Formulário Eletromagnetismo

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Formulário Eletromagnetismo 
 
 
 Forma geral de um vetor: 
zzyyxx aBaBaBB


 ; módulo de um vetor: 
2
z
2
y
2
x BBBB 

 
 Vetor unitário na direção de 
B
 : 
B
B
a B



 
 Produto escalar: 
  zzyyxxAB B.AB.AB.Acos.B.ABA 

 
 Produto vetorial : 
 
zyx
zyx
zyx
AB
BBB
AAA
aaa
BAsen.B.ABA



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mudança de coordenadas 
 
Exemplo: componentes do vetor 
B
 (que está em coordenadas cartesianas) em coordenadas cilíndricas. 
 
  aBB

 ; 
  aBB

 ; 
zz aBB


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos de volume: 
dz.dy.dxdv 
 (Cartesiano); 
dz.d..ddv 
 (cilíndrico); 
 d.senr.d.r.drdv
 (esférico) 
 
ELETROSTÁTICA 
 Lei de Coulomb: 
12
0
21
2 a.
4
Q.Q
F



 [N] e 
12 FF


 
12
0 10.854,8

 C2/N.m2 
 Intensidade de campo Elétrico: 
P
P
Q
F
E



 [N/C] ou [V/m] 
 Distribuição de cargas: 
dv
dQ
v 
 [C/m3] ; 
dS
dQ
S 
 [C/m2] ; 
dL
dQ
L 
 [C/m] 
Cargas pontuais: 
r2
0
r a.
r...4
Q
E



 
Cargas em linha infinita: 



 a.
...2
E
0
L 
 ; Plano infinito carregado: 
N
0
a.
.2
E S




 
 Lei de Gauss: 
int
S
QSdD  

 Teorema da Divergência: 
dv.DSdD
vol
sup  

 
 Primeira equação de Maxwell: 
 D

 
Produto escalar de vetores unitários nos 
sistemas de coordenadas cartesianas e 
cilíndricas 
 
a

 
a

 
za

 
xa

 cos  - sen  0 
ya

 sen  cos  0 
za

 0 0 1 
 
 
 
Produto escalar de vetores unitários nos 
sistemas de coordenadas cartesianas e 
esféricas 
 
ra

 
a

 
a

 
xa

 sen  cos  cos  cos  - sen  
ya

 sen  sen  cos  sen  cos  
za

 cos  - sen  0 
 
Relações entre coordenadas cartesianas e 
cilíndricas 
zz
sen.y
cos.x


 
zz
x
y
arctg
yx 22



 
Relações entre coordenadas cartesianas e 
esféricas 



cos.rz
sen.sen.ry
cos.sen.rx 
x
y
arctg
zyx
z
arccos
zyxr
222
222




 
Formulário Eletromagnetismo 
 
zyx D
z
D
y
D
x
D










 (Coordenadas cartesianas) 
 
  zD
z
D
1
D.
1
D










 

 (Coordenadas cilíndricas) 
 
  










 D
sen.r
1
a)D.(sen
sen.r
1
D.r
rr
1
D r
2
2

 (Coordenadas esféricas) 
 
 Trabalho diferencial: 
LdE.QdW


 Trabalho: 
 
final
.inic
LdE.QW

 [J] 
zyx a.dza.dya.dxLd


 (Coordenadas cartesianas) 
za.dza.d.a.dLd

 
 (Coordenadas cilíndricas) 
  a.d.sen.ra.d.ra.drLd r

 (Coordenadas esféricas) 
 Diferença de Potencial: 
 
A
B
BAAB LdEVVV

 [V] 
 Campo Conservativo: num percurso fechado 
0LdE 

 
 Gradiente do Potencial: 
VE 
 
zyx a
z
V
a
y
V
a
x
V
V










 (coord. Cartesianas) 
 
za
z
V
a
V1
a
V
V










 
 (coord. Cilíndricas) 
 










 a
V
sen.r
1
a
V
r
1
a
r
V
V r

 (coord. Esféricas) 
ELETRODINÂMICA 
 Corrente Elétrica: 
dt
dQ
I 
 [A] ; 
SdJdI


 Densidade de Corrente: 
v.J


 [A/m2] ; 
EJ


 
 Para elétrons livres num condutor: 
Ev e


 ; 
E.J ee


 ; 
ee .
 
 
 Equação da continuidade: 
dt
dQ
SdJI int
S
 

 e 
t
J




 
 Para campo elétrico e densidade de corrente constantes: 
JSI 
 ; 
ABAB L.EV 
 ; 
L
V
J 
 ; 
I.
S.
L
V


 ; 
I.RV 
 ; 
S.
L
R


 
 Expressão geral para a resistência: 





S
a
bab
SdE
LdE
I
V
R 

 
ELETROMAGNETISMO 
 Lei de Biot-Savart: 
2
R
R..4
aLd.I
Hd




 [A/m] e 




2
R
R..4
aLd.I
H

 [A/m] 
 Lei de Ampére: 
intILdH 

 
 Densidade de Fluxo Magnético: 
H.B


 [T] onde 
r0 .
 é a permeabilidade magnética do meio 
0 = 4..10-7 [H/m] é a permeabilidade do espaço livre e r é a permeabilidade relativa. 
 
 Fluxo magnético: 
 
S
SdB

 [Wb] 
Formulário Eletromagnetismo 
 
 Rotacional: 
zyx
zyx
AAA
zyx
aaa
AArot















 
 
z
xy
y
zx
x
yz a
y
A
x
A
a
x
A
z
A
a
z
A
y
A
Arot

















































 (coord. cartesianas) 
 
 
z
zz a
AA1
a
A
z
A
a
z
AA1
Arot




















































 




 (coord. cilíndricas) 
 
     



 











































a
A
r
Ar
r
1
a
r
A.rA
sen
1
r
1
a
Asen.A
sen.r
1
Arot rrr

 
(coord.esféricas) 
 
 Força Magnética sobre uma partícula: 
Bv.QFm


 [N] 
 Força em Campo Elétrico e magnético combinados: 
  BvE.QF


 [N] 
 Força Magnética sobre um elemento de corrente: 
 BLdIFd


 [N] 
Se o condutor é retilíneo e o campo uniforme: 
 BLIF


 [N] 
 Lei de Faraday: 
dt
d
V


 [V] 
 Equações de Maxwell para o ELETROMAGNETISMO 
 
Forma Diferencial Forma Integral 
 
t
D
JH





 
t
B
E





 
 
 D

 
 
0B 
 
 
 
 
Sd
t
D
JLdH
S














 
 (Lei de 
Ampère) 
Sd
t
B
LdE
S














 
 (Lei de 
faraday) 
 
vS
dvSdD
(Lei de Gauss) 
0SdB
S


 
 
 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 
 
 Equações de onda: 
HH 22


 e 
EE 22


 com 
 j
 ou 
  jj
 [m-1] 
 




















 11
2
2 [Np/m] e 




















 11
2
2 [rad/m] 
 
 Impedância Intrínseca: 
H
E

 []  



j
j
 na forma polar 
 je
 
Formulário Eletromagnetismo 
 
 Velocidade de propagação da onda: 


v
 [m/s] 
 Comprimento de onda; 
f
v.2




 [m] ; 
f..2 
 [rad/s] 
 
 Soluções para meios Quase Condutores: 
 
    x
zt.jz
0 aee.Et,zE
 
 e 
    y
zt.jz0 aee.
E
t,zH
 


 ( 00<  <450 ) 
 Soluções para Dielétricos Perfeitos: 
 
= 0 

 e 



 /00 
 
para o espaço vazio e propagação de uma onda plana na direção z : 
(no espaço livre  = 0 , 
00
 e v = c = 3.108 m/s , velocidade da luz ) 
    x
zt.j
0 ae.Et,zE
 
 e 
    y
zt.j0 ae.
E
t,zH
 


 
 no espaço livre: 
y
x
0
0
H
E




 no caso da onda plana acima. 
 Soluções para Bons Condutores: 
2


 , 



 /450 
    x
zt.jz
0 aee.Et,zE
 
 e 
  y
4
zt.j
z0 aee.
E
t,zH
 




 




 
 Profundidade de Penetração ou profundidade Pelicular; 
 


1
 [m-1] e no caso de um condutor 


..f.
1
 
 Reflexão e transmissão de ondas: 
 
  x
tjzi
0
i ae.e.Et,zE 1
 
 e 
  y
tjzi
0
i ae.e.Ht,zH 1
 
 ondas incidentes 
  x
tjzr
0
r ae.e.Et,zE 1
 
 e 
  y
tjzr
0
r ae.e.Ht,zH 1
 
 ondas refletidas 
  x
tjzt
0
t ae.e.Et,zE 2
 
 e 
  y
tjzt
0
t ae.e.Ht,zH 2
 
 ondas transmitidas 
 
com incidência normal 
E
 e 
H
 serão tangentes à interface e contínuAs e em z = 0: 
t
0
r
o
i
0 EEE 
 e 
t
0
r
o
i
0 HHH 
 
os coeficientes de reflexão e de transmissão são dados por: 
12
12
i
0
r
0
E
E



 
21
21
i
0
r
0
H
H



 
12
2
i
0
t
0 2
E
E



 
21
1
i
0
t
0 2
H
H



 
 
 Vetor de Poynting, : 
HE


é densidade instantânea de potência [W/m2] ; define a direção de 
propagação. 
a densidade média de potência no tempo é dada por; 


2
o
med
E
2
1
P
 [W/m2] 
 
Formulário Eletromagnetismo