Aprendendo Cálculo Diferencial e Integral

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CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral I 
Profa. Ruth Exalta da Silva 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
 
 
COMO APRENDER CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
Cálculo I é uma disciplina que assusta muita gente na faculdade hoje em dia. Essa disciplina tem a 
mania de fazer muitos desistirem no meio do caminho. 
Você certamente irá se perguntar ao se deparar com a disciplina de Cálculo I o que vem a ser um 
limite de uma função, ou o que é uma derivada e mais pra frente o que seria uma integral. 
Obter a resposta para essas e outras perguntas é o pontapé inicial para se dar bem na disciplina de 
Cálculo I, pois é a partir dessas respostas que você começa a entender melhor esse universo do 
Cálculo antes desconhecido, visto que essa é uma disciplina que não aprendemos no ensino médio. 
Tenha bons livros de cálculo para pesquisar teoremas, fórmulas e consultar exercícios resolvidos 
sobre os assuntos que você estiver estudando. 
Preste muita atenção em tudo o que seu professor diz na aula, pois com certeza você irá precisar na 
hora de resolver suas atividades e lembre-se, muitas vezes o professor dá dicas de como são suas 
provas e é fundamental que você esteja atento a essas dicas "camufladas" que ele lhe dá. 
Monte grupos de estudos com seus colegas da faculdade para tentar responder juntos as atividades 
propostas por seu professor de Cálculo. Essa dica dependerá da disponibilidade dos alunos. 
Tente ensinar o conteúdo que você aprende em cada aula de Cálculo para seu colega de 
faculdade. Estudos comprovam que você tem 90% de chances de fixar um conteúdo na sua cabeça 
quando você tenta ensiná-lo para alguém do que quando você tenta aprendê-lo sozinho apenas 
lendo e respondendo exercícios. 
Na falta de um colega para ensinar utilize um gravador e dê sua aula para ele. No final você terá 
acumulado um material em áudio para estudar para as provas. 
Procure entender o processo de demonstração das fórmulas que você irá aprender em Cálculo I no 
decorrer dessa disciplina ao invés de apenas decorá-las. 
Quando você aprende como se constrói uma coisa fica muito mais fácil de se lembrar como ela é 
quando estiver construída. 
Iremos abordar o tema: O que é Limite? e vai apresentar de forma clara e objetiva sua definição e 
principais características. Lembro apenas que para começarmos a falar sobre Limites faz-se 
necessário que você tenha uma boa base sobre o conteúdo de funções e sobre as propriedades de 
fatoração de polinômios. 
 
O QUE É LIMITE? 
Quando você se depara com essa pergunta o que vem a sua mente? Se sua resposta for o limite de 
alguma coisa, não se preocupe, você está totalmente correto. Segundo o dicionário da língua 
portuguesa limite tem como significado o extremo de algo ou o alcance máximo possível de algo. 
Exemplo: Imagine que você está prestes a chutar uma bola de futebol contra uma parede. É fácil 
percebermos que, nesse caso, a parede está atuando como o limite para a trajetória da bola, ou seja, 
é a fronteira onde a bola pode chegar. 
Na disciplina de Cálculo a palavra Limite não foge muito dessa definição que mostrei 
anteriormente, a única mudança é que estaremos a todo momento estudando os limites de funções, 
ou seja, o limite estuda o comportamento de uma função quando atribuímos valores a ela, próximo 
a um ponto dado, e analisamos os seus resultados. 
 
CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral I 
Profa. Ruth Exalta da Silva 
NOÇÃO INTUITIVA DO LIMITE 
Suponha que você tenha uma função f(x) = 2x + 3 com seu Domínio e Imagem definida 
em R2. Vamos estudar o comportamento dessa função f(x) quando atribuímos a ela valores 
próximos de 2, lembrando que esses valores podem ser menores e/ou maiores que 2. 
 
Para valores menores que 2, mas bem próximos dele, temos: 
x f(x) = 2x + 3 
1,9 6,8 
1,97 6,94 
1,99 6,98 
1,999 6,998 
 
 
Para valores maiores que 2, mas bem próximos dele, temos: 
x f(x) = 2x + 3 
2,05 7,1 
2,03 7,06 
2,01 7,02 
2,0001 7,0002 
 
Note que quanto mais aproximamos os valores de 2, tanto por valores menores quanto por valores 
maiores, observamos que os resultados da função f(x) = 2x + 3 se aproxima do valor 7. Nesse caso 
dizemos então que o limite da função f(x) = 2x + 3 quando x → 2 (lê-se: x tende a 2) é igual a 7 e 
representamos esse resultado da seguinte maneira: 
(Lê-se: o limite da função 2x + 3 quando x tende a 2 é igual a 7) 
Atenção: Muitas pessoas, quando se deparam pela primeira vez com o conteúdo de Limites, 
pensam que para resolvê-los basta substituir o valor de x na função e ver seu resultado. Isso 
acontece, muitas das vezes, porque o professor passa muitos exemplos parecidos com o que eu 
acabei de mostrar acima, causando a falsa impressão de que essa afirmativa é verdadeira, quando 
na verdade, ISSO É ERRADO. 
CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral I 
Profa. Ruth Exalta da Silva 
O limite de uma função "f(x)" quando "x" tende a um valor "a", não se resume em calcular 
o valor de "f(x)" no ponto "a", pois, às vezes, uma função pode não estar definida no ponto 
"a" ou ser diferente do resultado dessa função nesse ponto. Por isso, não cometa esse erro 
de pensar que o limite é apenas substituir o valor de "x" na função, pois na realidade isso 
não é verdade. 
Mas isso não quer dizer que o limite de uma função nunca coincidirá com o resultado 
dessa função no ponto, ou seja, existem casos em que é verdade. 
O importante é lembrar que para cada limite que resolvermos devemos analisá-lo 
cuidadosamente, para que possamos resolvê-lo da melhor forma possível evitando 
possíveis erros. 
Importante: Existem alguns casos em que a função "f(x)" não está definida no ponto em 
que queremos encontrar seu limite, portanto, nestes casos, seria perda de tempo substituir o 
valor de "x" nela, pois não chegaríamos a nada, quer dizer, até chegaríamos, mas seria 
numa indeterminação e isso não ajuda em muita coisa. 
No exemplo queremos encontrar o limite da função 
)3x(
)9x(
)x(f
2



 quando "x" tende a 
"3". Veja o que aconteceria se apenas substituíssemos o valor "3" na função temos: 0/0. 
Veja que não podemos efetuar uma divisão de 0 por 0, logo essa função não está definida 
neste ponto, mas isso não quer dizer que ela não possua um limite. 
Para encontrar o limite desta função temos que recorrer a alguns conhecimentos básicos de 
fatoração de polinômios. Observe que o termo do numerador da fração nos lembra um 
produto notável conhecido como diferença de dois quadrados, logo pode ser reescrito da 
seguinte forma: 
  63xlim
3x
)3x)(3x(
lim
3x3x









 
Observe que quando efetuamos essa fatoração "cancelamos" o termo "x − 3" do numerador 
com o termo "x − 3" do denominador e só fizemos a simplificação por que sabemos que o 
valor de "x ≠ 3", caso contrário teríamos zero dividido por zero, ou seja, uma 
INDETERMINAÇÃO. 
Observação: Os processos de fatoração servem para que possamos sair da indeterminação 
de funções em um determinado ponto resultando em novas funções que possuem o mesmo 
limite, nesse ponto, da função anterior. 
Note que após esse "cancelamento" chegamos à função "x + 3", cujo limite quando "x" 
tende "3" será equivalente ao da função anterior, logo, podemos dizer que o valor é 6. 
Lembre-se que, por mais que eu tenha substituído o valor 3 nessa nova função, na verdade 
ele não é 3, ou seja, é um número tão próximo de 3, mas tão próximo, que será quase 3, 
mas nunca será igual a 3. 
É por esse motivo que quando estávamos efetuando a fatoração da funçãodada, foi 
possível eliminarmos o termo "x − 3" do numerador da fração com o termo "x − 3" do 
denominador da fração, pois o valor de "x" não era, e nunca será, igual a 3. LEMBRE-SE 
BEM DISSO! 
Para se obter êxito nessa e em outras disciplinas é preciso antes de mais nada, querer aprender e 
muita força de vontade para estudar e realmente apreender os conteúdos. 
 
 
Texo Extraído de Vivendo entre Símbolos 
Professor Romirys Cavalcante