AULA5 Determinantes (1)

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DETERMINANTES
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Introdução 
A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam um sistema prático para a resolução de sistemas, os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas.
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Introdução
Aqui vamos fazer uma associação entre matrizes quadradas e números reais que são chamados de determinantes. Começaremos com casos simples, de matrizes 2x2, e em seguida tornaremos a definição mais geral.
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Determinantes
Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada.
Notação: det A ou |A|.
Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem.
Seja a matriz A = (a11). O determinante de A será o próprio elemento a11.
A = ( 3 )  | A | = 3
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Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
= a11 · a22 – a12 · a21
 
a11 · a22
- (a12 · a21)
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Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
Ex.1
+
-
7
2
 3
5
= 7.5 
- 2.3
= 29 
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 Determinantes da matriz de 3ª ordem
(Regra de Sarrus)
1. Ao lado direito da matriz copiam-se as duas primeiras colunas.
2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da diagonal principal, multiplicam-se os elementos das outras duas filas à sua direita.
3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os elementos das outras duas filas à sua direita.
4. O determinante da matriz é a subtração dos produtos obtidos em 2 e 3.
Ex.:
-
-
-
+
+
+
10 – 8 + 0 + 6 – 12 + 0
= -4
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Relação interessante
Considere a matriz 
Vamos formar duas matrizes de ordem 1 pelo seguinte processo: para cada elemento da primeira linha, eliminaremos sua linha e sua coluna, o elemento que sobrar será o componente da nova matriz de ordem 1. Observe que, eliminando a primeira linha e a coluna de formamos a matriz Fazendo o mesmo para , conseguimos a matriz 
 Note que 
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Determinante de uma matriz 
de ordem nxn 
Da relação anterior temos a seguinte definição
Determinante de uma matriz de ordem n, é a soma 
Exemplo: Calcule o determinante da matriz 
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Cofator de uma matriz
Dada a matriz o cofator de A é o número dado por: 
Assim, se A tem ordem 2, 
Ex. 
 
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Exemplo 1
Dada a matriz
Calcule C1,2 , C2,2 , C3,2 . 
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Determinante para matrizes de qualquer ordem.
Definiçãp: Para n  2, o determinante de uma matriz de ordem n, é a soma 
Onde são os elementos da primeira linha de A e são as matrizes de ordem n-1 formadas pela eliminação da primeira linha e das colunas 1, 2,..., n, respectivamente. 
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Exemplo 2
Usando a definição do slide anterior, calcule o determinante da matriz
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Teorema de Laplace 
O determinante de uma matriz A de ordem n pode ser calculado utilizando os cofatores de qualquer linha ou coluna. Mais precisamente,
Ou
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Observação
Calcular determinantes por meio de cofatores é muito útil para reduzir os cálculos quando uma matriz tem zeros em uma linha ou coluna. 
Ex. Calcular o determinante da matriz 
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 Propriedades dos determinantes
1. det(A) = det (At)
2. Se duas linhas ou duas colunas de A forem trocadas entre si formando B, então det(B)= - det(A)
3. Se uma linha de A for multiplicada por k formando B, então det(B) = kdet(A) 
4. det(AB) = det(A).det(B)
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Propriedades dos determinantes 
5. Se A é uma matriz diagonal ou triangular, então det(A) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
6. Uma matriz com duas linhas ou duas colunas iguais tem determinante igual a zero.
7. Se um múltiplo de uma linha de A for somada a outra linha formando B, então det(A) = det(B)
8. Se uma matriz quadrada A tiver uma linha ou uma coluna igual a zero então det(A) = 0
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Exercícios
1) Usando cofator, calcule o determinante da matriz 
 
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2) Use as propriedades de determinantes para calcular o determinante das seguintes matrizes:
a) b)
c) d) Calcule det (Mt) se