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1 Circuitos Elétricos I 1 – Teoremas de análise de circuitos 1.1 – Teorema da superposição “A corrente que atravessa ou a tensão entre os terminais de um elemento de um circuito linear é igual à soma algébrica das correntes ou das tensões produzidas independentemente por cada uma das fontes.” Praticamente, as fontes de tensão serão curto circuitadas e as fontes de corrente transformadas em circuitos abertos, uma de cada vez, resultando na soma de cada uma das influências destas fontes na variável que se deseja calcular. Exemplos: 1) Utilizando o teorema da superposição, determine a corrente no resistor de 6 Ω do circuito abaixo e verifique que o teorema da superposição não pode ser usado para calcular a potência total dissipada no circuito. Solução: Considerando apenas o efeito da fonte de 36 V: I’2 = E / RT = E / (R1 + R2) = 36 / (12 + 6) = 2 A. Considerando o efeito da fonte de 9 A: I’’2 = R1 I / (R1 + R2) = (12 . 9) / (12 + 6) = 6 A I2 = I’2 + I’’2 = 2 + 6 I2 = 8 A; P6 = (I2) 2 R2 P6 = (8) 2. 6 P6 = 384 W; fazendo P’6 = (I’2) 2.R2 = (2) 2. 6 = 24 W; P’’6 = (6) 2. 6 = 216 W P’6 + P’’6 = = 24 + 216 = 240 W ≠ 384 W. 2) Utilizando o teorema da superposição, determine a corrente I2 que atravessa o resistor de 12 kΩ da figura abaixo. Solução: Levando em consideração apenas o efeito da fonte de corrente de 6 mA: I’2 = R1 I / (R1 + R2) = (6 k) (6 m) / (6 + 12) = 2 mA. Levando em conta somente a fonte de tensão de 9 V: 2 I’’2 = E / (R1 + R2) = 9 / (6 k + 12 k) = 0,5 mA. I2 = I’2 + I’’2 = 2,5 mA. 1.2 – Teorema de Thevenin Qualquer circuito de corrente contínua linear de 2 terminais pode ser substituído por um circuito equivalente constituído por uma fonte de tensão e um resistor em série. Por exemplo: RTH = R1 + R2 = 6 + 4 = 10 Ω; ETH = 12 – 4 = 8 V. Exemplos: 1) Determinar o circuito equivalente de Thevenin para a parte sombreada do circuito abaixo. Solução: RTH = 4 + 2 = 6 Ω ; ETH = V1 = R1 . I = 4 .12 = 48 V 2) Determine o circuito equivalente Thevenin para a parte sombreada do circuito abaixo. Solução: ETH = R1E1 / (R1 + R2) = (6.8) / (6 + 4) = = 48 / 10 ETH = 4,8 V. RTH = R1//R2 = (6.4)/(6 + 4) = 24/10 RTH = 2,4 Ω ; 3 1.3 – Teorema de Norton Qualquer circuito de corrente contínua linear de 2 terminais pode ser substituído por um circuito equivalente formado por uma fonte de corrente e um resistor em paralelo. Exemplos: 1) Encontre o circuito equivalente de Norton para a parte sombreada do circuito abaixo. Solução: RN = R1//R2 = 3//6 RN = 2 Ω ; IN = E / R1 = 9 / 3 IN = 3 A. 2) Encontre o circuito equivalente de Norton para a parte do circuito à esquerda dos pontos a e b. Solução: RN = R1//R2 = 4//6 RN = 2,4 Ω . Utilizando o teorema da superposição: IN = I’’N – I’N = 8 – 1,75 IN = 6,25 A. I’N = E1/R1 = 7/4 = 1,75 A ; I’’N = I = 8 A ; 4 Exercícios: 1) Encontre a corrente no resistor de 2 Ω do circuito abaixo. 2) Determine o circuito equivalente da Thevenin para a parte sombreada do circuito abaixo. 3) Encontre o circuito equivalente Norton para o circuito abaixo. 4) Encontre a corrente que passa pelo resistor R utilizando os 3 teoremas de solução, isto é, Superposição, Thevenin e Norton. 5 Obs.: Os circuitos podem ter 5 elementos básicos: fonte de tensão, fonte de corrente, resistor, capacitor e indutor. Vamos definir os tipos de fontes de um circuito: a) Fonte ideal de tensão é um elemento que mantém uma tensão especificada entre os seus terminais qualquer que seja a corrente que a atravessa; b) Fonte ideal de corrente consiste de um elemento que é atravessado por uma corrente especificada qualquer que seja a tensão entre seus terminais; c) Fonte independente é aquela que estabelece uma tensão ou corrente em um circuito independentemente dos valores de tensão ou corrente em outros pontos do circuito; d) Fonte dependente ou controlada é aquela que estabelece uma tensão ou corrente em um circuito cujo valor depende do valor da tensão ou da corrente em outro ponto do circuito. Sua representação é a seguinte: 1.4 – Método das correntes de malha Associe uma corrente a cada malha fechada independente do circuito; Indique as polaridades de tensão de cada resistor dentro de cada malha, de acordo com o sentido da corrente escolhido para esta malha; Aplique a Lei de Kirchhoff para tensões a todas as malhas; Resolva as equações lineares simultâneas resultantes para obter as correntes de malha. Exemplos: 1) Qual deve ser o valorde Ro no circuito abaixo se io = 4 A? Solução: 2) Calcule o valor de vo no circuito abaixo: Solução: 3) Para o circuito abaixo, calcule Vo. Solução: + – vs = μ vx ou vs = ρ ix is = α vx ou is = β ix + – 4 io + – 64 V Ro 6 Ω io – 4 io – Ro io + 64 – 6 io = 0 – 16 – 4 Ro – 64 – 24 = 0 4 Ro = 24 Ro = 6 Ω. + – 500 V 5 Ω iΔ vo 20 Ω 5 iΔ io 1 Malha 1: 500 = 5 iΔ + 20 io ; io = iΔ + 5 iΔ = 6 iΔ 500 = 5 iΔ + (20)(6 iΔ) = 125 iΔ iΔ = 4 A io = 24 A vo = 20 io = = (20)(24) vo = 480 V. 2 Va 1 kΩ 2 kΩ Va + – 12 V Vo + – io + – + – 1 kΩ – 2 Va + 1 k io + 12 + 1 k io + 2 k io = 0 – 2 Va + 4 k io = – 12; Va = 3 k io (– 2)(3 k io) + 4 k io = – 12 – 2 k io = – 12 io = 6 mA Vo = 2 k io = (2 k)(6 m) Vo = 12 V. 6 4) Determine Vo no circuito abaixo. Solução: 5) Equacionar o circuito abaixo pelo método das malhas. Em seguida, escrever o sistema sob a forma matricial e calcular as correntes das malhas utilizando a regra de Kramer. 1.5 – Método das tensões de nó Determine o número de nós no circuito; Escolha um nó de referência e rotule cada nó restante com um valor de tensão; Aplique a Lei de Kirchhoff para correntes a todos os nós, exceto o de referência; Resolva as equações resultantes para obter as tensões dos nós. Exemplos: 1) Para o circuito abaixo, calcule Vo. Solução: Pela Lei dos nós: + – 24 V 2 Ω 3 Ω – + Va + – 1 Ω 2 Va Vo + – io – 24 + 2 io – 2 Va + 3 io + io = 0 6 io – 2 Va = 24 3 io – Va = 12; – Va – 2 Va + 3 io = 0 3 Va = 3 io Va = io 3 io – io = 12 2 io = 12 io = 6 A Vo = 3 io = = (3)(6) Vo = 18 V. 12 A 2 io 4 Ω io 12 Ω 6 Ω Vo 2 io + 12 = Vo/12 + Vo/6 + Vo/4; io = Vo/6; 2 Vo/6 + 12 = Vo/12 + + Vo/6 + Vo/4 Vo (1/12 + 1/6 + 1/4 – 1/3) = 12 Vo (2/12) = 12 2 Vo = 144 Vo = 72 V. 30 V 2 Ω 4 Ω 5 Ω 3 Ω 10 V 1 Ω + – + – + – 6 Ω 20 V 7 2) Determine o valor da tensão Vo para o circuito abaixo. Solução: Chamando de v a tensão em cada ramo, pela Lei dos nós: 3) Use o método das tensões de nó para determinar a potência dissipada pelo resistor de 5 Ω do circuito abaixo. Solução: Exercícios 1) Calcule a corrente i e as tensões vc e vd do circuito abaixo, utilizando o método das tensões de nó. 4 io 3 kΩ 3 kΩ 3 kΩ + - Vo 10 mA io v 4 io = 10m + v/6k + v/3k; io = v/3k 4 v/3 k – v/6 k – v/3 k = 10 m 8 v – v – 2v = 60 5 v = 60 v = 12 V Vo = v/2 = 12/2 Vo = 6 V. 2 0 V 20 Ω 8 io 10 Ω v1 v2 2 Ω io 5 Ω 2 Ω + – + – Para o nó 1: (v1 – 20)/2 + v1/20 + (v1 – v2)/5 = 0 10 v1 – 200 + v1 + 4 v1 – 4 v2 = 0 15 v1 – 4 v2 = 200. Para o nó 2: (v1 – v2)/5 = v2/10 + (v2 – 8 io)/2 (v2 – v1)/5 + v2/10 + (v2 – 8 io)/2 = 0 2 v2 – 2 v1 + v2 + 5 v2 – 40 io = 0 8 v2 – 2 v1 – 40 io = 0 4 v2 – v1 – 20 io = 0 4 v2 – v1 – 20(v1 – v2)/5 = 0 4 v2 – v1 – v1 + 4 v2 = 0 – 5 v1 + 8 v2 = 0; resolvendo o sistema: v2 = 10 V e v1 = 16 V; io = (16 – 10)/5 = 1,2 A P5 Ω = (6)(1,2) P5 Ω = 7,2 W. (1/15) vc 4 Ω 6 Ω a b + – 1,5 V + – vd 2 Ω + vc – 10 Ω 12 V 1 Ω + – i 8 2) Determine, no circuito abaixo: i , v e id. 3) Determine vo para o circuito abaixo e verifique se a potência fornecida ao circuito é igual à potência consumida. 4) Calcule, para o circuito abaixo: i2 , i1 e io. 5) Sabendo-se que vo = 250 mV, determine: v1, vg e vo/vg. 10 V 1 Ω + – + – 2 Ω i /2 2 Ω + 4 V – 3 Ω + v – i id 10 V + – 6 Ω is 3 Ω 3 is + – 2 Ω + vo – 24 V + – 10 Ω i2 5 Ω 0,8 vg 2 Ω + vg – 20 Ω i1 io vg + – 40 Ω 10 Ω 100 Ω 20 i1 + v1 – 25 Ω 12,5 Ω 50 i2 + vo – 50 Ω i1 i2 9 6) Para o circuito abaixo, determine vg e demonstre que Pf = Pr. 7) No circuito abaixo, para io = 5 A, calcule: 1) Vs; 2) A potência recebida pela fonte de tensão independente; 3) A potência fornecida pela fonte de corrente independente; 4) A potência fornecida pela fonte de corrente dependente e 5) A potência total dissipada nos 2 resistores. 8) O circuito abaixo é uma configuração freqüentemente encontrada no projeto e análise de circuitos transistorizados. Suponha que os valores de β, R1, R2, Re, Vcc e Vo sejam conhecidos. A) Deduza, primeiramente, uma fórmula para calcular ib a partir dos valores conhecidos; b) Deduza, a partir do valor de ib e dos valores conhecidos, as equações para a obtenção das demais correntes (ic, ie, i1 e i2) e das tensões Vc, Vb e Ve. Vs – + 5 Ω 6 io 10 Ω 5 A io R2 Vcc ie Re R1 + Vb – Rc β ib i1 i2 ic Vc + Ve – + – Vo ib 12,6 V 50 kΩ + – 1,5 k Ω + vg – 10 V 250 Ω ib + – 39 ib 0,6 V + – 10 2 – Capacitores 2.1 – Introdução Os capacitores são formados por 2 condutores elétricos (placas) separados por um material isolante (dielétrico). Isto significa que as cargas elétricas não podem atravessar o capacitor. Quando uma tensão é aplicada aos seus terminais, as cargas do dielétrico são deslocadas em relação à sua posição de equilíbrio. Quando a tensão varia com o tempo, esta posição também varia, dando origem à chamada corrente de deslocamento, que é proporcional à taxa de variação da tensão aplicada. 0 t t Cc C c tvdi C 1 tvou dt tdv Cti 0 2.2 – Associação de capacitores n21eq n21eq C...CCC:Paralelo; C 1 ... C 1 C 1 C 1 :Série 2.3 – Formas de onda no capacitor Exemplos: 1) Seja um capacitor de 1 µF no qual é aplicada uma tensão de 6 cos 2000t V. Calcule a corrente no capacitor. Solução: .mAt2000sen12tit2000sen1200010 dt tdv Cti c 6 c 2) A forma de onda abaixo corresponde a corrente em um capacitor de 1 F. Esboce a forma de onda da tensão neste capacitor, sabendo que ele está descarregado em t = 0. Solução: : a 1 t/p;at0da0vda 1 1 tv : a 1 t0/p;0v0d0 1 1 tv 0i:0t/p;vdi C 1 tv t 0 t 0 t t 11d0 a 1vd0 1 1 tv t a 1 t a 1 . 3) Uma corrente constante de 10 mA está carregando um capacitor de 4 µF. Sabendo-se que o capacitor está inicialmente descarregado, calcule a tensão neste capacitor após 20 ms. 4) Um capacitor de 1µF tem uma tensão de 10 sen 2000t V. Ache a corrente que passa neste capacitor. 5) Por um capacitor de 0,3 µF passa uma corrente de 12 e – 4000t mA. Ache a tensão v(t) no capacitor, para t > 0, se v(0) = – 10 V. i (t) a 1/a t v(t) 1 1/a t 11 6) Um capacitor de 0,4 µF possui uma forma de onda de tensão mostrada abaixo. Ache a corrente para t = – 4, – 1, 2, 5 e 9 ms. 7) Um capacitor inicialmente descarregado de 0,2 µF é submetido a um pulso de corrente de forma triangular, descrito pelas seguintes equações: i(t) = 0 p/ t ≤ 0; i(t) = 5000t A p/ 0 < t ≤ 20 µs; i(t) = 0,2 – 5000t A p/ 20 µs < t ≤ 40 µs; i(t) = 0 p/ t > 40 µs. a) Determine as expressões da tensão, potência e energia do capacitor para os 4 intervalos definidos acima; b) Por que continua a existir uma tensão finita entre os terminais do capacitor mesmo quando a corrente volta a zero? 3 – Indutores 3.1 – Introdução O comportamento dos indutores se baseia em fenômenos associados a campos magnéticos, campos estes produzidos por corrente elétrica. Quando uma corrente elétrica varia com o tempo, o campo magnético produzido por esta corrente também varia e então, um campo magnético variante com o tempo induz uma tensão num condutor imerso neste campo. A tensão induzida está relacionada à corrente por um parâmetro denominado de indutância (L). 0L t t LL L L tidv L 1 tiou dt tdi Ltv 0 3.2 – Associação de indutores n21eq n21eq L 1 ... L 1 L 1 L 1 :Paralelo;L...LLL:Série 3.3 – Formas de onda no indutor Exemplos: 1) Determine, para o circuito abaixo, as correntes i(t) e i6(t). Solução: t 0 t eq eq 0d100cos6 4 1 idv L 1 ti ;H422 36 3.6 23//62L vc(t) (V) 10 -2 -5 -10 4 8 10 t (ms) 2 H + - 6 cos 100 t V i6(t) 6 H i(t) 3 H 12 .mAt100sen5ti100sen 100 1 5,0d100cos 6 3 0id100cos3 6 1 tiVt100cos3tvt100cos3t100cos6 100.t100cos10.30t100cos6 dt t100sen10.15d 2t100cos6tvtv tv0tvtvtv;mAt100sen15ti100sen 100 1 4 6 ti 6 t 0 t 0 6 t 066 3 3 2 662 t 0 2) A forma de onda da corrente em um indutor de 10 mH é a da figura que se segue. Determine a correspondente forma de onda de tensão. Solução: .V0tv dt 0d 10.10tvmA0ti:ms4t/p;mV100tv dt 10.40t10d 10.10tvA10.40t10ti :ms4tms2/p;mV100tv10.100 dt t10d 10.10tv At10t 10.2 10.20 ti:ms2t0/p;V0tvmA0ti:0t/p 3 3 33 33 3 3 3) Calcular a tensão em um indutor, de indutância L, percorrido por uma corrente dada pela expressão: i(t) = Im sen ωt. Solução: .tcosImLtv dt tsenImd Ltv Obs.: a) A freqüência angular (ω) é a mesma logo, a freqüência também será a mesma; b) A amplitude da tensão é proporcional à freqüência angular; c) Tensão e corrente estão defasadas. 4) A corrente em um indutor de 2 mH é i(t) = 2 cos 377 t. Determine a tensão que se desenvolve no indutor. i(t)(mA) 20 10 2 4 t(ms) v(t)(mV) 100 -100 2 4 t(ms) 13 5) Considere o gráfico da corrente aplicada a um indutor de 5 H, mostrado abaixo. Esboce a correspondente forma de onda da tensão. 6) Para o circuito abaixo, determine v1, v2 e v3. 7) Para o circuito e a forma de onda v(t) abaixo, determine i(t). 8) O pulso de tensão aplicado ao indutor de 100 mH do circuito abaixo é nulo para t < 0, sendo dado pela expressão v(t) = 20 t e-10t para t > 0. Determine o gráfico da corrente no indutor. 9) No circuito abaixo, a corrente através do indutor é igual a zero para -∞ < t < 0 e para t > 0, i(t) = 1 – e-2t A. Determine, para t > 0: a) vL(t); b) vR(t); c) vS(t); d) a potência absorvida pelo indutor; e) a potência absorvida pelo resistor; f) a potência fornecida pela fonte e g) a energia wL(t). 10 i(t)(A) -10 1 2 3 4 5 t(s) 0,2 H + - 3 V + v2 - 5 H 0,8 H 5 Ω + v1 - 1 Ω 3 Ω - 0,8 A 2,5 H 4 Ω 9 Ω + v3 - i(t) + v(t) - 3 H v(t)(V) 2 -1 1 2 t(s) i(t) + vs(t) - 1 H + vR(t) - 2 Ω + vL(t) - 14 10) Para o circuito abaixo, excitado pela forma de onda de corrente apresentada, determine as formas de onda da tensão no indutor, da potência absorvida pelo indutor e da energia armazenada no indutor. Circuitos RC e RL: Introdução: Como sabemos, os indutores e os capacitores são elementos capazes de armazenar energia. Sendo assim, um circuito RL ou um circuito RC, tem a presença de uma fonte, mas, carregados previamente, produzem correntes e tensões que correspondem à Resposta Natural do circuito. A colocação de uma fonte externa no circuito (de tensão ou de corrente contínua) produzirá a chamada Resposta a um Degrau ou Resposta Forçada das correntes e tensões do circuito. Neste caso, o circuito deverá ser reduzido a uma das quatro configurações abaixo, a fim de se obter um circuito de primeira ordem. Circuito RL: Circuito RC: Resposta Natural de um circuito RC: Supondo que a chave permaneceu na posição a por um longo tempo, o circuito (1) atingiu seu regime estacionário, isto é, a corrente no capacitor é zero e a tensão em seus terminais é V0 . Em t = 0, a chave irá para a posição b, produzindo o circuito (2). i(t) + vL(t) - 2 H 1 2 i(t)(A) t(s) 1 Io Leq Req + Vo - Ceq Req iL(t) + vL(t) - Leq RTh VTh RTh iL(t) + vL(t) - Leq RTh VTh + - iC(t) +vC(t) - Ceq RTh VTh + - iC(t) + vC(t) - Ceq RTh VTh RTh 15 (1) (2) . 2 1 10 222 ;. ;;tan ;0:0/; ln 11 1 000 2 0 2 00 2 0 0 22 0 0 22 0 0 22 0 0 0 0 01 0 101 ln JCVW CV ee CV e RC R V dte R V dttpWWe R V tpe R V eVtptitvtp Ae R V ti R tv tiVeVtvtempodetecons RCcomoeVtvkekVvtpektv eek RC t tvdt RCtv tdv dt RCtv tdv tv RCdt tdv RC tv dt tdv R tv dt tdv Ctiti R tt RR t R t g t RR tt RC t RCRC t k RC t tv RC Obs.: Quando o instante a ser analisado iniciar-se em um tempo t0 , então a fórmula para tensão será: 0 RC tt 0 tt/peVtv 0 Exemplos: 1) Calcule a tensão v para t > 0 no circuito em regime estacionário abaixo. .Ve6tve6tv ;s1010.10.100RC ;eVtv:Solução t1000 383 RC t 0 310 t 2) A chave do circuito abaixo ficou na posição x por um longo tempo antes de ser deslocada em t = 0 para a posição y. Determine, para t > 0, vc(t), v0(t) e i0(t) e a energia total dissipada no resistor de 60 kΩ. C R a b V0 R1 + – t = 0 C R V0 v(t) + – i(t) + - v(t) V0 t 0,01 μF 100 kΩ t = 0 + v - 6 V V 1kΩ + – 16 .mJ2,1Wee 50 1 10.60dt10.e60dttpW ;mWe60tp10.e.e60ti.tvtp;mAeti k60 e60 k60 tv ti;Ve60tve100.6,0tv k48k32 k48 tv ;Ve100tve100eVtv;ms405,0.k80RC;V100V ;k80k32k48Rk32 k60k240 k60.k240 k32k60//k240R:Solução k60 03 0 3t50 0 k60k60 t50 k60 3t25t25 00k60 t25 0 t25 0 0 t25 0 t25 C0 t25 C 10.40 t RC t 0C0 eqeq 3 Resposta forçada em um circuito RC: .AeItie RC 1 RIC dt eRIRId C dt tdv Cti ;Ve1RItv1eeRItv1eRC C I tv.e dte C I tv.ede C I dt tv.ed eet C I tv RC 1 dt tdv dt tdv C R tv ItitiI:0t/p RC t 0C RC t 0 RC t 00 C C RC t 0C RC t RC t 0C RC t 0 C RC t t 0 RC t 0 C RC t RC t 0 C RC t RC t RC dt 0 C CCC 0CR0 Solução geral de um circuito RC: .VeRIVRItv eRIRIeVtve1RIeVtvvvtv RC t 000C RC t 00 RC t 0C RC t 0 RC t 0CfnC 0,5 μF 240 kΩ y 100 V 10 kΩ + – x 32 kΩ + vC(t) - i0(t) + v0(t) - 60 kΩ t = 0 iC(t) C vC(t) R iR I0 17 P/ V0 > RI0: P/ V0 < RI0: Exemplos: 1) Ache v(t) para t > 0 se v(0-) = 6 V. .Ve410tve10610tv ;ms2010.2.10.10RC;V10RI ;eRIVRItv:Solução t50t50 63 0 RC t 000 2) A chave do circuito abaixo foi mantida por um longo tempo na posição 1. Em t = 0, a chave é colocada na posição 2. Determine v0(t) e i0(t) p/ t > 0. ;mA5,1I k40 60 R V I ;k40R k200 k160.k40 k8k160//k40k8R;V60V75 k200 k160 75 k40k160 k160 V;V30V40 k80 k60 40 k20k60 k60 V:0t/p:Solução N N ab N NNab ab00 .mAe25,2ti e10090.10.25,0ti dt tdv Cti;Ve9060tv e603060tvem5,1k4030m5,1k40tv t100 0 t1006 0 0 0 t100 0 t100 0 25,0.k40 t 0 vc(t) V0 RI0 t vc(t) RI0 V0 t + v(t) - 2 μF 10 kΩ t = 0 10 V 0,25 μF 60 kΩ 1 2 40 V 20 kΩ + – t = 0 160 kΩ 75 V + v0(t) - 8 kΩ – + 40 kΩ i0(t) a b 30 V + – 0,25 μF 40 kΩ 1,5 mA 18 Resposta natural de um circuito RL: Supondo que a chave permaneceu fechada por um longo tempo, o circuito abaixo atingiu seu regime estacionário, isto é, o indutor se comporta como um curto circuito. A tensão entre seus terminais é zero e as correntes um R0 e R são nulas. R L :tempodetetancons ;Je1LI 2 1 tWee L R2 1 RIdeRI dptW;WeRItp;VeRItvtRitv ;AeItie0itie 0i ti eet L R 0i ti ln 0t L R 0ilntilnx L R lndx L Rd dt L R ti tdi ti L R dt tdi 0ti L R dt tdi 0tRi dt tdi L:0t/p t L R2 2 0 0 t L R2 2 0 t 0 L R2 2 0 t 0 R t L R2 2 0R t L R 0 t L R 0 t L R t L R t L R 0i ti ln t 0 ti 0i t 0 ti 0i Exemplos: 1) Para o circuito abaixo, determine i(t) e v(t) em regime estacionário. vc(t)(V) 30 - 27 - 60 10 50 t(ms) t = 0 I0 R0 L R i(t) + v(t) - t = 0 100 V 150 Ω 10 H 50 Ω i(t) 75 Ω + v(t) - 19 .Ve100tve100e200e250 dt e2d 10ti50 dt tdi 10tv ;Ae2tiA20iI;s1,0 100 10 R L ;100R 15075 150.75 50 150//7550R:0t/p;A2 50 100 0i0i:0t/p:Solução t10t10t10t10 t10 t10 0 eq eq eq 2) A chave do circuito abaixo ficou fechada por um longo tempo antes de ser aberta em t = 0. Determine, para t > 0: a) iL(t); b) i0(t) e c) v0(t). Qual é a energia dissipada no resistor de 10 Ω ? .J256tWee256e 10 1 2560 dte2560tWWe2560 10 e160 10 tv tp ;Ve160tve440ti40tvc;Ae4tie20 5 1 ti 4010 10 tib;Ae20tiA200iI;s2,0 10 2 R L ;1040//102R:0t/p;A200i0i:0t/pa:Solução 10 0 0 t10 0 t10 10 t10 2t52 0 10 t5 0 t5 00 t5 0 t5 L0 t5 L0 eq eqLL Resposta forçada de um circuito RL: 20 A 0,1 Ω t = 0 iL(t) 2 H 2 Ω 10 Ω i0(t) 40 Ω + v0(t) - R Vs t = 0 i(t) L + v(t) - 20 .geralSolução Ae R V I R V tie R V I R V ti t L R R V I R V ti ln L R R V ylnd L R R V y dy dt L R R V ti tdi R V ti L R dt tdi L V ti L R dt tdi dt tdi LtRiV t L R 0 0 s 0 s t L R s 0 s s 0 s t 0 ti I s t 0 ti I ss ss s .A R V 6321,0ie R V R V i:t/pb ;e R V R V tizeroéI,zeroéindutordoinicialenergiaaQuandoa:.Obs s1ss t L R ss 0 Exemplo: A chave do circuito abaixo foi mantida na posição a por um longo tempo. Em t = 0, a chave é deslocada da posição a para a b. Esta chave é do tipo que faz a ligação com b antes de abrir em a para que a corrente no indutor não seja interrompida. a) Determine a expressão de i(t) para t > 0; b) Qual é a tensão entre os terminais do indutor logo depois que a chave é colocada na posição b ? c) Esta tensão inicial faz sentido em termos de comportamento do circuito ? d) Quantos ms depois que a chave é colocada na posição b a tensão entre os terminais do indutor atinge 24 V ? e) Plote i(t) e v(t) em função de t. i(t) Vs/R 0,6321 Vs/R τ 5 τ t v(t) Vs τ 0,367 Vs 5 τ t 24 V 2 Ω b a t = 0 200 mH + v(t) - i(t) 10 Ω 8 A 21 .ms08,51t 10 5 3 ln t 5 3 lnt10 5 3 lneln 40 24 ee4024V24tv/pd ;V4016240vV1682v:Simc;V400v0t/p ;Ve40tve2002,0 dt e2012d 2,0 dt tdi Ltvb ;0t/pAe2012tie12812tims100 2 200 R L ;A12 2 24 i:éidefinalvaloro,bposiçãona;A8I:aposiçãoNaa t10t10t10 2 t10t10 t10 t101,0 t 0 e) Circuito RLC Paralelo – Resposta Natural v(t)(V) 40 500 t(ms) i(t)(A) 12 - 8 51,08 500 t(ms) 22 3 Hipóteses: 1) 2) 3) Exemplo: Para o circuito RLC paralelo com R = 200Ω, L = 50mH e C = 0,2µF. Determine: a) os valores de ; b) tipo de resposta; c) repetir a e b para R = 312,5Ω; d) o valor de R para se obter uma resposta criticamente amortecida. Solução: 23 Como Resposta Superamortecida. Como Resposta Subamortecida. Para resposta criticamente amortecida: Considerações sobre as formas de resposta natural do circuito RLC paralelo: 1) Resposta Superamortecida: quando , as raízes são reais e distintas e a resposta é denominada de superamortecida. Então, onde são determinados partir de . Para t = 0: Exemplo: Para o circuito RLC paralelo anterior com R = 200Ω, L = 50mH e C = 0,2µF, temos as condições iniciais de = 12V e = 30mA. Determine: a) as correntes ; b) o valor incial de ; c) a expressão de ; e d) esboce um gráfico de para Solução: 24 Pelos resultados do exemplo anterior: 2) Resposta Criticamente Amortecida: quando , as raízes são reais e iguais e a resposta é denominada de criticamente amortecida (valor final atingido o mais rapidamente, sem oscilação do sistema) Nesse caso, a resposta é da forma: Para determinar emprega-se : 25 Exemplo: Seja o circuito RLC paralelo abaixo onde . Determine: a) O valor de R que resulta em uma resposta criticamente amortecida; b) Calcule c) Faça um gráfico de em função de t para . Solução: Para resposta criticamente amortecida: p/ t = 0 => ; p/ t => ; 26 3) Resposta Subamortecida: quando α2 < ω0 2, as raízes são complexas conjugadas, sendo a resposta denominada de subamortecida: 1 1 1 0 27 OBS.: 1) As funções trigonométricas mostram que a resposta é oscilatória, cuja frequência depende de ; 2) A amplitude dos senos e cossenos diminuem exponencialmente e o parâmetro determina a velocidade desse amortecimento e, por isso, é denominado “coeficiente de amortecimento” ou “fator de amortecimento”; 3) Na ausência de , . Quando R ≠ 0 => ≠ 0 e ; 4) O comportamento oscilatório é devido a existência de dois elementos armazenadores de energia no circuito (capacitor e indutor). Exemplo: Para o circuito do exercício anterior com R = 20 KΩ: a) Calcule as raízes da equação característica; b) Calcule em t = ; c) Calcule a tensão para t ≥ 0; e d) Faça um gráfico de em função de t para o intervalo de tempo de 0 ≤ t ≤ 11ms. Solução: 28 Resposta do Circuito RLC Paralelo ao Degrau A diferença é que passamos a ter uma EDL de 2ª ordem a coeficientes constantes, não-homogênea e a incógnita é a corrente e não a tensão.
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