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FISICA GERAL 1 Aulas Completo Engenharia Elétrica
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GUIA
DE
ESTUDO
FÍSICA
GERAL
I
Autor:
Welber
L.
A.
Miranda
Ins-tuto
Federal
da
Bahia
Câmpus
de
Paulo
Afonso
Engenharia
Elétrica
2014
INTRODUÇAO
A
FÍSICA
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
2/65
Ementa
e
Bibliografia
EMENTA
Introdução,
Vetores;
Movimento
em
1D
,
2D
e
3D
-‐
Força
e
Movimento
I
(Leis
de
Newton);
Força
e
Movimento
II
(alguns
exemplos
de
forças)
-‐
Trabalho
e
Energia.
Conservação
de
Energia,
Sistemas
de
ParZculas,
Colisões;
Cinemá-ca
Rotacional,
Movimento
de
Rotação,
Torque
e
Momento
Angular,
Dinâmica
de
corpos
rígidos,
Rolamento,
Torque;
INTRODUÇAO
A
FÍSICA
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
3/65
Ementa
e
Bibliografia
BIBLIOGRAFIA
RECOMENDADA
1.
HALLIDAY,
Resnick
e
Walker,
Fundamentos
da
Física
–
Vol.
1
–
8a
edição.
2.
H.
Moyses
Nussenzveig,
Curso
de
Física
Básica,
Vol.
1
–
4a
edição.
3.
Richard
Feynman,
Leighton
e
M.
Sands,
Feynman
Lectures
on
Physics,
vol.
1
4.
Paul
A.
Tipler,
Física,
Vol.
1.
5.
R.
Serway
e
J.
W.
Jewej
Jr.,
Princípios
de
Física,
vol.
1
6.
M.
Afonso
e
E.
Finn,
Physics
INTRODUÇAO
A
FÍSICA
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
4/65
Sumário
1
UNIDADE
Aula
1
-‐
Aula
Inaugural
-‐
Introdução
Aula
2
-‐
Conceitos
e
definições
básicas
da
Cinemá-ca
Aula
3
-‐
Velocidade
e
Aceleração
Aula
4
-‐
Relações
integrais
para
a
Cinemá-ca
Aula
5
-‐
Exercícios/Dúvidas
Aula
6
-‐
Vetores
Aula
7
-‐
Cinemá-ca
Vetorial
Aula
8-‐
Movimento
de
Projéteis
Aula
9
-‐
Movimento
circular
uniforme
Aula
10
-‐
Exercícios/Dúvidas
Aula
11
–
Avaliação
INTRODUÇAO
A
FÍSICA
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
5/65
2
UNIDADE
Aula
12
-‐
Introdução
a
Dinâmica,
Forças
Aula
13
-‐
Dinâmica
e
as
três
Leis
de
Newton
Aula
14
-‐
Aplicações
da
Dinâmica
Newtoniana
Aula
15
-‐
Exemplos
de
aplicação
Aula
16
-‐
Exercícios/Dúvidas
Aula
17
-‐
Energia
Ciné-ca
e
Trabalho
Aula
18
-‐
Teorema
do
Trabalho-‐Energia,
Potência
e
Energia
Potencial
Aula
19
-‐
Conservação
da
Energia
Mecânica
Aula
20
-‐
Conservação
da
Energia
Mecânica
e
Curva
Potencial
Aula
21
-‐
Exercícios/Dúvidas
Aula
22
-‐
Exercícios/Dúvidas
Aula
23
–
Avaliação
Sumário
INTRODUÇAO
A
FÍSICA
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
6/65
3
UNIDADE
Aula
24
-‐
Centro
de
Massa
e
suas
propriedades
Aula
25
-‐
Conservação
do
Momentum
Aula
26
-‐
Exercícios/Dúvidas
Aula
27
-‐
Colisões
Elás-cas
e
Inelás-cas
Aula
28
-‐
Cinemá-ca
das
rotações
Aula
29
-‐
Momento
de
inércia
e
Torque
Aula
30
-‐
Exercícios/Dúvidas
Aula
31
-‐
Rolamento
e
Torque
Aula
32
-‐
Momento
angular
Aula
33
-‐
Orientação
para
a
3a
Avaliação
;
Aula
34
-‐
3
Avaliação/Apresentação
Aula
35
-‐
3
Avaliação/Apresentação
Sumário
Aula
1
–
FÍSICA
GERAL
I
I
UNIDADE
INTRODUÇAO
A
FÍSICA
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
Prof.:
MSc.
W.
L.
A.
Miranda
Ins-tuto
Federal
da
Bahia
7/65
INTRODUÇAO
A
FÍSICA
8/65
Movimento
unidimensional;
Foco
no
movimento
em
si;
Todo
corpo
será
tratado
como
parZcula;
1.
Definindo
Cinemá-ca
Welber
Miranda(IFBA)
2014
2.
Posição
e
Deslocamento
Definição
de
Referencial,
posição,
trajetória,
deslocamento;
Análise
básica
de
eixos
e
sistemas
de
coordenadas;
Grandezas
vetoriais
versus
grandezas
escalares;
www.meuprofessordefisica.com
(1)
!" = !! − !!
1
U
N
I
D
A
D
E
INTRODUÇAO
A
FÍSICA
9/65
Discussões
em
Velocidade
escalar
média:
Unidades
e
conversões
Velocidade
instantânea
Velocidades
da
Terra:
Rotação
e
translação
solar,
Rotação
e
translação
galác-ca;
3.
Velocidade
média/escalar
média
Welber
Miranda(IFBA)
2014
4.
Gráficos
do
MU
5.
Interpretação
geométrica
da
velocidade
6.
Simulações
www.meuprofessordefisica.com
! = !"!" (2)
1
U
N
I
D
A
D
E
Definição
e
deduções
gráficas;
1.
Velocidade
Instantânea
Welber
Miranda(IFBA)
Interpretações
de
velocidade;
www.meuprofessordefisica.com
(4)
(3)
! = lim!"→! !"!"
! = !"!"
AULA
3
2014
1
U
N
I
D
A
D
E
10/65
AULA
3
-‐
Discussões
em
Velocidade
média:
Unidades
e
conversões
2.
Aceleração
média
Welber
Miranda(IFBA)
3.
Aceleração
Instantânea
www.meuprofessordefisica.com
! = !!!" (5)
! = lim!"→! !"!" (6)
! = !"!" (7)
2014
1
U
N
I
D
A
D
E
11/65
AULA
3
Welber
Miranda(IFBA)
2014
4.
Interpretação
geométrica
da
aceleração
5.
Gráficos
de
movimentos
quaisquer
e
gráficos
do
MUV
www.meuprofessordefisica.com
-‐
Discussões
sobre
aceleração
escalar
média:
Unidades,
dados;
-‐
Deduções;
-‐
Análise
de
Gráficos
para
aceleração
nula,
aceleração
constante
e
aceleração
qualquer;
-‐
Equações
cinemá-cas
derivadas;
! = !"!" (R7)
(R4)
! = !"!"!(!) → !(!) → !!(!)
1
U
N
I
D
A
D
E
12/65
13/6
5
0.
R.A.P
1. O
problema
inverso
na
cinemá-ca
Welber
Miranda(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
AULA
4
!(!) → !(!) → !!(!)
-‐ Deduções
gráficas;
-‐ Definição
integral
de
x(t)
-‐ Definição
integral
de
v(t)
(8)
Δ!(!) = !(!)!!!!
(9)
Δ!(!) = !(!)!!!!
14/6
5
2.
Revisão
matemá-ca
e
tabela
de
integrais
3.
Equações
do
MU
e
do
MUV
Welber
Miranda(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
AULA
4
(10)
(11)
(13)
! ! = !! + !. !
! ! = !! + !! . ! + !!!2
! ! = !! + !. !
!! = !!! + 2.!.Δ!
(12)
MUV
MU
-‐ Dedução
das
Eqs
da
posição,
velocidade
e
aceleração;
-‐ Dedução
da
Eq.
de
Torricelli
1
U
N
I
D
A
D
E
-‐ Análise
e
discussão:
Vetores
x
Escalares;
-‐ Soma
geométrica
de
vetores,
decomposição
e
propriedades;
1. VETORES
Welber
Miranda(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
AULA
6
(14)
!! = !. cos! !! = !. sen!
(15)
!"!! = !!!!
(16)
!! = !!! + !!!
1
U
N
I
D
A
D
E
15/65
-‐ Vetores
unitários
(
i
,
j
,
k
);
-‐ Operações
analí-cas
com
vetores;
-‐ Produto
Escalar
e
interpretação
geométrica;
-‐ Projeção
Vetorial
e
relações
matemá-cas;
-‐ Produto
Vetorial;
Welber
Miranda(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
AULA
6
(17)
!.! = !. !. !"#$
(20)
! = !!! = !"#! ! ! !!! !! !!!! !! !!
(18)
!.! = !!!! + !!!! + !!!!
(19)
|!| = |!!!| = !. !. !"#!
1
U
N
I
D
A
D
E
16/65
!! != ∆!∆!
1. Exercícios
sobre
vetores
2. Velocidade
e
aceleração
vetorial
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
AULA
7
(21)
(22)
(23)
(24)
! != ∆!∆!
!! != ∆!∆! !! != ∆!∆!
-‐ Gráficos
de
movimento
com
velocidade
vetorial;
-‐ Discussão
do
uso
das
equações
tridimensionais;
1
U
N
I
D
A
D
E
17/65
! != ∆!∆!
3. Aceleração
média
vetorial
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
AULA
7
(25)
-‐
Gráficos
de
movimento
com
aceleração
vetorial;
!! != ∆!!∆! (26)
(27)
(28)
!! != ∆!!∆! !! != ∆!!∆!
-‐ Equação
de
trajetória
do
movimento
uniforme;
-‐ Equação
deTrajetória
do
movimento
uniformemente
acelerado;
-‐ Discussão
da
equação
da
parábola;
4.
Equações
de
trajetória
1
U
N
I
D
A
D
E
18/65
1.
Grandezas
vetoriais:
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
AULA
8
-‐
Movimento
de
Projéteis
1
! != !! + !! + !! (29)
-‐
Equações
básicas
das
variáveis
do
movimento:
(30)
! != !!! + !!! + !!! (31)
! != !!! + !!! + !!! ! !=
!!!"
! != !!!"
1
U
N
I
D
A
D
E
19/65
2.
Caracterização
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
AULA
8
-‐
Movimento
de
Projéteis
1
!! != ! cos! (33)
-‐
Análise
do
movimento;
-‐
Decomposição
da
velocidade
inicial:
!! != ! sin! (34)
Caracterís-cas
do
movimento;
! != 0! + 0! − !!
!! ≡ !! ≡ 0
Hipóteses:
-‐ Não
há
resistência
do
AR
(Lançamento
no
vácuo);
-‐ g
é
constante;
-‐ Não
há
movimentos
do
“laboratório”;
-‐ Não
há
efeitos
aerodinâmicos;
! != 0! − !! (em
3-‐D)
(em
2-‐D)
1
U
N
I
D
A
D
E
20/65
2.
Equações
envolvidas
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
AULA
8
-‐
Movimento
de
Projéteis
1
(10')
(13')
! ! = !! + !!. ! ! ! = !! + !!!. ! − !!!2 !! ! = !!! − !. ! !!! = !!!! − 2.!.!" (12')
-‐
Movimento
bidimensional
(em
X
e
Y);
-‐
Movimento
uniforme
(MU)
em
X;
-‐
Movimento
acelerado
(MUV)
em
Y;
-‐
Equação
da
trajetória
em
função
do
ângulo;
Eixo
X
Eixo
Y
(11')
!! = !!!
1
U
N
I
D
A
D
E
21/65
3.
Variáveis
de
Interesse
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
AULA
8
-‐
Movimento
de
Projéteis
1
-‐ Tempo
de
subida
(ts)
e
tempo
total
de
trajeto;
-‐ Altura
máxima
(H);
-‐ Alcance
máximo
(A);
-‐ Discussão
de
alcance
máximo
e
ângulos;
3.
Simulação
virtual
-‐
Algodoo;
1
U
N
I
D
A
D
E
22/65
1.
Equações
:
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
AULA
9
-‐
Movimento
circular
uniforme
-‐
Movimento
Bidimensional,
que
pode
ser
descrito
cinema-camente
como
um
movimento
unidimensional
(33)
! = !!
(34)
! = !!
(35)
! = !!
(36)
! ! = !! + !. !
1
U
N
I
D
A
D
E
23/65
2.
Velocidade
e
Aceleração
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
AULA
9
-‐
Movimento
circular
uniforme
! = !!!! (37)
Caracterís-cas
do
movimento:
-‐ Velocidade
é
tangencial
a
trajetória;
-‐ Aceleração
é
radial
(centrípeta);
! = !!!"#$%"!"
1
U
N
I
D
A
D
E
24/65
Aula
12
–
Introdução
a
Dinâmica
II
UNIDADE
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
Prof.:
MSc.
W.
L.
A.
Miranda
Ins-tuto
Federal
da
Bahia
Aula
12
–
Introdução
a
Dinâmica
25/65
O
Conceito
de
Força
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
Aula
12
–
Introdução
a
Dinâmica
-‐ Conceito
Primi-vo
=
“Sem
definição
formal”
Força
Forma
de
interação
Física
Efeitos:
-‐
Alteraçãodo
movimento:
Velocidade,
direção/sen-do.
-‐
Deformação;
Forças
de
campo
x
forças
de
contato?
2
U
N
I
D
A
D
E
26/65
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
Aula
12
–
Introdução
a
Dinâmica
3.
Tipos
de
Forças
• Força
gravitacional
• Força
Eletro-‐magnéeca
• Força
nuclear
fraca
• Força
nuclear
forte
2
U
N
I
D
A
D
E
27/65
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
Aula
12
–
Introdução
a
Dinâmica
3.
Tipos
de
Forças
• Força
gravitacional
2
U
N
I
D
A
D
E
28/65
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
Aula
12
–
Introdução
a
Dinâmica
3.
Tipos
de
Forças
• Força
gravitacional
• Força
Eletromagnéeca:
• Força
nuclear
fraca
• Força
nuclear
forte
2
U
N
I
D
A
D
E
29/65
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
Aula
12
–
Introdução
a
Dinâmica
Mecânica
Newtoniana
• Princípio
de
superposição
de
Forças
!! != !! + !!
(Força
resultante
sobre
o
corpo
1)
2
U
N
I
D
A
D
E
30/65
31/65
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
Aula
12
–
Introdução
a
Dinâmica
Mecânica
Newtoniana
• Referencial
inercial
Em
referenciais
inerciais
não
existe
nenhum
experimento
que
cien-stas,
dentro
deste
referencial,
possam
fazer
para
descobrir
sua
velocidade
absoluta;
É
um
referencial
no
qual
as
Leis
de
Newton
são
válidas
2
U
N
I
D
A
D
E
32/65
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
Aula
12
–
Introdução
a
Dinâmica
Mecânica
Newtoniana
• 1ª
Lei
de
Newton
(Galileu)
Se
,
ou
seja,
a
força
sobre
um
corpo
é
nula,
então
o
corpo
permanece
em
seu
estado
de
movimento.
!! = 0 2
UNI
D
A
D
E
33/65
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
Aula
13
-‐
Dinâmica
e
as
Leis
de
Newton
1.
Conceitos
importantes
-‐
Referencial
inercial
-‐
Princípio
de
superposição
de
Forças
-‐ Força
resultante:
-‐ 1ª
Lei
de
Newton
(Galileu);
-‐ 2ª
Lei
de
Newton:
!! != !! (1)
!! != !! (2)
2
U
N
I
D
A
D
E
34/65
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
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Aula
13
-‐
Dinâmica
e
as
Leis
de
Newton
2.
Aplicação
da
2ª
Lei
de
Newton
-‐
O
conceito
de
sistema
mecânico;
Passos:
i) Diagrama
de
forças
(Iden-ficar
Forças
e
reações
e
fazer
diagrama/desenho)
ii) Determinar
a
intensidade
das
forças;
iii) Aplicar
2ª
lei
ao
sistema;
iv) Aplicar
2ª
lei
para
cada
corpo
do
sistem;
*
Cada
corpo
do
sistema
poderá
ser
considerado
como
uma
parZcula;
2
U
N
I
D
A
D
E
35/65
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
Aula
13
-‐
Dinâmica
e
as
Leis
de
Newton
3ª
Lei
de
Newton
!!" != !!"
FBA
FAB
A
B
!!" != −!!"
2
U
N
I
D
A
D
E
36/65
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
Aula
13
-‐
Dinâmica
e
as
Leis
de
Newton
3.
Aplicação
da
2ª
Lei
de
Newton
–
Plano
inclinado
Forca
peso:
Peso
no
plano
inclinado:
-‐
Normal,
Tração,
sistemas
de
polias,
Atwood;
! != !! (3)
!! != !! sin! (4)
!! != !" cos!
(5)
2
U
N
I
D
A
D
E
37/65
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
Aula
14
–
Aplicações
da
Dinâmica
Newtoniana
1.
Aplicação
das
Leis
Newtonianas
i) Diagrama
de
forças
(Iden-ficar
forças,
suas
reações
e
fazer
um
diagrama/desenho)
ii) Determinar
a
intensidade
das
forças;
iii) Aplicar
2ª
lei
ao
sistema;
iv) Aplicar
2ª
lei
para
cada
corpo
do
sistema;
i)
Força
de
Atrito
(Escorregamento/Cisalhamento
em
super{cies
sem
lubrificação):
!! != !!.! (14
-‐
1)
Atrito
Estáeco
máximo
Atrito
Cinéeco
(14
-‐
2)
!! != !! .!
!! > !!
2
U
N
I
D
A
D
E
ii)
Força
de
Arrasto
-‐
D
(Arrasto
em
corpos
arredondadas
sem
lubrificação):
-‐
Discussão
sobre
velocidade
terminal
de
corpos
em
queda
na
atmosfera;
38/65
Welber
Miranda
(IFBA)
2014
www.meuprofessordefisica.com
Aula
14
–
Aplicações
da
Dinâmica
Newtoniana
!! = 12!"#!!!! (14
-‐
3)
! → ! →! ! →! ! →!
Coeficiente
de
Arrasto
(experimental)
Densidade
do
ar
Área
efe-va
de
contato
entre
corpo-‐ar
Velocidade
do
corpo
2
U
N
I
D
A
D
E
iii)
Aceleração
e
Força
centrípeta
-‐
A
força
centrípeta
é
originada
de
uma
força
aplicada
sobre
o
objeto
(e.g.
tensão,
atrito
etc.),
a
qual
será
responsável
por
girar
este
objeto.
39/65
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14
–
Aplicações
da
Dinâmica
Newtoniana
! ! != !!! ! (14
-‐
3)
!! != !!!! ! (14
-‐
4)
2
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17
–
Energia
Ciné-ca
e
Trabalho
1.
Energia
Ciné-caEnergia
cinéeca:
Da
equação
de
Torricelli,
temos:
Que
podemos
reescrever,
como
(Teorema
Energia
Cinéeca-‐Trabalho):
!! ≡ 12!!! (17
-‐
1)
!! ≡ !!! + 2!Δ! (17
-‐
2)
! − !! ≡ !!" (17
-‐
3)
Δ! =! (17
-‐
3')
2
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17
–
Energia
Ciné-ca
e
Trabalho
2.
Trabalho
de
uma
força
Trabalho
de
uma
força
constante:
Trabalho
de
uma
força
variável
qualquer:
!! = !. ! (17
-‐
5)
Tridimensional
(17
-‐
4)
Unidimensional
!! ≡ !. !
!! = !.!!!!!! (17
-‐
6)
! = !!.!"!!!! + !!.!! + !!.!!!!!!!!!! ! (17
-‐
6')
ou
2
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–
Conservação
da
Energia
Mecânica
1.
Equações
importantes:
Trabalho
de
uma
Força
Constante:
Trabalho
de
uma
Força
variável:
-‐ Teorema
Energia-‐Trabalho
-‐
Energia
Ciné-ca
!! = !. ! (19
-‐
1)
!! = !.!!!!!! (19
-‐
2)
∆!! =! (19
-‐
3)
!! = 12!!!! (19
-‐
4)
2
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(19
-‐
6')
!! = !. !
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19
–
Conservação
da
Energia
Mecânica
Potência
média:
Potência
instantânea:
! != !Δ!!! (19
-‐
5)
!! = !!!!!! (19
-‐
6)
2
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44/65
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19
–
Conservação
da
Energia
Mecânica
2.
Forcas
conserva-vas
versus
dissipa-vas
(Independência
de
caminho)
O
Trabalho
total
realizado
por
uma
forca
conservaeva
em
um
percurso
fechado
(ponto
inicial
é
igual
ao
final)
é
nulo.
Forças
conserva-vas
dependem
somente
da
configuração
espacial
(pontos
inicial
e
final)
e
por
isso
não
depende
da
trajetória
seguida
pela
parZcula.
-‐ Energia
Potencial
e
trabalho
ΔU!! ≡ −! (19
-‐
7)
2
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19
–
Conservação
da
Energia
Mecânica
Consequência
da
definição
em
(19-‐7)
que
expressa
a
Conservação
da
Energia
Mecânica
(para
qualquer
sistema
mecânico
fechado
e
isolado):
-‐ Energia
Potencial
Gravitacional
-‐
Energia
Potencial
Eláseca
!! + !! != ! + ! (19
-‐
8)
!! != !! (19
-‐
8')
!! = !.!. ℎ (19
-‐
9)
!! = 12 !!!! (19
-‐
10)
2
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–
Conservação
da
Energia
Mecânica
e
Curva
Potencial
1.
Conservação
da
energia
em
sistemas
não
isolados
Trabalho
de
uma
Força
variável
qualquer:
Sistemas
simples:
i) Pêndulo
ii) Massa-‐mola
(Oscilador
Harmônico
Simples)
iii) Massa-‐plano
Num
sistema
mecânico
sob
atuação
de
uma
forca
externa,
escrevemos:
!! = !.!!!!!! (20
-‐
1)
!" =!!!"#$%&' (20
-‐
2)
2
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20
–
Conservação
da
Energia
Mecânica
e
Curva
Potencial
Sistemas
subme-dos
ao
atrito:
-‐ Discussão
sobre
curvas
de
energia
potencial:
Oscilador
Harmônico.
-‐ Discussão
sobre
a
impossibilidade
de
existência
de
Moto
perpétuo;
-‐ Discussão
sobre
fontes
de
energia
(Solar,
Eólica,
CombusZveis
fósseis);
-‐ Discussão
sobre
o
comportamento
térmico
da
região
de
Paulo
Afonso
-‐
BA.
!" = −!!!" !!−!!!" = !!
(20
-‐
3)
! > 0 ! > 0 Injeção
de
energia
no
sistema
Ejeção
de
energia
no
sistema
(20
-‐
3')
ou
2
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Aula
24
–
Centro
de
Massa
III
UNIDADE
Welber
Miranda
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Prof.:
MSc.
W.
L.
A.
Miranda
Ins-tuto
Federal
da
Bahia
AULA
22
-‐
Centro
de
Massa
48/65
1.
O
conceito
de
média
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22
-‐
Centro
de
Massa
-‐
Média
aritmé-ca
simples:
-‐
Média
ponderada:
(35)
! != !!!!! !!!
(33)
! != !! + !! + !! +⋯!
3
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49/65
2.
Centro
de
Massa
de
um
sistema
de
parZculas
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22
-‐
Centro
de
Massa
(36)
!!" != !!!!! !!!
-‐ O
centro
de
massa
é
um
ponto
qsico-‐geométrico,
ob-do
da
média
de
posições,
ponderadas
com
a
massa
dessas
parZculas.
*
Coincide
com
o
centroide
(centro
geométrico)
quando
o
corpo
é
homogêneo;
-‐
Centro
de
massa
em
3
dimensões:
(24
-‐
10)
!!" != !!!!! !!! 3
UN
I
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50/65
3.
Centro
de
Massa
de
um
corpo
maciço
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22
-‐
Centro
de
Massa
(38)
!!" != 1! !"!!
*
Coincide
com
o
centroide
(centrogeométrico
quando
o
corpo
é
homogêneo);
(39)
Um
corpo
maciço
é
um
conjunto
muito
grande
de
parZculas
muito
próximas
→ ! e
!! → !!"
!!" != 1! !"!!
(40)
!!" != 1! !!!!
3
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51/65
4.
2ª
Lei
de
Newton
para
um
sistema
de
parZculas
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22
-‐
Centro
de
Massa
(41)
!!!" != !!!! +!!!! +⋯
(42)
!!!" != !!!! +!!!! +⋯ Derivando
em
t...
(43)
!!!" != !!!! +!!!! +⋯ Derivando
em
t...
(44)
!! = !!!" ! 3
UNI
D
A
D
E
52/65
5.
Propriedades
do
Centro
de
Massa
(CM)
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22
-‐
Centro
de
Massa
-‐ Se
comporta
como
uma
parrcula
de
massa
M
-‐ Possui:
Posição
(Xcm)
Velocidade
(Vcm)
Aceleração
(Vcm)
-‐
Um
corpo
extenso
pode
ser
estudado
como
se
toda
sua
massa
es-vesse
em
seu
centro
de
massa.
O
centro
de
massa
de
um
sistema
de
parrculas
pode
ser
tratado
como
uma
parrcula,
onde
toda
forca
aplicada
gera
uma
aceleração
neste
ponto.
3
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25
–
Momento
linear
Momento
de
uma
parZcula:
!! = !!!!
Momento
de
um
sistema
de
parZculas:
1.
Momento
Linear
(25
-‐
1)
!!"!#$%& = !!!! +!!!! +⋯ (25
-‐
2)
3
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25
–
Momento
linear
A
conservação
do
momento
é
válido
para
um
sistema
FECHADO
e
ISOLADO
!!"!#!$% != !!"#$%
Se
um
sistema
está
subme-do
a
força
resultante
nula,
então
o
seu
momento
linear
total
será
conservado.
-‐
Exemplos
Clássicos:
-‐
Colisões,
Tiro
de
projéteis,
explosões;
2.
Conservação
do
momento
linear
(25
-‐
3
)
3
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25
–
Momento
linear
2.
Conservação
do
momento
linear
-‐
Exemplos
Canhão
+
projé-l:
Explosão
Antes
da
explosão
interna:
Após
a
explosão
interna
A
explosão
não
altera
o
comportamento
do
centro
de
massa
do
sistema
isolado.
3
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25
–
Momento
linear
(25
–
4
)
!! = Δ!∆! != ! Δ!∆!
A
taxa
de
variação
do
momento
é
igual
a
força
aplicada
ao
sistema
(ou
parZcula).
*A
equação
acima
explica
porque
um
sistema
isolado
(Forca
resultante
nula)
tem
o
momento
conservado
!! != !!!"
3.
Formulação
de
Newton
da
2ª
Lei
da
dinâmica
(25
-‐
5)
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27
–
Colisões
Elásecas
e
Inelásecas
Conservação
do
momento
linear
de
um
sistema
isolado:
1.
Colisões
e
Momento
Linear
!!"!#!$% != !!"#$% (27
-‐
1
)
TIPOS:
i)
Inelás-ca
ii)
Parcialmente
Elás-ca
iii)
Elás-ca
(Perf.
Elás-ca)
3
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27
–
Colisões
Elásecas
e
Inelásecas
2.
Colisão
Inelás-ca
(unidimensional)
!!"!#!$% != !!"#$% (27
-‐
1)
Alvo
estacionário:
!!! ≡ 0
!! ≡ !!!!+!! !!! (27
-‐
2)
-‐
Os
corpos
seguem
juntos
após
a
colisão.
3
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59/65
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27
–
Colisões
Elásecas
e
Inelásecas
3.
Colisão
Elás-ca
(unidimensional)
!!"!#!$% != !!"#$% (27
-‐
1)
Alvo
estacionário:
!!! ≡ 0 !!! ≡ !! −!!!!+!! !!! (27
-‐
4)
-‐
Os
corpos
seguem
com
velocidades
especificas
após
a
colisão
!!"!#!$% != !!"#$% (27
-‐
3)
Momentum
é
conservado
Energia
mecânica
é
conservada
!!! ≡ 2!!!!+!! !!! (27
-‐
5)
3
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D
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60/65
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28
-‐
Rotação
-‐
Movimento
Bidimensional,
que
pode
ser
descrito
cinema-camente
como
um
movimento
unidimensional
1.
Equações
básicas
(revisão)
! ! = !! + !. ! (28
-‐
4)
! = !! (28
-‐
1)
! = !! (28
-‐
2)
! = !! (28
-‐
3)
Movimento
uniforme
circular
Movimento
circular
uniformemente
variado
! ! = !! + !!. ! + 12!!!! (28
-‐
5)
! ! = !! + !!! (28
-‐
6)
3
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28
-‐
Rotação
-‐
GRANDEZAS
ANGULARES:
Ângulos
não
podem
ser
definidos
como
vetores,
pois
não
respeitam
a
regra
de
comuta-vidade.
2.
Energia
ciné-ca
de
Rotação
! = 12!!! (28
-‐
7)
Energia
ciné-ca
por
parZcula
! = 12!!!!!! (28
-‐
8)
Energia
ciné-ca
do
sistema:
! = 12 !!! (28
-‐
9)
Energia
cinéeca
de
rotação
3
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28
-‐
Rotação
2.
Momento
de
inércia
! = !!!!!! (28
-‐
10)
Sistema
de
parZculas
pontuais:
Para
um
corpo
con-nuo
o
somatório
é
subs-tuído
por
uma
integral.
! = !!!" (28
-‐
11)!" = !!" ! = !! (Densidade)
O
Momento
de
inércia
representa
a
inércia
(dificuldade)
de
rotação
de
um
corpo
relação
a
determinado
eixo
de
giro.
3
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D
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29
–
Momento
de
inércia
e
Torque
1.
Teorema
dos
eixos
paralelos
! = !!!!!! (29
-‐
1)
Sistema
de
parrculas
pontuais:
Corpo
conenuo
! = !!!" (29
-‐
2)
Exemplo:
Barra
rígida
homogênea
2 1
!! = !!!" = !!!!!!!!!!! !! = !!!" = 13!!!!!
!! = !!" +!ℎ!! (29
-‐
3)
Onde ℎ é a distância do C.M até o ponto 2
TEOREMA
DOS
EIXOS
PARALELOS
3
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D
A
D
E
64/65
65/65
Welber
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29
–
Momento
de
inércia
e
Torque
2.
Torque
! = !" sin! (29
-‐
4)
! = !×! (29
–
4’)
ou
2ª
Lei
de
Newton
para
a
rotação
!! = !" (29
-‐
4)
A
rotação
de
um
corpo
é
determinada
pela
existência
de
um
torque
resultante
não
nulo
3
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D
A
D
E
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