Apresentação 7Semat

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UMA INTRODUÇÃO À CONCEPÇÃO LOGICISTA DE
 NÚMERO DE BERTRAND RUSSELL
 
8° Congresso de Inovação, Ciência e Tecnologia do IFSP
06 a 09 de novembro de 2017 - Cubatão-SP, Brasil 
Gabriela Santos dos Reis Batista
Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Rafael Gomes
Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de São Paulo Campus Bragança Paulista – Licenciatura em Matemática
INTRODUÇÃO
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Inspirado pelo matemático italiano Giuseppe Peano, escreveu em parceria com o matemático Alfred North Whitehead o livro Principia mathematica, no qual ele mostra que as proposições matemáticas derivam de princícios puramente lógicos (GOMES, 2015), e, durante o verão de 1918, Introdução à Filosofia Matemática, um “resumo” do Principia, que traz uma linguagem de mais fácil compreensão.
Como, na Matemática, a verdade das afirmações não pode ser estabelecida de maneira empírica, ou por observação, faz-se necessário a criação de métodos com os quais se possa provar, de maneira lógica, os teoremas.
MATERIAL E MÉTODOS
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Para a realização deste trabalho, foi feita uma análise dos fundamentos lógicos do conceito de número a partir da construção empreendida no livro Introdução à Filosofia Matemática, de Bertrand Russell, buscando uma definição lógica para os números naturais. Para isso, foi realizada uma pesquisa bibliográfica sobre a filosofia matemática russelliana.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
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Diferenciação entre Matemática Tradicional e Filosofia da Matemática.
Ponto de partida da Matemática
Redução do conjunto dos números naturais.
 Giuseppe Peano - reduziu a teoria dos números naturais a três ideias primitivas e cinco proposições.
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As três ideias primitivas de Peano são: zero, número e sucessor. 
E os cinco postulados:
(1) 0 é um número.
(2) O sucessor de qualquer número é um número.
(3) Dois números diferentes nunca têm o mesmo sucessor.
(4) 0 não é o sucessor de nenhum número.
(5) Qualquer propriedade que pertença a 0 e também ao sucessor de qualquer número que tenha essa propriedade pertence a todos os números.
Necessidade de uma reformulação das ideias primitivas.
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Coleções similares são aquelas que possuem o mesmo número de termos, é uma correspondência um a um entre os elementos de duas classes. A reunião de todas as coleções que têm o mesmo número de termos formará uma classe. 
Então pode-se definir número como sendo um conjunto de classes, tais que não existam classes fora desse conjunto que sejam similares a qualquer classe nele contida, ou, segundo Russell (2007, p. 14) “um número é qualquer coisa que seja um número de alguma classe”.
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A indução finita, base de prova de conceitos como o finito, tem como base de apoio o conjunto dos números naturais. Para definirmos inteiramente o que são os números naturais, é necessária a compreensão das ideias primitivas e das proposições de Peano.
propriedade é dita “hereditária” se, caso pertença a um número n, pertence também ao seu sucessor, n+1. 
propriedade é dita “indutiva”, quando é uma propriedade hereditária que pertence ao zero. Isso vale também para classes, sendo uma classe indutiva quando for hereditária e o zero pertencer a ela. 
Por fim, a “posteridade” será formada apenas pelo zero, seu sucessor, e todos os sucessores seguintes, excluindo assim a presença de outros objetos nessa classe. 
O conjunto dos números naturais pode ser pensado como sendo a posteridade de zero.
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A definição de zero e sucessor também são dadas a partir da ideia de classes. 
Zero pode ser definido como a classe que é formada por classes ou coleções nulas. 
Suponha uma classe  qualquer, com n elementos, e um elemento x que não pertence a ela. Se adicionarmos x à classe , criaremos uma nova classe  que terá os n membros de  mais o x, ou seja n+1 membros. Essa nova classe  criada é a classe sucessora da classe . Ou seja, o sucessor do número de uma classe pode ser definido como o número de termos dessa classe adicionado de um elemento que não pertence a ela.
CONCLUSÃO
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As três ideias primitivas de Peano foram definidas logicamente por Russell e não são mais passiveis de infinitas interpretações que se apegam somente às relações estabelecidas pelos cinco axiomas de Peano. Com essas novas definições, Russell (2007) afirma que aumentou significativamente a articulação dedutiva da matemática.
No presente estudo, foi considerada apenas uma pequena parte dos estudos de Russell. Para melhor compreendê-lo, foi estudada sua biografia e também a reestruturação e fundamentação dos axiomas de Peano e sua utilização para a construção e definição dos números naturais.
REFERÊNCIAS
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GOMES, R. R. As concepções de função de Frege e Russell: um estudo de caso em filosofia e história da matemática. 2015, 93 F. Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas. Rio Claro, 2015.
MONK, R. Bertrand Russell. Matemática: sonhos e pesadelos. Tradução de L. H. de A. Dutra. São Paulo: Editora UNESP, 2000. (Coleção Grandes Filósofos)
RUSSELL, B. Introdução à filosofia matemática; Tradução de M. L. X. de A. Borges. Rio de Janeiro: Zahar, 2007.
SAPUNARU, R. A,; SANTIAGO, D, F, G.; VIEIRA, M. M. Uma breve introdução às filosofias da lógica e da matemática de Bertrand Russell: conceitos e inferências a partir do número. Abakós, Belo Horizonte, v. 3, n. 1, p. 87-101, nov. 2014