exercícios funções compostas com gabarito

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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Fundamentos de Matemática 
 
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Lista de Exercícios - Função Composta 
 
 
1) Sejam as funções reais f e g , definidas por 2( ) 2f x x x= − − e 
( ) 1 2g x x= − . 
 
a) Obtenha as leis que definem f o g e g o f . 
 
2
2
2
2
 ( ( )) ( ( )) ( ) 2
 (1 2 ) (1 2 ) 2
 1 4 4 1 2 2
 4 2 2
f o g f g x g x g x
x x
x x x
x x
= = − −
= − − − −
= − + − + −
= − −
 
 
2
2
2
 ( ( )) 1 2 ( )
 1 2( 2)
 1 2 2 4
 2 2 5
g o f g f x f x
x x
x x
x x
= = −
= − − −
= − + +
= − + +
 
 
b) Calcule ( ) ( 2)f o g − e ( ) ( 2)g o f − . 
 
2( )( 2) ( ( 2)) 4( 2) 2( 2) 2
 16 4 2 18
f o g f g− = − = − − − −
= + − =
 
 
2( )( 2) ( ( 2)) 2( 2) 2( 2) 5
 8 4 5 7
g o f g f− = − = − − + − +
= − − + = −
 
 
c) Determine os valores do domínio da função f o g que produzem 
imagem 10. 
 
2
2
2
2 2
4 2 2 10
4 2 12 0
2 6 0
4 ( 1) 4(2)( 6) 49
1 7 32 ou 
4 2
x x
x x
x x
b ac
x x x
− − =
− − =
− − =
∆ = − = − − − =
±
= ⇒ = = −
 
 
2) Sejam as funções reais f e g , definidas por ( ) 2f x = e ( ) 3 1g x x= − . 
Obtenha as leis que definem f o g e g o f . 
 
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 ( ( )) 2f o g f g x= = 
 
 ( ( )) 3 ( ) 1 3(2) 1 5g o f g f x f x= = − = − = 
 
3) Nas funções reais f e g , definidas por 2( ) 2f x x= + e ( ) 3g x x= − , 
obtenha as leis que definem: 
 
a) f o g b) g o f c) f o f d) g o g 
 
 
2
2
2
2
) ( ( )) ( ( )) 2
 ( 3) 2
 6 9 2
 6 11
a f o g f g x g x
x
x x
x x
= = +
= − +
= − + +
= − +
 
 
2
2
) ( ( )) ( ) 3
 2 3
 1
b g o f g f x f x
x
x
= = −
= + −
= −
 
 
2
2 2
4 2
4 2
) ( ( )) ( ( )) 2
 ( 2) 2
 4 4 2
 4 6
c f o f f f x f x
x
x x
x x
= = +
= + +
= + + +
= + +
 
 
) ( ( )) ( ) 3
 3 3
 6
d g o g g g x g x
x
x
= = −
= − −
= −
 
 
4) Dadas as funções reais definidas por ( ) 3 2f x x= + e ( ) 2g x x a= + , 
determine o valor de a de modo que se tenha f o g g o f= . 
 
 
( ( )) ( ( ))
3 ( ) 2 2 ( )
3(2 ) 2 2(3 2)
6
f o g g o f
f g x g f x
g x f x a
x a x a
x
=
=
+ = +
+ + = + +
3 2 6a x+ + = 4
3 2 4
3 4 2
2 2
1
a
a a
a a
a
a
+ +
+ = +
− = −
=
=
 
 
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5) Sejam ( ) 1f x x= − e 2( ) 2 5 3g x x x= − + . Determine os domínios das 
funções f o g e g o f . 
 
2 2
 ( ( )) ( ) 1 2 5 3 1 2 5 2f o g f g x g x x x x x= = − = − + − = − + 
 
22 5 2 0x x− + ≥ 
 
 
2
2
4
( 5) 4(2)(2)
25 16
9
b ac∆ = −
∆ = − −
∆ = −
∆ =
 
 
 
5 3 12 ou 
4 2
x x x
±
= ⇒ = = 
 
{ }1/ ou 22D x x x= ∈ ≤ ≥ℝ 
 
( )
2
2
 ( ( )) 2( ( )) 5 ( ) 3
 2 1 5 1 3
 2( 1) 5 1 3
 2 2 5 1 3
 2 5 1 1
g o f g f x f x f x
x x
x x
x x
x x
= = − +
= − − − +
= − − − +
= − − − +
= − − +
 
 
1 0 1x x− ≥ ⇒ ≥ 
 
 { }/ 1D x x= ∈ ≥ℝ 
 
6) Sejam as funções reais ( ) 2 1f x x= + , 2( ) 1g x x= − e ( ) 3 2h x x= + . Obtenha 
a lei que define ( )h o g o f . 
 
( ) ( ( ( )))h o g o f h g f x= 
 
2( ) 1g x x= − 
2
2
2
2
( ( )) ( ( )) 1
 (2 1) 1
 4 4 1 1
 4 4
g f x f x
x
x x
x x
= −
= + −
= + + −
= +
 
 
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2
2
2
( ( ( ))) (4 4 )
 3(4 4 ) 2
 12 12 2
h g f x h x x
x x
x x
= +
= + +
= + +
 
 
7) Dadas as funções ( ) 2f x x m= + e ( ) 2g x ax= + , qual é a relação que a e 
m devem satisfazer para que se tenha ( ) ( ) ( ) ( )f o g x g o f x= ? 
 
( ( )) ( ( ))f g x g f x= 
2 ( ) ( ) 2g x m af x+ = + 
2( 2) (2 ) 2ax m a x m+ + = + + 
 
2ax 4 2m ax+ + = 2am+ + 
4 2m am+ − = 
2am m= + 
2m
a
m
+
= 
 
8) Se 1( )
1
f x
x
=
−
, determine ( [ ]) ( )f o f o f x . 
 
( [ ]) ( ) ( ( ( )))f o f o f x f f f x= 
 
 
1 1 1 1 1 1( ( )) 1 1 11 ( ) 1
1 1 1
x xf f x
x xf x x x
x x x
− −
= = = = = =
− − −
− −
−
− − −
 
 
1 1 1 1( ( ( ))) 1 1 11
xf f f x f x
x x xx
x x x
− 
= = = = = 
− − + 
−
 
 
9) Dada a aplicação :f Q Q→ definida por 2( ) 2f x x= − , qual é o valor de x 
tal que ( ) ( 1)f x f x= − ? 
 
( ) ( 1)f x f x= − 
2 22 ( 1) 2x x− = − − 
2x 2− 2x= 2 1 2x− + − 
2 1x = 
1
2
x = 
 
10) Sejam as funções reais ( ) 2 7f x x= + e 2( ) ( ) 2 3f o g x x x= − + . Determine 
a lei da função g . 
 
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( ) 2 7f x x= + 
 ( ( )) 2 ( ) 7f g x g x= + 
2 2 3 2( ( )) 7x x g x− + = + 
22( ( )) 2 3 7g x x x= − + − 
22( ( )) 2 4g x x x= − − 
2
( ) 2
2
xg x x= − − 
 
11) Sejam as funções reais ( ) 2 3g x x= − e 2( ) ( ) 2 4 1f o g x x x= − + . 
Determine a lei da função f . 
 
( ) 2 3g x x= − 
2 ( ) 3x g x= + 
( ) 3
2
g x
x
+
= 
 
 
2( ) 3 ( ) 3( ( )) 2 4 1
2 2
g x g xf g x + +   = − +   
   
 
( )2( ( )) 6 ( ) 9( ( )) 2 2 ( ) 3 14
g x g xf g x g x + += − + + 
 
 
2( ( )) 6 ( ) 9( ( )) 2 ( ) 6 1
2
g x g xf g x g x+ += − − + 
2( ( )) 6 ( ) 9( ( )) 2 ( ) 5
2
g x g xf g x g x+ += − − 
2( ( )) 6 ( ) 9 4 ( ) 10( ( ))
2
g x g x g xf g x + + − −= 
2( ( )) 2 ( ) 1( ( ))
2
g x g xf g x + −= 
2 2 1( )
2
x xf x + −= 
 
12) Se :f →ℝ ℝ é da forma ( )f x ax b= + e verifica ( ( )) 1f f x x= + para todo x 
real, calcule os valores de a e b . 
 
( )f x ax b= + 
 ( ( )) ( )f f x af x b= + 
( ( )) ( )f f x a ax b b= + + 
2( ( ))f f x a x ab b= + + 
 
 
2 1a x ab b x+ + = + 
 
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2 1 1a a= ⇒ = ± 
 
 
1para 1 1 (1) 1 2 1 2a ab b b b b b= ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = 
 
 para 1 1 ( 1) 1 0 1a ab b b b= − ⇒ + = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ ∃b 
 
13) Se 3 5 1( 1)
2 1 2
xf x x
x
+  
+ = ≠ − +  
, qual é o domínio da função ( )f x no 
conjunto dos números reais? 
 
Basta subtrairmos 1 unidade no domínio e teremos ( )f x 
 
Portanto: 3( 1) 5( 1 1)
2( 1) 1
xf x
x
− +
+ − =
− +
 
 
3 3 5( )
2 2 1
xf x
x
− +
=
− +
 
 
3 2( )
2 1
xf x
x
+
=
−
 
 
12 1 0
2
x x− ≠ ⇒ ≠ 
 
1/
2
D x x = ∈ ≠ 
 
ℝ 
 
14) Sejam f e g funções de ℝ em ℝ , definidas por ( ) 2f x x k= + e 
( )g x x t= − + . Sabendo que ( ( )) 4 3f f x x= − e ( ( )) ( ( ))f g x g f x= , determine: 
 
a) os valores de k e t ; 
 
( ( )) 2 ( )f f x f x k= + 
( ( )) 2(2 )f f x x k k= + + 
( ( )) 4 2f f x x k k= + + 
( ( )) 4 3f f x x k= + 
 
4x 3 4k x+ = 3− 
3 3k = − 
1k = − 
 
( ( )) ( ( ))f g x g f x= 
2 ( ) ( )g x k f x t+ = − + 
2( ) (2 )x t k x k t− + + = − + + 
2x− 2 2t k x+ + = − k t− + 
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2t k k t+ = − + 
2t k= − 
2( 1)t = − − 
2t = 
 
b) os números reais x , tais que ( ) 0( )
f x
g x
≤ . 
( ) 0( )
f x
g x
≤ 
2 1 0
2
x
x
− ≤
− +
 
 
12 1 0
2
2 0 2
x x
x x
− = ⇒ =
− + = ⇒ =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1/ ou 2
2
S x x x = ∈ ≤ > 
 
ℝ 
 
15) Sejam f e g as funções reais definidas por 
 
2 4 3 se 2( )
2 3 se 2
x x xf x
x x

− + ≥
= 
− <
 e ( ) 2 3g x x= + . 
 
Obtenha as leis que definem f o g e g o f . 
 
Fazendo ( )g x y= , temos ( )( ) ( ( )) ( )f o g x f g x f y= = 
 
1 ) 2o y ≥ 
 
12 ( ) 2 2 3 2
2
y g x x x≥ ⇒ ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ − 
 
2 1/2 
1/2 2 
+ 
+ 
+ 
- 
+ 
- 
+ 
- 
- 
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2
2
2 ( ) 4 3
 ( ( )) ( ( )) 4 ( ) 3
 (2 3) 4(2 3) 3
 4 12 9 8 12 3
 4 4
y f y y y
f g x g x g x
x x
x x x
x x
≥ ⇒ = − +
= − +
= + − + +
= + + − − +
= +
 
 
2 ) 2o y < 
 
12 ( ) 2 2 3 2
2
y g x x x< ⇒ < ⇒ + < ⇒ < − 
 
2 ( ) 2 3
 ( ( )) 2 ( ) 3
 2(2 3) 3
 4 6 3
 4 3
y f y y
f g x g x
x
x
x
< ⇒ = −
= −
= + −
= + −
= +
 
 
2 14 4 , se 
2( )( ) 
14 3, se 
2
x x x
f o g x
x x

+ ≥ −
= 
 + < −

 
 
( )( ) ( ( ))g o f x g f x= 
 
1 ) 2o x ≥ 
 
2
2
2
( ( )) 2 ( ) 3
( ( )) 2( 4 3) 3
( ( )) 2 8 6 3
( ( )) 2 8 9
g f x f x
g f x x x
g f x x x
g f x x x
= +
= − + +
= − + +
= − +
 
 
2 ) 2o x < 
 
( ( )) 2 ( ) 3
( ( )) 2(2 3) 3
( ( )) 4 6 3
( ( )) 4 3
g f x f x
g f x x
g f x x
g f x x
= +
= − +
= − +
= −
 
 
22 8 9, se 2( )( ) 
4 3, se 2
x x xg o f x
x x

− + ≥
= 
− <