – b por a2 + ab 
+ b2, obtemos a3 – b3. 
MATEMÁTICA 
22 
 
 
O que acabamos de desenvolver foram produtos notáveis 
que nos permitem concluir que, para fatorarmos uma soma ou 
diferença de cubos, basta-nos inverter o processo anteriormente 
demonstrado. 
 
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) 
 
Exercícios 
 
1. Fatore o seguinte polinômio: 10ax + 15bx 
 
2. Fatore o polinômio y5 – 2y4 + y³ 
 
3. Qual é a forma fatorada do polinômio 8a4b² - 20a³b5? 
 
4. Fatorar o polinômio x(m + n) – y(m + n) 
 
5. Resolva a equação x² – 6x = 0, no conjunto R. 
 
6. Verifique se o trinômio 9x² – 12xy + 4y² é quadrado perfeito. 
 
7. Verifique se 16b² – 24b + 25 é quadrado perfeito. 
 
8. Qual é a forma fatorada do polinômio a4b + ab4? 
 
9. Fatorar x3 – 4x² + 4x 
 
10. Considere o polinômio a3 – ax². Procure fatorá-lo de 
maneira completa, ou seja, efetuando todas as fatorações possíveis. 
 
Respostas 
 
1) Solução: Podemos notar que o fator comum é 5x. 
 
10ax + 15bx = 
= 5x(2a + 3b) 
 
(10ax : 5x) (15bx : 5x) 
 
Logo, a forma fatorada do polinômio dado é 5x(2a + 3b). 
 
2) Solução: Podemos notar que o fator comum é y3. 
y5 – 2y4 + y³ = 
= y3(y² – 2y + 1) 
(y3 : y3) 
(y5 : y3) (2y4 : y3) 
 
Logo, a forma fatorada do polinômio dado é y3(y² – 2y + 1). 
 
3) Solução: O fator comum é: 4a3b². 
8a4b² - 20a³b5 = 
= 4a3b² (2a – 5b3) 
 
(20a³b5 : 4a3b²) 
 
(8a4b² : 4a3b²) 
 
Logo, a forma do polinômio dado é 4a3b²(2a – 5b³). 
4) Solução: O fator comum é: (m + n). 
x(m + n) – y(m + n) = 
= (m + n)(x – y) 
[y(m + n)] : (m + n) 
 
[x (m + n)] : (m + n) 
 
Logo, a forma fatorada do polinômio dado é (m + n)(x – y). 
 
5) Solução: 
x² – 6x = 0 
x(x – 6) = 0 → colocando o fator x em evidência 
 
Lembre-se: se a . b = 0, então a = 0 e b = 0. Portanto, na forma 
fatorada temos: 
 
x = 0 (1ª raiz) ou 
x – 6 = 0 → x = 6 (2ª raiz) 
Logo, S = {0, 6}. 
 
6) Solução: Existem dois termos quadrados 9x² e 4y² 
 
√9x2 = 3x e 
√2y2 = 2y 
 
2 . 3x . 2y = 12xy → termo restante do trinômio dado. 
Logo, 9x² – 12xy + 4y² é quadrado perfeito. 
Fatorando o polinômio temos: 
9x² – 12xy + 4y² = (3x – 2y)(3x – 2y) = (3x – 2y)² 
 
7) Solução: Existem dois termos quadrados: 16b² e 25. 
√16b2 = 4b e 
√25 = 5 
 
2 . 4b . 5 = 40b → Não corresponde ao termo restante do 
trinômio. 
 
Logo, 16b² – 24b + 25 não é um trinômio de quadrado perfeito. 
 
8) Solução: 
a4b + ab4 = 
= ab(a3 + b3) = 
= ab(a + b)(a² – ab + b²). 
 
9) Solução: 
x3 – 4x² + 4x = 
= x(x² – 4x + 4) = 
= x(x – 2)². 
 
10) Solução: Primeiro, como existe um fator comum, 
colocamos em evidência: 
a3 – ax² = a(a² – x²) 
 
Porém, a fatoração não está completa, pois o fator (a² – x²) 
representa uma diferença de dois quadrados e, portanto, pode ser 
fatorado novamente: 
a3 – ax² = a(a² – x²) = a(a + x)(a – x). 
MATEMÁTICA 
23 
 
 
+ 
+ + 
+ 
 
 
 
o maior número que é divisor comum de todos os números dados. 
Consideremos: 
 
Para obter o mmc de dois ou mais números por esse processo, 
 
primos. 
muns, cada 
+ 
 
 
+ 
 
 
 
 
div . 9 . 5 = 360 
 
 
 
Decomposição em fatores primos 
 
Para obtermos o mdc de dois ou mais números por esse 
processo, procedemos da seguinte maneira: 
 
- Decompomos cada número dado em fatores primos. 
 
- O mdc é o produto dos fatores comuns obtidos, cada um 
deles elevado ao seu menor expoente. 
 
Exemplo 
 
Achar o mdc entre 300 e 504. 
300 2 504 2 300 = 22 . 3 . 52 
150 2 252 2 504 = 23 . 32 . 7 
75 3 126 2 
25 5 63 3 mdc (300, 504) = 22 . 3 = 4 . 3 = 12 
5 5 21 3 
1 7 7 
 1 
 
MMC 
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o 
menor número positivo que é múltiplo comum de todos os números 
dados. Consideremos: 
 
- O número 6 e os seus múltiplos positivos: 
M* (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...} 
 
- O número 8 e os seus múltiplos positivos: 
M* (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...} 
Podemos descrever, agora, os múltiplos positivos comuns: 
M* (6) M* (8) = {24, 48, 72, ...} 
 
Observando os múltiplos comuns, podemos identificar o 
mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8, ou seja: MMC (6,8) 
= 24 
MDC e MMC de Números Outra técnica para o cálculo do MMC: 
 
MDC – O máximo divisor comum de dois ou mais números é Decomposição isolada em fatores primos 
 
 
procedemos da seguinte maneira: 
- o número 18 e os seus divisores naturais: - Decompomos cada número dado em fatores 
D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. - O mmc é o produto dos fatores comuns e não-co 
um deles elevado ao seu maior expoente. 
- o número 24 e os seus divisores naturais: 
D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Exemplo 
Achar o mmc entre 18 e 120. 
Podemos descrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24: 
D (18) D (24) = {1, 2, 3, 6}. 18 2 120 2 18 = 2 . 3
2
 
+ + 
9 3 60 2 120 = 23 . 3 . 5 
Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior 3 
isor comum dos números 18 e 24, ou seja: MDC (18,24) = 6. 1 
3 30 
15 
2 
3 mmc 
 
(18, 120) = 23 . 32 . 5 = 8 
 
Outra técnica para o cálculo do MDC: 
 5 5 
1 
 
 
MATEMÁTICA 
24 
 
 
 
 
 
Sistema de Medidas Decimais 
 
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre si. O sistema métrico decimal é 
hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A 
unidade fundamental é o metro, porque dele derivam as demais. 
 
Unidades de Comprimento 
km hm dam m dm cm mm 
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro 
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m 
 
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema tenha um padrão: cada unidade vale 
sempre 10 vezes a unidade menor seguinte. 
Por isso, o sistema é chamado decimal. 
 
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado com o nome popular de litro. 
As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. 
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são o quilômetro quadrado, o metro 
quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades rurais com o nome de hectare (ha): 1 hm2 = 1 ha. 
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 vezes, como nos comprimentos. 
Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 = 102. 
 
Unidades de Área 
km2 hm2 dam2 m2 dm
2
 cm2 mm2 
quilômetro 
quadrado 
hectômetro 
quadrado 
decâmetro