Unidade 6 - Álgebra 2a parte

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UNIDADE 6 – ÁLGEBRA DE CORPOS 
NUMÉRICOS – 2ª PARTE 
 
 
Metas 
Estabelecer um estudo algébrico que possa ser aplicado no conjunto dos números 
reais, além dos outros conjuntos numéricos já estudados. 
 
Objetivos 
 Ao final do estudo desta unidade o aluno deve: 
• saber se expressar aproximação e erro; 
• conhecer a noção de módulo; 
• saber resolver inequações envolvendo módulo; 
• saber resolver problemas de sistemas de equações e de inequações. 
 
 
 
 
Aproximações 
 Quando fazemos conta ou quando medimos empiricamente inevitavelmente 
acabamos fazendo estimativas. Quando medimos empiricamente a fração 
1
3
 com uma 
régua com centímetros, milímetros etc., nunca conseguimos uma medida exata. Obtemos 
0,3 ou 0,33 ou 0,333, etc., vai depender só da precisão da régua. Se quisermos estimar o 
valor da soma √2 + , podemos fazer algo como 1,41 + 3,14 = 4,55. Ou seja, 4,55 é uma 
estimativa para a soma √2 + . Agora, é bom deixar claro que estamos falando de 
estimativas, e não de igualdade. Assim, devemos, em casos assim, trocar o sinal, =, pelo 
sinal, . Por exemplo, devemos escrever, 
1
3
  0,3333 e √2 +   4,55. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 1: Um aluno realizou a seguinte conta, 508  1800 = 9044. Elabore, usando 
estimativas, uma explicação para seu aluno para mostrar que o cálculo não pode estar 
certo. 
 
 Em estimativas, buscamos trabalhar com aproximações. Em Matemática sempre 
precisamos ter cuidado com palavras usadas no senso comum. O que significa 
aproximação em Matemática? Mais precisamente, se a é um número, quando o número x 
é uma aproximação de a? Não vale dizer que é quando x está próximo de a, essa 
explicação é redundante. O que podemos dizer é que x é uma aproximação de a quando 
a diferença entre eles é pequena, ou seja, quando x – a é pequeno. Bom, essa poderia ser 
uma boa explicação, mas não é precisa. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 2: Encontre um exemplo de caso onde x – a seja pequeno, mas sem que se 
tenha x próximo de a, conforme nosso senso comum. 
 
 Uma maneira de perceber que x está próximo de a, sem nos perdermos em jogos 
semânticos, é usar a representação geométrica. 
 
Representação geométrica de dois valores “próximos”. 
 Podemos dizer, pensando geometricamente, que o segmento limitado por a e x é 
pequeno. Usando linguagem de medida, podemos dizer que a distância de x até a é 
pequena. Podemos usar a notação, d(a, x), para designar a distância de a até x. Assim, x 
é uma aproximação de a quando d(a, x) é pequeno. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 3: A distância entre dois pontos de uma reta é um valor numérico, é a medida 
do segmento limitado por esses dois pontos. Em particular, é sempre um valor não 
negativo. Para cada item, faça um desenho que represente os pontos dados sobre a reta 
numérica e determine 
a) d(3, 7) b) d(
1
4
, 
9
4
) c) d(−3, 1) d) d(−2, 2) 
e) d(7, 3) f) d(9, 3) g) d(5, 3) h) d(0,2; 5,02) 
i) d(5,9; 5,95) j) d(−2,3; −3,1) k) d(−11,01; −15) l) d(0,5; 122) 
m) d(−32,4; 405,1) n) d(
9
12
; 0,75) 
Atividade 4: “A fórmula d(a, b) = d(b, a) deve ser verdadeira”. Essa afirmação faz 
sentido? Explique o que pensa sobre isso. Essa é uma boa oportunidade para se usar 
argumentos intuitivos. 
Atividade 5: Quando trabalhamos com números, a melhor estratégia para falarmos de 
distância é considerar a diferença entre os números. O aluno deve ter percebido isso na 
Atividade 3. Mas, existe um problema, essa diferença pode gerar um número negativo, e 
já sabemos que a distância não pode ser negativa. 
a) Considere a figura a seguir. Você concorda que d(2, 5) é o mesmo que d(5, 2), e que 
é 3? Note que 3 = 5 – 2, ou seja, d(2, 5) = 5 – 2. 
 
b) Mas, não podemos dizer que d(a, x) = x – a, certo? Por exemplo, como ficaria, usando 
esta fórmula, d(5, 2)? 
c) Podemos dizer que d(a, x) é a diferença do maior pelo menor? E se a e x tiverem sinais 
contrários? E se ambos forem negativos? Considere exemplos para cada caso e analise 
como funciona essa pretensa regra de cálculo de distância para esses casos. 
d) O aluno deve ter verificado que a regra, “d(a, x) é a diferença do maior pelo menor”, 
funciona bem. Para exemplos numéricos funciona perfeitamente bem. Contudo, para 
exemplos teóricos ela já é um tanto imprecisa. Ou melhor, fica complicado estabelecer 
uma fórmula, ficaria d(a, x) = x – a mais alguma coisa, para evitar o sinal negativo. 
Vamos a seguir estabelecer o conceito de módulo que serve justamente para resolver 
essa questão. Contudo, antes disso, vamos avançar um pouco mais na questão da 
aproximação. 
Atividade 6: Dados a, b  ℝ, a < b, a média aritmética destes valores sempre pertence 
ao intervalo aberto (a, b), pois a < 
2
ba +
 < b. 
a) Verifique as duas desigualdades. 
b) Mostre que d(a, 
𝑎+𝑏
2
) = d(
𝑎+𝑏
2
, b). 
c) Interprete esses fatos geometricamente. 
 
Estávamos falando sobre aproximações e que podemos dizer que x é uma 
aproximação de a quando d(a, x) é pequeno. É claro que “ser pequeno” é uma informação 
relativa. Vejamos a próxima imagem. 
 
 Nesta imagem do estado do Rio de Janeiro os pontos que indicam as cidades do 
Rio de Janeiro e de Belford Roxo parecem bem próximas, mas isso na escala da figura. 
Se pensarmos num deslocamento físico, mesmo que de carro, veremos que essas cidades 
não são tão próximas assim. 
Para deixar claro qual é o grau de aproximação do qual estamos falando, é 
interessante usar o conceito de margem de erro. Quando queremos controlar o grau de 
aproximação, podemos escrever d(a, x) < r, onde r limita o erro da aproximação, às vezes 
tal r é chamado de margem de erro. Assim, podemos dizer, x está próximo de a por um 
erro menor do que r no lugar da desigualdade d(a, x) < r. Também podemos dizer x difere 
de a por um erro menor do que r. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 7: Vamos escrever x  a para dizer que x é uma aproximação de a. 
a) Digamos que x  a com erro menor do que r. Podemos dizer que a  x? O erro muda? 
b) Se x  y e y  z, ambos com erro menor do que r, podemos dizer que x  z com erro 
menor do que r? 
Atividade 8: Rapidinhas: 
a) Podemos dizer que 1  0,6 com erro menor do que 0,5? 
b) Quando arredondamos o número 3,578455 para 3,57, fazemos uma aproximação com 
que erro? 
c) Encontre uma aproximação de √2 com erro menor do que r = 0,0001. 
d) Encontre uma aproximação de  com erro menor do que r = 
1
1000
. 
e) Encontre x  98 tal que o erro seja menor do que √2. 
f) Apresente uma aproximação de √2 + √3 por excesso com erro menor do que 0,5. 
g) Determine uma aproximação de 0,33333... por falta com erro menor do que 0,001. 
 
 
Módulo de números 
 O que o leitor achou da Atividade 2? Ela chama a atenção para uma questão sobre 
os modelos intuitivos que usamos. Muitas vezes associamos a noção de ordem à noção 
de tamanho. Algumas vezes essa interpretação funciona, outras vezes não. Lembramos 
que podemos usar modelos intuitivos para buscar compreender melhor um objeto 
matemático, contudo o objeto matemático nunca pode ser confundido com seu modelo. 
Em particular, não existe modelo intuitivo que represente todas as qualidades do objeto 
matemático. Na Atividade 2 brincamos com o termo pequeno e as possíveis interpretações 
para ordem. Um elemento pode ser pequeno, do ponto de vista de ordem, mesmo sendo 
grande do ponto de vista de tamanho. Por exemplo, −1000 é menor do que −1. Assim, se 
meu saldo mudou de −1,00 reais para −1000,00 reais, posso dizer que minha dívida ficou 
menor? Enfim, devemos ter cuidado com interpretações! 
 Como fazemos forte uso de representações geométricas no estudo dos números, é 
interessante distinguir as noções de ordem e de tamanho. Para esta última criamos a noção 
de módulo. Vejamos a questão geometricamente. 
Para qualquer número 
real a que imaginemos sobre a 
reta numérica, sempre 
podemos visualizar um 
segundo número real com o 
mesmo tamanho.Esse 
segundo elemento até tem um 
nome, é o simétrico de a, −a. 
Quando falamos de tamanho de um número a, estamos falando do tamanho do 
segmento limitado pela origem e o ponto que representa a. O problema para continuarmos 
esse texto de forma mais fluente é que que precisamos considerar uma divisão em casos. 
Não podemos dizer que o tamanho do número a é exatamente o seu valor. Por exemplo, 
gostaríamos de falar simplesmente que o tamanho do número 4 é 4! E que o tamanho de 
−2 é 2! Isso parece simples, não! O problema é quando falamos de modo geral, não 
podemos falar, o tamanho de a é a, pois não sabemos qual é o sinal de a. Para isso, 
devemos considerar casos. Com essa questão em mente apresentamos a noção matemática 
que representa a ideia de tamanho que acabamos de analisar. 
Dado um número real a, o módulo de a (ou valor absoluto de a) é definido por: 
|𝑎| = {
 𝑎, se 𝑎 ≥ 0
−𝑎, se 𝑎 < 0
. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 9: Escreva um texto explicando que a definição de módulo é equivalente a: O 
módulo de a é |a| = max{a, −a}. 
Atividade 10: Interpretando a notação de módulo. 
a) “Um número x tem módulo menor do que 5”. Reescreva a frase usando intervalo. 
b) “O número x tem o mesmo tamanho que y”. Reescreva a frase usando módulo. 
c) “O número a é tal que |a| = 1”. Reescreva a frase usando distância. 
d) “O número x é tal que −2 < x < 2”. Reescreva a frase usando módulo. 
e) “O conjunto dos x tais que |x| > 1”. Reescreva a frase usando intervalo. 
f) “O conjunto dos x tais que |x| > 1”. Represente tal conjunto na reta numérica. 
Atividade 11: Considere a figura a seguir. A partir dela vamos analisar quatro situações, 
ou melhor, 4 interpretações distintas da mesma situação. Nessa análise, r é um número 
real positivo fixado e x é uma variável com certo grau de liberdade, indicado nas figuras. 
 
a) Considere a variação da figura a seguir e escreva a relação entre x e r em termos de 
intervalos. 
 
b) Considere a variação da figura a seguir e escreva a relação entre x e r em termos de 
módulo. 
 
c) Considere a variação da figura a seguir e escreva a relação entre x e r em termos de 
distância. 
 
d) Considere a variação da figura a seguir e escreva a relação entre x e r em termos de 
desigualdades. 
 
Atividade 12: Vamos rever a Atividade 11 em termos algébricos. Suponha que r > 0 seja 
um número real fixado. 
a) Suponha que x  (−r, r). Relembre a definição de intervalo e mostre que −r < x < r. 
b) Suponha que −r < x < r. Reveja a definição de módulo e mostre que |x| < r. 
c) Suponha que |x| < r. Mostre que x  (−r, r). 
d) Com a realização dos itens anteriores, ou mesmo com a Atividade 11, o que acabamos 
de ver é que: 
|x| < r  −r < x < r  x  (−r, r). 
 
 Começamos essa unidade falando de aproximações, margem de erro e distância. 
Faltou um pouco de notação analítica nas explicações, faltou uma notação mais sintética 
para as explicações, elas ficaram mais concentradas na intuição. 
 Vimos que x é uma aproximação de x com erro menor do que r se d(a, x) < r. E 
vimos que d(a, x) = a – x ou d(a, x) = x – a, dependendo do que for maior, x ou a. Ou seja, 
já sabemos que 
𝑑(𝑎, 𝑥) = {
 𝑥 − 𝑎, se 𝑎 ≤ 𝑥
−(𝑥 − 𝑎), se 𝑎 > 𝑥
. 
 Agora temos um meio mais preciso de expressar essa relação, 
𝑑(𝑎, 𝑥) = |𝑥 − 𝑎|. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 13: Uma pessoa foi medir uma extensão com uma régua que só tinha 
centímetros e obteve 45,7cm. Sabemos que o algarismo 7 da casa decimal é duvidoso, 
depende da interpretação de quem mediu. É um valor que não é confiável. Denotando por 
a a verdadeira medida da extensão, reescreva a situação descrita aqui usando os termos 
que aprendeu sobre aproximação com erro. Mais precisamente, reescreva usando: 
a) linguagem natural. 
b) notação simbólica matemática. 
Atividade 14: Para que 
1
𝑞
, onde q representa um número natural, fique próximo de 0 por 
um erro menor do que 0,0001, q deve ser maior do que qual número? 
Atividade 15: Considere o conjunto I = {x  ℝ : |x – 5| < 2}. 
a) Redefina o conjunto I ainda por propriedade, mas mudando-a a partir do uso da 
notação de distância. 
b) Represente o conjunto I na reta numérica. 
c) Redefina o conjunto I como um intervalo. Ele é um intervalo aberto ou fechado? 
Atividade 16: Considere a, r  ℝ, onde r > 0. Seja I = {x  ℝ : |x – a| < r}. 
a) Escreva I como um intervalo. 
b) Represente I na reta numérica. 
c) Determine o ponto médio do intervalo I. 
Atividade 17: Considere o conjunto I = {x  ℝ : |x – 5| > 2}. 
a) Redefina o conjunto I ainda por propriedade, mas mudando-a a partir do uso da 
notação de distância. 
b) Represente o conjunto I na reta numérica. 
c) Redefina o conjunto I em termos de intervalos. 
Atividade 18: Explique de forma intuitiva por que é verdade que: 
a) |x – a| = |a – x|. 
b) |a| = |−a|. 
Atividade 19: Com a noção de módulo passamos a encontrar novos tipos de inequações. 
Vamos analisar agora inequações do tipo |x – a| < r, onde as variáveis representam 
números reais, com r > 0 e x é a incógnita. Vamos trabalhar em cima de um exemplo, 
digamos |x – 2| < 5. 
a) Reescreva |x – 2| < 5 usando notação de distância e represente esse fato na reta 
numérica. 
b) Complete: |x – 2| < 5  x  ( __ , __ ). 
c) Determine o conjunto solução da inequação, |x – 2| < 5. 
d) Resolva as inequações (defina o conjunto solução por intervalo e pela reta numérica): 
i) |x − 0,7|  
1
5
 ii) |3 – x| < 1 iii) |x + 1|  √2 
Atividade 20: Resolva as inequações dadas (defina o conjunto solução por intervalo e 
pela reta numérica): 
a) |x − 0,7| > 
1
5
 b) |3 – x|  1 c) |x + 1|  √2 
Atividade 21: Você se imagina resolvendo uma inequação desse tipo, |x – 1| + |x – 5 | < 
8? Vamos tentar? Comece interpretando cada inequação pela noção de distância e 
interprete a situação sobre a reta numérica. Teste alguns pontos da reta dentro da sua 
interpretação. Conseguiu? Bom, qualquer dúvida, verifique o gabarito. 
Atividade 22: Apresente uma inequação com módulo cuja solução é representada na reta 
numérica conforme a seguinte figura. 
 
 
 
Sistemas de equações 
 Vamos fazer uma breve revisão sobre sistemas de equações do seguinte tipo: 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
 , 
onde todas as letras representam variáveis em ℝ, sendo que x e y são incógnitas, isto é, 
variáveis a serem determinadas em função das outras. 
As propriedades operacionais permitem, numa equação com variáveis, isolar uma 
determinada variável. Por exemplo, na equação a + bx = 2a − 2, podemos isolar a variável 
a ao obter a − 2a = −bx − 2, donde −a = −bx − 2, donde a = bx + 2. A primeira 
transformação foi obtida ao somar-se −2a nos dois membros da equação; a segunda 
transformação foi obtida ao se colocar a em evidência, a − 2a = (1 − 2)a; a última 
transformação foi obtida pela multiplicação dos 2 membros por −1. 
 Quando a equação é do primeiro grau e só tem uma variável, podemos determinar 
o valor desta variável. Por exemplo, uma equação do tipo 4x − 3 = 7 + 2x pode facilmente 
ser resolvida. 
 Por outro lado, quando temos uma equação envolvendo mais de uma variável, 
pode ser impossível resolvê-la. Ou melhor, pode ser impossível determinar os valores das 
variáveis. Por exemplo, na equação 2x + 3y = 1, podemos encontrar uma expressão para 
x em função de y, x = 
2
31 y−
, ou podemos deixar y em função de x, y = 
3
21 x−
. Mas, 
nenhuma das transformações permite encontrar valores específicos para x e y. Isto nem 
poderia acontecer, pois existem infinitas possibilidades de valores x e y que satisfazem a 
equação. Por exemplo, o par x = 2, y = −1 e o par x = −4, y = 3 satisfazem a mesma 
equação, 2x + 3y = 1. (Verifique! Tente encontrar outras soluções!) Em situações como 
esta a solução da equação é indeterminada. 
 Uma situação onde pode ser possível determinar uma solução envolvendo mais 
variáveis incógnitas ocorre quando temos mais equações. 
Exemplo:Vamos determinar a solução do sistema de equações, 



−=+
=+
423
152
yx
yx
. 
A estratégia é bem simples. Sabemos isolar variáveis. Assim, podemos, na primeira 
equação, deixar a variável y em evidência, y = 
5
21 x−
. Não resolvemos nada, mas 
podemos usar a segunda equação para melhorar a situação. Para isto, basta substituir y 
pela expressão encontrada. Assim, temos a segunda equação transformada em: 
3x + 2.
5
21 x−
 = −4. 
 Agora temos uma equação do primeiro grau apenas com uma variável, a incógnita 
x. Só precisamos, então, isolar x. Da última equação, temos 15x + 2 − 4x = −20, donde 
11x = −22, donde x = −2. Encontramos o valor de x! 
 Com este valor podemos voltar na equação que dava uma expressão para y: y = 
5
21 x−
. Substituindo x por −2, temos y = 1. 
 Assim, x = −2 e y = 1 formam a única solução do sistema. Observe que podemos 
verificar se não erramos em conta. Basta substituir os valores encontrados nas duas 
equações para verificar se o resultado está correto. 
Exemplo: Nem sempre um sistema de equações possui uma solução. Considere o sistema 



=+
=+
362
13
yx
yx
. Podemos isolar x a partir da 1ª equação, x = 1 − 3y. Substituindo na 2ª, 
temos 2(1 − 3y) + 6y = 2, donde 2 − 6y + 6y = 3, donde 2 = 3 (Isto é um absurdo!). Esta 
contradição veio do fato de admitir que x e y podem assumir valores numéricos que 
satisfazem o sistema de equações. Enfim, não existe uma solução numérica para o sistema 
de equações. 
 Leitor, agora, você só precisa treinar a manipulação das técnicas algébricas a fim 
de resolver sistemas. Para isto, resolva as próximas atividades. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 23: Considere a equação .5
5
=−− y
x
 Determine: 
a) o valor de x para y = 0,3x – 1,1. 
b) o valor de y para o valor de x calculado no item (a). 
Atividade 24: Sendo o par (9, y) solução da equação 10x + 4y = 78, determine o valor de 
y. 
Atividade 25: Resolva os seguintes sistemas de equações: 
a) 



−=−
=+
586
62
yx
yx
 b) 



=
−=+
xy
yx
32
153
 c) 



=−
=−
1462
104
yx
yx
 
d) {
2x − y = 3
3x + y = 1
 e) {
√3x− y = 0
x + y = (1 + √3 )
2 f) {
√3𝑥 – 𝑦 = 1
2𝑥 + 
3
4
𝑦 = 1
 
Atividade 26: Resolva os problemas: 
a) A soma de dois números é 147. A diferença entre eles é 17. Calcule esses números. 
b) Numa prova de Matemática, com 20 questões, os alunos ganham 5 pontos por questão 
certa e perdem 3 pontos por questão errada. Quantas questões acertou um aluno que 
obteve 36 pontos? 
c) Mauro possui 58 moedas em seu cofrinho. Algumas de R$ 0,10 e outras de R$ 0,50. 
Ao todo, Mauro tem R$ 16,20. Quantas moedas de cada valor Mauro possui? 
d) Um time do campeonato brasileiro tem 15 pontos. Ele já jogou 9 partidas e não perdeu 
nenhum jogo. Será possível determinar o número de vitórias do time? Lembre que 
cada vitória representa 3 pontos e cada empate representa 1 ponto. No caso afirmativo, 
determine a porcentagem de aproveitamento total do time. 
 
 
Sistemas de inequações 
 Mais uma vez, resolver sistemas de inequações não é a mesma coisa que resolver 
sistemas de equações, só que trocando sinal de igualdade por sinais de desigualdades. Isso 
é sério, existem pesquisas que deixam claro que muitos pensam assim. Mas é importante 
entender que esse pensamento não ajuda. 
 Uma boa ideia para se ter em mente quando trabalhamos com sistemas de 
inequação é a de interseção de conjuntos. Sistema é uma coleção de sentenças. Quando 
olhamos o sistema, 
{
2𝑥 < 3
−𝑥 + 1 < 2
 , 
Devemos entender que temos duas sentenças. E resolver um sistema significa garantir 
que todas as sentenças sejam verdadeiras, ou seja, nesse exemplo, significa garantir que 
as duas desigualdades sejam verdadeiras ao mesmo tempo. De outro modo, ainda para o 
exemplo, devemos determinar os valores de x para os quais as duas propriedades, 2x < 3 
e −x + 1 < 2, sejam verdadeiras, ao mesmo tempo. Bom, podemos pensar separadamente. 
A primeira desigualdade é equivalente a x < 1,5 e a segunda é equivalente a x > −1. Assim, 
o conjunto de soluções para as duas inequações, ao mesmo tempo, deve ser: 
S = {x  ℝ : x < 1,5 e x > −1}. 
 Se lembrarmos da definição de interseção de conjuntos, vemos que: 
S = {x  ℝ : x < 1,5}  {x  ℝ : x > −1}. 
 A primeira forma de apresentar S já poderia ser considerada uma resposta para a 
inequação proposta. O problema é que nem todos os sistemas são tão simples. E talvez 
essa resposta não deixe transparecer que conjunto S é esse. Você percebeu que a resposta 
é o intervalo aberto, (−1; 1,5)? Cuidado, nem sempre isso acontece. E às vezes pode não 
ficar claro que S é o conjunto vazio, isso também pode acontecer! 
 Uma maneira útil para atacar sistemas de inequações é por representação na reta 
numérica, e usando a ideia da interseção. Vamos continuar com nosso exemplo. 
Chegamos a duas desigualdades, x < 1,5 e x > −1. Vamos representá-las na reta numérica 
de uma maneira especial. A figura a seguir mostra a representação de três retas numéricas, 
a primeira contém a solução da inequação 2x < 3 (ou x < 1,5) e a segunda contém a solução 
da inequação −x + 1 < 2 (ou x > −1). 
 
 
A terceira linha representa 
destaca os pontos da reta que 
tornam as duas desigualdades 
verdadeiras simultaneamente. 
As próximas figuras mostram 
alguns pontos da reta que 
ilustram as três situações 
possíveis: quando um ponto x 
 −1 e, assim, é uma solução 
só para a primeira inequação, 
quando −1 < x < 1,5 e, assim, 
x é uma solução para as duas 
inequações ao mesmo tempo e 
quando x  1,5 e, assim, é uma 
solução só para a segunda 
inequação. Aluno, repare nos 
x marcados na linha vertical 
sobre o ponto x. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 27: Resolva os sistemas de inequações. Represente o conjunto solução 
graficamente e em termos de intervalo. 
a) 



−

93
62
x
x
 b) 



−
+
143
914
xx
x
 c) 



+−
++
1432
612
xx
xx
 
d) 



−
−
43
012
x
x
 e) 



+−
+
013
084
x
x
 f) {
 2x − 5 ≤ 0
−2x < 1
 
g) {
 |𝑥 − 1| ≥ 4
−𝑥 + 8 > 0
 h) {
5𝑥 − 30 > 40
|𝑥 + 1| < 1
 i) {
|15𝑥 + √2| ≤ 0
𝜋𝑥 − √9
3
< 0
 
j) − 2 < x + 1  4 k) −2 < −x + 1  4 
Atividade 28: Lembremos que uma raiz quadrada não está definida para números 
negativos e que uma fração não pode ter denominador nulo. Considere a expressão E = 
√𝑥+𝜋
𝑥+√2
. 
a) Apresente num sistema as condições para que a expressão E esteja bem definida. 
b) Defina o conjunto dos x para os quais E está bem definida em termos de intervalos. 
 
 
Gabarito 
Atividade 1: 
Uma ideia é substituir os números por outros mais simples e próximos. 
 500.1500 = 
1000
2
.1500 = 1500000/2 = 750000. 
Ou seja, trabalhando com números menores, vemos que o produto deveria ser bem maior 
do que 9044. Mudar 500 por 1000/2 é só uma estratégia de conta de cabeça que usamos 
às vezes. 
Atividade 2: 
Esse exemplo é bom. Vamos pegar x = 1 e a = 1000. Então x – a = −999, um número bem 
pequeno, ainda que claramente 1 não possa ser considerado uma boa aproximação de 
1000! 
Atividade 3: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 7 – 3 
f) 9 – 3 = 6 
g) 5 – 3 
h) 5,02 – 0,2 
i) 0,05 
j) −2,3 −(−3,1) 
k) 15 – 11,01 
l) 122 – 0,5 
m) 405,1 + 32,4 
n) 0 
Atividade 4: 
A distância entre dois números é dada pela distância dos pontos sobre a reta numérica que 
representam esses números. E a distância entre dois pontos da reta não depende de como 
olhamos os pontos, qual está em primeiro lugar. Logo, a afirmação faz sentido. 
Atividade 5: 
a) Conforme trabalhado na atividade anterior, sabemos que d(2, 5) = d(5, 2). E como 
podemos contar 3 unidades entre 2 e 5, verificamos que d(2, 5) = d(5, 2) = 3 = 5 – 2. 
b) Certamente d(a, x) = x – a não é uma fórmula geral, d(5, 2) = 2 – 5 = −3 não serve. 
c) Aqui o aluno só precisa escolher alguns exemplos numéricos e se convencer de que 
faz sentido definir a distância, na reta numérica,dos números dados pela diferença do 
maior pelo menor. 
Atividade 6: 
a) A estratégia para mostrar que x < y é mostrar que y − x > 0. Vejamos: 
𝑎+𝑏
2
− 𝑎 =
𝑎+𝑏−2𝑎
2
=
𝑏−𝑎
2
 > 0, pois b – a > 0, uma vez que a < b por hipótese. Como 
𝑎+𝑏
2
− 𝑎 > 
0, temos que a < 
𝑎+𝑏
2
. De modo análogo verificamos a outra desigualdade. Faça isso. 
b) Como a < 
𝑎+𝑏
2
, d(a, 
𝑎+𝑏
2
) = 
𝑎+𝑏
2
− 𝑎 =
𝑏−𝑎
2
 e como 
𝑎+𝑏
2
 < b, d(
𝑎+𝑏
2
, b) = b − 
𝑎+𝑏
2
 = 
𝑏−𝑎
2
. 
Assim, verificamos que d(a, 
𝑎+𝑏
2
) = d(
𝑎+𝑏
2
, b). 
c) O que aprendemos com os itens (a) e (b) é que 
𝑎+𝑏
2
 está entre a e b e que a distância a 
estes dois números é a mesma. Assim, 
𝑎+𝑏
2
 tem que representar um ponto justamente 
no meio do segmento de extremidade a e b, ou seja, é o ponto médio de a e b. 
Observação: O aluno pode ter dificuldades de seguir as contas dos itens (a) e (b). Se isso 
acontecer, não se preocupe. O importante aqui é conhecer os fatos e entender o item (c). 
Se for preciso, faça um desenho para interpretar o que foi explicado. Teste a fórmula com 
alguns números particulares. 
Atividade 7: 
a) Certamente podemos dizer que se x está próximo de a então a está próximo de x, e 
claro que o erro não muda. 
b) Veja a figura a seguir. 
 
Atividade 8: 
a) Sim, o erro é 0,4. 
b) O erro é 0,008455. 
c) 1,414213 com certeza é uma boa aproximação. 
d) 3,141592 atende ao pedido. 
e) Pode ser x = 98,1. 
f) Temos que 1,42 é uma aproximação de √2 por excesso com erro menor do que 0,01 
e que 1,74 é uma aproximação de √3 por excesso com erro menor do que 0,01. Então 
1,42 + 1,74 é uma aproximação de √2 + √3 por excesso com erro menor do que 0,02, 
um erro menor do que 0,5, então. 
g) Pode ser 0,33333333333 (exageramos para ficar garantido que o erro é bem pequeno, 
menor do que o pedido!). 
Atividade 9: 
Essa resposta é individual. O aluno só deve se lembrar de considerar a interpretação 
geométrica e o fato de módulo sempre ser positivo. 
Atividade 10: 
a) x  (−5, 5). 
b) |x| = |y| 
c) d(a, 0) = 1 
d) |x| < 2. 
e) x  (−, 1)  (1, +) 
f) 
g) Atividade 11: 
a) x  (−r, r) 
b) |x| < r 
c) d(x, 0) < r 
d) −r < x < r 
Atividade 12: 
a) A definição de intervalo diz que (−r, r) = {x  ℝ : −r < x < r}. Assim, se x  (−r, r), 
segue imediatamente da propriedade que define o conjunto que −r < x < r. 
b) Podemos usar essa caracterização, |x| = max{x, −x}. Supondo −r < x < r, temos que 
−r < x e x < r. Da primeira desigualdade temos −x < r. Daí e da segunda desigualdade, 
temos x < r e −x < r, donde max{x, −x} < r, donde |x| < r. 
c) Supondo |x| < r, temos que max{x, −x} < r, donde x < r e −x < r, donde −r < x e x < r, 
donde −r < x < r, donde x  (−r, r). 
Atividade 13: 
a) A medida 45,7 é um valor aproximado de a com um erro menor do que um centímetro. 
b) |45,7 – a| < 1. 
Atividade 14: 
Precisamos saber quando 
1
𝑞
 < 0,0001 = 
1
10000
. Assim, q deve ser maior do que 10000. 
Atividade 15: 
a) I = {x  ℝ : d(5, x) < 2}. 
b) 
c) I = (3, 7) (o intervalo é aberto). 
Atividade 16: 
a) I = (a – r, a + r). 
b) 
c) O ponto médio é representado por a. 
Atividade 17: 
a) I = {x  ℝ : d(5, x) > 2}. 
b) 
c) I = (−, 3)  (7, +) 
Atividade 18: 
a) A expressão |x – a| representa a distância entre dois pontos da reta numérica e não 
importa a ordem dos pontos, a distância é a mesma. 
b) Números opostos têm o mesmo tamanho. 
Atividade 19: 
a) A inequação |x – 2| < 5 pode ser traduzida como o conjunto dos pontos x cuja distância 
ao ponto 2 é menor do que 5. Na reta, temos que todos os pontos destacados têm 
distância até 2 menor do que 5. 
 
b) |x – 2| < 5  x  (−3, 7). 
c) S = (−3, 7). 
d) i) S = [0,5; 0,9] ii) S = (2, 4) iii) S = (−1 − √2, −1 + √2) 
Atividade 20: 
a) S = (−; 0,5)  (0,9; +) 
b) S = (−, 2]  [4, +) 
c) S = (−, −1 − √2]  [−1 + √2, +) 
Atividade 21: 
Reescrevendo |x – 1| + |x – 5 | < 8 em termos de distância temos que a soma da distância 
de x a 1 com a distância de x a 5 deve ser menor do que 8. Vamos ver alguns valores para 
sentir melhor o problema. 
 x = 1: |x – 1| + |x – 5 | = 4 
 x = 2: |x – 1| + |x – 5 | = 4 
 x = 3: |x – 1| + |x – 5 | = 4 
 x = 0: |x – 1| + |x – 5 | = 6 
 x = −1: |x – 1| + |x – 5 | = 8 
 x = −2: |x – 1| + |x – 5 | = 10 
Bom, acho que esses valores já devem ajudar para buscar uma interpretação geométrica. 
Geometricamente, podemos ver que temos duas situações, x está entre 1 e 5 ou x está fora 
desse intervalo. Note que dentro do intervalo a soma das distâncias é sempre 4, o que é 
óbvio, do ponto de vista geométrico. E quando x está fora do intervalo, à medida que ele 
se afasta dos extremos do intervalo, a soma das distâncias só aumenta. O que também é 
óbvio do ponto de vista geométrico. Só precisamos achar os dois pontos onde a soma da 
distância é exatamente 8! São −1 e 7 (vejam a simetria da figura). 
 
Assim, S = (−1, 7). 
Atividade 22: 
Estamos falando de inequações de um dos dois tipos, |x – a|  r ou |x – a|  r. Como a 
solução dada envolve dois intervalos infinitos, a inequação só pode ser do segundo tipo. 
 Temos que 2r = 3 – (−2) = 5, donde r = 2,5. E a = (3 + (−2))/2 = ½ = 0,5. 
Resposta: |x – 0,5|  1,5. 
Atividade 23: 
a) Substituindo y = 0,3x – 1,1 na equação 5
5
=−− y
x
, temos: 5)1,13,0(
5
=−−− x
x
  
− 0,2x − 0,3x + 1,1 = 5  − 0,5x = 5 − 1,1  −0,5x = 3,9  x = −
39
5
 = −7,8. 
b) y = 0,3x − 1,1 = 0,3.(−7,8) − 1,1 = −3,44. 
Atividade 24: 
Se (9, y) é solução, ao substituirmos os valores x = 9 e y = y, a equação deve tornar-se 
uma sentença verdadeira. Logo, o valor de y deve ser: 
 10x + 4y = 78  10.9 + 4y = 78  4y = 78 − 90 = −12  y = −3. 
Atividade 25: 
a) Para resolvermos, podemos multiplicar a segunda equação por (−1) e somar as duas, 
assim, 
2 6 2 6
8 64 8.
6 58 6 58
x y x y
y y
x y x y
+ = + = 
  =  = 
− = − − + = 
 Com este valor de y, podemos 
substituir em qualquer das equações e calcular o valor de x. Substituindo na primeira, 
teremos: 
2 6 2.8 6 6 16 10x y x x x+ =  + =  = −  = − . 
b) Para resolvermos, podemos substituir o valor de 3x da segunda equação, na primeira. 
Assim, 
3 15
2 15 3 15 5.
2 3
x y
y y y y
y x
+ = −
 + = −  = −  = −
=
 Como 3x = 2y , teremos 
3x = 2.(−5) = −10 x = 
10
3
− . 
c) Para resolvermos, podemos multiplicar a primeira equação por (−2) e somar as duas 
equações. Assim, 
4 10 2 8 20
2 6 3.
2 6 14 2 6 14
x y x y
y y
x y x y
− = − + = − 
  = −  = − 
− = − = 
 Com esse valor de y podemos 
substituir em qualquer das equações e calcular o valor de x correspondente. Substituindo 
na primeira, teremos: x – 4y = 10 x – 4.(-3) = 10 x + 12 = 10  x = 10 – 12  x 
= −2. 
f) Da primeira equação temos y = √3x – 1. Substituindo o valor de y na segunda 
equação temos 2x + 
3
4
(√3x – 1) = 1, donde (2 + 
3√3
4
)x = 1 + 
3
4
 = 
7
4
, donde 
x = 
7
8+3√3
 . 
Voltando para a expressão de y temos y = √3.
7
8+3√3
− 1 =
−8+4√3
8+3√3
 . 
Resposta: x = = 
7
8+3√3
 e y = 
−8+4√3
8+3√3
 . 
Observação: Para os outros itens, substituir sua resposta no sistema e verificar as 
igualdades. 
Atividade 26: 
a) Sejam x e y esses números. Se sua soma é 147, temos a equação: x + y = 147. Como 
sua diferença é 17, temos a equação: x – y = 17. Formamos, portanto, um sistema, 
com duas equações e duas incógnitas: 
147
17
x y
x y
+ =

− =
. Somando as duas equações, 
teremos: 2x = 164. Portanto, x = 82. Da primeira equação, substituindo esse valor de 
x, teremos 82 + y = 147. Ou seja, y = 147 – 82 = 65. Portanto, os números são 82 e 65 
(confira!) 
b) Seja e o número de questões erradas e c o número de questões certas. Considerando 
que o aluno só pode errar ou acertar uma questão, o total de 20 questões será a soma 
das erradas com as certas. Assim, temos a equação: e + c = 20. Por outro lado, para 
cada questão correta, o aluno ganha 5 pontos e para cada errada, ele perde 3 pontos.Então, a pontuação do aluno (36 pontos) será obtida fazendo: 5.c − 3.e, ou seja, 5.c − 
3.e = 36. Assim, ficamos com o sistema: 
20
5 3 36
e c
c e
+ =

− =
. Podemos resolvê-lo, 
multiplicando a primeira equação por 3 e somando com a segunda, obtendo a equação: 
8c = 96. Logo, c = 12, que é o número de questões que o aluno acertou. 
c) Seja D o número de moedas de R$0,10 e C o número de moedas de R$0,50 que Mauro 
possui. Considerando que ele só possui essas moedas, o total será C + D = 58. O 
total em dinheiro será 0,1.D + 0,5. C = 16,20. Com estas duas equações, obtemos o 
sistema: 
58
0,1 0,5 16,20
C D
D C
+ =

+ =
 ou, multiplicando a segunda equação por 10: 
58
5 162
C D
C D
+ =

+ =
. Multiplicando a primeira equação por (−1) e somando com a 
segunda, ficamos com a equação: 4C = 104. Portanto, C = 26. Substituindo na 
primeira, concluímos que D = 32. Logo, Mauro possui 26 moedas de R$ 0,50 e 32 
moedas de R$ 0,10. (confira!) 
d) Se x representa o número de vitórias, e y representa o número de empates, temos 
{
𝑥 + 𝑦 = 9
3𝑥 + 𝑦 = 15
 
Fazendo a 2ª linha menos a 1ª, temos 2x = 6, donde x = 3. Ou seja, o número de 
vitórias é 3. 
 Deste modo, o time ganhou 3 jogos em 9 partidas disputadas, ou seja, ele teve 3/9 
de vitórias com relação aos jogos disputados. Como este número não possui 
representação decimal finita, podemos aproximar o resultado para 3/9 ≈ 0,33 = 33%. 
Logo, o aproveitamento é de aproximadamente 33%. 
Atividade 27: 
a) S = (−3, 3]. 
 
b) S = [−7, 2]. 
 
c) S = (−, −3] 
 
d) S = (-4/3, 1/2] 
 
e) S =  
f) {
 x ≤ 5/2
x > -1/2
. S = (−1/2, 5/2]. 
g) {
 𝑥 ≤ −3 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 5
𝑥 < 8
. S = (−, −3]  [5, 8). 
h) {
𝑥 > 14
−2 < 𝑥 < 0
. S = . 
i) {
𝑥 = −√2/15
𝑥 < √9
3
/𝜋
. S = . 
j) {
−2 < 𝑥 + 1
𝑥 + 1 ≤ 4 S = (−3, 3]. 
Atividade 28: 
a) {
𝑥 + 𝜋 ≥ 0
𝑥 + √2 ≠ 0
. 
b) S = [−, −√2)  (−√2, +).