Aulas 13 e 14 Avaliação dos Resultados da Análise de Regressão

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Aulas 13 e 14 - Avaliação dos Resultados da Análise de Regressão
Para avaliar a adequação do modelo de regressão ajustado, precisamos saber se sua ‘qualidade’ de ajuste é boa o suficiente. Várias técnicas são recomendadas. 
Primeiro, precisamos observar se os sinais dos coeficientes βi estão de acordo com a teoria econômica.
Segundo, devemos observar até que ponto as variações no Xi explicam as variações de Yi. O coeficiente de determinação (R²) nos dá essa estimativa.
Terceiro, o teste F deverá mostrar que as variáveis explicativas, em conjunto, têm influência/efeito significativo sobre a variável dependente. O teste F é conclusivo para isso.
Quarto, o teste t das variáveis explicativas irá avaliar se individualmente, cada variável explicativa têm influência/efeito significativo sobre a variável dependente. O teste t é conclusivo para essa análise.
Quinto, precisamos verificar se a premissa de normalidade do termo de erro é observada na regressão. Caso não exista essa normalidade, os procedimentos dos testes F e t não serão válidos e a análise estará comprometida.
Testes de Normalidade
Existem vários testes de normalidade. Vamos abordar apenas dois.
Histograma dos resíduos: trata-se de um simples dispositivo gráfico que é usado para conhecer algo da forma da função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória. O software E-Views pode prover esse gráfico. Sobrepondo mentalmente a curva em forma de sino da distribuição normal ao histograma, teremos ideia se a aproximação normal é adequada. É uma boa prática acostumar-se a observar o histograma dos resíduos como um método rudimentar mas rápido de testar a premissa da normalidade.
Teste da normalidade Jarque-Bera (JB): é um teste assintótico, ou seja, de grandes amostras. Ele calcula a assimetria e a curtose dos resíduos de MQO e emprega uma estatística JB dada por:
Sendo S o coeficiente de assimetria e K o coeficiente de curtose. Para uma curva normal, S = 0 e K = 3. Portanto, o teste JB de normalidade é um teste da hipótese de que o valor de JB seja igual a 0.
Sob a hipótese nula de que os resíduos são normalmente distribuídos, Jarque e Bera demonstraram que, assintoticamente, a estatística JB segue a distribuição qui-quadrado com dois graus de liberdade. Se o valor p calculado para a estatística JB for suficientemente pequeno, o que acontece se o valor da estatística JB for muito diferente de zero, podemos rejeitar a hipótese de que a distribuição dos resíduos é normal. Mas, se o valor de p for razoavelmente alto, o que acontece quando JB está próximo de zero, não rejeitamos a premissa de normalidade. Dessa forma, temos duas maneiras de testar a normalidade. Usando a estatística JB, podemos fazer um teste de hipóteses com auxílio da estatística qui-quadrado, adotando um nível de significância adequado. Alternativamente, podemos apenas nos basear no valor p associado à estatística JB. Uma regra prática é aceitar a normalidade quando p for maior que 0,5 (ou 50%) e JB menor que 1, rejeitando-a em caso contrário.
Exemplo: testar a normalidade dos resíduos no modelo consumo x renda, com os dados da tabela abaixo:
Despesas familiares de consumo semanal Y e renda familiar semanal X
	Cons
	Renda
	70
	80
	65
	100
	90
	120
	95
	140
	110
	160
	115
	180
	120
	200
	140
	220
	155
	240
	150
	260
Fonte: GURAJARI (2006), p. 71
Solução:
CONS = 24.45454545 + 0.5090909091*R
	DependentVariable: CONS
	
	Method: LeastSquares
	
	
	Date: 04/02/13Time: 14:39
	
	Sample: 1 10
	
	
	Includedobservations: 10
	
	Variable
	Coefficient
	Std. Error
	t-Statistic
	Prob.  
	C
	24.45455
	6.413817
	3.812791
	0.0051
	RENDA
	0.509091
	0.035743
	14.24317
	0.0000
	R-squared
	0.962062
	    Meandependent var
	111.0000
	Adjusted R-squared
	0.957319
	    S.D. dependent var
	31.42893
	S.E. ofregression
	6.493003
	    Akaikeinfocriterion
	6.756184
	Sum squaredresid
	337.2727
	    Schwarz criterion
	6.816701
	Log likelihood
	-31.78092
	    F-statistic
	202.8679
	Durbin-Watson stat
	2.680127
	    Prob(F-statistic)
	0.000001
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Salvar como EQ01
Abrir EQ01
View
Residual Diagnostics
Historigram – Normality Test
O sinal da variável explicativa (renda) é positivo, o que está de acordo com a teoria econômica, pois é esperado que quanto maior a renda, maior será o consumo.
O coeficiente de determinação (R²) mostra que 96% da variação do consumo é explicada pela variação da renda, o que mostra um alto grau de ajuste dos dados.
O perfil do histograma não se assemelha muito ao de uma distribuição normal, embora as menores frequências estejam nas extremidades. Com um valor de probabilidade acima de 50% podemos aceitar a hipótese nula de que os resíduos se distribuem normalmente. Dessa forma, podemos aceitar os resultados dos testes F e t. Devemos fazer a ressalva de que o teste JB é indicado para grandes amostras. Como estamos trabalhando com uma amostra pequena (n = 10), não devemos esperar resultados conclusivos ou promissores no teste JB.
Teste F:
H0: 1 = 0
H1: 1 0
Adotando um nível de significância de 5%, temos:
GL: num = k = 1		den = n – k – 1 = 8
Fcrit = 5,32
FCALC> FCRIT rejeita-se H0 a variável renda tem efeito significativo sobre a variável consumo
Teste t:
H0: 1 = 0
H1: 1> 0 unilateral
Adotando um nível de significância de 5%, temos:
GL= n – k – 1 = 8
tcrit = 1,860
tCALC>tCRIT rejeita-se H0 a variável renda tem efeito positivo significativo sobre a variável consumo
Comentário geral: apesar da amostra ser pequena (n = 10), os resultados são bastante satisfatórios. O sinal do parâmetro da variável explicativa está de acordo com a teoria econômica. O coeficiente de determinação é alto e indica um forte ajuste dos dados. O teste F mostra que a variável explicativa tem efeito significativo sobre a variável dependente, resultado que é confirmado pelo teste t. Ademais, pela estatística JB, não podemos rejeitar a hipótese de que os resíduos têm distribuição normal.
Exercício: Considere os dados sobre despesas com alimentos e despesa total dados na tabela a seguir.
	DESPESAS TOTAIS E COM ALIMENTAÇÃO (EM RUPIAS)
	Observação
	Despesas com Alimentação
	Despesa total
	Observação
	Despesas com Alimentação
	Despesa total
	1
	217
	382
	29
	390
	665
	2
	196
	388
	30
	385
	662
	3
	303
	391
	31
	470
	663
	4
	270
	415
	32
	322
	677
	5
	325
	456
	33
	540
	680
	6
	260
	460
	34
	433
	690
	7
	300
	472
	35
	295
	695
	8
	325
	478
	36
	340
	695
	9
	336
	494
	37
	500
	695
	10
	345
	516
	38
	450
	720
	11
	325
	525
	39
	415
	721
	12
	362
	554
	40
	540
	730
	13
	315
	575
	41
	360
	731
	14
	355
	579
	42
	450
	733
	15
	325
	585
	43
	395
	745
	16
	370
	586
	44
	430
	751
	17
	390
	590
	45
	332
	752
	18
	420
	608
	46
	397
	752
	19
	410
	610
	47
	446
	769
	20
	383
	616
	48
	480
	773
	21
	315
	618
	49
	353
	773
	22
	267
	623
	50
	410
	773
	23
	420
	627
	51
	380
	785
	24
	300
	630
	52
	610
	788
	25
	410
	635
	53
	530
	790
	26
	220
	640
	54
	360
	795
	27
	403
	648
	55
	305
	801
	28
	350
	650
	
	
	
Pede-se:
a) Obtenha a regressão linear para esses dados com base no MQO.
DALIM = 93.9175483845 + 0.437193424516*DTOT
	Dependent Variable: DALIM
	
	
	Method: Least Squares
	
	
	Date: 04/06/18 Time: 08:50
	
	
	Sample: 1 55
	
	
	
	Included observations: 55
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Variable
	Coefficient
	Std. Error
	t-Statistic
	Prob.  
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	C
	93.91755
	50.84338
	1.847193
	0.0703
	DTOT
	0.437193
	0.078286
	5.584598
	0.0000
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	R-squared
	0.370455
	    Mean dependent var
	373.3636Adjusted R-squared
	0.358576
	    S.D. dependent var
	83.43047
	S.E. of regression
	66.81857
	    Akaike info criterion
	11.27753
	Sum squared resid
	236630.2
	    Schwarz criterion
	11.35052
	Log likelihood
	-308.1319
	    Hannan-Quinn criter.
	11.30575
	F-statistic
	31.18773
	    Durbin-Watson stat
	2.083213
	Prob(F-statistic)
	0.000001
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
b) Analise os sinais dos parâmetros
O sinal do parâmetro da variável explicativa (DT) é positivo, indicando que uma maior despesa total está associada a uma maior despesa com alimentação, o que está de acordo com o esperado.
c) Analise o coeficiente de determinação
O coeficiente de determinação (R²) indica que 37% da variação da despesa com alimentação é explicado pela variação da despesa total. Como esse valor é relativamente baixo, o poder explicativo do modelo fica limitado. Talvez existam outras variáveis explicativas importantes para o fenômeno que não estão contempladas neste modelo.
d) Faça os testes F e t para um nível de significância de 5%
Teste F:
H0: 1 = 0 ausência de efeito
H1: 1 0 presença de efeito
Adotando um nível de significância de 5%, temos:
GL: numerador = k = 1		denominador = n – k – 1 = 55 – 1 – 1 = 53
FCRIT = 4,00
FCALC> FCRIT rejeita-se H0 a variável despesa total tem efeito significativo sobre a variável despesa com alimentação, com probabilidade de erro de 5%.
Teste t:
H0: 1 = 0 ausência de efeito
H1: 1> 0 unilateral presença de efeito positivo
Adotando um nível de significância de 5%, temos:
GL= n – k – 1 = 53
tcrit = 1,671
tCALC>tCRIT rejeita-se H0 a variável despesas totais tem efeito positivo significativo sobre a variável despesas com alimentação, com probabilidade de erro de 5%.
e) Obtenha o histograma dos resíduos
Visualmente, vemos no histograma que as maiores frequências estão na região central e as extremidades têm as menores frequências. Contudo, há irregularidades que tornam difícil de observar o contorno característico da distribuição normal.
A estatística JB vale aproximadamente 0.26 > 1; e a probabilidade associada vale 0.88 > 0.5. Desta forma, iremos aceitar a normalidade dos resíduos, com a ressalva de que o teste JB é designado para grandes amostras, e neste caso estamos trabalhando com n = 55.
f) Teste a normalidade dos resíduos usando a estatística JB
Em relação à normalidade dos resíduos, vemos que a estatística JB é 0,26 e a probabilidade associada é 88%. Como essa probabilidade é maior que 50%, vamos aceitar a hipótese nula de normalidade dos resíduos. Adicionalmente, devemos observar que o exame visual do histograma não é conclusivo em relação à normalidade, apesar de ter as menores frequências nas extremidades as maiores frequências na região central. Devemos ainda pontuar que o teste JB é concebido para grandes amostras, o que não é o caso deste problema (n = 55).
g) Analise os resultados
Apesar de a amostra ser pequena, os resultados são satisfatórios. O sinal do parâmetro da variável explicativa está de acordo com o esperado. O coeficiente de determinação (R²) revela um ajuste dos dados deficiente, talvez indicando a falta de outras variáveis explicativas importantes, que não estão sendo consideradas neste modelo. O teste F mostrou que a variável explicativa tem efeito significativo sobre a variável dependente, no nível de significância de 5%, o que foi confirmado pelo teste t. Adicionalmente, verificamos que a normalidade dos resíduos pode ser confirmada pela estatística JB.
Desilind
Exegese
Subjas (subjascente)