PesquisaZerosMetodoBissecao (1)

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Cálculo Numérico
Prof. Aparecido J. de Souza
Prof. Moisés Dantas dos Santos
Localização de Raízes de equações e o Método da
Bisseção.
Zeros (ou raizes) da equação f (x) = 0
Hipótese. Seja f : [a,b]⊂ R→ R contínua.
Definição. Um número real ξ é um zero (ou raiz) da equação
f (x) = 0 se f(ξ ) = 0 estiver satisfeita. Além disso, ξ é um zero
de ordem m, se f (ξ ) = f ′(ξ ) = · · ·= f (m−1)(ξ ) = 0 e f (m)(ξ ) 6= 0.
Teorema do valor intermediário. Seja f uma função contínua
em [a,b]. Se f (a)× f (b) < 0 (isto é, se f (a) e f (b) tiverem sinais
contrários), então há pelo menos um zero de f (x) = 0 em [a,b].
Obs. Se f ′ não mudar de sinal em [a,b], então o zero é único
(a função f é monótona crescente ou decrescente).
Pesquisa de zeros.
Faz-se uma análise teórica através dos teoremas básicos,
tabelas e gráficos para verificar intervalos onde há mudança de
sinal nos valores de f .
Zeros (ou raizes) da equação f (x) = 0
Exemplo 1. Seja f (x) = x3−9x + 3.
Tabela de valores (apenas os sinais):
f(−100) < 0, f(−10) < 0, f(−5) < 0,
f (−3) > 0, f (−1) > 0, f (0) > 0, f(1) < 0, f(2) < 0,
f (3) > 0, f (4) > 0.
Assim, foram detectadas 3 trocas de sinais indicando a
presença de três raizes e o Teorema do Valor Intermediário
indica uma no intervalo [−5,−3], outra no intervalo [0,1] e
outra no intervalo [2,3].
Zeros (ou raizes) da equação f (x) = 0
Exemplo 1 (cont.). Seja f (x) = x3−9x + 3.
Foram detectadas três raizes: uma no intervalo [−5,−3], outra
no intervalo [0,1] e outra no intervalo [2,3].
Veja o gráfico de f , para x ∈ [−5,5].
Métodos Numéricos para aproximação de um zero.
Hipótese. Seja f : [a,b]⊂ R→ R contínua. Suponha que a
equação f (x) = 0 possua um único zero x = ξ com ξ em (a,b).
Objetivo. Obter uma sequência de aproximações sucessivas
xk de ξ , k = 0, · · ·N, até atingir uma aproximação x¯ de ξ com a
precisão requerida.
A precisão para a aproximação x¯ do zero ξ é determinada pela
tolerância TOL prescrita.
Normalmente toma-se TOL = 10−m, em que m é o número de
casas decimais que queremos corretas na aproximação obtida.
Sobre a prescrição da precisão na aproximação.
Prescrição em x .
• |xk+1−xk |< TOL (Erro Absoluto). Não é aconselhável se
a função f (x) tiver grande variação para x próximo de ξ .
•
|xk+1−xk |
|xk | < TOL (Erro Relativo). Não é aconselhável se
xk estiver muito próximo de zero.
• (Melhoria) |xk+1−xk |< Ck TOL, com Ck = max{1, |xk |}.
Sobre a prescrição da precisão na aproximação.
Prescrição em f (x).
• |f (xk+1)|< TOL. Não é aconselhável se f (x) variar muito
pouco para x próximo de ξ .
• (Melhoria)
|f (xk+1)|
L
< TOL, com L = |f (x)| para algum
x ∈ (a,b) com f (x) 6= 0.
Pode-se combinar duas condições. Uma em x e outra em
f (x).
O Método da Bisseção.
Hipótese. Seja f : [a,b]⊂ R→ R contínua. Suponha que a
equação f (x) = 0 possua um único zero x = ξ com ξ em (a,b).
Ideia. Obter uma sequência de aproximações sucessivas xk de
ξ reduzindo o comprimento do intervalo que contém o zero por
divisões sucessivas ao meio obtendo subintervalos [ak ,bk ] e
tomando xk =
ak +bk
2
(o ponto médio de [ak ,bk ]), k = 0, · · ·N,
até atingir uma aproximação x¯ de ξ com a precisão requerida.
Obs. Mesmo que a equação possua várias raízes,
aproxima-se uma de cada vez, delimitando um intervalo
adequado para a mesma.
O Método da Bisseção
Iteração 1: Faça (atribua) a1 = a e b1 = b.
Faça (calcule) x1 =
a1+b1
2 .
Se TOL, então tome x¯ = x1 e FIM.
Se não,
Se (if) f (a1) f (x1) < 0, então (then)
faça a2 = a1, b2 = x1.
Se não (else), então
faça a2 = x1, b2 = b1.
Iteração 2:
Faça (calcule) x2 =
a2+b2
2 .
Se TOL, então tome x¯ = x2 e FIM.
Se não,
Se (if) f (a2) f (x2) < 0, então (then)
faça a3 = a2, b3 = x2.
Se não (else), então
faça a3 = x2, b3 = b2.
E assim sucessivamente ....
O Método da Bisseção
Algorítmo (não interessa as aproximações intermediárias).
1. Dados iniciais: f (x), a, b, TOL, N.
2. Faça x = a+b2
3. Se TOL, então x¯ = x e FIM;
4. Se não, então faça k = 1 e M = f (a).
5. Enquanto (“while” ou “for”) k ≤ N:
5.1 Se M f (x) < 0, então faça b = x ;
5.2 Se não, então faça a = x e M = f (a).
5.3 Faça x = a+b2 e k = k + 1.
5.4 Se TOL, então x¯ = x e k = N + 2 (FIM);
Final do “loop” (“end”), retorne ao passo 5.
6. Se k = N + 1, então “Tolerância não atingida” e FIM.
O Método da Bisseção
Estimativa do número de iterações via Erro Absoluto em x .
Dada TOL > 0 queremos que |xk+1−xk |< TOL.
Como |xk+1−xk |< bk −ak = b−a2k , então impomos que
b−a
2k
< TOL.
Daí, 2k > b−aTOL =⇒ klog(2) > log(b−a)− log(TOL).
Portanto, a estimativa para o número de iterações é:
k > log(b−a)−log(TOL)log(2) .
Exemplo 2. Sejam [a,b] = [2,3] e TOL = 10−2.
k > log(3−2)−log(10
−2)
log(2) =
log(1)+2log(10)
log(2) ≈ 20.3010 ≈ 6.64
Portanto, são necessárias 7 iterações.
O método da bisseção
Estimativa do número de iterações.
k > log(b−a)−log(TOL)log(2) .
Exemplo 3. Determine as estimativas dos números de
iterações para obter aproximações dos zeros da função
f (x) = x3−9x + 3 dada no Exemplo 1 com precisão até a
terceira casa decimal, via Erro Absoluto em x .
Solução. TOL = 10−3 = 0.001.
Sabemos que esta função f possui três zeros simples. Uma no
intervalo [−5,−3], outra em [0,1] e outra em [2,3].
(a) Intervalo [−5,−3].
k > log(−3+5)−log(10
−3)
log(2) =
log(2)+3log(10)
log(2) ≈ 10.9658.
Portanto, são necessárias 11 iterações.
O método da bisseção
Estimativa do número de iterações.
k > log(b−a)−log(TOL)log(2) .
Exemplo 3(cont.). Determine as estimativas dos números de
iterações para obter aproximações dos zeros da função
f (x) = x3−9x + 3 dada no Exemplo 1 com precisão até a
terceira casa decimal, via Erro Absoluto em x .
Solução. TOL = 10−3 = 0.001.
(b) Intervalos [0,1] e [2,3]. Como em ambos intervalos temos
b−a = 1, então vale a mesma estimativa.
k > log(1)−log(10
−3)
log(2) =
log(1)+3log(10)
log(2) ≈ 9.9658.
Portanto, são necessárias 10 iterações.
O método da bisseção
Exemplo 4. Determine as aproximações dos zeros da função
f (x) = x3−9x + 3 dada nos Exemplo 1 e 3 com precisão até a
terceira casa decimal, via Erro Absoluto em x .
Solução. TOL = 10−3.
(a) Zero no Intervalo [−5,−3]. Precisamos de 11 iterações .
x1 =−4.0 f1 =−25
x2 =−3.5 f2 =−8.3750
x3 =−3.25 f3 =−2.0781
x4 =−3.125 f4 = 0.6074
x5 =−3.1875 f5 =−0.6980
x6 =−3.1563 f6 =−0.0360
x7 =−3.1406 f7 = 0.2880
x8 =−3.1484 f8 = 0.1266
x9 =−3.1523 f9 = 0.0454
x10 =−3.1543 f10 = 0.0047
x11 =−3.1553 = x¯ f¯ =−0.0157
O método da bisseção
Gráfico de f (x) = x3−9x + 3, para x ∈ [−5,−3].
x¯ =−3.1553.
O método da bisseção
Exemplo 4(cont.).
Determine as aproximações dos zeros da função
f (x) = x3−9x + 3 dada nos Exemplo 1 e 3 com precisão até a
terceira casa decimal, via Erro Absoluto em x .
Solução. TOL = 10−3.
(b) Zero no Intervalo [0,1]. Precisamos de 10 iterações .
x1 = 0.5 f1 =−1.375
x2 = 0.25 f2 = 0.7656
x3 = 0.375 f3 =−0.3223
x4 = 0.3125 f4 = 0.2180
x5 = 0.3438 f5 =−0.0531
x6 = 0.3281 f6 = 0.0822
x7 = 0.3359 f7 = 0.0145
x8 = 0.3398 f8 =−0.0193
x9 = 0.3379 f9 =−0.0024
x10 = 0.3369 = x¯ f¯ = 0.0060
O método da bisseção
Gráfico de f (x) = x3−9x + 3, para x ∈ [0,1].
x¯ = 0.3369.
O método da bisseção
Exemplo 4(cont.). Determine as aproximações dos zeros da
função f (x) = x3−9x + 3 dada nos Exemplo 1 e 3 com
precisão até a terceira casa decimal, via Erro Absoluto em x .
Solução. TOL = 10−3.
(c) Zero no Intervalo [2,3]. Precisamos de 10 iterações .
x1 = 2.5 f1 =−3.8750
x2 = 2.75 f2 =−0.9531
x3 = 2.875 f3 = 0.8887
x4 = 2.8125 f4 =−0.0652
x5 = 2.8438 f5 = 0.4034
x6 = 2.8281 f6 = 0.1670
x7 = 2.8203 f7 = 0.0504
x8 = 2.8164 f8 =−0.0075
x9 = 2.8184 f9 = 0.0214
x10 = 2.8174 = x¯ f¯ = 0.0069
O Método da Bisseção
Gráfico de f (x) = x3−9x + 3, para x ∈ [2,3].
x¯ = 2.8174.
O Método da Bisseção
Exemplo 5. Determine as aproximações dos zeros da função
f (x) = x2−sen(x) com precisão até a terceira casa decimal,
via Erro Absoluto em x .
Solução. Pelo gráfico de f (x), há uma raiz no intervalo
[−1, 0.5] e outra em [0.5, 2]
O Método da Bisseção
Exemplo 5(cont.). Determine as aproximações dos zeros da
função f (x) = x2−sen(x) com precisão até a terceira casa
decimal, via Erro Absoluto em x .
Solução. TOL = 10−3.
Pelo gráfico de f (x), há uma raiz no intervalo [−1,1/2] e outra
em [1/2,2]
(a) Zero no Intervalo [−1,1/2].
Precisamos de 11 iterações .
Aolicando o método da bisseção obtemos
x¯ =−0.00024414 f¯ = 0.00024420
(b) Zero no Intervalo [1/2,2].
Precisamos de 11 iterações .
Aolicando o método da bisseção obtemos
x¯ = 0.8772 f¯ = 0.00052495