Aulas 19 e 20 O Modelo lin log

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O Modelo lin-log
Diferentemente do modelo log-lin que nos dá o crescimento percentual de Y para uma variação absoluta de X, imaginemos agora que desejamos conhecer a variação absoluta de Y dada uma variação percentual de X. Um modelo que poderia atingir esse propósito seria:
Yi = 0 + 1.ln Xi + ui
Para fins descritivos, denominaremos esse modelo de lin-log. Nesse modelo, temos:
ΔY = 1.(ΔX/X)
Essa equação nos diz que a variação absoluta de Y (= ΔY) é igual ao coeficiente angular (1) multiplicado pela variação relativa em X. Se esta última for multiplicada por 100, então a equação nos proporciona a variação absoluta em Y para uma variação percentual de X. Assim, se X varia 0,01 unidade (ΔX/X = 0,01), ou 1%, a variação absoluta de Y será 0,01.1. Se, em uma aplicação, obtemos 1 = 500, a variação absoluta em Y será de 0,01.500 = 5,0.
Uma pergunta pertinente é: quando é útil um modelo lin-log? Uma aplicação interessante são os chamados modelos de despesas de Engel, que assume que o total das despesas com alimentação tende a aumentar em progressão aritmética enquanto as despesas totais aumentam em progressão geométrica.
Exemplo: Considere os dados de despesas totais e despesas com alimentação da Índia. Abaixo apresentamos um diagrama de dispersão para esses dados:
Como a figura sugere, as despesas com alimentação aumentam mais lentamente que as despesas totais, o que parece confirmar a lei de Engel. Os resultados de um ajustamento do modelo lin-log para esses dados são:
da = -1283.912044 + 257.2700301*LN dt
	Dependent Variable: da
	
	
	Method: Least Squares
	
	
	Date: 04/16/13 Time: 16:50
	
	Sample: 1 55
	
	
	Included observations: 55
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Variable
	Coefficient
	Std. Error
	t-Statistic
	Prob.  
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	C
	-1283.912
	292.8105
	-4.384788
	0.0001
	LN dt
	257.2700
	45.43413
	5.662484
	0.0000
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	R-squared
	0.376938
	    Mean dependent var
	373.3455
	Adjusted R-squared
	0.365182
	    S.D. dependent var
	83.43510
	S.E. of regression
	66.47732
	    Akaike info criterion
	11.26728
	Sum squared resid
	234219.4
	    Schwarz criterion
	11.34028
	Log likelihood
	-307.8503
	    F-statistic
	32.06372
	Durbin-Watson stat
	2.104537
	    Prob(F-statistic)
	0.000001
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
O coeficiente angular de cerca de 257 significa que um aumento de 1% em média nas despesas totais será acompanhado por um aumento de cerca de 2,57 rupias nas despesas com alimentos das 55 famílias incluídas na amostra.
Modelos recíprocos
Os modelos do seguinte tipo são conhecidos como modelos recíprocos:
Embora esse modelo seja não linear na variável X porque ela entra de modo inverso (ou recíproco), o modelo é linear nos parâmetros.
Esse modelo tem a seguinte característica, quando X aumenta indefinidamente, o termo 1.(1/X) tende a zero e Y se aproxima do valor assintótico dado por 0.
Algumas formas possíveis desse modelo são:
Exemplo:
Considere os dados sobre Mortalidade Infantil e PNB per capita. Vamos construir um diagrama de dispersão para esses dados:
Como se vê, o gráfico se assemelha ao do modelo recíproco. Quando o PNB per capita aumenta, seria de se esperar uma redução da mortalidade infantil porque as pessoas podem se permitir maiores gastos com saúde. Mas essa relação não é uma linha reta. No início, um aumento do PNB per capita provoca queda substancial na Mortalidade Infantil, mas essa queda se ameniza com a continuação do aumento do PNB. 
Exercícios
1) Com os dados de Mortalidade Infantil e PNB per capita de 64 países, obtenha um modelo recíproco de MI em função de PNB. Com esse modelo, obtenha o valor assintótico da Mortalidade Infantil, considerando um aumento indefinido no PNB per capita.
MI = 46.186308411 + 36152.5009102*1/PNBPC
	Dependent Variable: MI
	
	
	Method: Least Squares
	
	
	Date: 04/20/18 Time: 10:34
	
	
	Sample: 1 84
	
	
	
	Included observations: 84
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Variable
	Coefficient
	Std. Error
	t-Statistic
	Prob.  
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	C
	46.18631
	7.955213
	5.805792
	0.0000
	1/PNBPC
	36152.50
	3173.691
	11.39131
	0.0000
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	R-squared
	0.612773
	    Mean dependent var
	106.3452
	Adjusted R-squared
	0.608051
	    S.D. dependent var
	87.09564
	S.E. of regression
	54.52698
	    Akaike info criterion
	10.85879
	Sum squared resid
	243801.7
	    Schwarz criterion
	10.91667
	Log likelihood
	-454.0692
	    Hannan-Quinn criter.
	10.88206
	F-statistic
	129.7620
	    Durbin-Watson stat
	1.597033
	Prob(F-statistic)
	0.000000
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
2) A curva de despesas de Engel relaciona as despesas de um consumidor em um bem dado com a sua renda total. Fazendo Y = despesas de consumo em um bem e X = renda do consumidor, considere os seguintes modelos:
Y = 0 + 1.X + u
Y = 0 + 1.(1/X) + u
Ln Y = 0 + 1.X + u
Y = 0 + 1.Ln X + u
Ln Y = 0 + 1.Ln X + u
Qual desses modelos você escolheria para representar a curva de despesas de Engel e por quê?