ResMat II Prova A1 4142 2017 2 GABARITO

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Centro Universitário do Distrito Federal - UDF www.udf.edu.br 
Escola de Engenharia – Campus Reitor Rezende Ribeiro de Rezende 
SGAS 903 - Conj D - Lote 79, Brasília/DF CEP: 70390-030 Tel: (61) 3224-2220 
 
1 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
Prof. Fernando Peroba Júnior 
2017.2 
NOTA 
 
Nome do aluno: 
 
R.G.M: Turno: M 
Turma: 4142 
Assinatura do aluno: 
 
Data da Avaliação: 
 
 
 
 
 
Considere a viga isostática a seguir na qual atua uma carga momento concentrado de 48 kN.m, no pilar 
da direita, e uma carga concentrada vertical de 24 kN, aplicada de cima para baixo, no meio do vão (ver 
figura). Utilizando o Método da Dupla Integração, pede-se determinar: 
a) A rotação em cada um dos apoios. 
b) A flecha máxima. 
Considere para efeito de cálculo que a rigidez da viga é 𝐸𝐼 = 1.000 𝑘𝑁. 𝑚². 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 01 
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SOLUÇÃO 
Cálculo das reações de apoio. 
→ ∑ 𝐻 = 0  𝑯𝑨 = 𝟎 
↑ ∑ 𝑉 = 0  𝑽𝑨 + 𝑽𝑪 = 𝟐𝟒 
↶ ∑ 𝑀𝐴 = 0  𝑉𝐶 ∙ 8 − 24 ∙ 4 + 48 = 0 
𝑽𝑪 = 𝟔𝒌𝑵 
𝑽𝑨 = 𝟏𝟖𝒌𝑵 
 
Trecho AB 
 
𝑀1 = 18𝑥 
𝐸𝐼𝑦1
" = 18𝑥 
𝐸𝐼𝑦1
′ = 9𝑥2 + 𝐶1 
𝐸𝐼𝑦1 = 3𝑥
3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
 
 
Trecho BC 
 
𝑀2 = 18𝑥 − 24 ∙ (𝑥 − 4) = −6𝑥 + 96 
𝐸𝐼𝑦2
" = −6𝑥 + 96 
𝐸𝐼𝑦2
′ = −3𝑥2 + 96𝑥 + 𝐶3 
𝐸𝐼𝑦2 = −𝑥
3 + 48𝑥2 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4 
 
 
Condições de contorno 
 
i) 𝑥𝐴 = 0 e 𝑦1 = 0 
ii) 𝑥𝐵 = 8 e 𝑦2 = 0 
iii) 𝑥𝐵 = 4 e 𝑦1
′ = 𝑦2
′ 
iv) 𝑥𝐵 = 4 e 𝑦1
" = 𝑦2
" 
 
 
Substituição 
 
 𝐸𝐼(0) = 3(0)3 + 𝐶1(0) + 𝐶2  𝑪𝟐 = 𝟎 
 
 𝐸𝐼(0) = −(8)3 + 48(8)2 + 𝐶3(8) + 𝐶4  𝟖𝑪𝟑 + 𝑪𝟒 = −𝟐𝟓𝟔𝟎 
 
 9(4)2 + 𝐶1 = −3(4)
2 + 96(4) + 𝐶3  𝑪𝟏 − 𝑪𝟑 = 𝟏𝟗𝟐 
 
 3(4)3 + 𝐶1(4) + 0 = −(4)
3 + 48(4)2 + 𝐶3(4) + 𝐶4 
 
4 ∙ (𝐶1 − 𝐶3) = 512 + 𝐶4 
 
4 ∙ (192) = 512 + 𝐶4  𝑪𝟒 = 𝟐𝟓𝟔 
 
8𝐶3 + 256 = −2560  𝑪𝟑 = −𝟑𝟓𝟐 
 
𝐶1 − (−352) = 192  𝑪𝟏 = −𝟏𝟔𝟎 
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Equações. 
 
Trecho AB 
 
𝐸𝐼𝜃1 = 9𝑥
2 − 160 (Equação da Rotação no primeiro trecho) 
𝐸𝐼𝑦1 = 3𝑥
3 − 160𝑥 (Equação da Flecha no primeiro trecho) 
 
Trecho BC 
 
𝐸𝐼𝑦2
′ = −3𝑥2 + 96𝑥 − 352 (Equação da Rotação no segundo trecho) 
𝐸𝐼𝑦2 = −𝑥
3 + 48𝑥2 − 352𝑥 + 256 (Equação da Flecha no segundo trecho) 
 
Cálculo da Posição da flecha máxima 
 
Se 𝜃 = 0 → 𝑦𝑚á𝑥 
 
É necessário verificar nos dois trechos, pois a viga não é simétrica. Assim, 
 
Trecho AB (𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒) 
9𝑥2 − 160 = 0 
 
𝑥′ = −4,21𝑚 (Fora do domínio) 
𝑥′′ = 4,21𝑚 (Fora do domínio) 
 
Trecho BC (𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟖) 
 
−3𝑥2 + 96𝑥 − 352 = 0 
𝑥′ = 27,78𝑚 (Fora do domínio) 
𝒙′′ = 𝟒, 𝟐𝟐𝒎 
 
Pelos cálculos, é possível perceber que a viga possui um máximo relativo no primeiro trecho e um máximo 
absoluto no segundo trecho, devido à existência de um balanço. 
 
Cálculo da flecha máxima 
 
Trecho BC (𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟖) 
 
𝐸𝐼𝑦1 = −(4.22)
3 + 48(4.22)2 − 352(4.22) + 256 
 
𝒚𝒎á𝒙 = −𝟎, 𝟒𝟓𝒎 ↓ 
 
Cálculo das Rotações nos apoios 
 
𝐸𝐼𝜃1 = 9𝑥
2 − 160 
 
1000 ∙ 𝜃𝐴 = 9(0)
2 − 160  𝜽𝑨 = −𝟎, 𝟏𝟔 𝒓𝒂𝒅 
 
𝐸𝐼𝜃2 = −3𝑥
2 + 96𝑥 − 352 
 
1000 ∙ 𝜃𝐵 = −3 ∙ (8)
2 + 96(8) − 352  𝜽𝑩 = +𝟎, 𝟐𝟐𝟒 𝒓𝒂𝒅 
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Seja a viga isostática a seguir na qual atuam, concomitantemente, uma carga momento concentrado de 
36 kN.m, aplicado no sentido anti-horário, na extremidade esquerda, e uma carga uniformemente 
distribuída de 24kN/m, aplicada ao longo de todo o vão da viga (ver figura). Utilizando a Tabela de 
Deflexão em vigas, pede-se determinar: 
a) A rotação em cada um dos apoios. 
b) A flecha na posição 𝑥 = 4𝑚. 
Considere para efeito de cálculo que a rigidez da viga é 𝐸𝐼 = 1.000 𝑘𝑁. 𝑚². 
 
 
 
a) 
𝜃𝐴 = −
𝑤𝐿3
24𝐸𝐼
+
𝑀𝐿
3𝐸𝐼
 
𝜃𝐴 = −
24 ∙ 63
24 ∙ 1000
+
36 ∙ 6
3 ∙ 1000
 
𝜽𝑨 = −𝟎, 𝟏𝟒𝟒 𝒓𝒂𝒅 
 
 
𝜃𝐵 = −
𝑤𝐿3
24𝐸𝐼
−
𝑃𝐿2
16𝐸𝐼
 
𝜃𝐵 = +
24 ∙ 63
24 ∙ 1000
−
36 ∙ 6
6 ∙ 1000
 
𝜽𝑩 = +𝟎, 𝟏𝟖 𝒓𝒂𝒅 
 
b) 
𝑦 = 𝑦𝑤 + 𝑦𝑀 
𝑦 = −
𝑤𝑥
24𝐸𝐼
(𝐿3 − 2𝐿𝑥2 + 𝑥3) +
𝑀𝑥
6𝐿𝐸𝐼
(2𝐿2 − 3𝐿𝑥 + 𝑥2) 
 
𝑦 = −
24 ∙ 4
24 ∙ 1000
(63 − 2 ∙ 6 ∙ 42 + 43) +
36 ∙ 4
6 ∙ 6 ∙ 1000
(2 ∙ 62 − 3 ∙ 6 ∙ 4 + 42) 
 
𝒚 = −𝟐, 𝟖𝟖𝒎 
 
 
 
QUESTÃO 02 
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Dada a viga hiperestática a seguir na qual atua uma carga uniformemente distribuída de 48 kN/m, até 
a metade de seu vão, conforme mostra a figura a seguir, determine as reações de apoio que atuam nessa 
viga. 
Considere para efeito de cálculo que a rigidez da viga é 𝐸𝐼 = 1.000 𝑘𝑁. 𝑚². 
 
 
 
 
𝑦𝐶 = 𝑦𝑤 + 𝑦𝑉 = 0 
 
−
𝑤𝐿𝐴𝐵
4
8𝐸𝐼
+ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ∙ (−
𝑤𝐿𝐴𝐵
3
6𝐸𝐼
) +
𝑉𝐶𝐿𝐴𝐶
3
3𝐸𝐼
= 0 
−
48 ∙ 44
8
− 4 ∙
48 ∙ 43
6
+
𝑉𝐶 ∙ 8
3
3
= 0 
 
𝑽𝑪 = 𝟐𝟏 𝒌𝑵 ↑ 
 
Fazendo o equilíbrio estático, tem-se: 
 
→ ∑ 𝐻 = 0  𝑯𝑨 = 𝟎 
 
↑ ∑ 𝑉 = 0 
 
𝑉𝐴 + 𝑉𝐶 = 192 
 
𝑉𝐴 + 21 = 192 
 
𝑽𝑨 = 𝟏𝟕𝟏 𝒌𝑵 ↑ 
 
↺ ∑ 𝑀𝐴 = 0 
 
𝓂𝐴 − 192 ∙ 2 + 21 ∙ 8 = 0 
 
𝓶𝑨 = 𝟐𝟏𝟔 𝒌𝑵. 𝒎 ↶ 
QUESTÃO 03