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1 INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS INTRODUÇÃO Os livros de cálculo costumam conter um capítulo ou um apêndice dedicado a explicações de fatos básicos da matemática e que, em geral, são abordados no Ensino Médio das escolas brasileiras. O entendimento desses conceitos, e o uso correto deles em diversas situações, são condições necessárias para que o aluno da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I possa compreender conceitos específicos da disciplina, como o de derivada e integral, e possa aplicar esses conceitos na resolução de situações- problema relevantes. Por outro lado, percebe-se que, na maioria das vezes que o estudante apresenta dificuldades em resolver um problema de aplicação de limite, derivada ou integral, essa dificuldade não reside no entendimento dos conceitos específicos do cálculo diferencial e integral, mas sim na modelagem do problema, no seu equacionamento, na manipulação de expressões algébricas, ou na utilização de fatos elementares de trigonometria ou de geometria plana. Por essas razões, é extremamente importante que todos os estudantes da disciplina identifiquem suas próprias dificuldades com esses fatos elementares da matemática e se esforcem para superá-las ao longo do curso. Para auxiliar os estudantes nesse ponto, listamos uma relação de conceitos matemáticos que serão utilizados com muita freqüência durante o curso e cujo entendimento deve ser priorizado pelos estudantes. 1. Números Operações com frações e números reais. Potenciação e radiciação. Raiz quadrada. Intervalos. Desigualdades. Valor absoluto. Reta numérica. Equações polinomiais. 2. Álgebra Elementar. Produtos notáveis e fatoração. Operações com polinômios: soma, subtração, divisão. Raízes e igualdade de polinômios. Cálculo da decomposição de uma fração em soma de frações parciais. 3. Geometria Analítica. Coordenadas de pontos no plano cartesiano. Distância entre pontos. Simetrias. Retas: equações, paralelismo e perpendicularidade. Equações da circunferência. Equação e gráfico de parábolas. Elipse dada pela sua equação reduzida. Hipérbole de equação x y 1= . Translação de gráficos. 4. Funções e gráficos. Definição de função, domínio e imagem. Determinação de domínio e imagem de funções reais. Funções pares e ímpares. Funções crescentes e decrescentes. Operações e composições de funções. Função exponencial. Função logarítmica. A exponencial e o logaritmo natural. Aplicações de exponencial e logaritmo. Funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente. As funções que definem a parte superior, inferior e lateral de uma circunferência. 5. Trigonometria Trigonometria nos triângulos. Lei dos senos e dos cossenos. O círculo trigonométrico. Graus versus radianos. Identidades trigonométricas. Aplicações de trigonometria. 2 ESTRATÉGIAS DE ESTUDO Apresentamos também as seguintes estratégias de estudo para essa parte inicial da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. (a) É extremamente importante que você possua algum livro de cálculo durante todo o semestre letivo. Então providencie um livro, fazendo um empréstimo na biblioteca ou com algum amigo, comprando o livro ou de outra forma qualquer. (b) Identifique as seções do seu livro que tratam dos conteúdos listados acima e LEIA essas seções, dando especial atenção para as definições, para as propriedades e para os exemplos resolvidos no livro. (c) Não acumule dúvidas. Assim que possível, durante o seu estudo, procure o seu professor ou os monitores para esclarecimentos de todas as suas dúvidas. (d) Resolva os exercícios do livro e compare suas soluções com as de outros alunos do curso. Caso você tenha dúvidas sobre algum exercício, procure o seu professor. (e) Resolva todos os exercícios listados a seguir. A lista de exercício a seguir aborda praticamente todos os conteúdos listados anteriormente. Esses exercícios devem ser obrigatoriamente resolvidos por todos os alunos das Turmas Especiais de Cálculo Diferencial e Integral I. 3 LISTA 1 1. Calcule a área do retângulo de dimensões 70 3 e 48 7 . 2. Considere o pentágono ABCDE de lados 20 21;12; 6 7 === CDBCAB ; 527 == EAeDE . a) Calcule o perímetro desse pentágono. b) Qual é o menor lado? 3. Dê contra-exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. a) b d c d bc d +=+ , para quaisquer números reais a, b, c, com 0,0 ≠≠ bc e . b) 0≠+ bc baba +=+ , para quaisquer números reais não-negativos a, b. c) aa =2 , para qualquer número real a. d) ayx x yax +=+ 2 , para qualquer 0≠x . 4. Se | a | = 2, quais são os possíveis valores para a? Represente na reta numérica o conjunto de todos os valores de a que satisfazem à igualdade dada. 5. Em cada caso a seguir, determine todos os valores de x que satisfazem a relação dada e, também, represente na reta numérica todos esses valores de x: a) | x − 3 | = 2 b) | x − 3 | < 2 c) | x − 3 | > 2 6. Determine todas as raízes reais de cada equação a seguir: a) (2x − 3)(4x2 − 9)(x2 + 9) = 0; b) x3 − 5x2 +6x = 0; c) (x2 − 4x + 3)2 = 1. d) x(x − 7)2 = 50x. 7. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que 1 12 23 + ++=+ + x CBx x A xx x , para todo x real. 8. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que 1)1( 1 2222 2 + ++=+ −− x CBx x A xx xx , para todo x real. 9. Determine a para que a distância entre os pontos P = (a, 3) e Q = (5, 6) seja igual a 4. 10. Para dar uma interpretação para o exercício 9, responda às seguintes perguntas: a) Que figura fica caracterizada pelos pontos da forma P = (a, 3)? b) Que figura fica caracterizada pelos pontos cuja distância a Q = (5, 6) é igual a 4? c) Utilizando os itens (a) e (b), dê uma interpretação para o exercício 9. Respostas: 2) b) CD 6) a) 2 3± b) 0, 2, 3 c) 2, 22± d) 0, 257 ± 7) A =1, B = -1, C = 2 8) Não tem solução. 4 11. Determine os pontos sobre a reta de equação y = 2x − 3 cujas distâncias ao ponto Q = (4, 5) sejam iguais a 2 57 . 12. Determine o centro e o raio da circunferência de equação . Explicite y em função de x e identifique a figura que cada uma dessas funções representa? 036422 =−+−+ yxyx 13. Determine a equação da reta tangente à circunferência de equação no ponto Q de abscissa 3 sobre essa circunferência e que está no quarto quadrante. 2522 =+ yx 14. Analise a resolução da equação e diga o que está errado. Sol. . Cancelando o x obtemos . Daí , o que nos fornece as raízes xxxx 2)3( 2 −=− xxxx 2)3( 2 −=− 2)3( 2 −=− xx 0232 =+− xx 2 13±=x , isto é, 1 e 2. 15. Simplifique: a) 22 22 −− − xx xx b) h h 25)5( 2 −+ c) 16 8 4 3 − − x x 16. Resolva as desigualdades: a) b) −4x + 7 > 0 c) 012102 2 <−+− xx 0 32 2 2 ≤−− − xx x d) 0 )1( 2.2)1(2 22 2 ≥− −− x xxxx e) 2x x> + f) 2 34 1 2 + +≥+ − x x x x g) 2 1sen ≥x , no intervalo [0, π2 ] h) 2 2sen 2 1 ≤≤ x , no intervalo [0, π2 ] 17. Determine o valor de x no triângulo abaixo. 18. Seja , calcule f(0), f(1) e f(2). ⎩⎨ ⎧ > ≤−= 1, 1,1 )( 2 xsex xsex xf 19. Esboce o gráfico de y = |x − 2| + |x + 6|. Respostas: 11) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 12, 2 15 e ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 2, 2 1 12) centro ( )3,2 − e raio 4. 13) .6 4 3 += xy 16) c ) 21 ≤<− x e ) x > 2 g ) 6 7 6 π≤≤π x h) 46 π≤≤π x ou . 6 7 4 3 π≤≤π x 17) .14=x 18) ( ) ;10 =f ( ) ;01 =f ( ) .42 =f 5 20. Encontreo domínio de cada função a seguir: a) 26 )3(ln)( xx xxf − −= b) ttth −+= 4)( . 21. Expresse a área de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem perímetro igual a 20 cm. 22. Expresse o perímetro de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem área igual a 16 cm2. 23. Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão que tem dimensões 12 cm por 20 cm. Devem-se cortar quadrados de lados x em cada canto do papelão e depois dobrá-los. Expresse o volume da caixa em função de x. 24. Um quadrado está inscrito em um círculo de raio r. Expresse o lado do quadrado em função de r. 25. Determine as coordenadas do ponto da circunferência 2 2 1x y+ = que está mais próximo do ponto . (4 , 3)P = 26. Ache o ponto do eixo que é eqüidistante de y (5 , 5)− e . (1 ,1) 27. Determine todas as retas que passam pelo ponto (2,3)P = e que são tangentes a circunferência de equação . 2 2 4x y+ = 28. Os pontos , e (2 , 2)A = (6 ,14)B = (10 , 6)C = são vértices de um triângulo retângulo? Se sim, qual desses pontos é o vértice de ângulo reto? 29. Usando a expressão: área = metade da base vezes a altura, determine a área do triângulo retângulo de vértices , (6 , 7)A = − (11 , 3)B = − e (2 , 2)C = − . 30. Determine a equação da reta em cada situação a seguir. a) A reta passa pelos pontos A = (1, 3) e B = (−2, 7); b) A reta passa pelo ponto C = (−4, 1) e é paralela à reta de equação 3x − 4y = 1; c) A reta passa pelo ponto C = (3, 1) e é perpendicular à reta de equação 2x + 6y = 1. Respostas: 20) a) b) .63 << x .40 << t 21) ( )llA −= 10 para 0 < l< 10. 22) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += l lP 162 para . 23) ∞<< l0 ( )( )xxxV −−= 6104 para 0 < x < 6. 24) 2rl = . 25) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 5 3, 5 4 26) ( )4,0 − 27) 6 13 12 5 += xy e . 2=x 28) Sim; C. 29) 2 41 . 30) a) 3 13 3 4 +−= xy b) 4 4 3 += xy c) 83 −= xy 6 D C A B 31. Na figura ao lado, é um paralelogramo, as coordenadas do ponto C são ( e os lados e estão contidos, respectivamente, nas retas de equações ABCD 6 ,10) AB AD 14 2 xy = + e . Determine as coordenadas dos pontos , 4 2−y x= A B e . D 32. O triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos (4 , 0)A = e . Determine as coordenadas do vértice sabendo que ele está sobre a reta de equação . (0 , 6)B = C 4y x= − 33. O número R de respirações por minuto que uma pessoa executa é uma função do primeiro grau da pressão P do dióxido de carbono ( CO 2 ) contido nos pulmões. Quando a pressão do CO 2 é de 41 unidades, o número de respirações por minuto é de 13,8; quando a pressão aumenta para 50 unidades o número de respirações passa para 19,2 por minuto. a ) Escreva R como função de P. b ) Ache o número de respirações por minuto quando a pressão do CO 2 for de 45 unidades. 34. Simplifique a expressão até encontrar um número inteiro: . 2log 7 724 log (8+ ) 2 2ax bx c x x x+ + + − += ⋅35. Suponha que a equação 8 4 seja válida para todo número real 2 3 5 5 8 x , em que , b e são números reais. Determine o valor dessas constantes , b e . a c a c 36. Sabendo que xx 2sen1calcule, 2 −π<<π . 37. Resolva as equações: (a) 3x + 3− x = 1 (b) 5x – 5− x = 3 . 38. Sem utilizar calculadora, calcule a área do triângulo ABC , sabendo que , 10AB cm= 3BC c= m e . o75ˆ =CBA Respostas: 31) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 7 114, 7 32A , ( )16,8=B , ( )10,6=C , ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 7 22, 7 18D 32) ( 13,17 ) 33) a) R = 0,6 P - 10,8 b) 16,2. 34) 70. 35) 3 5=a , 3 5=b e 6=c . 36) .cos x− 37) a ) não tem solução real. b ) . 5ln 2 133ln ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + =x 38) ( ) 2cm13 4 215 . + 7 39. Desintegração radioativa: os átomos de uma substância radioativa possuem a tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original diminui aumentando, conseqüentemente, a massa da nova substância transformada. Além disso, pode-se demonstrar que se no instante de tempo 0t = a quantidade de matéria radioativa é igual a 0M , então no instante de tempo a quantidade dessa matéria será igual a 0t ≥ 0( ) ktM t M e−= , sendo uma constante positiva que depende da matéria radioativa considerada. Em geral, para o cálculo dessa constante k , é informado o tempo de meia vida da substância radioativa: esse é o tempo para que metade da substância radioativa se desintegre. k a). Mostre que as constantes e , de uma mesma substância radioativa, estão relacionados pela expressão: k mt ln 2 m k t = . b) A meia-vida de uma substância radioativa é um ano. Quanto tempo levará para que num corpo puro de 10 gramas desse material reste apenas um grama? c) Uma amostra de tório reduz-se a 4 3 de sua quantidade inicial depois de 33.600 anos. Qual é a meia-vida do tório? 40. Lei de resfriamento de Newton: essa lei afirma que em um ambiente com temperatura constante, a temperatura de um objeto no instante t varia de acordo com a expressão: , sendo ( )T t ( ) ktT t A Ce−− = A a temperatura do meio, C a diferença de temperatura entre o objeto e o meio no instante e uma constante positiva. 0=t k a) Num certo dia, a temperatura ambiente é de 30 graus. A água que fervia numa panela, 5 minutos depois de apagado o fogo tem a temperatura de 65 graus. Quanto tempo depois de apagado o fogo a água atingirá a temperatura de 38 graus? b) O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da polícia chegou às 23:30 h e imediatamente tomou a temperatura do cadáver que era de 34,8 graus. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1 graus. A temperatura do quarto era mantida constante a 20 graus. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em se deu a morte. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5 graus. Respostas: 39) b) 3,310log 2ln 10ln 2 ≈= anos. c ) 5,956.80 3 4ln 2ln600.33 ≈ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛× anos. 40) a) .min6,15 2ln 4 35ln5 ≈ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ b) 24,2 1,14 8,14ln 8,14 5,16ln ≈ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ horas antes das 23:30 h, ou seja, aproximadamente às 21:15 h. 8 41. Utilizando um teodolito e uma trena um topógrafo fez as medidas de ângulos e distâncias indicadas na figura ao lado. Calcule a altura da torre indicada nessa figura. 42. Para saber o comprimento de uma ponte que será construída sobre um rio, um engenheiro instalou o teodolito no ponto B a uma distância de 30 metros do ponto A, situado na margem do rio. Depois, mediu os ângulos e , conforme a figura. Com base nas medidas feitas pelo engenheiro, determine o comprimento AC da ponte. o105CAˆB = o30ABˆC = Respostas: 41) ( ) ( )( ) ( ) m7,957,12,8723tg35tg 35tg23tg oo oo ≈+×− . 42) .m215 - Ca´lculo 1: Lista de exerc´ıcios extra 1 - 1. Resolver as inequac¸o˜es: (a) x(x− 1) > 0 {x ∈ R/x < 0 ou x > 1}; (b) (x− 1)(x+ 2) < 0 {x ∈ R/− 2 < x < 1}; (c) x2 − 2 ≥ x {x ∈ R/x ≤ −1 ou x ≥ 2}; (d) x2(x− 1) ≥ 0 {x ∈ R/x = 0 ou x ≥ 1}; (e) x2 + 2x+ 4 > 0 R; (f) x4 < x2 {x ∈ R/− 1 < x < 1 e x 6= 0}; (g) x3 + 1 < x2 + x {x ∈ R/x < −1}. 2. Determine os valores de x para os quais cada uma das expresso˜es seguintes sa˜o nu´meros reais:(a) √ 4− x2 {x ∈ R/− 2 ≤ x ≤ 2}; (b) √ x2 − 9 {x ∈ R/x ≤ −3 ou x ≥ 3}; (c) 1√ 4−3x {x ∈ R/x < 4/3}; (d) 1√ x2−x−12 {x ∈ R/x < −3 ou x > 4}. 3. Determine os valores de x para os quais cada uma das expresso˜es seguintes e´ positiva: (a) x x2+4 R∗+; (b) x x2−4 {x ∈ R/− 2 < x < 0 ou x > 2}; (c) x+1 x−3 {x ∈ R/x < −1 ou x > 3}; (d) x 2−1 x2−3x {x ∈ R/x < −1 ou 0 < x < 1 ou x > 3}. 4. Determine os valores de x que satisfazem: (a) |x| = 5 x = ±5; (b) |x+ 4| = 3 x = −1 ou x = −7; (c) |x− 2| = 4 x = −2 ou x = 6; (d) |x+ 1| = |x− 2| x = 1/2; (e) |x+ 1| = |2x− 2| x = 3 ou x = 1/3; (f) |x− 3| ≤ 5 {x ∈ R/− 2 ≤ x ≤ 8}. (g) |x+ 4| ≥ 1 {x ∈ R/x > −3 ou x < −5}. 1 5. Usando valor absoluto, escreva expresso˜es para os seguintes conjuntos: (a) o conjunto dos pontos cuja distaˆncia a 1 e´ menor do que ou igual a 4 |x− 1| ≤ 4; (b) o conjunto dos pontos cuja distaˆncia a -5 e´ menor do que 2 |x+ 5| < 2; (c) o conjunto dos pontos cuja distaˆncia a 6 e´ maior do que 3 |x− 6| > 3. 6. Mostre que os dois conjuntos abaixo sa˜o iguais e os escreva na forma de intervalos: A = {x : x < 4} e B = {x : |x− 2| < |x− 6|}. B = {x : x2 − 4x+ 4 < x2 − 12x+ 36} = {x : 8x < 32} = {x : x < 4} = A A = B = (−∞, 4) 7. Encontre o domı´nio das seguintes func¸o˜es: (a) 1 x2+4 R; (b) √ (x− 1)(x+ 2) {x ∈ R/x ≤ −2 ou x ≥ 1}; (c) √ 3− 2x− x2 {x ∈ R/− 3 ≤ x ≤ 1}; (d) √ 3x−4 x+2 {x ∈ R/x < −2 ou x ≥ 4/3}. 8. Se f(x) = 4x− 3, mostre que f(2x) = 2f(x) + 3. 9. Quais os domı´nios de f(x) = 1 x−8 e g(x) = x 3? Determine o domı´nio de h(x) = f(g(x)). D(f) = R− {8}, D(g) = R e D(h) = R− {2} 10. Se f(x) = 1− x, mostre que f(f(x)) = x. 11. Se f(x) = ax+b x−a , mostre que f(f(x)) = x. 12. Se f(x) = ax, mostre que f(x) + f(1 − x) = f(1). Verifique tambe´m que f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2), para todos x1, x2 ∈ R. 13. Caracterize as seguintes func¸o˜es como sobrejetora, injetora, bijetora, ou nenhuma delas: (a) f : R→ R, f(x) = 3x+ 5 bijetora; (b) g : R→ R, g(x) = x2 − 9 nenhuma delas; (c) h : A→ A, h(x) = x2 + 4, A = {x ∈ R/x ≥ 4} injetora; (d) ϕ : {x ∈ R/x ≥ 0} → R, ϕ(x) = 5 3 x2 injetora. 14. Determine se as seguintes func¸o˜es sa˜o pares, ı´mpares ou nenhuma delas: (a) f(x) = 2x5 + 3x2 nenhuma delas; (b) g(x) = 3− x2 + 2x4 par; (c) h(x) = 1− x nenhuma delas; (d) ϕ(x) = x+ x3 ı´mpar. 2 15. Suponha f(x) uma func¸a˜o ı´mpar e g(x) uma func¸a˜o par. (a) Podemos falar algo sobre a paridade de Q(x) = f(x) g(x) e P (x) = f(x)g(x)? (b) Sabendo que sen(x) e´ func¸a˜o ı´mpar e cos(x) e´ par, o que podemos falar sobre tg(x)? Resposta: Todas I´mpares. 16. Resolva as seguintes equac¸o˜es: Respostas (a) 2x = 16 {4} (b) 4x = ( 1 2 )x2−x {−1, 0} (c) (3x)x+3 = 9x+6 {3,−4} (d) 2.5x + 3.5x+1 = 17 {0} (e) 2.6x + 3.6x−1 − 4.6x−1 = 11 {1} (f) 9|x| − 4.3|x| + 3 = 0 {−1, 0, 1} 17. Resolva as inequac¸o˜es: Respostas (a) 73x−2 < 49 S = {x ∈ R|x < 4 3 } (b) 8 x 3 + 2 3 ≤ 32x−2 S = {x ∈ R|x ≥ 3} (c) ( 5 3 )x2+10 ≥ (5 3 )7x S = {x ∈ R|x ≤ 2 ou x ≥ 5} (d) 3 √ 2x+1 < 16 S = {x ∈ R|x < 11} 18. Dadas as func¸o˜es f(x) = ( 1 3 )x2+7 e g(x) = ( 1 3 )5x+1 , determine x real de modo que se tenha: Respostas (a) f(x) = g(x) x = 2 ou x = 3 (b) f(x) > g(x) 2 < x < 3 19. Resolva o seguinte sistema { 8x.4y = 1 4 4x.2−y = 2. Resposta: x = 0, y = −1 20. Dado o sistema { 5x−y = 1 125 3x+y = 243. , calcule o valor de (xy)3. Resposta: 64 21. Resolva a equac¸a˜o ((1024x)x)x = 21,25 Resposta: {1 2 } 22. Seja f(x) = 3x− 9x 4 uma func¸a˜o de varia´vel real. Determine o conjunto que conte´m todos os valores reais de x para os quais f(x) = f(x− 1). Resposta: S = {1} 23. Resolva o seguinte sistema { 2x + 3y = 11 2x − 3y = 5. Resposta: x = 3, y = 1 24. Uma populac¸a˜o de bacte´rias no instante t e´ dada pela func¸a˜o f(t) = C.4kt, em que t e´ dado em minutos. Experimentalmente, verifica-se que e a populac¸a˜o depois de 1 minuto era de 64 bacte´rias e depois de 3 minutos, de 256. Determine a populac¸a˜o inicial (isto e´, quando t = 0). Resposta: 32 3 25. Utilize deslocamento para fazer um esboc¸o do gra´fico das seguintes func¸o˜es e determine o domı´nio das mesmas: a) f(x) = ex−2 + 1 b) f(x) = ln(x− 1) c) f(x) = ex+1 − 2 d) f(x) = ln(x+2)− 3 e) f(x) = |lnx− 1| f) f(x) = |lnx| − 1 g) f(x) = |ln(x+2)− 3| 26. Determine o domı´nio das func¸o˜es a) f(x) = log4 ( x− 1 2 ) b) y = log6−x(x 2 − 7x+ 12) R: a) (1 2 ,+∞) b) (3, 4) 27. Resolva as seguintes inequac¸o˜es: a) log3 ( x 3 − 1 2 ) ≥ −2 b) log4(x+ 3) + log4(x− 9) > 3 c) log5 x > log25(2x+ 35) R: a) [11 6 ,+∞) b) (13,+∞) c) (7,+∞) 28. Determine os valores (x, y) que sa˜o soluc¸o˜es do sistema { 3x+y = 81 log3 x+ log3 y = 1. R: (1, 3) ou (3, 1) 29. Determine o intervalo em que a func¸a˜o f(x) = √ log2 ( log 1 2 x ) esta´ definida. R: (0, 1/2) 30. Resolva log10 x+ 2. logx 10 = 3 R: {10, 100} 31. Sejam a e b nu´meros reais positivos, tais que 1 2 log2 a− 2 log2 b = 2. Determine o valor da raza˜o √ a b2 R: 1 32. Determine o conjunto das soluc¸o˜es da equac¸a˜o log2(x 2 − 1) = logx2−1 2 R: {x ∈ R/x = ±√3 ou x = ±3/2} 33. E´ dada a func¸a˜o f definida por f(x) = log2 x− log4(x− 3) (a) Determine os valores de x para os quais f(x) ≤ 2 R: ∅ (b) Determine os valores de x para os quais f(x) > 2 R: (3,+∞) 34. Resolva a equac¸a˜o log3 x = 1 + logx 9. R: {1/3, 9} 35. Se log2(2− √ 2) = a, qual sera´ o valor de log2(2 + √ 2). (DICA: analise o produto (2−√2)(2 +√2)) R: 1− a 36. Resolva a equac¸a˜o 10loga(x 2−3x+2) = 6loga 10, em que a = 10. R: {−1, 4} 37. Converta para radianos: a) 900 b) 3000 c) 1350 d) 2400 e) 2600 R: a) pi/2 b) 5pi/3 c) 3pi/4 d) 4pi/3 e) 13pi/9 38. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico das seguintes func¸o˜es: a) f(x) = sen(−x) b) f(x) = cos(−x) c) f(x) = cos(x+ pi) d) f(x) = tg(x− pi 2 ) 39. Determine para quais valores reais de p existe x tal que: a) senx = 7p+3 5 b) senx = p 2−10p+12 12 c) senx = 1 1−p d) senx = |p− 1| e) senx = 8−5pp−3 R: a) [−8/7, 2/7] b) [0, 4] ∪ [6, 10] c) (−∞, 0] ∪ [2,+∞) d) [0, 2] e) [5/4, 11/6] 4 40. Determine a) cos (pi 2 − x), sendo que senx = 2 3 b) sen(pi 2 − x), sendo que cos x = 1 5 R: a) 2/3 b) 1/5 41. Determine o domı´nio de f(x) = tg(− x 3 ). R: {x ∈ R/x 6= 3 2 (2n+ 1)pi, n = 0, 1, 2, · · ·} 42. Na func¸a˜o f(x) = tg(mx), determine o valor de m tal que o per´ıodo da func¸a˜o seja pi. R: m = 1 43. Determine o que se pede em cada caso: (a) cotgx, sendo senx = − √ 3 2 e cos = 1 2 ; R: −1/√3 (b) tgx, sendo cotgx = 3; R: 1/3 (c) secx, sendo cosx = 2 3 ; R: 3/2 (d) cosx, sendo secx = −5; R: −1/5 (e) secx, sendo cosx = − √ 5 3 ; R: −3/√5 (f) cosx, sendo secx = √ 7; R: 1/ √ 7 (g) cossecx, sendo senx = − √ 7 8 ; R: −8/√7 (h) senx, sendo cossecx = −10. R: −1/10 44. Determine o valor de m, e qual o quadrante do arco x, de modo que se tenha: a) senx = m+1 3 e cos x = m √ 5 3 R: m = 1, I b) cos x = √ 7m 2 e senx = −3m 2 R: m = ±1/2, II ou IV 45. Verifique as seguintes identidades: (a)secx+ cotgx = (cscx)(cosx+ tgx) (b)sec2x+ csc2x = sec2x.csc2x (c)sen2(x) = 1−cos(2x) 2 (d) cos2(x) = 1+cos(2x) 2 46. Determine o per´ıodo das seguintes func¸o˜es e esboce seus gra´ficos: a) f(x) = sen(7x) b) f(x) = cos(x 4 ) c) f(x) = tg(pix) R: a) T = 2pi/7 b) T = 8pi c) T = 1 47. Verifique as seguintes igualdades: (a)senx = sen(pi − x) (b) cos x = − cos(pi − x) (c)tgx = −tg(pi − x) (d)cotgx = −cotg(pi − x) (e)secx = −sec(pi − x) (f)cossecx = cossec(pi − x) 48. Verifique a paridade das seguintes func¸o˜es: a) f(x) = xn em que n ∈ N b) f(x) = tgx c) secx R: a) par, se n par e ı´mpar se n ı´mpar b) ı´mpar c) par 49. Mostre que tg(2a) = 2tga 1−tg2a, com a 6= pi4 + kpi. 50. Resolva a equac¸a˜o sen2x− 7senx = −6. R: x = pi 2 ± 2npi, n = 0, 1, 2, · · · 5 SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Em cada situação verifique se o limite existe. Caso exista calcule-o. a) 2 2lim 2 2 2 −− − → xx xx x b) 3 |3|lim 3 − − → x x x c) d) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥− <≤− −<− = −→ 1)1( 11 12 )(queem),(lim 21 xsex xsex xsex xfxf x x x x 24lim 0 −+ → 2. Calcule h xfhxf h )()( lim oo 0 −+ → em cada caso a seguir: a) f(x) = x3 b) f(x) = a x2 + bx + c c) f(x) = x 3. Calcule os limites indicados: a) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ → x x x 1senlim 0 b) )103cos 1 1sen()1(lim 3 1 +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−→ xxxx c) x x x senlim∞→ d) 43 5942lim 3 23 −+ +−+− −∞→ xx xxx x e) 43 594lim 3 24 −+ +−+ −∞→ xx xxx x f) 43 5942lim 4 23 −+ +−+− →∞ xx xxx x g) 5 7lim 5 −+→ xx h) )ln(lim 0 x x − −→ i) )ln(lim x x −−∞→ j) 532 1lim 1 −+ − → x x x k) t t t − − → 3 9lim 9 l) 0 1lim x 1x x→ + − m) 6 3 9lim 1x x x x→∞ − + n) 6 3 9lim 1x x x x→−∞ − + o) 0 cos( )lim x x x+→ p) )cossen10(lim 2 1 0 xxe x x +− +→ 4. Se existe o , então = f(5)? Comente sobre sua resposta. )(lim 5 xf x→ )(lim 5 xf x→ 5. Determine constantes a, b e L para que a função abaixo seja contínua em IR. ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ >+ = <− ++ = 14 1 1 1 3 )( 2 xparaxb xparaL xpara x axx xf . 6. Mostre que a equação possui pelo menos duas raízes reais. 014 =−+ xx 7. Existe um número a tal que 2 22 3lim 2x x ax a x x→− 3+ + + + − exista? Caso afirmativo, encontre e o valor do limite. a 8. Encontre todos os valores de a para os quais a função y = f(x) a seguir é contínua para todos os valores de x: . ⎩⎨ ⎧ > ≤+= axparax axparax xf 2 1 )( 9. Determine os valores de e b tais que a 3 13 42lim 2 23 −=+− +++ ∞→ xx xxbxa x . 10. A figura abaixo mostra um ponto P sobre a parábola e o ponto Q dado pela interseção da mediatriz do segmento OP com o eixo y. À medida que P tende ao vértice da parábola, o que acontece com o ponto Q ? Ele tem uma posição limite? Se sim, encontre-a. 2xy = Respostas: 1 ) a ) 3 2 . b ) não existe; mas os limites laterais são:1, quando e -1 quando . c ) não existe; mas os limites laterais são:-1, quando e 3 quando . d ) +→ 3x −→ 3x +−→ 1x −−→ 1x 4 1 . 2 ) a ) . b ) . c ) 2o3x bxa +o2 o2 1 x . 3 ) a ) 0. b ) 0. c ) 0. d ) -2. e ) ∞− . f ) 0. g ) ∞ . h ) ∞− . i ) ∞ . j ) 2 5 . k ) 6. l ) 2 1 . m ) 3. n ) -3. o ) . p ) 0. ∞ 5 ) .2;6;4 −=−=−= Lba 7 ) ;15=a o limite é igual a -1. 8 ) . 2 51±=a 9 ) .3;0 −== ba 10 ) . 2 1,0 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛→Q Um breve resumo das aulas encontra-se em www.mat.ufmg.br/calculoI , no link Turmas Especiais de CálculoI, no Cronograma. - Ca´lculo 1 - Limites - 1. Calcule, se existirem, os seguintes limites: (a) lim x→1 (x3 − 3); (h) lim x→ 32 √ 8t3 − 27 4t2 − 9 ; (b) lim x→2 √ x4 − 8; (i) lim x→3 2x3 − 5x2 − 2x− 3 4x3 − 13x2 + 4x− 3 ; (c) lim x→2 √ x3 + 2x+ 3 x2 + 5 ; (j) lim y→−3 √ y2 − 9 2y2 + 7y + 3 ; (d) lim x→−3 x2 − 9 x+ 3 ; (k) lim h→5 h√ 5 + h−√5 ; (e) lim x→ 13 3x2 − x 3x− 1 ; (l) limh→0 √ 3 + 3h−√3 h ; (f) lim x→3 x3 − 27 x− 3 ; (m) limx→2 x4 − 16 x− 2 ; (g) lim x→0 √ x+ 3−√3 x ; (n) lim x→1 x− 1 x2 − 1 . 2. Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de f(x) = |x| se x < 46 se x = 4−4x+ 20 se x > 4 e observe no gra´fico o valor de limx→4 f(x). Ha´ alguma diferenc¸a entre lim x→4 f(x) e f(4)? 3. Seja f a func¸a˜o definida por f(x) = { 2x− 1 se x 6= 2 1 se x = 2 (a) Encontre lim x→2 f(x) e verifique que lim x→2 f(x) 6= f(2). (b) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f . 4. Seja f a func¸a˜o definida por f(x) = { x2 − 9 se x 6= −3 4 se x = −3 (a) Encontre lim x→−3 f(x) e verifique que lim x→−3 f(x) 6= f(3) (b) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f . 5. Determine o valor de lim h→0 f(x+ h)− f(x) h quando a) f(x) = x b) f(x) = x2 c) f(x) = x3. 6. Nos ı´tens a seguir, calcule os limites laterais pedidos e verifique se o limite (bilateral) existe. Caso exista deˆ seu valor. (a) f(x) = |x|x , lim x→0+ f(x), lim x→0− f(x), lim x→0 f(x). (b) f(x) = 2 se x < 1−1 se x = 1−3 se x > 1 ; limx→1+ f(x), limx→1− f(x), limx→1 f(x) (c) f(r) = 2r + 3 se r < 12 se r = 1 7− 2r se r > 1 ; lim r→1+ f(r), lim r→1− f(r), lim r→1 f(r) (d) g(x) = 2 + x 2 se x < −2 0 se x = −2 11− x2 se x > −2 ; lim x→−2+ f(x), lim x→−2− f(x), lim x→−2 f(x) 7. Dada f(x) = |x|+xx . Existe limx→0 f(x)? 8. Dada f(x) = |x 2+x| x . Verifique se existem os limites abaixo e, caso existam, determine seus valores: a) lim x→−1 f(x) b) lim x→0 f(x). - Gabarito - 1. Calcule, se existirem, os seguintes limites: (a) lim x→1 (x3 − 3) = −2; (h) lim x→ 32 √ 8t3 − 27 4t2 − 9 = √ 9 2 ; (b) lim x→2 √ x4 − 8 = 2 √ 2; (i) lim x→3 2x3 − 5x2 − 2x− 3 4x3 − 13x2 + 4x− 3 = 11 17 ; (c) lim x→2 √ x3 + 2x+ 3 x2 + 5 = √ 5 3 ; (j) lim y→−3 √ y2 − 9 2y2 + 7y + 3 = √ 6 5 ; (d) lim x→−3 x2 − 9 x+ 3 = −6; (k) lim h→5 h√ 5 + h−√5 = √ 10 + √ 5; (e) lim x→ 13 3x2 − x 3x− 1 = 1 3 ; (l) lim h→0 √ 3 + 3h−√3 h = √ 3 2 ; (f) lim x→3 x3 − 27 x− 3 = 27; (m) limx→2 x4 − 16 x− 2 = 32; (g) lim x→0 √ x+ 3−√3 x = √ 3 6 ; (n) lim x→1 x− 1 x2 − 1 = 1 2 . 2. f(x) = |x| se x < 46 se x = 4−4x+ 20 se x > 4 limx→4 f(x) = 4 6= f(4) = 6 3. f(x) = { 2x− 1 se x 6= 2 1 se x = 2 lim x→2 f(x) = 3 6= f(2) = 1. 4. f(x) = { x2 − 9 se x 6= −3 4 se x = −3 limx→−3 f(x) = 0 6= f(−3) = 4. (a) Figura ex.2 (b) Figura ex.3 (c) Figura ex.4 5. a) 1 b) 2x c) 3x2. 6. (a) lim x→0+ f(x) = 1, lim x→0− f(x) = −1, @ lim x→0 f(x). (b) lim x→1+ f(x) = −3, lim x→1− f(x) = 2, @ lim x→1 f(x) (c) lim r→1+ f(r) = lim r→1− f(r) = 5, lim r→1 f(r) = 5 (d) lim x→−2+ f(x) = 5, lim x→−2− f(x) = 6, @ lim x→−2 f(x) 7. @ lim x→0 f(x), pois lim x→0+ f(x) = 2 e lim x→0− f(x) = 0. 8. a) lim x→−1 f(x) = 0 b) lim x→0+ f(x) = 1, lim x→0− f(x) = −1, @ lim x→0 f(x). - Ca´lculo 1 - Limites - Lista 2 1. Determine, caso existam, os seguintes limites: a) lim x→0+ (3−√x) b) lim x→2+ √ x2 − 4 c) lim x→−5 x− 5 |x− 5| d) limx→5 x− 5 |x− 5| e) lim x→2− 1√ 2− x f) limx→−2 1√ 2− x g) limx→−2 2− x√ x− 2 h) limx→3 √ x−√3 x− 3 i) lim x→9 √ x− 3√ x2 − 9x j) limx→5 1 y − 15 y − 5 k) limx→0+ ( 1 x − 1 x2 ) l) lim x→+∞(x 3 − x2 − x+ 1) m) lim x→−∞(x 3 − x2 − x+ 1) n) lim x→−∞(−2x 6 − x3 − 12x2 + 1) o) lim x→+∞ 2x2 + x+ 1 x3 + 2x2 − 25 p) limx→+∞ x7 + 2x+ 1 5x3 − 2x2 − 900 q) lim x→+∞ 1 1− x r) limx→+∞ 2x2 + x− 21 x3 − 2x2 + 9 s) limx→−∞ √ x2 + 4 x+ 4 t) lim x→−∞( √ x2 + 1− x) u) lim x→+∞( √ x2 + x− x) v) lim x→+∞ x4 − 24 2− x w) limx→2+ ( 1 x− 2 − 3 x2 − 4 ) x) lim x→0+ √ 3 + x2 x y) lim x→0 |x| x2 z) lim x→+∞ √ x2 + 4 x+ 4 α) lim x→−∞ √ x2+ 9 x+ 6 β) lim x→−∞( √ x2 + x− x4) γ) lim x→5 x+ 2 x− 4 δ) limx→2 2x2 − 5x+ 2 5x2 − 7x− 6 �) limt→0 √ a2 + bt− a t ε) lim x→2 z − 4 z2 − 2z − 8 ζ) lim x→0 2 |x| η) limx→−∞ √ 2x2 − 7 x+ 3 θ) lim x→5 1 x − 15 x− 5 ϑ) limx→−∞ 5x2 + 8x− 3 7x3 − 4x− 17 2. Sejam f(x) = { x2 + 3 se x ≤ 1 x+ 1 se x > 1. e g(x) = { x2 se x ≤ 1 2 se x > 1. (a) Existe lim x→1 f(x)? (b) Encontre uma expressa˜o para f(x).g(x) e mostre que existe lim x→1 ( f(x).g(x) ) 3. Considere a func¸a˜o definida por: f(x) = 2x+ 2 , x < 0x2 , 0 ≤ x < 2 1 , x ≥ 2 a) Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o f . b) Determine: lim x→0− f(x) lim x→0+ f(x) lim x→0 f(x) lim x→2− f(x) lim x→2− f(x) lim x→2 f(x) 4. Calcule lim h→0 f(x+ h)− f(x) h , quando: a) f(x) = senx b) f(x) = cosx c) f(x) = 1x . 5. Sabendo-se que lim x→0 senx x = 1 e que cosx = 1− sen2(x2 ), calcule: a) limx→0 sen(2x) 5x b) lim x→0 1− cosx x . 6. Sabendo-se que as desigualdades 1 − x 2 6 < xsen(x) 2− 2cos(x) < 1 valem para todos os valores de x pro´ximos de zero, calcule lim x→0 xsen(x) 2− 2cos(x) . 7. Mostre que se |f(x)| ≤M e lim x→a g(x) = 0 enta˜o limx→a ( f(x).g(x) ) = 0 8. Use o item anterior para mostrar que lim x→+∞ senx x = 0. 9. Encontre as ass´ıntotas verticais e/ou horizontais das seguintes func¸o˜es: (a) f(x) = xx2−9 ; (b) g(x) = 1 x−1 ; (c) h(x) = x+3 x+2 ; (d) ψ(x) = x 4+1 x2 ; (e) φ(x) = x2−x+1 x−1 ; (f) ϕ(x) = x 3 + 3x . 10. Observando o gra´fico das func¸o˜es exponenciais conclua que lim x→+∞ a x = { +∞, se a > 1 0, se 0 < a < 1 e lim x→−∞ a x = { 0, se a > 1 +∞, se 0 < a < 1 11. Calcule os seguintes limites: (a) lim x→+∞ ( 3 2 )x (b) lim x→+∞ ( 1 2 )x (c) lim x→+∞(2 x − 2−x) (d) lim x→−∞(2 x − 2−x) (e) lim x→+∞(2 x − 3x). 12. Seja f(x) = −x− 1 se x ≤ −1x2 − 1 se − 1 < x ≤ 1 2 se x > 1 f e´ cont´ınua em x = 1? Em x = −1? Em x = 2? Em x = −3? 13. Seja f(x) = { 2x+ 3 se x ≤ 4 7 + 16x se x > 4 f e´ cont´ınua em x = 4? 14. Seja f(x) = { 3 x−1 se x 6= 1 3 se x = 1 f e´ cont´ınua em x = 1? 15. Encontre os pontos x, caso existam, nos quais f e´ descont´ınua e deˆ as razo˜es para esta poss´ıvel descontinuidade: (a) f(x) = 3 √ x− 8; (b) f(x) = x+2x2−4 ; (c) f(x) = 1x + x−1 x2−1 (d) f(x) = x 2+9 |x|+3 16. Verifique se as func¸o˜es a seguir sa˜o cont´ınuas nos pontos indicados. Caso na˜o sejam, determine as razo˜es da descontinuidade. (a) f(x) = |x+ 1| − 3 em x = −1; (b) f(x) = xx2−1 em x = −2 e em x = 1; (c) f(x) = { −x− 2 se x 6= 3 −5 se x = 3 em x = 3. 17. Encontre um valor para a constante k, se poss´ıvel, para que a func¸a˜o seja cont´ınua para todo x ∈ R. (a) f(x) = { 7x− 2 se x ≤ 1 kx2 se x > 1 (b) f(x) = { kx2 se x ≤ 2 2x+ k se x > 2 18. Encontre os valores das constantes k e m, se poss´ıvel, que para que seja cont´ınua para todo x ∈ R a func¸a˜o f(x) = x 2 + 5, se x > 2, m(x+ 1) + k, se − 1 < x ≤ 2, 2x3 + x+ 7, se x ≤ −1. 19. Deˆ exemplo de duas func¸o˜es f e g descont´ınuas em um certo ponto x = c tal que f + g seja cont´ınua neste ponto. 20. E´ verdade que uma func¸a˜o cont´ınua que nunca e´ zero em um intervalo nunca muda de sinal nesse intervalo? Justifique sua resposta. 21. Utilize o Teorema do Valor Intermedia´rio para mostrar que a equac¸a˜o x3 + x2 − 2x+ 1 = 0 possui pelo menos uma soluc¸a˜o no intervalo [−1, 1]. 22. Mostre que, se p(x) e´ um polinoˆmio de grau ı´mpar, enta˜o e equac¸a˜o p(x) = 0 possui pelo menos uma soluc¸a˜o real. 23. (Contrac¸a˜o de Lorentz) De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, por exemplo, de um foguete, parece a um observador depender da velocidade com que o objeto se desloca em relac¸a˜o a esse observador. Se ele medir o comprimento L0 do foguete em repouso e em seguida com a velocidade v, o comprimento parecera´ ser L = L0 √ 1− v2c2 , sendo c a velocidade da luz no va´cuo. O que acontece com L a` medida que v aumenta? Calcule lim v→c− L. Por que e´ necessa´rio tomar o limite lateral a` esquerda? - Ca´lculo 1 - Limites - Gabarito Lista 2 1. a) 3 b) 0 c)-1 d)@ e) +∞ f) 12 g) @ h) √ 3 6 i) 0 j)− 125 k) −∞ l) +∞ m) −∞ n) −∞ o) 0+ p)+∞ q) 0− r) 0+ s)-1 t) +∞ u) 12 v) −∞ w) +∞ x) +∞ y) +∞ z) 1 α)− 1 β) −∞ γ) 7 δ) 313 �) b|a|+a ε) 14 ζ) 7 η) − √ 2 θ) − 125 ϑ) 0− 2. (a) Na˜o, pois lim x→1− f(x) = 4 e lim x→1+ f(x) = 2. (b) f(x)g(x) = { x4 + 3x2 se x ≤ 1 2x+ 2 se x > 1. lim x→1 ( f(x).g(x) ) = 4 3. a) b) lim x→0− f(x) = 2 lim x→0+ f(x) = 0 @ lim x→0 f(x) lim x→2− f(x) = 4 lim x→2+ f(x) = 1 @ lim x→2 f(x). 4. a) cosx b) −senx c) f(x) = − 1x2 . 5. a) 2/5 b) 0. 6. lim x→0 xsen(x) 2− 2cos(x) = 1. 7. −Mg(x) ≤ f(x).g(x) ≤ Mg(x) ⇒ lim x→0 −Mg(x) ≤ lim x→0 f(x).g(x) ≤ lim x→0 Mg(x) ⇒ −M lim x→0 g(x) ≤ lim x→0 f(x).g(x) ≤ M lim x→0 g(x)⇒ 0 ≤ lim x→0 f(x).g(x) ≤ 0⇒ lim x→0 f(x).g(x) = 0. 8. |senx| ≤ 1 e lim x→+∞ 1 x = 0⇒ lim x→+∞ senx x = 0 . 9. (a) Ass´ıntotas verticais: x = 3 e x = −3, Ass´ıntota horizontal: y = 0; (b) Ass´ıntota vertical: x = 1, Ass´ıntota horizontal: y = 0; (c) Ass´ıntota vertical: x = −2, Ass´ıntota horizontal: y = 1; (d) Ass´ıntota vertical: x = 0; (e) Ass´ıntota vertical: x = 1; (f) Ass´ıntota vertical: x = 0. 10. lim x→+∞ a x = { +∞, se a > 1 0, se 0 < a < 1 e lim x→−∞ a x = { 0, se a > 1 +∞, se 0 < a < 1 11. (a) +∞ (b) 0 (c) +∞ (d) −∞ (e) −∞ 12. f na˜o e´ cont´ınua em x = 1, pois lim x→1+ f(x) = 2 e lim x→1− f(x) = 0, logo @ lim x→1 f(x). Em x = −1, x = 2 e x = −3 ela e´ cont´ınua, ja´ que lim x→−1 f(x) = f(−1) = 0, lim x→2 f(2) = 2, lim x→−3 f(x) = f(−3) = 2. 13. Sim, pois lim x→4 f(x) = f(4) = 11. 14. Na˜o, pois @ lim x→1 f(x). 15. (a) Cont´ınua em R; (b) Descont´ınua em x = ±2, pois @f(2) e f(−2); (c) Descont´ınua em x = 0 e x = ±1, pois @f(0), f(−1) e f(1); (d) Cont´ınua em R. 16. (a) Cont´ınua em x = −1; (b) Cont´ınua em x = −2 e descont´ınua em x = 1 pois @f(1); (c) Cont´ınua em x = 3. 17. (a) 5 (b) 4/3 18. k = 4 e m = 5/3. 19. f(x) = { 0 se x < 0 1 se x ≥ 0. e g(x) = { 1 se x ≤ 0 0 se x > 0. 20. Sim, pois, pelo teorema do valor intermedia´rio, se ela mudasse de sinal enta˜o o zero deveria ser tambe´m imagem da func¸a˜o. 21. f(x) = x3−x2− 2x+1 = 0⇒ f(1) = −1 e f(−1) = 1, logo, pelo Teorema do Valor Intermedia´rio, existe x0 ∈ [−1, 1] tal que f(x0) = 0. 22. Se p(x) e´ um polinoˆmio de grau ı´mpar, enta˜o vai sempre existir um x0 ∈ R para o qual p(x0) e p(−x0) teˆm sinais opostos. Logo, pelo Teorema do Valor Intermedia´rio, existe c ∈ [−x0, x0] tal que p(c) = 0. 23. A` medida que v aumenta L diminui. lim v→c− L = 0. O limite lateral a` esquerda e´ necessa´rio ja´ que a func¸a˜o na˜o esta´ definida para v > c. As listas de exercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços: www.mat.ufmg.br/calculoI ou na pasta J18, no xerox (sala1036) TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Derive: a) y = 3x6 + 9x – 3 b) y = 9 5− x c) x xy 9107 6 −= d) xx xxy 4 7 2 5+= 2. Calcule ( ) h h h 66 0 99lim −+→ . 3. Calcule o h h h cos1lim 0 − → . 4. Calcule 3 3lim 20002000 3 − − → x x x . Como esse limite se relaciona com uma derivada? 5. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de xxy −= 3 5 , no ponto de abscissa x = 64. 6. Determine a equação da reta r tangente ao gráfico de y = x2 + 3x + 1 e que é paralela à reta de equação y = 4x + 7. 7. Determine as tangentes horizontais ao gráficode 56 2 5 3 23 ++−= xxxy . 8. Mostre que a reta de equação y = −x é tangente à curva de equação y = x3 − 6x2 + 8x. Encontre o ponto de tangência. Respostas: 1) a) .918 5 += x dx dy b) . 9 5 9 14 x dx dy −= c) . 2 9 7 60 37 xxdx dy += d) . 2 45 7 9 11 7 2 x x dx dy −= 2) . 3) 0. 596× 4) Esse limite é igual a 19993 2000 32000×==xdx dx . 5) 3 2060 48 1277 −= xy . 6) . 4 34 += xy 7) 3 29=y em 2=x e 2 19=y em 3=x . 8) . ( )3,3 − 9. Considere a função dada por . a) Encontre uma relação entre a, b e c para que f seja contínua em x = 1. b) Determine os valores de a, b e c para que f seja derivável em x = 1. ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >++ = <− = 1 12 13 )( 2 xsecbxx xse xseax xf 10. Derive: a) y = e–2x+5 b) y = xcos 1 . c) . Qual é o domínio dessa função? Qual é o domínio da derivada y’? ))(ln(sen xy −= d) e) 74 )935( −+−= xxy )721(e 323 4 ++−= + x x xy x f) g) h) y = ln(−x) i) j) k ) y = ln(cosx) 9542 )324()13( +++−= xxxxy xxey −= ( )( xy senlntge= ) xy lne= 11. Mostre que h(t) = | t − 3| não é derivável em t = 3. 12. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ) 2 3cos() 2 (sen xxy π+π= no ponto de abscissa x = 1. 13. Seja 3 2 )(2)( x xhxxf += . Se h é derivável, h(1) = −2 e h’(1) = 10, calcule f’(1). 14. Suponha que h(x) seja uma função derivável e que f(x) = h(x5). Determine f’(x). 15. Em cada caso, verifique se a derivada existe. Em caso afirmativo escreva a expressão de f’(x). a) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = 00 01sen )( xse xse x x xf b) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = 00 01sen )( 2 xse xse x x xf Respostas: 9) a ) .1;1 =+= cba b ) .4;3;1 =−== cba 10) a) .e2 52 +−−= x dx dy b ) xx x x dx dy tgsec cos sen 2 == . c) ( )( ) x x dx dy −= lncos , para x<0. d) ( ) ( .3209357 364 +−−+−= xxx dx dy ) e) .128424912e 2 342623 4 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++++−= + x xxxx dx dy x f) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) .13324220932413324 428549532 +−+++++++−−= xxxxxxxxxx dx dy g) ( ) .e1 xx dx dy −−= h) .1 xdx dy = i ) ( ) ( )( ) ( )( )xxxg dx dy senlntg2 esenlnseccot= j) .1= dx dy k) .tg x dx dy −= 12) 2 23 2 3 −π−π= xy . 13) 6. 14) f’(x) = 5x4h’(x5). 15) a ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=′ xxx xf 1cos11sen se 0≠x . A derivada não existe em . 0=x b ) ( ) 01cos1sen2 ≠⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=′ xse xx xxf e ( ) 00 =′f . 16. Um avião, à velocidade constante de 500 km/h, voa horizontalmente a uma altitude de 2.000 metros e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 4.000 metros da estação. 17. Uma luz situa-se no topo de um poste de 15 m. Um homem com 1,80 m de altura afasta-se desse poste com uma velocidade de 3 m/s. Quando o homem estiver a 40 m do poste, determine: a) a taxa de variação do comprimento de sua sombra. b) a velocidade do topo de sua sombra. 18. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para oeste a 25 km/h. A que taxa está aumentando a distância entre os carros duas horas depois da partida? 19. A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto sua área cresce a uma taxa de 2 cm2/min. A que taxa estará variando a base desse triângulo quando sua altura for 10 cm e sua área 100 cm2 ? 20. Ao meio-dia, um navio A está 100 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o sul a 35 km/h, e o navio B está indo para o norte a 25 km/h. Quão rápido estará variando a distância entre eles às 4 horas da tarde? 21. O volume de um cubo está aumentando à taxa de 2 cm3 por segundo. Com que taxa estará variando a área de uma de suas faces quando sua aresta tiver 20 cm? 22. Uma partícula está se movendo ao longo do gráfico da função ( )f x = x . Quando a partícula passa pelo ponto (4 , 2), sua coordenada está crescendo a taxa de 3 cm/s. Quão rápido está variando a distância dessa partícula à origem, nesse instante? x 23. Um papagaio (pipa) a 100 metros acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de 3 metros por segundo. A que taxa estará decrescendo o ângulo entre a linha e a horizontal depois de terem sido soltos 200 metros de linha? 24. Dois lados de um triângulo medem 4 m e 5 m, e o ângulo entre eles está crescendo a uma taxa de 0,06 radianos por segundo. a) Encontre a taxa segundo a qual estará variando o comprimento do terceiro lado desse triângulo quando o ângulo entre os lados de comprimento fixo for / 3π . b) Encontre a taxa segundo a qual a área desse triângulo estará crescendo quando o ângulo entre os lados de comprimento fixo for / 3π . 25. Um farol está localizado em uma ilha, e a distância entre ele e o ponto mais próximo P em uma praia reta no continente é de 3 km. Sua luz faz quatro revoluções por minuto. Quão rápido estará se movendo o feixe de luz ao longo da praia quando ele estiver a 1 km do ponto P? Respostas: 16) 3250 km/h. 17) a ) 22 9 m/s; b ) 22 75 m/s. 18) 65 km/h. 19) -1,6 cm/min. 20) 13 720 km/h. 21) 15 1 cm2/s. 22) 54 27 cm/s. 23) R ) 400 3− rad/s. 24) a ) 7 6,0 m/s; b ) 0,3 m2/s. 25) π 3 80 km/min. 26. Um velocista corre em uma pista circular de raio 100 m, a uma velocidade constante de 7 m/s. Seu amigo está em pé a uma distância de 200 m do centro da pista. Quão rápido estará variando a distância entre eles quando a distância entre eles for de 200 m? 27. Encontre os pontos P e Q, sobre a parábola 21y x= − , de forma que o triângulo ABC formado pelo eixo x e pelas retas tangentes a parábola em P e Q seja eqüilátero. 28. A figura mostra um círculo de raio 1 inscrito na parábola de equação . Determine as coordenadas do centro desse círculo. 2y x= Respostas: 26) 4 157− m/s. 27) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−= 4 1, 2 3P e ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 4 1, 2 3Q . 28) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 4 5,0 . 29. A figura mostra uma roda giratória de 40 cm de raio e uma barra de conexão AP de comprimento fixo 1,2 m. O pino P pode escorregar para frente e para trás ao longo do eixo x à medida que a roda gira no sentido anti-horário a uma taxa de 360 revoluções por minuto. Encontre uma expressão para a velocidade do pino P em termos do ângulo θ, indicado na figura. 30. Um bote é puxado em direção ao ancoradouro por uma corda que está atada à sua proa e que passa por uma polia sobre o ancoradouro, que está 1 m mais alto do que a proa desse bote. Se a corda for puxada a uma taxa de 1 m/s, quão rápido o bote aproxima-se do ancoradouro, quando ele estiver a 8 m dele? 31. A curva seguinte é a representação geométrica da equação . 232 2xxy += -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 Ache a equação da reta tangente a essa curva no ponto ( )1,1− . Respostas: 29) 8cos sen8coscos 288 2 2 +θ θ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +θ+θ −= dt dx m/s. 30) 8 65 m/s. 31) . 2 1 2 +−= xy - Ca´lculo 1: Lista de exerc´ıcios - Taxas Relacionadas 1. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 16 m e uma base comraio de 4 m. A a´gua esta´ fluindo dentro do tanque a uma vaza˜o de 2 m3/min. Qua˜o ra´pido se elevara´ o n´ıvel de a´gua quando a a´gua estiver com 5 m de profundidade? R: 32/(25pi)m/min 2. Um tanque de a´gua tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m. Se a´gua esta´ sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2 m3/min, encontre a taxa na qual o n´ıvel de a´gua esta´ elevando quando a a´gua esta´ a 3 m de profundidade. R: 8/(9pi)m/min 3. Uma escada de 3 m de comprimento esta´ apoiada em uma parede. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 m/s, qua˜o ra´pido o topo da escada escorrega para baixo quando a base esta´ a 1 m da parede? R: −√2/4m/s 4. Um homem anda a 1 m/s e um holofote o acompanha a 10 m do caminho. A que taxa o holofote esta´ girando quando o homem esta´ a 15 m do ponto mais pro´ximo da luz? R: 2/65rad/s 5. A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de ga´s esta´ a uma temperatura constante, a pressa˜o P e o volume V satisfazem a equac¸a˜o PV = C, em que C e´ uma constante. Suponha que em um certo instante o volume e´ 600 m3, a pressa˜o e´ 150 kPa e a pressa˜o cresce a uma taxa de 20 kPa/min. A que taxa esta´ decrescendo o volume nesse instante? R: −80m3/min 6. Quando o ar expande adiabaticamente (sem troca de energia te´rmica), sua pressa˜o P e o volume V esta˜o relacionados pela equac¸a˜o PV 1,4 = C, em que C e´ uma constante. Suponha que em um certo instante o volume e´ 400 cm3, a pressa˜o e´ 80 kPa e a pressa˜o cresce a uma taxa de 10 kPa/min. A que taxa esta´ decrescendo o volume nesse instante? R: −35, 7cm3/min 7. Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um c´ırculo. Se o raio da queimadura esta´ decrescendo a uma taxa de 0,05 cm por dia quando ele e´ 1 cm, qual a taxa de decre´scimo da a´rea da queimadura nesse instante? R: −pi/10cm2/dia 8. Suponha que numa farma´cia P seja o prec¸o da caixa de um determinado reme´dio, x o nu´mero de milhares de caixas desse reme´dio ofertadas diariamente, sendo a equac¸a˜o de oferta Px − 20P − 3x + 105 = 0. Se a oferta dia´ria esta´ decrescendo a uma taxa de 250 caixas do reme´dio por dia, em que taxa os prec¸os esta˜o variando quando a oferta dia´ria e´ de 5000 caixas? R: −0, 05reais/dia 9. O carro A esta´ indo para o oeste a 50 Km/h e o carro B esta´ indo para norte a 60 Km/h. Ambos esta˜o dirigindo para a intersec¸a˜o de duas ruas. A que taxa os carros esta˜o se aproximando um do outro quando o carro A esta´ a 0,3 Km e o carro B esta´ a 0,4 Km da intersec¸a˜o? R: Os carros se aproximam um do outro a uma taxa de 78Km/h. 10. Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a` raza˜o de 6 cm/s. Determine a taxa de variac¸a˜o da a´rea do quadrado no instante em o lado mec¸a 10 cm. R: 120cm2/s 11. O raio de uma bola cresce a` raza˜o 3 cm/s. Determine a taxa de variac¸a˜o do volume da bola no instante em que o raio e´ 8 cm. R: 768picm3/s 12. Uma escada de 5 m de comprimento se apo´ia em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada se afasta da parede a uma raza˜o de 0,8 m/s. Qua˜o rapidamente esta´ descendo a extremidade superior da escada no instante em que a extremidade inferior estiver a 3 m da parede? R: -0,6 m/s 13. Um homem anda ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de 2 m/s. Um farol girato´rio que esta´ a 6 m da estrada focaliza o homem. A que taxa o farol esta´ girando, quando o homem estiver a 4 m do ponto do caminho mais pro´ximo do farol? R: 3/13 rad/s 14. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para oeste a 25 km/h. A que taxa esta´ aumentando a distaˆncia entre os carros duas horas depois da partida? R: 65m/s 15. O volume de um cubo esta´ aumentando a` taxa de 2 cm3 por segundo. Com que taxa estara´ variando a a´rea de uma de suas faces quando sua aresta tiver 20 cm? R: 15cm2/s 1 - Ca´lculo 1: Lista de exerc´ıcios 4 - Derivadas 1. Para cada func¸a˜o f dada, calcule a derivada indicada: (a) f(x) = −6x5 + 3x4 − 5x− 2, d25ydx25 ; (b) f(x) = senx, d 37y dx37 ; (c) f(x) = 1x , dny dxn ; 2. Determine a derivada de ordem n de y = lnx. 3. Derive: (a) y = arctan(arcsenx); (b) y = ln(secx+ tgx); (c) y = xx; (d) y = arcsen( √ 1− x2); (e) y = arcsen(e2x − 1). 4. Determine para quais valores de x cada func¸a˜o a seguir esta´ definida: a) y = arcsen(2x+ 1) b) y = arccos(ex5) c) y = arctg(3x+ 2) 5. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de cada func¸a˜o a seguir: a) y = 3x4 − 16x3 + 18x2 b) y = x3 − 3x2 + 1. 6. Determine os pontos cr´ıticos de cada func¸a˜o a seguir: a) y = x3 + x2 − x b) f(x) = x+1x2+x+1 c) y = x2/3 d) y = x2/5 7. Determine, se existirem, os valores ma´ximos e mı´nimos de cada func¸a˜o a seguir, no intervalo indicado: a) y = x3 − 3x+ 1, [0, 3] b) y = (x2 − 1)3, [−1, 2] c) g(t) = t√4− t2, [−1, 2] d) y = x− 2senx, [−pi2 , pi2 ], e) y = ex−e−x2 , (−∞,+∞) f) y = x3 − 3x+ 1, na reta. Respostas: 1. (a) d 25y dx25 = 0; (b) d37y dx37 = cosx, (c) dny dxn = (−1)nn! xn+1 2. d n ln x dxn = (−1)n−1(n−1)! xn 3. (a) y′ = 1 (1+arcsen2x) √ 1−x2 ; (b) y′ = secx; (c) y′ = xx(1 + lnx); (d) y′ = − x|x|√1−x2 (e) y′ = 2e 2x√ 1−(e2x−1)2 4. (a) − 1 ≤ x ≤ 0; (b) ln 4 ≤ x ≤ ln 6, (c) −∞ < x < +∞ 5. (a) Cresce para 0 < x < 1 e 3 < x < +∞, decresce para −∞ < x < 0 e 1 < x < 3. (b) Cresce para −∞ < x < 0 e 2 < x < +∞, decresce para 0 < x < 2. 6. (a) x = −1 e x = 1/3; (b) x = −2 e x = 0; (c) x = 0; (d) x = 0. 7. (a) Ma´ximo: y = 19 em x = 3; Mı´nimo: y = −1 em x = 1; (b) Ma´ximo: y = 27 em x = 2; Mı´nimo: y = −1 em x = 0; (c) Ma´ximo: g = 2 em t = √ 2; Mı´nimo: g = −√3 em t = −1; (d) Ma´ximo: y = √ 3− pi3 em x = −pi3 ; Mı´nimo: y = − √ 3 + pi3 em x = pi 3 ; (e) Na˜o tem ma´ximo nem mı´nimo em −∞ < x <∞; (f) Na˜o tem ma´ximo nem mı´nimo em −∞ < x <∞. - Ca´lculo 1: Lista de exerc´ıcios 5 - Regra de L’Hospital e Construc¸a˜o de Gra´ficos 1. Calcule os limites: a) lim x→0+ ln x x b) lim x→0 senx− x x3 c) lim x→+∞ (lnx)2 x d) lim x→+∞ x tan ( 1 x ) e) lim x→pi/2 tanx tan(3x) f) lim x→0 tan(px) tan(qx) , q 6= 0 g) lim x→+∞ x3e−x 2 h) lim x→0+ √ x ln x i) lim x→−∞ x2ex j) lim x→0+ senx ln x k) lim x→0 sen(4x) 2x+ 3 l) lim x→+∞ x− ln x m) lim x→+∞ √ x2 + x− x n) lim x→0 x+ tanx senx o) lim x→0 ( 1 x − 1 senx ) p) lim x→0 x− arctanx x− senx q) limx→−∞ √ x2 + 1 x r) lim x→+∞ ( 1 + a x )bx s) lim x→+∞ ( x x+ 1 )x t) lim x→+∞ (ex + x)1/x u) lim x→+∞ ( 2x− 3 2x+ 5 )2x+1 v) lim x→0+ (x)p/ lnx w) lim x→0+ (cosx)1/x 2 x) lim x→0 (1− 2x)1/x Respostas: a) −∞ b) − 1/6 c) 0 d) 1 e) 3 f) p/q g) 0 h) 0 i) 0 j) 0 k) 0 l) +∞ m) 1/2 n) 2 o) 0 p) 2 q) − 1 r) eab s) 1/e t) e u) e−8 v) ep w) e−1/2 x) e−2 1 2. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es abaixo, indicando, quando existirem, os pontos cr´ıticos, pontos de ma´ximo e mı´nimo locais, pontos de inflexa˜o, ass´ıntotas, intervalos de cresci- mento e decrescimento e a concavidade do gra´fico. a) y = x3 − 3x2 + 5 b) y = 4x3 3 − x4 3 c) y = x 2 x2−4 d) y = 6x 2 1+x2 e) y = 4x x2+1 f) y = 12(1−x) x2 g) y = xe−x h) y = e 2x x i) y = lnx x j) y = x2 ln x k) y = 5x2/3 − x5/3 l) y = x− 3x1/3 2 3 - Ca´lculo 1: Lista de exerc´ıcios - Otimizac¸a˜o 1. Encontre o ponto sobre a resta y = 4x+ 7 que esta´ mais pro´ximo da origem. R: (-28/17,7/17) 2. Se r(x) e´ a receita proveniente da venda de x ı´tens, c(x) e´ o custo da produc¸a˜o de x ı´tens e p(x) = r(x)−c(x) e´ o lucro sobre a venda de x ı´tens, enta˜o, o retorno (receita), o custo e o lucro marginais provenientes desse n´ıvel de produc¸a˜o (x ı´tens)sa˜o dados, respectivamente por drdx , dc dx , dp dx . Suponha que r(x) = 9x, c(x) = x 3 − 6x2 + 15x, em que x representa milhares de unidades. Ha´ um n´ıvel de produc¸a˜o que maximize o lucro? Se houver, qual e´? Ha´ um n´ıvel de produc¸a˜o que minimize o custo? R: Sim: x = 2 + √ 2 mil unidades ou x = 2−√2 mil unidades. Na˜o. 3. Calcule a quantidade de medicamento a` qual o organismo e´ mais sens´ıvel determinando o valor de M 6= 0 que maximiza a derivada dR/dM , sendo R = M2 ( C 2 − M 3 ) e C uma constante. R: M = C/2 4. Quando tossimos, a traque´ia se contrai e aumenta a velocidade do ar que passa. Isso levanta questo˜es sobre o quanto deveria se contrair para maximizar a velocidade e se ela realmente se contrai tanto assim quando tossimos. Considerando algumas hipo´teses razoa´veis sobre a elasticidade da parede da traque´ia e de como a velocidade do ar pro´ximo a`s paredes e´ reduzida pelo atrito, a velocidade me´dia v do fluxo de ar pode ser modelada pela equac¸a˜o v = c(r0 − r)r2cm/s, r0 2 ≤ r ≤ r0, em que r0 e´ o raio, em cent´ımetros, da traque´ia em repouso e c e´ uma constante positiva, cujo valor depende, em parte, do comprimento da traque´ia. Demonstre que v e´ a maior quando r = 2/3r0, ou seja, quando a traque´ia esta´ cerca de 33% contra´ıda. 5. Quando o estanho meta´lico e´ mantido abaixo de 13, 2oC, lentamente se torna quebradic¸o e acaba por se esfarelar, tornando-se um po´ cinza. Um catalisador para uma reac¸a˜o qu´ımica e´ uma substaˆncia que aumenta a velocidade da reac¸a˜o sem sofrer nenhuma mudanc¸a permanente. Uma reac¸a˜o autocatal´ıtica e´ aquela em que o produto e´ o catalisador de sua pro´pria formac¸a˜o. Quando tanto a substaˆncia original quanto o produto catalisador sa˜o abundantes, a reac¸a˜o ocorre mais rapidamente. Em alguns casos, e´ razoa´vel admitir que a velocidade de reac¸a˜o v = dx/dt e´ proporcional tanto a` quantidade de substaˆncia original quanto a` quantidade de produto. Ou seja, v pode ser expressa por v = kx(a− x) = kax− kx2, sendo x a quantidade de produto, a e´ a quantidade de substaˆncia no in´ıcio e k e´ uma constante positiva. Com que valor de x a velocidade v apresenta um ma´ximo? Qual o valor ma´ximo de v? R: x = a/2 e v = ka2/4 6. Um observato´rio sera´ constru´ıdo na forma de um cilindro circular reto com uma abo´boda esfe´rica como cobertura. Se o custo da construc¸a˜o da abo´boda sera´ duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais devera˜o ser as proporc¸o˜es mais econoˆmicas do observato´rio supondo que o volume e´ fixo? R: r0 = [3V/(8pi)] 1/3 e h = 4[V/(9pi)]1/3 − 1/3[3V/pi]1/3. 7. Uma pulga, ao saltar, teve sua posic¸a˜o no espac¸o descrita em func¸a˜o do tempo pela expressa˜o h(t) = 4t − 5t2, sendo h a altura atingida, em metros e t em segundos. Em que instante a pulga atinge a altura ma´xima do solo? R: 0,4 segundos. 8. O produto de dois nu´meros positivos e´ 200. Determine esses nu´meros sabendo que a soma deles tem o menor valor poss´ıvel. R: 10 √ 2 e 10 √ 2. 9. Determine dois nu´meros cuja soma seja 45 e cujo produto seja ma´ximo. R: 45/2 e 45/2. 1 10. Encontre o ponto da reta de equac¸a˜o y = 3x+ 4 mais pro´ximo do ponto (1, 2). Qual e´ a distaˆncia mı´nima? R: (-1,7;-1,1) e a distaˆncia e´ √ 8, 1. 11. Uma a´rea retangular de 1080m2 sera´ cercada e dividida, tambe´m por meio de cercas, conforme a figura: Cada metro de cerca externa custa R$9,00 e cada metro da cerca usada nas diviso˜es internas custa R$6,00. Encontre as dimenso˜es da regia˜o retangular que minimizara˜o o custo total. R: 36m e 30 m. 12. Determine as dimenso˜es do retaˆngulo de maior a´rea poss´ıvel que pode ser inscrito na elipse de equac¸a˜o x 2 9 + y2 4 = 1. Qual e´ a a´rea desse retaˆngulo? R: 3 √ 2 e 2 √ 2, com a´rea igual a 12. 13. A a´rea do piso de uma loja retangular e´ 315m2. De suas quatro paredes de mesma altura, as treˆs laterais devem ser de tijolos e a da frente de vidro. O metro quadrado da parede de vidro custa o dobro do prec¸o do metro quadrado da parede de tijolos. Quais as dimenso˜es da loja que minimizara˜o o custo total do material usado nessas quatro paredes? R: √ 210m e 315√ 210 m. 14. Um arame de 20 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedac¸os, um para formar um quadrado e outro para formar um triaˆngulo equila´tero. Como se deve cortar o arame para que a soma das a´reas do quadrado e do triaˆngulo seja: a) ma´xima? b) mı´nima? R: (a) usar todo o arame para o quadrado. (b) usar 80 √ 3 9+4 √ 3 cm para o quadrado e 180 9+4 √ 3 cm para o triaˆngulo. 15. Um cartaz deve ter uma a´rea de 600 cm2 para a mensagem a ser impressa; as margens no topo e na base devem cada uma 7,5 cm e de 5 cm nas margens laterais. Determine as dimenso˜es do cartaz para que seja mı´nima as quantidade de papel usada. R: largura: 30 cm e altura 45 cm. 16. Dentre todos os triaˆngulos iso´sceles de per´ımetro fixo, mostre que o de maior a´rea e´ o equila´tero. 17. Uma pessoa esta´ no ponto A da margem de um rio e deseja chegar ao ponto B na margem oposta, fazendo o percurso indicado na figura abaixo. Sabendo que pode se deslocar na margem a uma velocidade de 10 m/s e na a´gua a uma velocidade de 5 m/s, determine o aˆngulo α de modo que ela va´ de A ate´ B no menor tempo poss´ıvel. Sabe-se que a distaˆncia entre A e B’ e´ 500 m e a largura do rio e´ 300 m. R: α = pi/3. 2 Sexta lista de exercícios 1. Calcule, em cada caso, a área indicada: a) y x y = 3x - x - 22 b) y x1 4 y = x c) x y y = x + 2 - x2 d) y x y = 2 + x 3 4 _ e) x y = x2 y = x - 2x + 42 y f) x y y = 4x - x2 y = 4 - x2 g) y y = x2 y = 8 - x2 x h) x y y = - 5x + 10 y = - x + 8x - 12 y = - x + 6x 2 2 i) x y = - 2x + 8 y = x - 2x + 42 y j) x y = 4x - 8 y = - x + 3x + 42y = 4 - x 2 y k) y = cos ( x / 2 ) y = sen x y xπ 2. Determine a diferencial de cada função a seguir: a) b) c) 53 += xu 653 2 +−= tty xu ln= 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) dx x xxx∫ +−+ 4 238 7953 b) dxxx∫ −+ 21 32 c) d) ∫ + dxxe x ))5cos(7( 3 dxxxx 352 )13)(16( −+−+−∫ e) dx x x∫ + 3)(ln2 f) dxxx∫ ++ 21 53 g) h) dxxxsen∫ cos5 dxe esene x xx∫ )cos( )(2 22 i) j) (Sugestão: escreva sen ∫ dxx2cos dxxsen∫ 3 3x = sen2x senx). k) dx x x∫ −1 2 (Sugestão: faça 1u x= − ) l) (Sugestão: escreva cosdxxsenx∫ 23cos 3x = cos2x .cosx). m) tg( )x dx∫ n) 2sec ( ) tg( )y y d⋅ y∫ o) 41 x dx x+∫ p) 11 dxx+∫ q) 3 1 1 dx x −∫ r) 1 1ln dxx x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ s) 2 1 1 x dx x + +∫ t) 2 1 t t e dt e +∫ u) 3 2x x dx⋅∫ 4. Calcule as seguintes integrais definidas: a) . b) ∫ −41 2 )4( dxxx 31 x x dx∫ c) dxxx x∫− ++ 3 3 24 3 1 d) 4 1 ln e e dv v v∫ e) 2 1 1u u du−∫ f) / 3 2 0 sen cos d π θ θθ∫ g) ∫− +11 3 2 4 dxxx h) ∫ +− −32 2 512 dxxx x i) ∫ +− −10 32 )5( 12 dxxx x 5. Considere , onde é a função cujo gráfico esta representado na figura a seguir. 0 ( ) ( ) x G x f t dt= ∫ )(tf Sabendo que as áreas das regiões , , e são , , e , 1R 2R 3R 4R 2)( 1 =RA 2)( 2 =RA 3)( 3 =RA 4)( 4 =RA a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função G . b) Determine os pontos de máximo e de mínimo local da função . G c) Marque no eixo x os pontos de inflexão da função G .d) Determine os intervalos onde o gráfico de possui concavidade para cima e onde possui concavidade para baixo. G e) Calcule e . (0), (1), (2), (3)G G G G (4)G f) Determine os pontos de máximo e de mínimo absolutos da função G no intervalo [ ]0, 4 . g) Faça um esboço do gráfico da função G . 6. Em cada item, determine a função f sabendo que: a) 13)(' +−= xxf e que (2) 5f = . b) 1 4)(' 2 −= x xxf e que (0) 3f = − . c) ( ) cos( )f x x x′′ = + e que (0) 1f = e (0) 5f ′ = . 7. Determine os possíveis valores de b para que .0)6( 0 3 =−∫ b dxxx 8. Em cada item, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área dessa região. a) e . b) 2 5y x= − 2 6 5y x x= − + − | |y x= e . 2 2y x= − c) , 1y x= + 29y x= − , e 1x = − 2x = . d) y = x e 2y x= . e) , seny x= cosy x= , e 0x = 2x π= . f) 24 1x y 2+ = e x y= . g) 21x y= − e h) 2 1x y= − 2( 1y x x )= − e . 0y = 9. Calcule a área entre o gráfico de 3y x= e sua reta tangente em 1x = . 10. Em cada item calcule ( )f x′ se: a) 2 2 ( ) cos( ) x f x t= ∫ dt . b) 3 2 cos( ) ( ) 3 x f x t= ∫ dt c) 21 3( ) 1 x x f x t + = −∫ dt . RESPOSTAS: 1) a) 6 1 b) 3 14 c) 3 10 d) 3 e) 4 f) 3 22 g) 3 32 h) 6 121 i) 3 32 j) 6 55 k) 1 2) a) du=3dx b) c) ( )dttdy 56 −= x dxdu = 3) a) 3 5 3 79||ln5 5 3 xx xx −++ b) ( )xx arcsen312 2 +−− c) ( ) 5 5sen7 3 e3 xx + d) ( ) 8 133 3 8 2 −+− xx e) ( ) 4 lnln2 4xx + f) ( ) ( )xx arctg51ln 2 3 2 ++ g) 6 sen6x h) ( )|ecos|ln 2 1 2x− i) ( ) 4 2sen 2 xx + j) 3 coscos 3 xx +− k) ( ) ( ) ( ) 5 12 3 1412 2 5 2 3 2 1 xxx −−−+−− l) 5 sen 3 sen 53 xx − m) n) |cos|ln x− 2 tg2 y o) ( )2arctg 2 1 x p) ( )( )xx +− 1ln2 q) ( ) ( ) ( 1ln316 2 13 33 23 −+−+− xxx ) r) ( )x2ln 2 1− s) ( ) ( )xx arctg1ln 2 1 2 ++ t) ( )tearctg u) 373 7 23 x 4) a) -9 b) ( 139 5 2 − ) c) 0 d) 2 e) 15 16 f) 1 g) 0 h) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 7 11ln i) 0 6) a) 9 2 3 2 ++− xx b) c) 3|1|ln2 2 −−x 25cos 6 3 ++− xxx 7) 0, 32± 8) a) 9 b) 3 20 c) 2 39 d) 3 1 e) ( )122 − f) 3 64 g) 3 8 h) 2 1 9) 4 27 10) a) ( )2cos x b) ( ) ( )xx sencos3 2 c) ( ) 332 1112 xxx −−+− MAT001 Cálculo Diferencial e Integral 1 Sétima lista de exercícios 1. Calcule cada uma das integrais indefinidas a seguir: a) b) ∫ ∫ dxxx cos dxxx ln3 c) d) ∫ ∫ dxsenxx2 dxxarctg e) f) ∫ dxxsene x )4(3 ( )∫ dxx 3ln g) h) ∫ dxxarctgx ∫ − dxx21 2. Calcule cada uma das integrais definidas a seguir: a) b) ∫ 21 ln dxx ∫ −21 dxexx c) dxxx∫ + 1 0 22 2 )1( 3. Calcule a área da região limitada pelo gráfico de xxy ln= e 0=y de e x 1= a 1=x . 4. Decomponha cada função racional a seguir em soma de frações parciais, sem determinar as constantes: a) )5)(2( 1 +− xx b) 322 )4()1( 35 −+ + xx x 5. Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) ∫ +− dxxx 2)5)(3( 1 b) ∫ ++ dxxxx2 2 6. Calcule as seguintes integrais definidas: a) ∫ − −+ +−01 2 2 )1)(1( 12x dx xx x b) dx xx x∫ +− −10 )7)(4( 32 7. Calcule as seguintes integrais impróprias: (a) ∫ 10 xdx (b) ∫ 10 2xdx (c) ( )∫ ∞ +1 213x dx (d) ∫ ∞∞− + dxxx 21 (e) ∫ (f) ∞ ∞− − dxxe x 2 ∫ ∞1 ln dxxx (g) ∫ − 9 1 3 9x dx (h) ∫−21 3xdx (i) ∫ −+ 4 0 2 6xx dx 8. Calcule a área de cada uma das regiões indicadas abaixo. (a) ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ≤≤≥= 2 ln 01|, x x yexyxS (b) ( ){ }0ln10|, ≤≤≤≤= yxxexyxS (c) ( ){ }0ln10|, ≤≤≤≤= yxexyxS (d) ( ){ }00|, ≤≤≤= yxeexyxS x Observação: sinta-se convidado a fazer o esboço de cada uma dessas regiões. Respostas: 1) a) Cxxsenx ++ cos b) Cxxx +− 16 ln 4 1 44 c) d)Cxxsenxxx +++− cos22cos2 ( ) Cxxarctgx ++− 21ln 2 1 e) ( ) ( )( ) Cxsenxe x ++− 434cos4 25 3 f) Cxxxxxxx +−+− 6ln6ln3ln 23 g) ( ) Cxarctgxxarctgx ++−2 2 1 h) C xarcsen x x ++− 2 1 2 2 2) a) b)12ln2 − 2 3 e − c) 4 1 8 −π 3) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 2 3 1 4 1 e 4) a) 52 ++− x B x A b) ( ) ( ) ( )22232 11444 ++++++−+−+− x GFxx EDxx Cx Bx A 5) a) ( ) Cx xx +++ +−− 58 1 64 |5|ln 64 |3|ln b) Cxx ++− |1|ln||ln2 6) a) 2 2ln3− b) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 8 7 ln17 4 3 ln5 11 1 7) a) diverge b) diverge c) 12 1 d) diverge e) 0 f) diverge g) -6 h) diverge i) diverge 8) a) 1 b) 4 1 c) 1 d) 1 1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral 1 Oitava lista de exercícios 1. Em cada caso a seguir, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado: (a) .,02,0,1 2 xyxxxy eixodotornoeme ===+= (b) .,0 2 ,0, xyxxxseny eixodotornoeme =π=== (c) .2, === xxyxy detornoeme (d) . 2,2 === yxyxy detornoeme (e) entre x y 1= e o eixo x para 1≥x , em torno do eixo x . (f) ( método das cascas ) .,22 yxxyxxy eixodotornoeme −=−= 2. Calcule, usando integrais, o volume de um cone circular reto de raio da base r e altura h. 3. Verifique, por derivação, as seguintes integrais: (a) ∫ += Cxdxxtg |sec|ln (b) ∫ += Cxsendxx ||lncot (c) ∫ ++= Cxtgxdxx |sec|lnsec (d) ∫ ++−= Cxxdxx |cotseccos|lnseccos 4. Calcule as seguintes integrais trigonométricas: (a) (b) ∫ dxxxsen 23 cos dxxsenx∫ 45cos (c) (d) ∫ ∫ dxx4cos dxxtgx2sec (e) (f) ∫ ∫ dxxxtg sec3 dxxtgx 44sec (g) (h) ∫ dxxtg2 ∫ dxxxsen cos3 (i) (sugestão: use integração por partes) ∫ dxx3sec 1 2 5. Faça uma substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais: (a) dx x x∫ + 92 3 (b) ∫ − 25 xx dx (c) ∫ + 162x dx (d) ∫ − 922 xx dx (e) dx x x∫ −42 25 (e) dxxx∫ − 22 4 6. Calcule a área limitada pela hipérbole e a reta . 3649 22 =− yx 3=x 7. Um toro é gerado pela rotação do círculo ( ) 222 ryax =+− ao redor do eixo y ( a)r <<0 . Calcule o volume limitado por esse toro. Respostas:1) a) π 15 206 b) π c) π 15 8 d) π 15 8 e) π f) 3 π 4) a) C xx +− 3 cos 5 cos 35 b) C xsenxsenxsen ++− 97 2 5 975 c) C xsenxsenx +++ 32 4 4 2 8 3 d) C x ouC xtg ++ 2 sec 2 22 e) Cx x +− sec 3 sec3 f) C x xtgxtg ++ 75 5 g) Cxxtg +− h) C xx x +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 3 cos 7 cos cos2 3 i) ( ) Cxtgxxtgx +++ |sec|lnsec 2 1 5) a) ( ) C xx ++− 3 918 22 b) Cxx +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+− 255ln||ln 5 1 c) Cxx +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ 216ln d) C x x +− 9 92 e) ( ) C x x +− 3 32 75 25 f) ( ) Cxxxxarcsen +−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 22 424122 6) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− 2 53 ln6 2 59 7) 222 arπ 2 lista1 INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS INTRODUÇÃOESTRATÉGIAS DE ESTUDO Lista1-extra lista2 SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS lista extra - limites lista3 lista - taxas relacionadas lista4-derivadas lista5-lhospital lista-otimizacao lista6 Sexta lista de exercícios lista7 Sétima lista de exercícios lista8 Oitava lista de exercícios
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